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专题19.32 一次函数几何分类专题（平移问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，在 中， ，顶点O与原点重合，
，点B的坐标为 ，点C为边 的中点，将 向右平移，当点C的对应点 在直线
上时，点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南平顶山·二模）如图①，正方形 在直角坐标系中，其中 边在y轴上，其余各
边均与坐标轴平行，直线 沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直
线被正方形 的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图
②中b的值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
3．（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在x轴的正半轴上，，把 沿x轴向右平移得到 ，若点D恰好落在直线 上，则点E的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·一模）如图 ，在 中， ，直线 经过点 且垂直于 ．现将直线 以
的速度向右匀速平移，直至到达点 时停止运动，直线 与边 交于点 ，与边 （或 ）交于
点 ．设直线 移动的时间是 ， 的面积为 ，若 关于 的函数图象如图 所示，则
的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，点
在直线 ： 上．将正方形 沿 轴正方向向右平移 （ ）个单位长度后，点
恰好落在直线 上．则 的值为（ ）A．5 B． C． D．2
6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 沿
轴向右平移后得到 ，点 的对应点 在直线 上，则点 与其对应点 之间的距离（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，把 放在平面直角坐标系内，其中 ，
，点 、 的坐标分别为 、 ，将 沿 轴向右平移，当点 落在直线 上时，
线段 扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，点 在直线上．直线 分别交 轴， 轴于点 ， ．将正方形 沿 轴向下平移 个单位长度后，
点 恰好落在直线 上．则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
9．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，将直线 向下平移8个单位长度后，与直线
及x轴围成的 的面积是（ ）
A．25 B．28 C．30 D．35
10．（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且 ，以
、 为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为 ，将此矩形作为基本图形不断复制
和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为 ，则 的坐标为（ ）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，将直线 ： 沿y轴向上平移2
个单位长度后，得到新直线 ，则 直线与坐标轴围成的三角形面积是 ．
12．（14-15八年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴
上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过 秒该直线可
将□OABC的面积平分．
13．（22-23八年级下·河南许昌·期末）如图①，正方形 在直角坐标系中，其中 边在y轴上，
其余各边均与坐标轴平行，直线l： 经过点B，并沿y轴的正向以每秒1个单位的速度平移，在平移
的过程中，该直线被正方形 的边所截得的线段长为m（米），平移的时间为t（秒），m与t的函数
图象如图②所示，则图②中b的值为 ．
14．（2020·浙江·模拟预测）如图，已知点 ，点 ，在x轴上有两动点E，F，且 ，线段 在x轴上平移，当四边形 的周长取得最小值时，点E的坐标是 ．
15．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，
．给出如下定义：若点 先向上平移 个单位（若 ，即向下平移 个单位），再
向右平移3个单位后的对应点Q在 的内部或边上，则称点P为 的“平移关联点”．若直线
上的一点P是 的“平移关联点”，且 是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
16．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正方形 的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点
在直线 上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形 沿y轴向下平移 个单
位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为 ．
17．（2023·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ，点
的坐标为 ，若直线 沿 轴平移 个单位后与△ 仍有公共点，则 的取值范围是
．18．（2022·浙江·一模）如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边
作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E
三点共线时，点D恰好落在直线l上，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 向左平移3个
单位，向下平移1个单位后得到点D，直线 经过点D，与x轴交于点B．直线 沿y轴向下平移
6个单位后得到直线 ，直线 交y轴于点C．
（1）求直线 的关系式；
（2）求 的面积．20．（8分）（20-21八年级下·广西河池·期末）如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A
（3，0），将其图象向上平移2个单位后与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）图象经过点B和C的函数解析式为 ；
（3） OBC的面积为 ．
21．（10分）（2024·河北邯郸·二模）如图，直线 与 轴， 轴交于点 ，点 ，直线 与
轴， 轴交于点 ，点 ．
（1）求点 的坐标及直线 的解析式；
（2）点 在直线 上．
①直接写出直线 的解析式；
②若点 在 内部（含边界），求 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线 向上平移 个单位长度（ 为整数），直线 在第二象限恰
有4个整点，直接写出 的值．
22．（10分）（23-24八年级上·山东济南·期末）如图1，直线 分别与 ， 轴交于
，B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．
（1）分别求直线 和 的函数表达式；
（2）在线段 上是否存在点E，使 的面积为 ，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理
由．
（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点， 为腰在第一象限内作等腰直角三
角形 ，连接 并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它
的坐标；如果变化，请说明理由．
23．（10分）（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为直线 上一动点，若有 ，请求出点 的坐标；
（3）如图2，将直线 水平向左平移 个单位得直线 ，直线 与 轴交于点 ，连接 ，若
点 为平面内一动点，是否存在点 ，使得 ，若存在，请直接写出直线 与 轴
交点的坐标，若不存在，请说明理由．
图1 图2
24．（12分）（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线
与y轴交于点A，过 的直线 与直线 交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点D是第一象限位于直线 上的一动点，过点D作 轴交 于点H．当 时，
①求出点D的坐标；
②试在x轴上找一点E，在直线 上找一点F，使得 的周长最小，则周长的最小值为______；
（3）如图2，将直线 绕点A逆时针旋转 得到直线 ，点P是直线 上一点，到y轴的距离为2且
位于第一象限．直线 与x轴交于点M，与y轴交于点N，将 沿射线 方向平移 个单位，平
移后的 记为 ．
①点P的坐标为______，点 坐标为______．②在平面内是否存在一点Q，使得以点 ，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接
写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】
本题是一次函数综合题，涉及的知识包括坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质、平移的性质等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
先求得点 ， 的坐标，根据平移后纵坐标相等，求得 点的坐标，进而求得平移距离，即可求得点
的坐标．
解：过点 作 轴于点 ，过 作 于点 ，如图所示:则有 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点C为边 的中点，
，
将 向右平移， 纵坐标还是 ，
代入 ，
得 ，
解得
，
向右平移4个单位到
∴ 坐标为 ，
故选B．
2．C
【分析】
本题考查了动点问题的函数问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图，解决问题的关键
是掌握正方形的性质以及平移的性质．由直线解析式可知直线 与直线 平行，即直线 沿 轴的负方向平移时，同时经过 两点，再根据 的长即可得到 的值．
解：如图1，
直线 中，
令 ，则 ；令 ，则 ，
∴直线 与坐标轴围成的 为等腰直角三角形，
∴直线 与直线 平行，即直线 沿 轴的正方向平移时，同时经过 两点，
由图2可得，当 时，直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，直线 经过点 ，
∴当 时，直线 经过 两点，
∴ ，
∴等腰 中， ，
即当 时， ，
故选：C．
3．A
【分析】
本题考查了平移的性质，一次函数的性质．作 于点 ，求得 ，推出点D的纵坐标为
，再求得点D的横坐标，得到平移的距离，据此求解即可．
解：作 于点 ，∵点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴点B的坐标为 ，
∵把 沿x轴向右平移得到 ，
∴点D的纵坐标为 ，
∵点D恰好落在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴ 是 沿x轴向右平移 个长度单位，
∴点E的坐标为 ，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的知识点是动点问题的函数图象、勾股定理，解题关键是掌握如何从图像中获取信
息．
根据函数图像得到 的值及 的面积最大时 的值，再结合勾股定理即可求解．
解：依题得：直线 运动到点 停止，且当直线 运动到点 时， 的面积最大，
，且当 时， ，
，，
时， ，
中， ，
，
．
故选： ．
5．B
【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，根据“ ”定理证得 ，
，根据全等三角形的性质求出 点的坐标为 ，由待定系数法求出直线 的解析式为
，设平移后点 的坐标为 ，代入解析式即可求出 ．
解：过 作 于 ，过 作 于 ，如下图，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在直线 ： 上，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设正方形 沿 轴向右平移 个单位长度后点 的坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的应用、坐标与图形等
知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
6．D
【分析】本题考查平移的性质及正比例函数图像上点的坐标特征，根据点 在直线 上及平移性
质得出 坐标，根据平移的性质得出点 与其对应点 之间的距离等于点 与其对应点 之间的距离即可
得答案．正确得出点 坐标是解题关键．
解：∵ 沿 轴向右平移后得到 ，点 的坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∴点 与其对应点 之间的距离为 ，
∴点 与其对应点 之间的距离为 ．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平移的性质，勾股定理，平行四边形的面积等知识，明确
线段 扫过的面积为平行四边形的面积是解题关键．根据题意，线段 扫过的面积为平行四边形
的面积，先利用勾股定理求出 ，再根据平移的性质得到 ，即点 的纵坐标为4，进
而求出其横坐标为5，得到 ，从而得到 ，即可求出平行四边形面积得到答案．
解：如图所示，线段 扫过的面积为平行四边形 的面积，
点A、B的坐标分别为 、 ，
，
， ，
，
，
点 的纵坐标为4，
点 在直线 上，
，
解得： ，即 ，
，
，
即线段 扫过的面积为16，
故选：C．8．B
【分析】先待定系数法求出直线 的解析式，过 作 于点 ，过 作 于点 ，易证
，根据全等三角形的性质可得 和 的长，再证 ，易得点
坐标，再根据平移可得平移后的点 坐标，代入直线 解析式即可求出 的值．
解： 点 在直线 上，
，
，
直线 的解析式为 ，
过 作 于点 ，过 作 于点 ，如图所示：
则 ， ，
，
在正方形 中， ， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，，
，
同理可证 ，
， ，
，
，
正方形 沿 轴向下平移 个单位长度后，点 恰好落在直线 上，
设平移后点 的坐标为 ，
，
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移
的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线 向下平移8个单位长度后的
解析式，故可得出C点坐标，再由直线 得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角
形的面积公式即可得出结论．
解：∵直线 向下平移8个单位长度后的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
，
∵直线 中，当 时， ，
，
联立方程 ，解得 ，
，
．
故选：C．
10．B
【分析】利用函数解析式求出 的坐标，再分别求出 ， 的坐标，探究规律后解决问题．
解：在矩形中， ，即 ，
∴ ， ，代入 中，
得 ，解得： ，
∴ ， ，
， ，
， ，
，
， ，即 ， ．
故选B．
【点拨】本题考查规律型 点的坐标，矩形的性质平移，正比例函数的性质．
11．9
【分析】本题考查的是一次函数的几何应用，先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此
直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．
解：将直线 ： 沿y轴向上平移2个单位长度后，得到新直线
则 的解析式为： ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是 ．
故答案为：9．
12．3
【分析】若该直线可将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平
行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x＋1，
令y=0，2x+1=0，解得x=-
∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（− ，0）
设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b，
将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5，
令y=0，2x−5=0，解得x=
∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（ ，0），
∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（− ，0），
∴直线运动的距离为 ＋ ＝3，
∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线
将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
13．
【分析】由直线解析式可知直线l与直线 平行，即直线l沿y轴的正方向平移时，同时经过A，C
两点，再根据 的长即可得到b的值．解：如图1，直线 中，令 ，得 ；令 ，得 ，
即直线 与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，
∴直线l与直线 平行，即直线l沿y轴的正方向平移时，同时经过A，C两点，
由图2可得，当 时，直线l经过点A，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解
决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．
14．
【分析】欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确
定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴
的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数
法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．
解：如图，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的
对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（2，5），∴A′（1，5），∵B（-2，2），∴B′（-2，-2）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则 ，
解得 ．
∴直线A′B′的解析式为y= x+ ，
当y=0时， x+ =0，解得x=- ．
故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（- ，0）．
故答案为：（- ，0）．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段
最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．
15． 或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设 ，根据平
移规则，得到 ，进而得到点 在直线 上，根据 是等腰三角形，分 ，
两种情况讨论，求出 点坐标，进而求出 点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨
论的思想进行求解，是解题的关键．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，则： ，
∴点 在直线 上，
当 是等腰三角形，分两种情况：①当 时，过点 作 ，则： ，
∵ ，
∴ 两点重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，过点 作 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： 或 ．
16．【分析】先根据待定系数法求得 的解析式，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
证明 ，即可得到 的长，再证明 ，即可得到点 坐标，再根据平移可
得平移后的坐标，代入直线 ，即可解答．
解： 点 在直线 上，
，
，
直线解析式为 ，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ， ，
，
在正方形 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
，，
，
将正方形 沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上，
设平移后点 ，
，
解得 ，
故答案为：
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移
的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
17．
【分析】根据题意画出图形，求出点 的坐标，再求出过点 和点 且与直线 平行的直线
解析式，分别求出与 轴的交点坐标即可解决问题．
解：过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图，
，
根据勾股定理得， ，又
对于 ，当 时， ，
∴直线 与 轴的交点坐标为 ；
设过点 且与直线 平行的直线解析式为 ，
把 代入 ，得： ，
，
，
当 时， ，
∴直线 与 轴的交点坐标为
设过点 且与直线 平行的直线解析式为
把 代入 得： ，
，
当 时， ，与 轴的交点坐标为
∴直线 沿 轴平移 个单位后与 仍有公共点，则 的取值范围是
，即 ，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，含 度角的直角三角形的性质，一次函数图
像的平移，求出直线与 轴的交点坐标是解答本题的关键
18．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质和点B的坐标，求出点A的坐标，进而求出AB及直线AB的关
系式，再令y=0，求出点E的坐标，进而得出点D的坐标，即可求出直线CD的关系式，然后将两个直线
关系式联立求出点G的坐标，最后根据两点之间距离公式求出EG，即可得出答案．
解：∵△ABO是等腰直角三角形，且点B（2，2），
∴AO=4，
∴点A（0，4），
则 ，
解得 ．
设直线AB的关系式为y=kx+b，得
，
解得 ，
∴直线AB的关系式为y=-x+4．
当y=0时，x=4，
∴点E（4，0），
∴点D（4，4），
将点D坐标代入y=2x+b，
得4=8+b，解得b=-4，
∴所以直线CD的关系式为y=2x-4.
将两个直线关系式联立，得
，
解得 ，
则点G ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与一元二次方程的关系，两点之间
的距离公式，等腰直角三角形的性质等，求出点G的坐标是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，一次
函数图象上点的坐标特征；
（1）首先求得 ，然后根据待定系数法即可求得；
（2）设直线 与 轴的交点为 ，求得 ， ，然后根据 求得即可．
（1）解： 向左平移3个单位，向下平移1个单位后得到点 ，
，
直线 ： 经过点 ，
即 ，
直线 的解析式为 ；（2）设直线 与 轴的交点为 ，
，
， ，
直线 沿 轴向下平移 个单位后得到直线 ，直线 交 轴于点 ．
，
．
20．（1） ；（2） ；（3）12
【分析】（1）把A点坐标代入函数解析式中进行求解即可得到答案；
（2）根据平移的性质和（1）中的结论计算出平移后的函数解析式即可；
（3）根据（2）中求得的函数解析式，分别求出B、C两点的坐标，然后计算面积即可.
解：（1）将A（3，0）代入 ，
得： ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）∵直线BC是由直线 向上平移两个单位得到的，
∴直线BC的解析式为： ，
（3）∵B、C分别是直线 与y轴、x轴的交点，∴B点的坐标为（6，0），C点的坐标为（0，4），
∴OB=6，OC=4，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平移的性质以及三角形
的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（1） ， ；（2）① ；② ；③3．
【分析】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的求点的坐标
等，需要有解决一次函数的综合能力．
（1）令 ， ，得到点A的坐标为 ，利用 ，求得点C的坐标为 ，利用待
定系数法即可求解；
（2）①直接写出直线 的解析式即可；
②联立，分别求得直线 与 、 的交点坐标，据此即可求解；
③求得 ，当 、1、2 ，求得直线 在第二象限整点个数，即可求解．
（1）解：令 ，则
∴点 的坐标为 ，则 ．
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 坐标代入 ，得
∴直线 的解析式为 ；
（2）① 点 在直线 上，直线 的解析式为 ；
②令 ，则 ，令 ，则 ．
解方程组 ，
得
解方程组 得
∵点 在 内部（含边界），
的取值范围是 ；
③将直线 向上平移 个单位长度，则平移后的直线解析式为 ，
直线 在第二象限，则 ，
解得 ，当 为奇数时， 为整数．
当 时， ，则 可取 一个点；
当 时， ，则 可取 两个点；
当 时， ，则 可取 三个点；
当 时， ，则 可取 四个点．
∴ 的值为3．
22．（1）直线 的解析式为： ，直线 的解析式为 ；（2）存在，点E为
；（3） 点的位置不发生变化，
【分析】（1）利用待定系数法可求解；（2）由三角形的面积关系可求点E纵坐标，代入解析式可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ，即可求解．
（1）解： 直线 的解析式为： 且过点 ，
，
，
，
，
由已知得点D为 ，
设直线 为 ，则有 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：存在．理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
，
将 代入 得
∴点E为 ；
（3）解： 点的位置不发生变化．理由如下：
如图2中，过点 作 轴，设 ，，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角
三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（1） ；（2） 或 ；（3）存在，直线 与 轴的交点坐标为
或
【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含 角的直角三角形的特征、一次函数图象的平
移：
（1）当 时，得 ，进而可得 ，进而可得 ，再将 代入 即可
求解；
（2）联立方程组 ，解得 ，进而可得 ，过点 作 轴垂线交 于点 ，设 ，则 ，根据 得 ，进而
可求解；
（3）由（1）得： ，令 ，则 ，进而可得 ，可得 ，进而可得
，将直线 水平向左平移 个单位得直线 ，可得 ，再根据勾股定理得
，再利用直角三角形的特征得 ， ，则可得
，则直线 与 轴交点的坐标 ，直线 与 轴交于 ，当 时，
此时 ，进而可得 ，再根据勾股定理得 ，进而可求解；
熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）解：当 时， ，
解得： ，
，
，
，
，
将 代入 得： ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ．
（2）联立方程组： ，
解得： ，
∴ ，，
∴ ，
过点 作 轴垂线交 于点 ，如图：
设 ，则 ，
，
∴ ，
或 ，
∴ 或 ．
（3）存在，理由如下：
由（1）得： ，
令 ，则 ，
，
，
，
，
，
将直线 水平向左平移 个单位得直线 ，
，在 中，根据勾股定理得，
，
，
，
， ，
，
直线 与 轴交点的坐标 ，
如图：
直线 与 轴交于 ，
当 时，此时 ，
，
，
，
，
，
在 ，根据勾股定理得：
，
，
直线 与 轴的交点坐标为 ，综上所述，直线 与 轴的交点坐标为 或 ．
24．（1） ；（2）① ；② ；（3）①点 ，点 ；②点 的坐标为
或 或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①设点 的坐标为 ，则点 ，根据 列方程 ，解得 ，
即可求出 的坐标；②过点 作直线 的对称点 ，过点 作 轴的对称点 ，则点 ，连接
交直线 于点 ，交 轴于点 ，则点 、 为所求点，此时 的周长最小，进而求解；
（3）①由“ ”可证 ，可得 ， ，可得点 ，
可得求出直线 的表达式为 ，即可求解；②求出直线 的表达式为 ，再分
为对角线、 为对角线、 是对角线三种情况，利用中点坐标公式，分别求解即可．
（1）解：将点 的坐标代入直线 得： ，解得 ，故点 ，
设直线 的表达式为 ，将 、 代入得 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）解：①设点 的坐标为 ， 轴，
则点 ， ，解得 ，
点 、 ；
②过点 作直线 的对称点 ，如图所示：由直线 的表达式知，该直线和 坐标轴的夹角为 ，连接 ，则 为等腰直角三角形，则
，故点 ，
过点 作 轴的对称点 ，则点 ，连接 交直线 于点 ，交 轴于点 ，则点 、
为满足条件的点，此时 的周长最小，由图形的对称性知， ， ，则 的周长
为最小值，
由两点之间距离公式可得 ；
（3）解：①如图，点 的对应点 ， ，
直线 与 轴交于点 ，则点 ，
同理可得，点 、 的坐标分别为 、 ，则 ，
将直线 绕点 逆时针旋转 得到直线 ，则 ， ，
则点 的坐标为 ，
过点 作 轴于点 ，如图所示：， ，
，
， ，
，
， ，
点 ；
设直线 的表达式为 ，将 、 代入得 ，解得 ，
直线 的表达式为 ，
点 是直线 上一点，到 轴的距离为2且位于第一象限，
当 时， ，即点 ；
由（1）知，直线 ，
将 先向右平移 个单位、向上平移 个单位，相当于将 沿射线 方向平移 个
单位，
将 沿射线 方向平移 个单位，即向右平移了4个单位、向上平移了2个单位，
点 ；
②点 、 、 ，
设点 ，当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，且 ，解得 ，
即 ；
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，且 ，解得 ，即
；
当 是对角线时，由中点坐标公式得： ，且 ，解得 ，即
；
点 的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合运用，考查了待定系数法确定函数关系式，一次函数的性质，两点之间
距离公式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移、旋转与对称，中点坐标公式等知
识，综合性强，难度较大，熟练掌握一次函数图像与性质及相关几何知识是解决问题的关键．
