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2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.6线段的计算十二大核心考点精讲精练
【目标导航】【知识梳理】
1.直线、射线、线段的认识
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线
AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点
在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表
示，如：线段AB（或线段BA）．（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直
线外．
2.直线与线段的性质
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
（3）线段性质
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最
短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3.线段的比较与计算：
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画
条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
（4）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
4.角的概念：
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线
是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中
间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表
示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）
表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线
时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1 度=60 分，即 1°=60′，1 分=60 秒，即
1′=60″．
（5）角的单位的换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是 60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒
的运算时也应注意借位和进位的方法．
5.角的比较与计算：
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
1
则∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
2
（3）角的和差倍分计算：
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：
1
∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC= ∠AOB．
3
6.余角与补角：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余
角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补
角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它
们就具备相应的关系．【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2019秋•开远市期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD；
（3）数数看，此时图中线段的条数．
【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AC，线段BC，射线AB；
（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；
（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
【解析】（1）如图，直线AC，线段BC，射线AB即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）由题可得，图中线段的条数为6．
【变式1.1】（2022·山东·聊城市茌平区实验中学七年级阶段练习）如图，观察图形，下列说法正确的有（
）个
①直线AB和直线BA是同一条直线，②射线AC和射线AD是同一条射线，③AB+BD>AD，④三条直线
两两相交时一定有三个交点
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据直线的表示方法对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据线段的性质对③进
行判断；通过分类讨论对④进行判断．【详解】解：①直线AB和直线BA是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；
②射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；
③AB+BD＞AD，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；
④三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．
所以共有3个正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段相关知识，掌握线段、射线、直线的表示方法是解题的关键．
【变式1.2】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．直线AB与直线BA不是同一条直线 B．射线AB与射线BA是同一条射线
C．延长线段AB和延长线段BA的含义一样 D．线段AB与线段BA是同一条线段
【答案】D
【分析】根据直线、射线、线段的意义和表示方法进行判断即可．
【详解】解：A．直线AB与直线BA是同一条直线，因此A不正确，故A不符合题意；
B．射线AB与射线BA不是同一条射线，因此B不正确，故B不符合题意；
C．延长线段AB和延长线段BA的含义不一样，因此C不正确，故C不符合题意；
D．线段AB与线段BA是同一条线段，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查直线、射线、线段的意义，理解直线、射线、线段的意义是正确判断的前提．
【变式1.3】（2022·浙江·七年级专题练习）下列说法：①射线AB与射线BA是同一条射线；②线段AB是
直线AB的一部分；③延长线段AB到C，使AB=AC；④射线AB与射线BA的公共部分是线段AB．正确
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法进行判断即可．
【详解】①射线AB与射线BA不是同一条射线；故①错误；
②线段AB是直线AB的一部分；故②正确；
③延长线段AB到C，则AC>AB；故③错误；
④射线AB与射线BA的公共部分是线段AB；故④正确；
综上：正确的有②④，共两个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义和表示方法，熟练地掌握相关知识是解题的关键．注意射线是有方向的．
【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋•曹县校级期末模拟）如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小．
【分析】要使OM+ON的值最小，只需M、N、O三点共线即可．
【解析】∵两点之间线段最短，
∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，
∴连接MN．MN与a的交点O即为所求．
【变式2.1】（2022·陕西·西安市铁一中学七年级期中）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离；
②线段AB和线段BA表示同一条线段；
③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点
之间，线段最短；
④若AB=2CB，则点C是AB的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念判断即可．
【详解】解：连接两点之间的线段的长叫两点间的距离，故①不符合题意；
线段AB和线段BA表示同一条线段，正确，故②符合题意；
木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确
定一条直线，故③不符合题意；
若AB=2CB，点C可能在AB外，则点C不一定是AB的中点，故④不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念，正确理解定义是解题的关键．
【变式2.2】（2022·河南省实验中学七年级期中）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能
沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中不可用“两
点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【答案】A
【分析】①④根据“两点确定一条直线”解释，②③根据“两点之间，线段最短”解释．
【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
②两点之间，线段最短，减少了距离，符合题意；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，符合题意；
④属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段和直线的性质．解题的关键是掌握两点之间，线段最短；两点确定一条直线．
【变式2.3】（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端
之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（ ）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间的线段的长度叫做两点间的距离
【答案】C
【分析】由直线公理可以直接得出答案．
【详解】这样做的依据是：两点确定一条直线．
故选C
【点睛】本题考查直线公理，对公理的理解是解题的关键．
【考点3】线段的中点及计算问题
1
【例3】（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BC= AB，D为线段AC的中点，若BD＝2，
2
则线段AB的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
1 1 1
【分析】首先根据BC= AB，可得：BC= AC；然后根据：D为线段AC的中点，可得：CD= AC，所以
2 3 2
1
BD= AC，再根据BD＝2，求出AC的长度，即可求出AB的长是多少．
6
1
【解析】∵BC= AB，
2
1
∴BC= AC；
3
∵D为线段AC的中点，
1
∴CD= AC，
2
1
∴BD= AC，
6
∵BD＝2，
∴AC＝2×6＝12，
1 1
∴AB＝AD+BD= AC+BD= ×12+2＝8．
2 2
故选：C．
【变式3.1】（2022·河南省实验中学七年级期中）点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若
线段AB=18cm，则线段BD的长为（ ）
A．12cm B．15cm C．8cm或10cm D．12cm或15cm
【答案】D
【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解．
【详解】∵点C是线段AB的三等分点，
1
如图所示，当AC= AB时，
3
1 1
∴AC= AB= ×18=6cm
3 3∵点D是线段AC的中点
1 1
∴AD= AC= ×6=3cm
2 2
∴BD=AB−AD=18−3=15cm；
2
如图所示，当AC= AB时，
3
2 2
∴AC= AB= ×18=12cm
3 3
∵点D是线段AC的中点
1 1
∴AD= AC= ×12=6cm
2 2
∴BD=AB−AD=18−6=12cm；
综上所述，线段BD的长为15cm或12cm．
故选：D．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
【变式3.2】（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图，数轴上M，N，P，Q四点对应的数都是
整数，且M为线段NQ的中点，P为线段NM的中点．若点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且
b−2a=0，则数轴上的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D
【分析】由已知条件可知QN=2QM，因为点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且b−2a=0，依
此可得到数轴上的原点．
【详解】解：∵点M为线段NQ的中点，
∴QN=2QM，
∵点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且b−2a=0，
∴数轴上的原点是Q．
故选：D．
【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键
的一点．
【变式3.3】（2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校七年级阶段练习）如图，AB=12cm，C为AB的
中点，点D在线段AC上且AD:CB=1:3，则DB的长是（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm
【答案】B
【分析】根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD，结合图形计算即可．
【详解】解： AB=12cm，C为AB的中点，
∵1
∴AC=BC= AB=6cm，
2
∵AD:CB=1:3，
∴AD=2cm，
∴DC=AC−AD=4cm，
∴DB=DC+BC=10cm，
故选：B．
【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想．
【考点4】两点间的距离问题
【例4】（2019秋•昌平区期末）已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
（1）若AB＝8，AC＝2，求线段CD的长．
（2）若点E是线段AC的中点，直接写出线段DE和AB的数量关系是 A B ＝ 2D E ．
【分析】（1）根据点C在直线AB上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左侧，根据线段
的和与差可得结论；
（2）AB＝2DE，同（1）分两种情况：根据线段中点的定义可得结论．
【解析】（1）如图1，当C在点A右侧时，
∵AB＝8，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝6，∵D是线段BC的中点，
1
∴CD= BC=3；
2
如图2，当C在点A左侧时，
∵AB＝8，AC＝2，
∴BC＝AB+AC＝10，
∵D是线段BC的中点，
1
∴CD= BC=5；
2
综上所述，CD＝3或5；
（2）AB＝2DE，理由是：
如图3，当C在点A右侧时，
∵E是AC的中点，D是BC的中点，
∴AC＝2EC，BC＝2CD，
∴AB＝AC+BC＝2EC+2CD＝2ED；
如图4，当C在点A左侧时，
同理可得：AB＝BC﹣AC＝2CD﹣2CE＝2（CD﹣CE）＝2DE．
【变式4.1】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）已知A，B，C三点共线，线段AB=20cm，
BC=12cm，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（ ）
A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm
【答案】B
【分析】分情况讨论，当点C在线段AB的延长线上时，进行计算即可得，当点C在线段AB上时，进行计
算即可得．
【详解】解：如图所示，当点C在线段AB的延长线上时，∵AB=20cm，BC=12cm，
1 1
∴BM= AB=10cm，BN= BC=6cm，
2 2
∴MN=BM+BN=16（cm），
如图所示，当点C在线段AB上时，
∵AB=20cm，BC=12cm，
1 1
∴AM=BM= AB=10cm，CN=BN= BC=6cm，
2 2
∴CM=BC-BM=2（cm），
∴MN=CN-CM=4（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的表示线段的和差倍分，并分情况讨论．
【变式4.2】（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC
在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）
A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
【答案】C
【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出AN、AM的长，然后再根据线段之间的数量关系进
行计算，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵AC=16cm，
又∵AC的中点为N，
∴AN=8cm，
∵AB=10cm，
∵AB的中点为M，
∴AM=5cm，
∴MN=AN−AM=8−5=3cm．故选：C
【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．
【变式4.3】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若
1
AB=16，DE= AE，则线段EC的长（ ）
3
20
A．7 B． C．6 D．5
3
【答案】C
【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵点D为线段AB的中点，
1 1
∴AD＝BD＝ AB＝ ×16＝8，
2 2
1
∵AD＝AE＋DE，DE＝ AE，
3
1
∴AE＋ AE＝8，
3
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
1 1
∴CD＝ BD＝ ×8＝4，
2 2
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进
行求解是解决本题的关键．
【考点5】角的概念及表示
【例5】图中以O点为顶点的角有几个？以D点为顶点小于平角的角有几个？以E点为顶点的角有几个？试
用适当的方法来表示这些角．【分析】根据角的概念可直接求解．
【解析】图中以O点为顶点的角有：∠EOA，∠EOB，∠EOC，∠AOB，∠AOC，∠BOC，共6条；
以D点为顶点小于平角的角有：∠ODE，∠CDF，∠EDC，∠ODF，共4个；
以E点为顶点的角有：∠OEF，共1个．
【变式5.1】（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角
C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
【答案】C
【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表
示，由此可得结论．
【详解】解：A、∠1与∠AOB表示的是同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、∠α与∠COB是同一个角，故B说法正确，不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
【变式5.2】（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三
种方法表示同一个角的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．
【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本选项正确；
C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点
处的一个大写字母来记这个角．
【变式5.3】（2022·安徽·七年级）如下图，下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠1=∠β
C．图中共有两个角：∠1，∠β D．∠β表示∠AOC
【答案】A
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；
B．∠1=∠β不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．图中共有三个角：∠1，∠β，∠AOC，故选项错误，不符合题意；
D．∠β表示∠BOC，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键．
【考点6】度分秒的换算
【例6】（2019秋•郸城县校级期末模拟）（1）48°39′+67°31′（2）78°﹣47°34′56″
（3）22°16′×5；
（4）42°15′÷5．
【分析】（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）两个度数相减，度与度，分与分，秒与秒对应相加，不够，借1，即60再减；
（3）根据度分秒的乘法法则计算即可求解；
（4）根据度分秒的除法法则计算即可求解．
【解析】（1）48°39′+67°31′＝116°10′；
（2）78°﹣47°34′56″＝30°25′4″；
（3）22°16′×5＝111°20′；
（4）42°15′÷5＝8°27′．
【变式6.1】（2022·全国·七年级专题练习）若∠1=25°15'，∠2=25°13'30″，∠3=25.35°，则
（ ）
A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数
进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵∠1=25°15'，∠2=25°13'30″，∠3=25.35°=25°21'，
∴∠3>∠1>∠2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关
键．
【变式6.2】（2022·全国·七年级专题练习）下列角度换算错误的是（ ）
A．900″=0.25° B．10.6°=10°36″ C．1.5°=90' D．54°16'12″=54.27°
【答案】B
【分析】根据度、分、秒是60进制的数，逐项判断即可．
【详解】根据1∘=60'，1'=60″，有1∘=3600″，
A项，900″÷3600=0.25∘，故A项不符合题意；
B项，10.6°=10°36'，故B项符合题意；
C项，1.5∘×60=90'，故C项不符合题意；
D项，12″÷60=0.2'，16'+0.2'=16.2'÷60=0.27∘，即54∘16'12″=54.27∘，故D项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了角度的换算．掌握度、分、秒是60进制的数是解答本题的关键．
【变式6.3】（2022·全国·七年级单元测试）下列换算中，正确的是（ ）
A．23°12'36″=23.48° B．22.25°=22°15'
C．18°18'30″=18.183° D．47.11°=47°7'36″
【答案】B
【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A、∵1°=60′，
∴0.48°=28.8′，
∵1′=60″，
∴0.8′=48″，
∴23.48°=23°28′48″，故A不符合题意；
B、∵1°=60′，
∴0.25°=15′，
∴22.25°=22°15′，故B符合题意；
C、∵1°=60′，
∴0.183°=10.98′，
∵1′=60″，
∴0.98′=58.8″，
∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合题意；
D、∵1°=60′，
∴0.11°=6.6′，
∵1′=60″，
∴0.6′=36″，
∴47.11°=47°6′36″，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
【考点7】角的大小比较
【例7】（2019秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大
小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把∠A和∠B的度数化成度，再进行比较．
【解析】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：D．
【变式7.1】（2022·山东·莘县樱桃园镇中心初级中学七年级阶段练习）在∠AOB的内部任取一点C，作射
线OC，则一定存在（ ）
A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC
【答案】A
【分析】利用角的大小进行比较．
【详解】射线OC在 AOB的内部，那么 AOC在 AOB的内部，且有一公共边；
则一定存在 AOB＞∠AOC． ∠ ∠
故选：A．∠ ∠
【点睛】本题考查角的大小比较，解题关键是利用数形结合思想进行比较．
【变式7.2】（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的
家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15'，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应
该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，
你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C
【答案】B
【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将48°15′，48.3°，
48.15°的单位统一，再进行大小的比较．
(15)
【详解】解：∵∠A＝48°15′＝48°+ °＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°，
60
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大．
故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的单位转化，将三个角单位统一后再进行比较是解题关键．
【变式7.3】（2021·全国·七年级专题练习）如图，射线OC、OD分别在∠AOB的内部外部，下列各式中
错误的是（ ）．A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB
C．∠COD>∠AOD D．∠AOD>∠AOC
【答案】C
【分析】根据所给出的图形，再利用图形中角的和差关系，分别进行解答即可．
【详解】解：A、∵OD在∠AOB的外部，∴∠AOB＜∠AOD，正确；
B、∵OC在∠AOB的内部，∴∠BOC＜∠AOB，正确；
C、∵OC在∠AOD的内部，∴∠COD＜∠AOD，错误；
D、∵OC在∠AOD的内部，∴∠AOD＞∠AOC，正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，比较简单，主要培养了学生的推理能力．
【考点8】有关角平分线的计算问题
【例8】（2019秋•天心区期末）线段与角的计算．
2
（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB= AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
3
（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且
∠MON＝90°，求∠AOB的度数．
【分析】（1）先根据题意得出BC及AB的长，再根据中点的定义得出AE和AD的长，进而可得出结论；
（2）根据题意设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，再根据角平分线的定义以及∠MON
＝90°，即可求出∠AOB的度数．
2
【解析】（1）∵AC＝15cm，CB= AC，
32
∴CB= ×15＝10（cm），
3
∴AB＝15+10＝25（cm）．
∵D，E分别为AC，AB的中点，
1 1
∴AE＝BE= AB＝12.5cm，DC＝AD= AC＝7.5cm，
2 2
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）；
（2）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
又∵∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠AOB＝135°．
【变式8.1】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，
且∠COD=18°，则∠AOB的度数为（ ）
A．126° B．108° C．112° D．106°
【答案】B
【分析】设∠AOC＝x，则∠COB＝2x，根据角的和差关系，得∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x，根据角平分
1 3 3
线的定义，由OD平分∠AOB，得∠AOD＝ ∠AOB＝ x，从而得到∠COD＝∠AOD−∠AOC＝ x−x＝
2 2 2
18°，进而解决此题．
【详解】解：设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.
∴∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x.∵OD平分∠AOB，
1 3
∴∠AOD＝ ∠AOB＝ x．
2 2
3
∴∠COD＝∠AOD−∠AOC＝ x−x＝18°．
2
∴x＝36°．
∴∠AOB＝3x＝108°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系、
角平分线的定义是解决本题的关键．
【变式8.2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图，将一副三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，
若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（ ）
A．72° B．73° C．75° D．76°
【答案】A
【分析】先推出∠AOD+∠BOC=180°，结合∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出
∠COE的度数，利用∠DOE=∠COD-∠COE即可解答．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，
1
∴∠COE= ∠BOC=18°，
2∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算及数形结合的数学思想，根据图中的数量关系求出
∠BOC=36°是解答本题的关键．
【变式8.3】（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，
OC 是∠AOC的平分线，OC 是∠AOC 的平分线，OC 是∠AOC 的平分线， 则2021∠AOC
1 2 1 n n−1 2021
与2022∠AOC 大小关系是（ ）
2022
A．= B．＜ C．＞ D．无法确定
【答案】C
1 1 1
【分析】根据角平分线的性质可得∠AOC= ∠AOB= x∘ ，∠AOC = ∠AOC，
2 2 1 2
1 1 1
∠AOC = ∠AOC ，进而可得∠AOC = ∠AOC ，即有∠AOC = ∠AOC ，据此即可
2 2 1 n−1 2 n−2 n 2 n−1
作答．
【详解】∵OC平分∠AOB，∠AOB=x∘，
1 1
∴∠AOC= ∠AOB= x∘ ，
2 2
∵OC 平分∠AOC，
1
∴∠AOC =
1
∠AOC=
1
×
1
x∘=
(1) 2
x∘，
1 2 2 2 2
∵OC 平分∠AOC ，
2 1
∴∠AOC =
1
∠AOC =
1
×
1
×
1
x∘=
(1) 3
x∘，
2 2 1 2 2 2 2
1
依次类推可知：∠AOC = ∠AOC ，
n−1 2 n−2
1
∴可知∠AOC = ∠AOC ，
n 2 n−1
1
∴∠AOC = ∠AOC ，
2022 2 20211
∴2022∠AOC = ∠AOC ×2022=1011∠AOC ，
2022 2 2021 2021
∵根据题意可知∠AOC ＞0，
2021
∴2022∠AOC =1011∠AOC ＜2021∠AOC ，
2022 2021 2021
即有：2021∠AOC ＞2022∠AOC ，
2021 2022
故选：C．
1
【点睛】本题主要考查了图形规律的探索，依据角平分线的性质推导出∠AOC = ∠AOC 是解答
2022 2 2021
本题的关键．
【考点9】方向角问题
【例9】（2020春•长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，
OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对
于小明家的位置．
【分析】（1）由点C为OP的中点，可得出OC＝2km，结合OA＝2km，即可得出距小明家距离相同的是
学校和公园；
（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．
【解析】（1）因为点C为OP的中点，
所以OC＝2km，
因为OA＝2km，
所以可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）由图可知，学校在小明家东偏北45°方向2km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5km处，停车
场在东偏南30°方向4km处．【变式9.1】（2021·贵州毕节·七年级期末）若∠α的补角与∠β的余角相等，则∠α−∠β等于（ ）
A．90° B．60° C．180° D．270°
【答案】A
【分析】根据余角与补角的定义求解即可：如果两个角的度数之和为90度，则这两个角互余，如果两个角
的度数之和为180度，则这两个角互补．
【详解】解：由题意得：180°-∠α=90°-∠β，
∴∠α-∠β=180°-90°=90°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角与补角，熟知二者的定义是解题的关键．
【变式9.2】（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，轮船
B位于南偏东17°的方向，求∠AOB的度数．
【答案】∠AOB=141°．
【分析】先求出56°的余角为34°，然后再加上90°与17°的和即可解答．
【详解】解：由题意得：
AO与东西方向所夹锐角为：90°-56°=34°，
∴∠AOB=34°+90°+17°=141°．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
【变式9.3】（2022·安徽·七年级）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东
76°，已知图中∠BOC=122°．(1)求∠AOB的度数；
(2)写出射线OC的方向．
【答案】(1)32°
(2)北偏西46°
【分析】（1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案；
（2）根据角的和差关系求出∠NOC即可．
【详解】（1）解：如图，
射线OA表示的方向是北偏东44°，即∠NOA=44°，
射线OB表示的方向是北偏东76°，即∠NOB=76°，
∴∠AOB=∠NOB−∠NOA=76°−44°=32°，
即∠AOB=32°；
（2）解：∵∠BOC=122°，∠NOB=76°，
∴∠NOC=∠BOC−∠NOB，
=122°−76°，
=46°，∴射线OC的方向为北偏西46°．
【点睛】本题考查方向角，解题的关键是理解方向角的定义以及角的和差关系．
【考点10】基本作图
【例10】读下列语句，并画出图形．（每题3分，共12分）
（1）任意画A、O两点，作射线OA．
（2）点A在直线l上，点B在直线l外．
（3）画线段AB＝4cm，并找出它的中点C．
（4）直线l与直线AB交于O点．
【分析】（1）以O为端点，画射线OA；
（2）过点A画直线，点B在直线l外；
（3）利用AC＝BC＝2cm即可解决问题；
（4）过O点作直线l与直线AB相交．
【解析】
（1） 射线OA就是所求作的射线．
（2）
（3）
（4）
【变式10.1】（2022·重庆市璧山区正兴初级中学校七年级期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，利
用尺规，按下列要求作图并作答．
(1)画射线BC，连接线段BD交线段AC于点E；
(2)在射线BC上求作一点F，使BF=2BC−AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）根据射线、线段的定义画图即可；
（2）以点C为圆心，以BC为半径画弧，交BC的延长线于点G，以点G为圆心，以AC为圆心画弧，交线
段BG于点F，则点F即为所求的点.
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，点F即为所求.
【点睛】本题考查了线段、射线的作图，以及尺规作图-线段的和差，理解线段、射线的特征和线段和差的
定义是解答本题的关键.
【变式10.2】（2022·重庆南开中学七年级开学考试）尺规作图：如图，已知平面上有四个点
A，B，C，D．
(1)作射线AB，作直线CD与射线AB交于点E；
(2)在射线AB上作一点F，使得AF=DE−CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出射线AB，直线CD与与射线AB交于点E；
（2）在射线AG上截取AG=DE，在线段GA上截取GF =CD，则AF即为所求．【详解】（1）解：如图所示，画出射线AB，直线CD与与射线AB交于点E，
（2）解：如图所示，在射线AG上截取AG=DE，在线段GA上截取GF =CD，则AF=DE−CD，
AF即为所求，
【点睛】本题考查了画射线，直线，线段，线段的和差，掌握基本作图是解题的关键．
【变式10.3】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）如图，平面上有四个点A、B、C、D，
根据下列语句画图
(1)直线CD；
(2)画射线AB；
(3)连接BC、AD；
(4)在平面内找一点O，使点O到A、B、C、D四个点的距离和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题意，画出直线CD即可；
（2）根据题意，画出射线AB即可；（3）根据题意，画出线段BC、AD AB即可；
（4）根据两间之间，线段最短，点O即为线段BC、AD的交点，即可．
（1）
解：如图，直线CD即为所求；
（2）
解：如图，射线AB即为所求；
（3）
解：如图，线段BC、AD即为所求；
（4）
解：如图，接BC、AD交于点O，则点O即为所求．
【点睛】本题考查了作图画直线，射线，线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用
【例11】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段
BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
2
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝ m （用含m的代数式表示）；
3
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理
由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小
关系，并说明理由．
【分析】（1）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；
（2）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；
（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．
【解析】（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，2 2
∴CQ= AC，CP= BC，
3 3
∵点C恰好在线段AB中点，
1
∴AC＝BC= AB，
2
∵AB＝m（m为常数），
2 2 2 1 2 1 2 2
∴PQ＝CQ+CP= AC+ BC= × AB+ × AB= AB= m；
3 3 3 2 3 2 3 3
2
故答案为： m；
3
（2） 点C在线段AB上：
∵CQ＝①2AQ，CP＝2BP，
2 2
∴CQ= AC，CP= BC，
3 3
∵AB＝m（m为常数），
2 2 2 2 2
∴PQ＝CQ+CP= AC+ BC= ×（AC+BC）= AB= m；
3 3 3 3 3
点C在线段BA的延长线上：
②∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
2 2
∴CQ= AC，CP= BC，
3 3
∵AB＝m（m为常数），
2 2 2 2 2
∴PQ＝CP﹣CQ= BC− AC= ×（BC﹣AC）= AB= m；
3 3 3 3 3
点C在线段AB的延长线上：
③∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
2 2
∴CQ= AC，CP= BC，
3 3
∵AB＝m（m为常数），
2 2 2 2 2
∴PQ＝CQ﹣CP= AC− BC= ×（AC﹣BC）= AB= m；
3 3 3 3 3
2
故PQ是一个常数，即是常数 m；
3
（3）如图：∵CQ＝2AQ，
∴2AP+CQ﹣2PQ
＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）
＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ
＝CQ﹣2AQ
＝2AQ﹣2AQ
＝0，
∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．
【变式11.1】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式(a+10)x3+20x2-5x+3是关于x的二次多项式，
且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
3
(2)若数轴上有一点C，使得AC= BC，点M为AB的中点，求MC的长；
2
5
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以 个单位每
6
秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的
1
中点，点E在线段GB上且GE= GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
3
【答案】(1)-10，20，30；(2)3或75；
25
(3) ．
2
【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减
可得结论；
5
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：−10+t，点H表示的数为：20+ t，
6
1
根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG= BG得EG的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离
3
可得DE和DF的长，相加可得结论．
【详解】（1）解：由题意知：a+10=0，b=20，
∴a=−10，
∴AB的距离为20−(−10)=30；
故答案为：−10，20，30；
（2）分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
3
∵AC= BC，AB=30，
2
∴AC=18，
∵M是AB的中点，
∴AM=15，
∴CM=18−15=3；
②当点C在点B的右侧时，如图2，
3
∵AC= BC，AB=30，
2∴AC=90，
∵AM=15，
∴CM=90−15=75；
综上，CM的长是3或75；
5
（3）由题意得：点G表示的数为：：−10+t，点H表示的数为：20+ t，
6
∵t<30，AB=30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG的中点，
20+(−10+t) 1
∴点D表示的数为： = 5+ t，
2 2
∵F是DH的中点，
1 5
5+ t+20+ t
∴点F表示的数为： 2 6 75+4t ，
=
2 6
∵BG=20−(10+t)=30−t，
1
∵EG= BG，
3
30−t 1
∴EG= = 10− t，
3 3
1 2
∴点E表示的数为： −10+t+10− t = t，
3 3
1 2 75+4t 1 25
∴DE+DF=(5+ t)− t+ −(5+ t) = ．
2 3 6 2 2
【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点
的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．
【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，
若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数
轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动
点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时
停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的
所有可能值．
【答案】(1)是
(2)10或0或20
15 60 90 45
(3)t= ；t=6；t= ；t=12；t= ；t=
2 7 7 4
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即
可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP,AQ,PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求
出t的值．
【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20,BC=40−x,AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2(x+20)，解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40−x=2(x+20)，解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2(40−x)，解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得AP=2t,AQ=60−4t,PQ=¿，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
15
①当AQ=2AP时，60−4t=2×2t，解得，t= ，
2
②当PQ=2AP时，60−6t=2×2t，解得，t=6；60
③当AP=2PQ时，2t=2(60−6t)，解得，t= ；
7
15 60
综上，运动时间t(s)的所有可能值有t= ；t=6；t= ；
2 7
（ii）、若10
