第08讲函数的单调性（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 08 讲 函数的单调性 【基础知识全通关】 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任 意两个自变量的值 ， 定义 当 时，都有 ， 当 时，都有 ， 那么就说函数 在区间 上是增 那么就说函数 在区间 上是减 函数 函数 图象 描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设 ， .若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义 若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同 的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数 的定义域． （3）“函数的单调区间是 ”与“函数在区间 上单调”是两个不同的概念，注意区 分，显然 . （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数 分别在 (－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋ ∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论 （1）若 均为区间A上的增(减)函数，则 也是区间A上的增(减)函 数； （2）若 ，则 与 的单调性相同；若 ，则 与 的单调性相 反； （3）函数 在公共定义域内与 ， 的单调性相 反； （4）函数 在公共定义域内与 的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单 调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ① 的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递 减；② （ ， ）的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减． 4．函数的最值 前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足 （1）对于任意的 ，都有 （3）对于任意的 ，都有 条件 ； ； （2）存在 ，使得 （4）存在 ，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最 值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 5、判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调 性时，应根据所给抽象关系式的特点，对 或 进行适当变形，进而比较出 与 的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函 数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异 减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． （5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调 性. 2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、 二次函数等基本初等函数的单调区间． 6、 函数单调性的应用 函数单调性的应用主要有： （1）由 的大小关系可以判断 与 的大小关系，也可以由 与 的大小关系判断出 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单 调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较. （2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值． （3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调 性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为 分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． （4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式 (组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内． 7、 函数最值的求解 1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区 间 上是增函数，则 在 上的最小值为 ，最大值为 ；若函数 在闭区间 上是减函数，则 在 上的最小值为 ，最大值为 . 2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值. 3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每 一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间 上最小值中的最小者作为分段函数的最小值. 4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法. 【知识拓展】 1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－， 0)，(0，]. 【考点研习一点通】 考点01 单调性的判定和证明 0, 1、下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ） x 1 y  A． y  x1 B． y  x2 1 C．  2   D．y log x 2 2.已知函数f(x)= ，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 考点02：求函数的单调区间 3.函数f(x)= 在（ ） A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减 4、函数 的单调递增区间是（ ） f(x)=√x2−2x−8 A. (−∞,−2] B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. [4,+∞) 考点03：利用单调性比较大小 5.设函数 满足 ，且 有 ，则（ ） A． B．C． D． 6、定义在实数集 上的函数 满足 ，且当 时， 是增函 数，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）. A． B． C． D． 考点04：利用单调性确定参数取值范围 x2 ax3a,x1 f x 7.若函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ）  2ax1,x1 R a  1   1  1 1   ，0 0， , ，         A． 3  B． 3 C． 3 D．3  8.【多选题】（2021·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知函数 ，若对任意的 [t，t+1]，不等式 恒成立，则整数t的取值可以是（ ） A． B．1 C．3 D．5 考点05：利用函数的单调性解决不等式问题 9.【多选题】已知函数 ，则下列x的范围满足不等式 的是（ ） A． B． C． D． 10、若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的 取值范围是（ ）A． B． C． D． 考点06：函数的单调性和最值（值域）问题 11.若函数 在区间 上的值域为 ，则 （ ） A．有最大值，但无最小值 B．既有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 12.已知 ， ，当 时， 恒成立，则 的最 小值是_____. 考点07：抽象函数的单调性问题 13.（2021·海南高三其他模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则关于 的不等式 （其中 ）的解集为（ ） A． B． 或 C． D． 或 14.设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且 当x>0时，00； (3)f(x)在R上是减函数．【考点易错】 易错01函数的单调性 1、 下列函数定义域为 且在定义域内单调递增的是 A． B． C． D． 易错02单调性的证明 2、已知函数 ，且 . （1）判断函数 在 上的单调性，并用定义法证明； （2）若 ，求 的取值范围. 3、定义在 上的函数 满足：对任意的 ， （ ），有 ，则 A． B． C． D． 4、已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ． （1）求 的值； （2）解不等式 . 易错03利用单调性求最值 5、已知函数 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实 数 的取值范围是 ． 6、已知函数 ，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值． 易错04：抽象函数的单调性问题 f(x) R 7.（2020·上海高三专题练习）函数 的定义域为 ，并满足以下条件：①对任意 1 f( )1 xR ，有 f(x)0；②对任意x,yR，有 f(xy)[f(x)]y ；③ 3 . f(0) （Ⅰ）求 的值； f(x) R （Ⅱ）求证： 在 上是单调增函数； a bc0 b2 ac f(a) f(c)2f(b) （Ⅲ）若 ，且 ，求证： .8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x) ＋f(y)－1，且f(4)＝5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m－2)≥3. 【巩固提升】 1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定 正确的是（ ） A．y= 在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数 C．y= 在R上为增函数 D．y= f(x)在R上为减函数 2.已知 ，那么 ( ) f (x)=1+2x−x2 g(x)=f [f (x)] A. 在区间(−2,1)上单调递增 B. 在(0,2)上单调递增 C. 在(−1,1)上单调递增 D. 在(1,2)上单调递增 3．下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 4.设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 5.下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是A． B．y= C． D． 6.设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则 A． B． C． D． 7.若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.下列函数中是增函数的为（ ） x 2 f x A． f xx B．  3   C． f x x2 D． f x 3 x 9.下列函数在其定义域上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 10.已知偶函数y=f(x)在区间 上是减函数，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D．11.已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣ m）+6m，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[ ，+∞） D．（﹣∞， ] 12.设函数 和 ，若两函数在区间 上的单调性相同，则把区间 叫做 的“稳定区间”.已知区间 为函数 的“稳定区 间”，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13.已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时，函数 的最小值为1，则 ______. 14.已知函数 ， ，则 的最小值是_______，最大值是 ________. 15.已知函数 . （1）若 ，解不等式 ； （2）若不等式 对 恒成立，求实数a的取值范围.