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专项训练5 平行线与数学思想方法
一．转化思想
1．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，
则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
2．平行线的判定定理和性质定理可以实现“角度的数量关系”与“直线的位置关系”之间的转化，请补
全以下推理过程：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点
G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（ ）
∴∠2+∠EAD＝180°．（ ）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠ ．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（ ）
∴∠B＝∠BDH．（ ）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（ ）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝ °．（ ）
3．【阅读理解】如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）请将下面推理过程补充完整；
解：如图①，过点A作ED∥BC，
则∠B＝∠EAB，∠C＝ ．
因为 ＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，
∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图②，已知AB∥ED，试说明：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．
【深化拓展】
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE交
于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图③，若点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，求∠BED的度数．
②如图④，若点B在点A的右侧，∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．
二．分类讨论思想
4．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．5.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺
5
时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD＝15°时，
BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为 ．
6．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝ （0°＜ ＜90°）．小安将一
个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线ABα、CD上α，且在点G、H的右
侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求 的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥αEF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含 的式子表
示）． α
三．方程思想
7．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋
转探照灯，如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是
每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
8．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分
∠CBF．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求
出其度数；若不存在，请说明理由．9．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠AFE＝∠C+∠CEF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线 AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝
35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
四．类比迁移思想
10．【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝ ，∠PCD＝ ，当点P在B、D两点之间运动
时，问∠APC与 、 之间有何数量关系？请说明理由；α β
【问题应用】：α β
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直
接写出∠APC与 、 之间的数量关系．
α β
