文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.3.1 二次根式的加减 教学设计
一、教学目标：
1.了解二次根式的加、减运算法则.
2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
二、教学重、难点：
重点：掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算.
难点：经历知识产生的过程，化简二次根式.
三、教学过程：
复习回顾
一、满足什么条件的根式是最简二次根式?
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
二、练一练：
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
√1
A. √8 B.√4 C. √3 D. 2
2.把下列二次根式化成最简二次根式：
√8
(1)
√75
=____；(2)
√8a2b3
=_______；(3) 5 =_____.
知识精讲
同类二次根式
下列3组二次根式各有什么特征？
2
√2
(1)
√2，3√2，−2√2， 15√2，3
，…4
√3
(2) √3 ，−5√3 ， 6√3 ， 17√3 ，7 ，…
√1
(3)√2， √8 ，−5√18 ， √32 ， 2，…
答：第(1)组二次根式的被开方数都是____；第(2)组二次根式的被开方数都是____；第
(3)组二次根式的被开方数化成最简二次根式后都是____.
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.
典例解析
例1.若最简根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
解得
即
【点睛】确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为 2，
列关于待定字母的方程求解即可.
【针对练习】如果最简二次根式2a❑√3a+2b 和a+b- √33b-a 是同类二次根式，求a，b的值．
{&a+b-3=2
解：由题意，得： ，
&3a+2b=3b-a
{&a=1
解得： ,
&b=4
∴a=1，b=4．
知识精讲
问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积
分别是8dm2和18dm2的正方形木板？√18 √8
∵ 5＞ ＞
∴ 木板够宽
√8 √18
两个正方形的边长和为：( + )dm
√8
+
√18 =2√2+3√2(化成最简二次根式)
(2+3)√2
= (分配律)
=5√2
√2 5√2
由 ＜1.5可知 ＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于木板的长，因此可以用这
块木板按要求截出两个面积分是8dm2和18dm2的正方形木板.
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
(同类二次根式)进行合并.
加减法的运算步骤：
(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找—找出被开方数相同的二次根式；
(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
典例解析
例2.计算：
(1)
√80−√45
(2)
√9a+√25a
解：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
4x-3x=(4-3)x=x 3a2+5a2=(3+5)a2=8a2
【针对练习】1.下列计算是否正确？为什么？
√8−√3=√8−3 √4+√9=√4+9
(1) ( ) (2) ( )
3√2−√2=2√2
(3) ( ) (4) ( )
2.计算：
(1)
2√7−6√7
(2)
√80−√20+√5
解：
例3.计算：
√1
2√12−6 +3√48
(1) 3 (2)
(√12+√20)+(√3−√5)
√3 √3 √3
解：(1)原式=4 -2 +12 =14
√3 √5 √3 √5 √3 √5
(2)原式=2 +2 + - =3 +
√3 √5
与 能合并吗？【针对练习】计算：
(√1 )
(√24+√0.5)− −√6
√18+(√98−√27) 8
(1) (2)
解：(1)原式=3√2+7√2-3 √3 =10√2-3 √3
√2 √2 √2
(2)原式=2 √6 + 2 - 4 + √6 =3 √6 + 4
例4.如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是 125的正方形ABCD，AE=3❑√5，图
中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
解：∵正方形ABCD的面积是125，
∴AB=❑√125=5❑√5，
∵AE=3❑√5，
∴BE=AB-AE=2❑√5，
∴空白部分的小正方形的边长为3❑√5-2❑√5=❑√5，
∴这个小正方形的周长为4❑√5．
【针对练习】如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 12.56和25.12.求圆环的宽度
d(π取3.14，结果保留小数点后两位).
解：依题意得√25.12 √12.56
d= −
3.14 3.14
d=√8−√4
d=2√2−2≈0.83
答：圆环的宽度约为0.83.
例5.已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来
判断.
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：∵ ，即a＜c＜b，
又∵ ∴ a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
【针对练习】有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.
解：当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
当腰长为 时，
∵∴此时能构成三角形，周长为
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．下列各式中，与❑√27是同类二次根式的是（ ）
A．❑√18 B．❑√12 C．❑√0.3 D．❑√20
2．下列二次根式化简后可以合并的一组是 （ ）
A．❑√12和❑√2 B．❑√7和❑√14 C．❑√18和❑√8 D．❑√4x和❑√8x
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．❑√5+❑√7=❑√12 B．4❑√5-❑√5=4
C．❑√3×❑√7=❑√21 D．❑√8÷❑√2=4
4．估算❑√20-❑√5的值是（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．若两个最简二次根式3❑√2m+5与2❑√4m-4可以合并，则合并后的结果是（ ）
A．3❑√5 B．5❑√7 C．5❑√23 D．5❑√14
6．已知❑√7-1的整数部分是m，小数部分是n，则❑√7m-n的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
√1
7.已知等腰三角形的两边长分别为❑√8和10❑ 则这个三角形的周长为( )
2
A.9❑√2或12❑√2 B.9❑√2 C.7❑√2或9❑√2 D. 12❑√2
√9
8．计算：❑√20+❑ ＝_______．
5
9．已知 a+b=2❑√3+1，ab=❑√3，则 (a+1)(b+1)=__________．
10．已知a是5+❑√3的整数部分，b是5-❑√3的小数部分，则a+b=________．
11．已知等腰△ABC的两边长分别为2❑√3和7，则等腰△ABC的周长
是___________．
12.计算：
√1
(1)2❑√20+❑√45-❑√8+❑√32; (2)2❑√12-❑√27-6❑ ； (3)|-❑√2|-(❑√3-❑√2)-|❑√3-2|．
3
13.计算：14.若最简二次根式❑√2m+n与m-n-1❑√m+7可以合并，求mn的算术平方根．
【参考答案】
1. B
2. C
3. C
4. B
5. D
6. C
7. D
13❑√5
8.
5
9. 3❑√3+2
10. 8-❑√3
11. 14+2❑√3
12. (1)解：原式=4❑√5+3❑√5-2❑√2+4❑√2=7❑√5+2❑√2．
❑√3
(2)解：原式=2×2❑√3-3❑√3-6× =4❑√3-3❑√3-2❑√3=-❑√3；
3
(3)解：原式 ．
=❑√2-(❑√3-❑√2)-(2-❑√3)=❑√2-❑√3+❑√2-2+❑√3=2❑√2-2
13. 解：
14. 解：∵最简二次根式❑√2m+n与m-n-1❑√m+7可以合并，
∴❑√2m+n与m-n-1❑√m+7是同类二次根式，
{&m+7=2m+n
∴ ，
&m-n-1=2
{&m=5
解得 ，
&n=2∴mn=52=25，
∴ ，
❑√mn=❑√25=5
即mn的算术平方根是5．
四、教学反思：
在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例
题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过
程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐.
