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压轴题突破练 4
1．设f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
(1)解 f′(x)＝2(ln x＋1)．
所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.
(2)证明 x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
所以当01时，g(x)>0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
2．(2022·石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，过点P(1,1)向双曲线C作两条切线，
切点分别为A(x，y)，B(x，y)，且x<0，x>0.
1 1 2 2 1 2
(1)证明：直线PA的方程为－yy＝1.
1
(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP＋∠BFP＝π.
证明 (1)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y－1＝k(x－1)，
联立
消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0，
则Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋2)＝0，化简得k2＋k－1＝0.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
x＝－＝，
1得y＝，则＝3k，
1
故直线PA的方程为y＝(x－x)＋y，
1 1
则yy＝－＋y，即－yy＝1.
1 1
(2)由(1)同理可得l ：－yy＝1，
PB 2
又l 与l 均过点P(1,1)，
PA PB
所以－y＝1，－y＝1.
1 2
故l ：－y＝1，F(－2,0)，
AB
FP·FA＝(3,1)·(x＋2，y)＝3x＋6＋y，
1 1 1 1
FP·FB＝(3,1)·(x＋2，y)＝3x＋6＋y，
2 2 2 2
又因为x<0，x>0，所以x≤－，x≥，
1 2 1 2
则cos〈FP，FA〉＝
＝＝－，
cos〈FP，FB〉＝
＝＝，
故cos〈FP，FA〉＝－cos〈FP，FB〉，
故∠AFP＋∠BFP＝π.
