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专题 14.1 整式的乘法
【典例1】【知识回顾】有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5 y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式=(a+3)x−6 y+5，所以a+3=0，即a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知3[(2x+1)(x−1)−x(1−3 y))+6(−x2+xy−1)的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形
ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，左下角的面积为S
1 2
，当AB的长变化时，S -S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2
【思路点拨】
（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设AB=x，先求出S ,S ，从而可得S −S ，再根据“当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不
1 2 1 2 1 2
变”可知S −S 的值与x的值无关，由此即可得．
1 2
【解题过程】
解：（1）(2x−3)m+2m2−3x=2mx−3m+2m2−3x=(2m−3)x−3m+2m2，
∵关于x的多项式(2x−3)m+2m2−3x的值与x的取值无关，
∴2m−3=0，
3
解得m= ；
2
（2）令A=(2x+1)(x-1)-x(1-3 y)=2x2-2x+x-1-x+3xy=2x2+3xy-2x-1，
B=−x2+xy−1，
原式=3A+6B=3(2x2+3xy−2x−1)+6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6
=15xy−6x−9
=(15 y−6)x−9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15 y−6=0，
2
解得y= ；
5
（3）解：设AB=x，
由图可知，S =a(x−3b)=ax−3ab，S =2b(x−2a)=2bx−4ab，
1 2
则S −S =ax−3ab−(2bx−4ab)
1 2
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，
1 2
∴S −S 的值与x的值无关，
1 2
∴a−2b=0，
∴a=2b．
1．（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）已知a ，a ，a ，…，a 均为负数，则
1 2 3 2022，
M=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a ) N=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a )
1 2 3 2021 2 3 2022 1 2 3 2022 2 3 2021
，则M与N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M>N C．M<N D．无法确定
【思路点拨】
令a +a +⋅⋅⋅+a =x，则M=(a +x)(x+a )=a x+a a ++x2+a x，
2 3 2021 1 2022 1 1 2022 2022
N=(a +x+a )x=a x+x2+a x，将M-N，进行判断即可得出结论．
1 2022 1 2022
【解题过程】
解：令a +a +⋅⋅⋅+a =x，则M=(a +x)(x+a )=a x+a a +x2+a x，
2 3 2021 1 2022 1 1 2022 2022
N=(a +x+a )x=a x+x2+a x，
1 2022 1 2022
∴M-N=a x+a a +x2+a x-（a x+x2+a x）=a a ，
1 1 2022 2022 1 2022 1 2022
∵a ，a ，a ，…，a 均为负数，
1 2 3 2022
∴a a >0，
1 2022
即M>N．
故选：B．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）设x，y为任意有理数，定义运算：x∗y=(x+1)(y+1)−1，得到
下列五个结论：①x∗y= y∗x；②x∗y+z=x∗y+x∗z；③(x+1)∗(x−1)=x∗x−1；④x∗0=0
；⑤(x+1)∗(x+1)=x∗x+2∗x+1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答．
【解题过程】
解：∵x∗y=(x+1)(y+1)−1，
y∗x=(y+1)(x+1)−1，
∴x∗y= y∗x，
故①正确；
∵x∗y+z=(x+1)(y+1)−1+z=xy+x+ y+z，x∗y+x∗z=(x+1)(y+1)−1+(x+1)(z+1)−1=xy+x+ y+xz+x+z=xy+xz+2x+ y+z，
∴x∗y+z≠x∗y+x∗z，
故②错误；
∵(x+1)∗(x−1)=(x+1+1)(x−1+1)−1=(x+2)x−1=x2+2x−1．
x∗x−1=(x+1)(x+1)−1−1=x2+2x−1．
∴(x+1)∗(x−1)=x∗x−1，
故③正确；
∵x∗0=(x+1)(0+1)−1=x+1−1=x，
∴x∗0≠0，
故④错误；
∵(x+1)∗(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)−1=(x+2) 2−1=x2+4x+3，
x∗x+2∗x+1=(x+1)(x+1)−1+(2+1)(x+1)−1+1=(x+1) 2+3(x+1)−1=x2+5x+3．
∴(x+1)∗(x+1)≠x∗x+2∗x+1
故⑤错误．
综上所述，正确的个数为2．
故选：B．
x y z
3．（2022春·江苏·七年级专题练习）设x+ y+z=2020，且 = = ，则x3+ y3+z3−3xyz=
2019 2020 2021
（ ）
2020 2021
A．673 B． C． D．674
3 3
【思路点拨】
x y z
令 = = =a，可将x、z的值用y与a表示，利用x+ y+z=2020求出a的值，然后将所求
2019 2020 2021
的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【解题过程】
x y z
解：设 = = =a
2019 2020 2021{x=2019a,y=2020a,z=2021a
)
则 x= y−a
z= y+a
将x，y，z的值代入x+ y+z=2020可得：2019a+2020a+2021a=2020
1
解得：a=
3
∵x3=(y−a) 3=(y−a)(y2−2ay+a2 )= y3−3a y2+3a2y−a3
z3=(y+a) 3=(y+a)(y2+2ay+a2 )= y3+3a y2+3a2y+a3
3xyz=3 y(y−a)(y+a)=3 y(y2−a2 )=3 y3−3a2y
∴x3+ y3+z3−3xyz
=(y3−3a y2+3a2y−a3 )+ y3+(y3+3a y2+3a2y+a3 )−(3 y3−3a2y)
=9a2y
=9a2 ⋅2020a
1 3
=9×2020×( )
3
2020
=
3
故选：B.
4．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被
分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列
说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y−15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
【思路点拨】
①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大
长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B
的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算
公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的
相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代
入x=15可得出说法④错误．
【解题过程】
解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-
y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-
y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=
（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，则a，b，c，d的大小
______(用<号连接)．
【思路点拨】把a，b，c，d各数的指数转为相等，再比较底数即可．
【解题过程】
解：∵a=255=(25
)
11=3211，
b=344=(34
)
11=8111，
c=433=(43
)
11=6411，
d=522=(52
)
11=2511，
25<32<64<81，
∴2511<3211<6411<8111，
即d<a<c<b．
故答案为：d<a<c<b．
6．（2022秋·七年级单元测试）计算
( 1 1 1 1)(1 1 1 1 1) ( 1 1 1 1 1)(1 1 1 1)
1− − − − + + + + − 1− − − − − + + + 的结果是_______．
2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
【思路点拨】
1 1 1 1
设x＝ + + + ，把原式化简为关于x的代数式，再运算求解
2 3 4 5
【解题过程】
1 1 1 1
解：设x＝ + + + ，
2 3 4 5
( 1) ( 1)
则原式＝(1−x) x+ − 1−x− x
6 6
1 1 5
＝x+ −x2− x− x+x2
6 6 6
1
＝
6
1
故答案为： ．
6
7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如果(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+m是一个完全平方式，那么
m=______
【思路点拨】先根据多项式乘多项式法则展开得出原式=(x2−5x＋4)(x2−5x＋6)+m，求出原式＝
(x2−5x＋4) 2 ＋2(x2−5x＋4)+m，再根据完全平方式得出m即可．
【解题过程】
解：（x−1）（x−2）（x−3）（x−4）＋m
=（x−1）（x−4）（x−2）（x−3）＋m
=(x2−5x＋4)(x2−5x＋6)+m
=(x2−5x＋4)[(x2−5x＋4)+2)+m
=(x2−5x＋4) 2 ＋2(x2−5x＋4)+m
∵（x−1）（x−2）（x−3）（x−4）＋m是一个完全平方式，
∴m=12=1．
故答案为：1．
8．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）若a+b+c=0，a3+b3+c3=0，则a23+b23+c23=
______．
【思路点拨】
由题意得(a+b+c) 3=0，a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，再根据a3+b3+c3=0可得出abc=0，从而可
判断出a、b、c有一个等于零，假设a=0，则b+c=0，b=−c，从而可得出答案．
【解题过程】
解：∵a+b+c=0，
∴(a+b+c) 3=0，a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
即a3+b3+c3+2a2(b+c)+2b2(a+c)+2c2(a+b)+6abc=0，
整理得：a3+b3+c3−2a3−2b3−2c3+6abc=0，
即−a3−b3−c3+6abc=0，
又∵a3+b3+c3=0，
∴abc=0，
∴a、b、c中有一个等于零，
假设a=0，则b+c=0，即b=−c，则a23+b23+c23=023+(−c) 23+c23=0−c23+c23=0，
故答案为：0．
9．（2022秋·上海·七年级专题练习）若a, b, c 满足a+b+c=1, a2+b2+c2=2, a3+b3+c3=3，则
a4+b4+c4=________
【思路点拨】
关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.
【解题过程】
解：因为a+b+c=1,
所以(a+b+c) 2=1 ，即a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=1
因为a2+b2+c2=2
1
所以ab+ac+bc=−
2
因为(a+b+c)(a2+b2+c2)=2
所以a3+b3+c3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=2
因为a+b+c=1,a3+b3+c3=3
所以3+ab(1−c)+bc(1−a)+ac(1−b)=2
即3+(ab+ba+ac)−3abc=2
1
3− −3abc=2
2
1
abc=
6
因为(a+b+c)(a3+b3+c3)=3
即a4+b4+c4+ab(a2+b2)+ac(a2+c2)+bc(b2+c2)=3
a4+b4+c4+ab(2−c2)+ac(2−b2)+bc(2−a2)=3
a4+b4+c4+2(ab+bc+ac)−abc(a+b+c)=3
1
a4+b4+c4−1− =3
6
1
a4+b4+c4=4
61
故答案为：4
6
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”
其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大
正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S ，每一
1
a
个边长为b的小正方形面积记作S ，若S =6S ，则 的值是______．
2 1 2 b
【思路点拨】
根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出ΔDGI与ΔMNC面积，求
ΔKMD面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得S ，S ，利用已知条件进行多项式的化简即可得
1 2
出答案．
【解题过程】
解：如图所示，对需要的交点标注字母：
1 1 1
S = (a+b)×b= ab+ b2 ，
ΔDGI 2 2 2
S =S −S −S −S
ΔKMD ABCD ΔDMC ΔDKA ΔKBM
1 1 1
=(a+2b) 2− (a+b)(a+2b)− (a+2b)(a+b)− b2
2 2 23
=ab+ b2 ，
2
1 1 1
S = (a+b)×b= ab+ b2 ，
ΔMNC 2 2 2
5
∴S =S +S +S =2ab+ b2 ，
1 ΔDGI ΔKMD ΔMNC 2
S =b2 ，
2
∵S =6S ，
1 2
5
∴2ab+ b2=6b2 ，
2
7
化简得：2a= b，
2
a 7
∴ = ，
b 4
7
故答案为： ．
4
11．（2022秋·七年级课时练习）若
( x2+3mx− 1) (x2−3x+n)的积中不含有x与x3项．
3
（1）直接写出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
（2）求代数式(−m2n) 3 +(9mn) 2+(3m) 2014n2016的值．
【思路点拨】
（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与x3项可以求解m、n的值．
（2）将m、n的值代入代数式求值即可．
【解题过程】
（1）解：
( x2+3mx− 1) (x2−3x+n)
3
1 1
=x4−3x3+nx2+3mx3−9mx2+3mnx− x2+x− n
3 3
1 1
=x4+(3m−3)x3+(n−9m− )x2+(3mn+1)x− n，
3 3
∵积中不含有x与x3项，
∴3m−3=0，3mn+1=0，1
解得m=1，n=− ．
3
1
故答案为：1，− ．
3
1
（2）解：当m=1，n=− 时，
3
(−m2n) 3 +(9mn) 2+(3m) 2014n2016
= [ −12× ( − 1)) 3 + [ 9×1× ( − 1)) 2 +32014× ( − 1) 2016
3 3 3
= (1) 3 +(−3) 2+ [ 3× ( − 1)) 2014 × ( − 1) 2
3 3 3
1 1
= +9+
27 9
4
=9 ．
27
12．（2020春·浙江杭州·七年级校考期中）回答下列问题：
（1）填空：
(a−b)(a+b)=___________________；
(a−b)(a2+ab+b2)=_____________________；
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=______________________．
（2）猜想：
(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)=___________________．（其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①210+29+28+27+⋯+23+22+2；
②210−29+28−27+⋯−23+22−2．
【思路点拨】
（1）利用多项式乘多项式运算法则对每个式子进行计算即可；
（2）根据（1）中的各个式子的规律，可以写出相应的猜想；
（3）利用（2）中的猜想，对算式进行变形即可解答本题．【解题过程】
解：(a−b)(a+b)=a2−b2；
(a−b)(a2+ab+b2)
=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3
=a3−b3；
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)
=a4+a3b+a2b2+ab3−a3b−a2b 2−ab3−b4
❑
=a4−b4；
故答案为：a2−b2；a3−b3；a4−b4；
（2）根据（1）中的规律，可得猜想：
(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)=an−bn（其中n为正整数，且n≥2），
故答案为：an−bn；
（3）①210+29+28+27+⋯+23+22+2
=210+29+28+27+⋯+23+22+2+1−1
=(2−1)(210+29×1+28×12+27×13+⋯+23×17+22×18+2×19+110 )−1
=211−1−1
=2048−1−1
=2046；
②210−29+28−27+⋯−23+22−2
=210−29+28−27+⋯−23+22−2+1−1
1
= ×[2−(−1)][210+29×(−1)+28×(−1) 2+27×(−1) 3+⋯+23×(−1) 7+22×(−1) 8+2×(−1) 9+(−1 ) 10 ]−1
3
1
= ×[211−(−1) 11 ]−1
3
1
= ×2049−1
3
=683−1
=682．
13．（2022春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①
则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②
②−①得，2S−S=S=22022−1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；
1 1 1
（2）求1+ + +⋅⋅⋅++ = ______；
2 22 250
（3）求(−2)+(−2) 2+⋅⋅⋅+(−2) 100的和；（请写出计算过程）
（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）
【思路点拨】
（1）根据阅读材料可得：设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）设s＝1+ + +⋅⋅⋅+ ①， s＝ + +⋅⋅⋅+ + ②，②−①即可得结果；
2 22 250 2 2 22 250 251
（3）设s＝(−2)+(−2) 2+⋅⋅⋅+(−2) 100①，-2s＝(−2) 2+(−2) 3+⋅⋅⋅+(−2) 101②，②−①即可得结果；
（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，②−①得as-s=-a-
a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+nan+1，同理：求得-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+1，进而即可求解．
【解题过程】
解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
1 1 1
（2）设s＝1+ + +⋅⋅⋅+ ①，
2 22 250
1 1 1 1 1
s＝ + +⋅⋅⋅+ + ②，
2 2 22 250 251
1 1 1
②−①得， s−s＝- s＝ -1，
2 2 251
1
∴s＝2- ，
2501
故答案为：2- ；
250
（3）设s＝(−2)+(−2) 2+⋅⋅⋅+(−2) 100①
-2s＝(−2) 2+(−2) 3+⋅⋅⋅+(−2) 101②
②−①得，-2s−s＝-3s＝(−2) 101 +2
2101−2
∴s＝ ；
3
（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，
as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，
②-①得：as-s=-a-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+nan+1，
设m=-a-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an ③，
am=-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+1 ④，
④-③得：am-m=a-an+1，
a−an+1
∴m= ，
a−1
a−an+1
∴as-s= +nan+1，
a−1
a−an+1 nan+1
∴s= + ．
(a−1) 2 a−1
14．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b．我们
叫(a,b)为“雅对”．
例如：因为23=8，所以(2,8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立．证明
如下：
设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5，故3m ⋅3n=3m+n=3×5=15，
则(3,15)=m+n，即(3,3)+(3,5)=(3,15)．
（1）根据上述规定，填空：(2,4)=_________；(5,1)=_________；(3,27)=_________．
（2）计算(5,2)+(5,7)=___________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：(2n,3n)=(2,3)，对于任意自然数n都成立．
【思路点拨】（1）由于22=4，50=1，33=27根据“雅对”的定义可得；
（2）设（5，2）=m，（5，7）=n，利用新定义得到5m=2，5n=7，根据同底数幂的乘法得到
5m•5n=5m
❑
+n=14，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）=m+n，从而得到
（5，2）+（5，7）=（5，14）；
（3）设：（2n，3n）=a，（2，3）=b，利用新定义得到（2n）a=3n，2b=3，根据幂的乘方得
到（2n）a=（2b）n，从而得到a=b，所以（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．
【解题过程】
（1）∵22=4 ，
∴(2,4)=2；
∵50=1，
∴(5,1)=0；
∵33=27 ，
∴(3,27)=3
故答案为：2；0；3；
（2）（5，2）+（5，7）=（5，14）；
理由如下：
设（5，2）=m，（5，7）=n，则5m=2，5n=7，
∴5m•5n=5m
❑
+n=2×7=14，
∵（5，14）=m+n，
∴（5，2）+（5，7）=（5，14）；
故答案为：（5，14）；
（3）设（2n，3n）=a，（2，3）=b，
∴（2n）a=3n，2b=3，
∴（2n）a=（2b）n，
即2an=2bn，
∴an=bn，
∴a=b，
即（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．
15．（2022春·江西抚州·七年级统考阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多
项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数
从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算(8x2+6x+1)÷(2x+1)，可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算.因此
(8x2+6x+1)÷(2x+1)=4x+1.
（1）(x3+4x2+5x−6)÷(x+2)的商是______，余式是______.
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4+4x3+ax2+8x−b能被x2−x+1整除，求ab值.
（3）已知一个长为(x+2)，宽为(x−2)的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，
此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为(x+10)，若长方形B的面积比C
的面积大76，求长方形C的另一边长.
【思路点拨】
（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）通过面积关系求长方形的边长．
【解题过程】
（1）解： 用竖式计算如下，的商是 ，余式是 ．
∴答案为： ， ．
（2）多项式 能被 整除，
则
∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．
∴a=-6，b=2．
∴ab=（-6）2=36．
（3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x．
长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴4x+2a+12=8x．
∴a=2x-6．
∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）=3x2+16x-64．
∴长方形C的面积为：3x2+16x-140．
∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．
∴长方形C的另一边长为：3x-14．
16．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到(a+b) 2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=
_____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸
片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则x+ y+z=_______．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG
和GE，若两正方形的边长满足a+b=12, ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
【思路点拨】
（1）由大正方形等于9个长方形面积的和；
（2）将所求式子转化为a2+b2+c2=(a+b+c) 2−(2ab+2bc+2ac)，代入已知条件即可；
（3）将式子化简为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，即可确定x、y、z的值；
（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积．
【解题过程】
解：（1）由图可知大正方形面积为(a+b+c) 2，大正方形由9个长方形组成，则有
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可得a2+b2+c2=(a+b+c) 2−(2ab+2bc+2ac)，
∵a+b+c=15，ab+ac+bc=35，
∴a2+b2+c2=225−2×35=155；
故答案为155；
（3）∵(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，
∴x=2，y=2，z=5，
∴x+ y+z=9；
故答案为9；
（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，
1 1 1 1 1 1
即a2+b2− a(a+b)− b2= a2+ b2− ab= [(a+b) 2−3ab]，
2 2 2 2 2 2
∵a+b=12，ab=20，
1 1
∴ [(a+b) 2−3ab]= (144−60)=42．
2 2
17．（2022秋·江苏常州·七年级校考期中）已知7张如图1所示的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按
图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的
阴影部分的面积的差为S．设BC=t．
（1）用a、b、t的代数式表示S= ___________ ．
（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？
（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长
为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则
当x+ y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、y的
值．【思路点拨】
（1）先用a、b、t分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可；
（2）根据差与BC无关即可求出a、b的关系；
（3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为7ab+xa2+ yb2=b2（21+9x+ y），根据正方形的面积可
得9x+ y+21是完全平方数，结合x、y为正整数即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：记左上角阴影部分的面积为S ，右下角阴影部分的面积为S ，
1 2
左上角阴影部分长方形的长为t−a，宽为3b，
∴S =3b（t−a）=3bt−3ab．
1
右下角阴影部分长方形的长为t−4b，宽为a，
∴S =a（t−4b）=at−4ab．
2
∴S=S −S =3bt−3ab−（at−4ab）
1 2
=3bt−3ab−at+4ab
=ab+（3b−a）t．
（2）解：当t的长度变化时，要使得S始终保持不变，即上面代数式的值与t无关，
∴3b−a=0，即a、b满足的关系是：a=3b．
（3）解：拼成的大正方形的面积为：7张边长为a，宽为b的矩形的面积+x张边长为a的正方形的面积+ y
张边长为b的正方形的面积，
∴拼成的大正方形的面积为：7ab+xa2+ yb2，
∵a=3b，
∴7ab+xa2+ yb2=7×3b×b+x×（3b）2+ yb2
=b2（21+9x+ y），
∵b2（21+9x+ y）是一个完全平方数，
∴9x+ y+21是完全平方数，而x、y都是正整数，
∴9x+ y+21⩾9+1+21=31，
当9x+ y+21=36时，x=1，y=6，此时x+ y=7，
当9x+ y+21=49时，x=3，y=1，此时x+ y=4；
或者x=2，y=10，此时x+ y=12；
或者x=1，y=19，此时x+ y=20．
当9x+ y+21取更大的完全平方数时，x+ y的值也变大，
故x+ y的最小值为4，此时拼成的大正方形的面积为49b2，则边长为7b，且x=3，y=1．18．（2022春·四川达州·七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进
行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图
中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表
示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一
个长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S ，S ，若
1 2
m=S −S ，求证：m与x无关．
1 2
【思路点拨】
（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S ＝S −4S ；②直接根据正方形EFGH的边长求正
阴影 大正方形 基本图形
方形EFGH的面积；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S ＝S正方形−4S ；
阴影 基本图形
（3）把S，S 分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S−S，即可证明m与x无关．
1 2 1 2
【解题过程】
（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S ＝（a＋b）2．
正方形
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S ＝(a＋b)2−4ab；
阴影
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a−b，
∴S ＝EH2＝(a−b)2；
阴影
∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，
∴S ＝MN −4ab＝(a＋b)2−4ab，
阴影 2
即S ＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2．
阴影
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b，
m＝S−S
1 2
＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b
＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2
＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2
＝3b2−ab
∴S与x无关．
19．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，4张长为x，宽为y（x＞y）的长方形纸片拼成一个
边长为（x＋y）的正方形ABCD．
x
（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求 的值；
y
x
（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求 的值；
y
（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m张正方形ABCD纸片和n张正方形EFHG纸
片（m，n为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m，n为何值时，拼成的大正
方形的边长最小？
【思路点拨】
（1）根据正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的3倍列等式可得：x=2y，从而得结论；
（2）先求得空白部分的面积，再利用面积差可得阴影部分的面积和，根据题意列方程求解，从而得结
论；
（3）根据题意可得出大的正方形面积为4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2，根据（2）中的结论x=2y，即大的正方形面积可化为(8+9m+n)y2，由题意可知因为大正方形的边长一定是b的整数倍，则8+9m+n是平方
数，因为m、n都是正整数，即8+9m+n最小是25，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：由题意得：4(x+y)=3×4(x-y)，
解得：x=2y，
x
∴ =2；
y
（2）解：如图，
空白部分的面积=S +2S +2S
正方形EFGH ΔAPB ΔPED
1 1
=(x−y) 2+2× y(x+ y)+2× xy
2 2
=x2+2y2，
阴影部分的面积和=正方形ABCD的面积-空白部分的面积
=(x+ y) 2−(x2+2y2 )
=2xy−y2，
由题意得：x2+2y2=2(2xy−y2 )，
整理得：(x−2y) 2=0，
解得：x=2y，
x
∴ =2；
y
（3）
解：由题意得：拼成一个大的正方形的面积=4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2，
由（2）知：x=2y，∴4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2
=4⋅2y⋅y+9m y2+n y2
=(8+9m+n)y2，
因为大正方形的边长一定是y的整数倍，
∴8+9m+n是平方数，
∵m，n都是正整数，
∴8+9m+n最小是25，即9m+n=17，
∴m=1，n=8，
此时4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2=(8+9m+n)y2=25 y2，
则m=1，n=8时，拼成的大正方形的边长最小．
20．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．
比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公
式：(a+b) 2=a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也
可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=__________；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片
拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+ y+z=______；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．【方法拓展】
（5）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形
面积来说明al+bm+cn<k2．
【思路点拨】
（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的
面积相等，即“等积法”得到等式．
（2）用（1）的结论变形后代入求值．
（3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值．
（4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大，
（5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn<k2．
【解题过程】
（1）解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b），
大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；
由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2，
大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），
当a+b+c=15，ab+ac+bc=35时，
a2+b2+c2=152-2×35=150；
故答案为：150
（3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，
∴长方形(2a+b)(a+2b)可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b
的长方形纸片拼成的大长方形，
∴x=1，y=2，z=5，
∴x+y+z=8；
故答案为：8
（4）解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，
∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），
∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴此时正方形的边长=a+b；
选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴此时正方形的边长=a+2b，
∵a+b＜a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b；
故答案为：a+2b；
（5）解：如图，
如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k，
在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c，
∵a+m=b+n=c+l=k，
∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l，
∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2，
∴al+bm+cn<k2．
