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专题 14.1 整式的乘法
【典例1】【知识回顾】有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5 y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式=(a+3)x−6 y+5，所以a+3=0，即a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知3[(2x+1)(x−1)−x(1−3 y))+6(−x2+xy−1)的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形
ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，左下角的面积为S
1 2
，当AB的长变化时，S -S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2
【思路点拨】
（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设AB=x，先求出S ,S ，从而可得S −S ，再根据“当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不
1 2 1 2 1 2
变”可知S −S 的值与x的值无关，由此即可得．
1 2
【解题过程】
解：（1）(2x−3)m+2m2−3x=2mx−3m+2m2−3x=(2m−3)x−3m+2m2，
∵关于x的多项式(2x−3)m+2m2−3x的值与x的取值无关，
∴2m−3=0，
3
解得m= ；
2
（2）令A=(2x+1)(x-1)-x(1-3 y)=2x2-2x+x-1-x+3xy=2x2+3xy-2x-1，
B=−x2+xy−1，
原式=3A+6B=3(2x2+3xy−2x−1)+6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6
=15xy−6x−9
=(15 y−6)x−9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15 y−6=0，
2
解得y= ；
5
（3）解：设AB=x，
由图可知，S =a(x−3b)=ax−3ab，S =2b(x−2a)=2bx−4ab，
1 2
则S −S =ax−3ab−(2bx−4ab)
1 2
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，
1 2
∴S −S 的值与x的值无关，
1 2
∴a−2b=0，
∴a=2b．
1．（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）已知a ，a ，a ，…，a 均为负数，则
1 2 3 2022，
M=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a ) N=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a )
1 2 3 2021 2 3 2022 1 2 3 2022 2 3 2021
，则M与N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M>N C．M0，
1 2022
即M>N．
故选：B．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）设x，y为任意有理数，定义运算：x∗y=(x+1)(y+1)−1，得到
下列五个结论：①x∗y= y∗x；②x∗y+z=x∗y+x∗z；③(x+1)∗(x−1)=x∗x−1；④x∗0=0
；⑤(x+1)∗(x+1)=x∗x+2∗x+1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答．
【解题过程】
解：∵x∗y=(x+1)(y+1)−1，
y∗x=(y+1)(x+1)−1，
∴x∗y= y∗x，
故①正确；
∵x∗y+z=(x+1)(y+1)−1+z=xy+x+ y+z，x∗y+x∗z=(x+1)(y+1)−1+(x+1)(z+1)−1=xy+x+ y+xz+x+z=xy+xz+2x+ y+z，
∴x∗y+z≠x∗y+x∗z，
故②错误；
∵(x+1)∗(x−1)=(x+1+1)(x−1+1)−1=(x+2)x−1=x2+2x−1．
x∗x−1=(x+1)(x+1)−1−1=x2+2x−1．
∴(x+1)∗(x−1)=x∗x−1，
故③正确；
∵x∗0=(x+1)(0+1)−1=x+1−1=x，
∴x∗0≠0，
故④错误；
∵(x+1)∗(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)−1=(x+2) 2−1=x2+4x+3，
x∗x+2∗x+1=(x+1)(x+1)−1+(2+1)(x+1)−1+1=(x+1) 2+3(x+1)−1=x2+5x+3．
∴(x+1)∗(x+1)≠x∗x+2∗x+1
故⑤错误．
综上所述，正确的个数为2．
故选：B．
x y z
3．（2022春·江苏·七年级专题练习）设x+ y+z=2020，且 = = ，则x3+ y3+z3−3xyz=
2019 2020 2021
（ ）
2020 2021
A．673 B． C． D．674
3 3
【思路点拨】
x y z
令 = = =a，可将x、z的值用y与a表示，利用x+ y+z=2020求出a的值，然后将所求
2019 2020 2021
的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【解题过程】
x y z
解：设 = = =a
2019 2020 2021{x=2019a,y=2020a,z=2021a
)
则 x= y−a
z= y+a
将x，y，z的值代入x+ y+z=2020可得：2019a+2020a+2021a=2020
1
解得：a=
3
∵x3=(y−a) 3=(y−a)(y2−2ay+a2 )= y3−3a y2+3a2y−a3
z3=(y+a) 3=(y+a)(y2+2ay+a2 )= y3+3a y2+3a2y+a3
3xyz=3 y(y−a)(y+a)=3 y(y2−a2 )=3 y3−3a2y
∴x3+ y3+z3−3xyz
=(y3−3a y2+3a2y−a3 )+ y3+(y3+3a y2+3a2y+a3 )−(3 y3−3a2y)
=9a2y
=9a2 ⋅2020a
1 3
=9×2020×( )
3
2020
=
3
故选：B.
4．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被
分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列
说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y−15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
【思路点拨】
①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大
长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B
的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算
公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的
相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代
入x=15可得出说法④错误．
【解题过程】
解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-
y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-
y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=
（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，则a，b，c，d的大小
______(用<号连接)．
【思路点拨】把a，b，c，d各数的指数转为相等，再比较底数即可．
【解题过程】
解：∵a=255=(25
)
11=3211，
b=344=(34
)
11=8111，
c=433=(43
)
11=6411，
d=522=(52
)
11=2511，
25<32<64<81，
∴2511<3211<6411<8111，
即db)的小长方形纸片，按
图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的
阴影部分的面积的差为S．设BC=t．
（1）用a、b、t的代数式表示S= ___________ ．
（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？
（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长
为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则
当x+ y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、y的
值．【思路点拨】
（1）先用a、b、t分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可；
（2）根据差与BC无关即可求出a、b的关系；
（3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为7ab+xa2+ yb2=b2（21+9x+ y），根据正方形的面积可
得9x+ y+21是完全平方数，结合x、y为正整数即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：记左上角阴影部分的面积为S ，右下角阴影部分的面积为S ，
1 2
左上角阴影部分长方形的长为t−a，宽为3b，
∴S =3b（t−a）=3bt−3ab．
1
右下角阴影部分长方形的长为t−4b，宽为a，
∴S =a（t−4b）=at−4ab．
2
∴S=S −S =3bt−3ab−（at−4ab）
1 2
=3bt−3ab−at+4ab
=ab+（3b−a）t．
（2）解：当t的长度变化时，要使得S始终保持不变，即上面代数式的值与t无关，
∴3b−a=0，即a、b满足的关系是：a=3b．
（3）解：拼成的大正方形的面积为：7张边长为a，宽为b的矩形的面积+x张边长为a的正方形的面积+ y
张边长为b的正方形的面积，
∴拼成的大正方形的面积为：7ab+xa2+ yb2，
∵a=3b，
∴7ab+xa2+ yb2=7×3b×b+x×（3b）2+ yb2
=b2（21+9x+ y），
∵b2（21+9x+ y）是一个完全平方数，
∴9x+ y+21是完全平方数，而x、y都是正整数，
∴9x+ y+21⩾9+1+21=31，
当9x+ y+21=36时，x=1，y=6，此时x+ y=7，
当9x+ y+21=49时，x=3，y=1，此时x+ y=4；
或者x=2，y=10，此时x+ y=12；
或者x=1，y=19，此时x+ y=20．
当9x+ y+21取更大的完全平方数时，x+ y的值也变大，
故x+ y的最小值为4，此时拼成的大正方形的面积为49b2，则边长为7b，且x=3，y=1．18．（2022春·四川达州·七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进
行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图
中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表
示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一
个长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S ，S ，若
1 2
m=S −S ，求证：m与x无关．
1 2
【思路点拨】
（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S ＝S −4S ；②直接根据正方形EFGH的边长求正
阴影 大正方形 基本图形
方形EFGH的面积；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S ＝S正方形−4S ；
阴影 基本图形
（3）把S，S 分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S−S，即可证明m与x无关．
1 2 1 2
【解题过程】
（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S ＝（a＋b）2．
正方形
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S ＝(a＋b)2−4ab；
阴影
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a−b，
∴S ＝EH2＝(a−b)2；
阴影
∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，
∴S ＝MN −4ab＝(a＋b)2−4ab，
阴影 2
即S ＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2．
阴影
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b，
m＝S−S
1 2
＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b
＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2
＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2
＝3b2−ab
∴S与x无关．
19．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，4张长为x，宽为y（x＞y）的长方形纸片拼成一个
边长为（x＋y）的正方形ABCD．
x
（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求 的值；
y
x
（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求 的值；
y
（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m张正方形ABCD纸片和n张正方形EFHG纸
片（m，n为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m，n为何值时，拼成的大正
方形的边长最小？
【思路点拨】
（1）根据正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的3倍列等式可得：x=2y，从而得结论；
（2）先求得空白部分的面积，再利用面积差可得阴影部分的面积和，根据题意列方程求解，从而得结
论；
（3）根据题意可得出大的正方形面积为4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2，根据（2）中的结论x=2y，即大的正方形面积可化为(8+9m+n)y2，由题意可知因为大正方形的边长一定是b的整数倍，则8+9m+n是平方
数，因为m、n都是正整数，即8+9m+n最小是25，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：由题意得：4(x+y)=3×4(x-y)，
解得：x=2y，
x
∴ =2；
y
（2）解：如图，
空白部分的面积=S +2S +2S
正方形EFGH ΔAPB ΔPED
1 1
=(x−y) 2+2× y(x+ y)+2× xy
2 2
=x2+2y2，
阴影部分的面积和=正方形ABCD的面积-空白部分的面积
=(x+ y) 2−(x2+2y2 )
=2xy−y2，
由题意得：x2+2y2=2(2xy−y2 )，
整理得：(x−2y) 2=0，
解得：x=2y，
x
∴ =2；
y
（3）
解：由题意得：拼成一个大的正方形的面积=4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2，
由（2）知：x=2y，∴4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2
=4⋅2y⋅y+9m y2+n y2
=(8+9m+n)y2，
因为大正方形的边长一定是y的整数倍，
∴8+9m+n是平方数，
∵m，n都是正整数，
∴8+9m+n最小是25，即9m+n=17，
∴m=1，n=8，
此时4xy+m(x+ y) 2+n(x−y) 2=(8+9m+n)y2=25 y2，
则m=1，n=8时，拼成的大正方形的边长最小．
20．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．
比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公
式：(a+b) 2=a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也
可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=__________；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片
拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+ y+z=______；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．【方法拓展】
（5）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形
面积来说明al+bm+cn
