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15.2.5 整数指数幂
夯实基础篇
一、单选题：
1．计算： ＝（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】解： ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负指数幂运算法则 ．
2． 的相反数是（ ）
A．9 B．-9 C． D．
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，进而利用相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反
数）即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴ 的相反数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、求一个数的相反数，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
3．若 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由题意根据负整数指数幂及幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：∵ =52，
∴（10a）2=52，
∴10a=5，
∴10-a=5-1= ．
故选：A．
【点睛】本题考查幂的运算，注意进行幂的负整数指数运算时，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数
幂当成正的进行计算．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法则，以及幂的乘方和负整数指数幂的运算，逐一进行判断即可．
【详解】A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项正确，符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法则，以及幂的乘方和负整数指数幂的运算．熟练掌握相关知识点是解
题的关键．
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先按照整数指数幂的运算法则进行运算，最后把结果写成正整数指数幂的形式即可.
【详解】解：故选D
【点睛】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义，掌握“整数指数幂的运算法则”是解题
的关键.
6．计算（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3的结果等于（ ）
A． B． C．12mn D．
【答案】A
【分析】先根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘和同底数幂相乘：底数不变指数相加
的性质计算．
【详解】解：
＝
＝ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查幂的运算性质-幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质是解题的关键，是基础题．
7．计算a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣2正确的结果是（ ）
A． B． C．a6b6 D．
【答案】B
【分析】根据负整数指数幂，积的乘方，同底数幂的乘法，进行幂的混合运算即可求解．
【详解】解：原式＝ ，
故选B.
【点睛】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
8．计算 的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算负整数指数幂，再计算积的乘方与幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法即可得．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题
关键．
二、填空题：
9．若(x-2)0-3(2x-6)-2有意义，则x的取值范围是_____________。
【答案】x≠2且x≠3．
【分析】根据零指数幂和负整数幂有意义的条件进行解答．
【详解】若式子有意义，则 且 ，
解得：x≠2且x≠3．
故答案是：x≠2且x≠3．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂有意义的条件．熟记零指数幂和负整数指数幂的概念是
解题的关键.
10．计算： ________．
【答案】 ##
【分析】根据积的乘方运算法则，幂的乘方运算，负整指数幂的意义进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：【点睛】本题考查了积的乘方运算法则，幂的乘方运算，负整指数幂的意义，掌握幂的运算是解题的关键．
11．计算： __________（要求结果用正整数指数幂表示）．
【答案】
【分析】先利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再利用负整数指数幂的性质，将结果用正整数指数
幂表示即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查负整数指数幂和同底数幂的乘法法则，解答本题的关键是利用运算法则解答问题．
12．计算： _______________．
【答案】
【分析】根据单项式乘单项式计算法则以及幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，计算即可．
【详解】原式=
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，属于基础计算题．
13．计算 把结果化为只含有正整数指数幂的形式为_____．
【答案】
【分析】先算积的乘方、再根据单项式乘单项式的法则计算，再把结果化为只含有正整数指数幂的形式即
可求解．
【详解】解：．
故答案为： ．
【点睛】考查了积的乘方、单项式乘单项式、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握计算法则正确进行计
算．
三、解答题：
14．化简下列各式，使其结果只含正整数指数幂：
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；(2) .
【分析】根据负指数幂和0指数幂进行计算. 进行有关负整数指数幂的运算时，要遵循运算顺序，先算乘
方，再算乘除，即先算积的乘方，再运用同底数幂的乘除法法则运算，最后把负整数指数幂写成正整数指
数幂的形式．
【详解】(1) ；
(2) =
【点睛】考核知识点：负指数幂和0指数幂进行计算.
15．计算下列各式,并把结果化为只含有正整数次幂的形式:
(1)a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2);
(2) ÷ · .
【答案】(1) (2) a6b9
【详解】试题分析：（1）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的
倒数即可解答；（2）先根据同底数幂的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒
数解答即可．试题解析：
(1)原式=a-2b2· a-4b4·a4b-2= a-2b4= .
(2)原式= = = =a6b9.
16．计算．
(1) ； （2）a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
17．计算： ．
【答案】
【分析】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后算加减．
【详解】解：原式＝
＝ ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握平方根与立方根的计算、零次幂、负整数指数幂的意义及绝对
值的化简是解决本题的关键．18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据平方差公式、分式的性质化简，再结合负整数指数幂、零指数幂的性质计算，即可得到答案
【详解】
∵
∴
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式化简、零指数幂、负整数指数
幂、平方差公式的性质，从而完成求解．
能力提升篇
一、单选题：
1．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解： ， ， ， ，∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
2．当 时， ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得 ，根据非零数的零次幂可得 ，根据平方的结果
可得 ，从而可得结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．
二、解答题：
3．对于实数a、b，规定新运算“✮”：a✮b=2a+b．如：1✮3=2×1+3，2✮(-5)=2×2+(-5)=-1．根据上面的
定义，请你解决下列问题：
(1)列式计算： ①-3✮2；② ✮ ；
(2)将式子 ✮(-8) 分解因式．
【答案】(1)①-4；②5．
(2)2(x+2)(x-2)
【分析】（1）①根据规定的新运算法则计算即可；②根据规定的新运算法则结合零指数幂和负整数指数
幂的运算法则计算即可；
（2）根据规定的新运算法则计算，再根据提公因式和平方差公式分解因式即可．
(1)
①-3✮2
=2×(-3)+2=-6+2
=-4；
② ✮
=2× +
=2×1+3
=5；
(2)
✮(-8)
=
=
= ．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，零指数幂和负整数指数幂的运算以及分解因式．理解题意掌握新
定义的运算法则是解题关键．
4．（1）仔细观察如图图形，利用面积关系写出一个等式：a2+b2＝ ．
（2）根据（1）中的等式关系解决问题：已知m+n＝4，mn＝﹣2，求m2+n2的值．
（3）小明根据（1）中的关系式还解决了以下问题：
“已知m+ ＝3，求m2+ 和m3+ 的值”
小明解法：
请你仔细理解小明的解法，继续完成：求m5+m﹣5的值【答案】（1）（a+b）2﹣2ab；（2）20；（3）123
【分析】（1）观察原式为阴影部分的面积，再用大矩形的面积减去两个空白矩形的面积也可表示阴影部
分面积，进而得出答案；
（2）运用（1）中的结论进行计算便可把原式转化为(m+n)2﹣2mn进行计算；
（3）把原式转化为(m2+m﹣2)(m3+m﹣3)﹣(m+m﹣1)进行计算．
【详解】解：（1）根据图形可知，阴影部分面积为a2+b2，
阴影部分面积可能表示为(a+b)2﹣2ab，
∴a2+b2＝(a+b)2﹣2ab，
故答案为：(a+b)2﹣2ab；
（2）m2+n2＝(m+n)2﹣2mn＝42﹣2×(﹣2)＝20；
（3）m5+m﹣5＝(m2+m﹣2)(m3+m﹣3)﹣(m+m﹣1)＝7×18﹣3＝123．
【点睛】本题主要考查了转化的思想，乘法公式的应用，模仿样例，灵活进行整式的恒等变形是解决本题
的关键．
