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专题4.33 几何图形初步（知识点分类专题）
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、线段、射线、直线➽➼联系区别✭ ✭ 作图
1．下列说法正确的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线
C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短
2．下列说法中正确的是（ ）
A．画一条2厘米长的射线 B．画一条2厘米长的直线
C．画一条3厘米长的线段 D．在线段、射线、直线中，直线最长
知识点二、线段、射线、直线➽➼线段的和差✭✭线段作图
3．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如
图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射
线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（ ）
A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①⑧②
4．如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10， ，设CD＝t，则
方程 的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
知识点三、线段、射线、直线➽➼数量✭✭交点个数
5．我们知道过平面上两点可以画一条直线，过平面上3点最多可以画3条直线，过平
面上4点最多可以画6条直线，过平面上5点最多可以画10条直线．如果平面上有6个点，
且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以画多少条直线？（ ）
A．15 B．21 C．30 D．35
6．2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有
多少个交点？（ ）A． B． C． D．
知识点四、线段、射线、直线➽➼中点的理解✭✭单（多）中点计算
7．如图所示，点M，N是线段AB上的两个点，且M是AB的中点，N是MB的中点，
若AB＝a，NB＝b，下列结论：①AM＝ a②AN＝a﹣b③MN＝ a﹣b④MN＝ a．其中正
确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，点N为线段AM上一点，线段 ．第一次操作：分别取线段AM和
AN的中点 ， ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三次操作：
分别取线段 和 的中点 ， ；……连续这样操作，则第十次操作所取两个中点
形成的线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
知识点五、线段、射线、直线➽➼两点之间距离✭✭最短路径
9．如图，已知 和 的公共部分 ，线段 的中点 之间
的距离是 ，则 的长是（ ） ．
A．6 B．8 C．10 D．12
10．在 中， ， ， 于 点，且 ，若 点在边
上移动，则 的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
知识点六、线段、射线、直线➽➼两个公理➼➻直线公理✮✮线段公理
11．下列说法不正确的是（ ）A．画一条5cm长的线段 B．射线AB与射线BA是同一条射线
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
12．下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；
②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④ 连
结两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因
为两点确定一条直线．其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点七、角➽➼角的定义✮✮角的表示
13．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形
B．在角一边延长线上取一点
C．角的边越长，角越大
D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
14．下列四个图中，能用 、 、 三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点八、角➽➼角的分类✮✮角的比较
15．若 为钝角， 为锐角，则 是（ ）
A．钝角 B．锐角
C．直角 D．都有可能
16．如图所示，点A、O、E在一条直线上， ，那么下列各式中
错误的是（ ）
A． B．C． D．
知识点九、角➽➼钟面角✮✮方位角
17．钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（ ）
A． B． C． D．
18．下列图形中，表示南偏东60°的射线是（ ）
A． B． C． D．
知识点十、角➽➼角的单位✮✮四则运算
19．如图，OC是 的平分线， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．计算： 的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点十一、角➽➼三角板中的角➻➸角的运算
21．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一
平面内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）
A．∠BOA＞∠DOC B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180° D．∠BOC≠∠DOA
22．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在
同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个
数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点十二、角➽➼几何图形✮✮实际问题➻➸角的计算
23．已知 ， ，则 （ ）
A．15° B．105° C．15°或105° D．无法确定
24．入射光线和平面镜的夹角为 ，转动平面镜，使入射角减小 ，反射光线与入
射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小 B．减小 C．减小 D．不变
知识点十三、角➽➼单（多）角平分线✮✮角（多）平分线中角的运算
25．如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠后，点 C 落在点 E 处，BE
交 AD 于点 F，再将△DEF 沿 DF 折叠后，点 E 落在点 G 处，若 DG 刚好平分
∠ADB，则∠BDC 的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
26．如图，∠AOB＝ ∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（ ）①∠BOC＝ ∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝ ∠BOA；④∠COD＝
3∠COB．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
知识点十四、角➽➼余角✮✮补角
27．如图， 是一条直线， ，图中互补的角有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
28．一个角的补角为 ，则这个角的余角为（ ）
A． B． C． D．
知识点十五、角➽➼对顶角✮✮邻补角
29．如图，A、O、B在一条直线上，∠1+∠2=90°，∠COD=90°，则图中互补的角有
（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
30．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC =75°，OE把∠BOD分成两部分，且
∠BOE：∠EOD=1：2，则∠AOE等于（ ）A．130° B．150° C．155° D．160°
知识点十六、角➽➼平行✮✮垂直
31．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内， ， ， 是直线，且 ，则
B．在同一平面内， ， ， 是直线，且 ， ，则
C．在同一平面内， ， ， 是直线，且 ，则
D．在同一平面内， ， ， 是直线，且， 则
32．如图，在△ABC中，∠C＝90 ，D是边BC上一点，且∠ADC＝60 ，那么下列
说法中错误的是（ ）
A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距
离
知识点十七、角➽➼垂直段最短✮✮最值
33．如图， ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，
连PC，则线段P△C的最小值是( )．
A．6 B．2.4 C．8 D．4.8
34．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
二、填空题
知识点一、线段、射线、直线➽➼联系区别✭✭作图
35．下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；
④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；
其中错误的有_________(填序号)
36．下图中共有线段_____ 条 .
知识点二、线段、射线、直线➽➼线段的和差✭✭线段作图
37．如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，A′B′和AB的大小关系是_____．
38．若点A、B、C在一条直线上，且 ， ，则线段 的长为
_________．
知识点三、线段、射线、直线➽➼数量✭✭交点个数
39．经过平面内A、B、C、D四点中的每两点作一条直线，可以做_____________条直
线．40．平面内有n条直线 ，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少
可以得到b个交点，则 ________．
知识点四、线段、射线、直线➽➼中点的理解✭✭单（多）中点计算
41．如图，点 ，点 在线段 上，点 ，点 分别为 ， 的中点．若
， ，则 的长为________．
42．已知：线段AC和BC在同一直线上，如果AC＝10cm，BC＝6cm，D为AC的中
点，E为BC的中点，则DE＝______．
知识点五、线段、射线、直线➽➼两点之间距离✭✭最短路径
43．已知两根木条，一根长 ，一根长 ，将它们的一端重合，放在同一条直
线上，此时两根木条的中点间的距离是_________ ．
44．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两
个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改
造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之
和最小，则这个最小值为_________千米．
知识点六、线段、射线、直线➽➼两个公理➼➻直线公理✮✮线段公理
45．平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直
线，则一共可以画出的直线条数是________．
46．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．
且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 _____cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 _____cm．知识点七、角➽➼角的定义✮✮角的表示
47．如图，在从同一点出发的七条射线 、 、 、 、 、 、 组成
的图形中，共有_____ 个锐角．
48．请将∠ABE，∠1，∠2，∠3用不同方法表示出来，填入下表：
∠ABE
∠1 ∠2 ∠3
知识点八、角➽➼角的分类✮✮角的比较
49．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有___个，它们的度数之和是____．
50．计算：70°39′=______°；比较大小:52°52′_____52.52°.(选填“＞”、“＜”或“=”)
知识点九、角➽➼钟面角✮✮方位角
51．小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为________度．
52．如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是______．
知识点十、角➽➼角的单位✮✮四则运算
53．将25.2º用度、分表示为_______．
54．计算： ______．
知识点十一、角➽➼三角板中的角➻➸角的运算
55．如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内
自由转动），给出以下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中不正确的是_________．（写出序号）
56．如图，将一个三角板 角的顶点与另一个三角的直角顶点重合， ，
__ ．知识点十二、角➽➼几何图形✮✮实际问题➻➸角的计算
57．如图，∠AOB＝75°，∠BOC＝15°，OD是∠AOC的平分线，则∠BOD的度数为
______．
58．钟表上2点15分时，时针与分针的夹角为________度．
知识点十三、角➽➼单（多）角平分线✮✮角（多）平分线中角的运算
59．如图，∠COD在∠AOB的内部，且 ，若将∠COD绕点O顺时针旋
转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间
满足的数量关系是 _____．
60．已知 ，若 ，则 的度数是__________．
知识点十四、角➽➼余角✮✮补角
61．一个角的余角比它的补角的 还少2°，则这个角的度数是_______．
62．如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD=3∠AOC，则∠AOD的度数为
______________________．知识点十五、角➽➼对顶角✮✮邻补角
63．如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠COE的度数
为_____度．
64．已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD |＝30°，∠COE
的度数=____．
知识点十六、角➽➼平行✮✮垂直
65．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂
直，则另一个角的度数是___________．
66．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝2：3，
则∠AOD＝______．
知识点十七、角➽➼垂直段最短✮✮最值
67．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，
∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．
68．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC
上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．参考答案
1．A
【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、
B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可．
解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同
一条直线；故A正确．
B、过一点P可以作无数条直线；故B错误．
C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；
故C错误．
D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误．
故选：A．
【点拨】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区
分直线与射线的不同点．
2．C
【分析】直线是向两端无线延长；射线是过一点朝着一个方向无线延长；直线上两点
和它们之间的部分叫做线段，依据直线、射线、线段的概念，即可得出结论．
解：A．因为射线的长度无法度量，画一条2厘米长的射线说法错误，故本选项错误；
B．因为直线的长度无法度量，画一条2厘米长的直线说法错误，故本选项错误；
C．线段是直线上两点间的部分，可以度量，画一条3厘米长的线段说法正确，故本
选项正确；D．因为直线、射线无法度量，因此在线段、射线、直线中，直线最长说法错误故本
选项错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，明确直线、射线、线段的区别是
解决问题的关键．
3．B
【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段
CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b．
解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝
a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋
b；
故选：B．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4．D
【分析】先根据线段的和差运算求出t的值，再代入，解一元一次方程即可得．
解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，
AB＝AC+CD+BD，
AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC＝ AB，设CD＝t，
∴10+2t＝ (10+t)，
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入 ，得
3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，
3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，
﹣2x＝﹣8，
x＝4．故选：D．
【点拨】此题考查了线段的和差、一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握方程
的解法．
5．A
【分析】根据图示的规律用代数式表示即可．
解：根据图形得：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线．
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画
1+2+3+…+n-1= 条直线．
当n=6时， =15．
即：最多可以画15条直线．
故选：A．
【点拨】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的
规律．
6．A
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4
条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线
相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，
交点最多有 ．
解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；
…∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；
6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；
7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；
n条直线相交，交点最多有 ．
故选A．
【点拨】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线
相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键．
7．D
【分析】根据线段的中点定义可得AM＝MB＝ AB，BN＝NM＝ BM，再根据线段之
间的和差关系列出等式即可．
解：∵M是线段AB的中点，
∴AM＝MB＝ AB＝ a，故①正确；
AN＝AB﹣BN＝a﹣b，故②正确；
MN＝MB﹣NB＝ AB﹣BN＝ a﹣b，故③正确；
∵M是线段AB的中点，N是AM的中点，
∴AM＝BM＝ AB＝ a，MN＝ MB＝ × a＝ a，故④正确；
故选：D．
【点拨】本题考查线段中点的有关计算．能结合图形正确分析得出线段之间的和差关
系是解题关键．
8．A
【分析】根据线段中点定义先求出MN 的长度，再由MN 的长度求出MN 的长度，
1 1 1 1 2 2
再由MN 的长度求出MN 的长度，从而找到规律，即可求出MnNn的结果．
2 2 2 2
解：∵线段MN=20，线段AM和AN的中点M，N ，
1 1
∴MN =AM-AN
1 1 1 1
∵线段AM 和AN 的中点M，N ；
1 1 2 2
∴MN =AM-AN
2 2 2 2∵线段AM 和AN 的中点M，N ；
2 2 3 3
∴MN =AM-AN
3 3 3 3
.......
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了与线段中点有关的线段的和差，根据线段中点的定义得出
是解题关键．
9．D
【分析】设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，由中点的定义可得EF＝ （3x＋4x）＝
10，即可求解x值，进而可求得AB的长．
解：设BD＝x，
∵BD＝ AB＝ CD，
∴AB＝3x，CD＝4x，
∵线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，
∴EF＝BE＋BF＝ AB＋ CD−BD＝ （AB＋CD）−BD＝ （3x＋4x）−x＝10cm，
解得x＝4，
∴AB＝3x＝12（cm）．
故选：D．
【点拨】本题主要考查两点间的距离，利用中点的定义求解线段的长是解题的关键．
10．D
【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时， 的值最小，利用面积关系得到
，代入数值求出答案.
解：由题意得：当BP⊥AC时， 的值最小，∵ ,
∴ ,
解得BP= ，
故选：D.
【点拨】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路
得到当BP⊥AC时， 的值最小是解题的关键.
11．B
【分析】根据线段是有长度的性质，可以画定长线段；根据端点相同，且延伸方向相
同的射线是同一条射线进行判断；根据直线的性质，线段的性质分别判断即可．
解：∵线段是有长度的，
∴画一条5cm长的线段，是正确的，
∴A不符合题意；
∵射线AB与射线BA端点不同，是不同的两条条射线；
∴射线AB与射线BA是同一条射线，是错误的，
∴B符合题意；
∵两点确定一条直线，
∴C正确，不符合题意；
∵两点之间线段最短，
∴D正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了线段、射线、直线的性质，解题的关键是熟练掌握三线的性质．
12．B
【分析】根据线段的定义及两点之间的距离的定义逐个进行判断即可.
解：①：符合两点之间线段最短的性质，故①正确；
②：当A、B、C三点不共线时，点C不是线段AB的中点，故②错误；
③：射线AB与射线AD只是有公共的起点，但是延伸的方向可能不一样，故③错误；④：连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，题目中缺少“长度”二字，故④错误；
⑤：符合两点确定一条直线的原理，故⑤正确.
故答案为：B.
【点拨】本题考查的是线段的性质，掌握“两点之间线段最短”、“线段中点的定
义”等是解决这类题的关键.
13．D
【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端
点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的边没有长短之分，分别进行分析．
解： ．角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故 错误；
．角的边是射线，不能延长，故 错误；
．角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故 错误；
．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故 正确．
【点拨】此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫
做角．
14．C
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
解：A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的 、 、 表示同一个角，故本选项正确；
D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能
力．
15．D
【分析】根据题意找到范围值钝角是大于90°小于180°的角，锐角是大于0°小于90°的
角，然后找到对应的差的范围值为大于0°小于180°，然后对照选项即可．
解：因为 为钝角， 为锐角，
所以 ， ，
所以 ,
所以锐角，直角，钝角均有可能．
故选D．【点拨】考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能够求差所对
应的范围值，此为解题的关键．
16．C
【分析】根据角的和与差进行比较， ，即
；利用 ，选项D正确，再减去共同角 ，
可得 ，由此得到正确选项．
解：∵
∴ 即 ，所以A正确；
∵
∴ ，所以D正确；
∴ 即 ，所以B正确．
故选C．
【点拨】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉
了解角的和与差是解题的关键．
17．A
【分析】时针走一分钟是0.5°，分针走一分钟是6°，利用角度之间数量关系进行求解
即可．
解：由题意，得
（6-0.5）×20°-90°=110°-90°=20°，
故选：A．
【点拨】本题考查钟面角问题，熟知时针和分针所走的度数，找出角度之间的关系是
解决问题的关键．
18．C
【分析】根据方位角的概念，由南向东旋转60度即可．
解：根据方位角的概念，结合题意要求和选项，
故选：C．
【点拨】考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，
以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南）
19．B
【分析】根据角平分线定义得出∠AOB=2∠AOC，代入求出即可．解：∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC=26°18′，
∴∠AOB=2∠AOC=26°18′×2=52°36′，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线定义，根据定义得出∠AOB=2∠AOC是解题的关键．
20．B
【分析】先进行度、分、秒的乘法除法计算，再算减法．
解：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了度、分、秒的四则混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以
60为进制即可．
21．C
【分析】根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结
论．
解：A.∠BOA与∠DOC的大小不确定，故此结论不成立；
B.∠BOA−∠DOC的值不固定，故此结论不成立；
C.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOC＋∠DOC＋∠DOC＋∠DOA＝180°，
即∠DOC＋∠BOA＝180°，故此结论成立；
D.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOD −∠COD＝∠AOC −∠DOC，
即∠BOC＝∠DOA，故此结论不成立；
故选：C．
【点拨】本题考查了角的比较与运算，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关
键．
22．C
【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断．解：由题意可得： ， ，
∴ ，
∵BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线，
∴ ， ，故③错误；
∴∠MBN= =45o，故①正确；
∠BNE=180°- =60°，
∠BMC=90°- =60°，
∴∠BNE=∠BMC，故②正确；
，
∴2∠NBD=∠CBM，故④正确；
正确的是①②④，共3个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答
此题的关键．
23．C
【分析】利用分类讨论的思想方法，分射线 在 的内部和在 的外部两
种情况讨论解答，画出图形，利用角的和差计算即可得出结论．
解：当射线 在 的内部时，如图1，
则 ；
当射线 在 的外部时，如图2，
则 ．
的度数为 或 ．
故选：C．图1 图2
【点拨】本题主要考查了角的计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
24．C
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线
与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
解：入射光线与平面镜的夹角是 ，所以入射角为 ．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为 ，所以入射光线与反射光线
的夹角是 ．
入射角减小 ，变为 ，所以反射角也变为 ，此时入射光线与法线的
夹角为 ．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与
入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线
的夹角．
25．A
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，由角平分线的定义可
得∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，∠BDC=3∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得
答案．
解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠GDF，
∴∠EDF=∠BDG，
∴∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，
∴∠BDC=∠BDE=3∠GDF，
∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，
∴∠GDF=18°，
∴∠BDC=3∠GDF=3×18°=54°．
故选：A．
【点拨】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．
26．C
【分析】根据∠AOB＝ ∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB= ∠AOD，
∠AOC=∠DOC= ∠AOD，进而得到∠BOC= ∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②
错误，③④正确．
解：因为∠AOB＝ ∠BOD，
所以∠AOB= ∠AOD，
因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC=∠DOC= ∠AOD，
所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝ ∠AOD－ ∠AOD= ∠AOD= ∠AOB，
故①错误，③正确；
因为∠DOC= ∠AOD，∠BOC= ∠AOD，
所以∠DOC＝3∠BOC
故②错误，④正确．
【点拨】本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB= ∠AOD，
∠AOC=∠DOC= ∠AOD，进而根据角的关系即可作出判断．
27．D
【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，
进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得
解．
解：∵ ，
∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°，
∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，
∴图中互补的角有7对．
故选：D．
【点拨】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟
知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补．
28．C
【分析】根据互为补角的定义求出此角，然后再根据余角的定义求出答案即可．
解：这个角是，180°-138°=42°，
这个角的余角是，90°-42°=48°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了补角和余角，熟练掌握补角和余角的定义是解题的关键．
29．C
解：A、O、B在一条直线上，则
则图中互补的角为 和 , 和 , 和
,
和 , 和 ,共有5对．故选C．
考点：补角的定义．
30．C
【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝1：2求出
∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
解：∵∠AOC＝75°，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°，
∵∠BOE：∠EOD＝1：2，
∴∠BOE ＝ ×75°＝25°，
∴∠AOE＝ ．
故选：C．【点拨】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记性质并准确识图是解题
的关键．
31．A
【分析】根据平行线的性质分析判断即可．
解：A．在同一平面内， ， ， 是直线，且 ，则 ，故选项正确，
符合题意．
B．在同一平面内， ， ， 是直线，且 ， ，则 ，故选项错误，不符
合题意．
C．在同一平面内， ， ， 是直线，且 ，则 ，故选项错误，不符
合题意．
D．在同一平面内， ， ， 是直线，且， 则 ，故选项错误，不符合
题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．
32．D
【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
解：A、∵∠CDA＝60 ，
∴直线AD与直线BC的夹角是60 ，正确，故不符合题意；
B、∵∠ACD＝90 ，
∴直线AC与直线BC的夹角是90 ，正确，故不符合题意；
C、∵∠ACD＝90 ，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意；
D、∵BD和AD不垂直，
∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距
离是指该点到直线的垂线段的长．
33．D【分析】根据垂线段最短的性质可知当PC⊥AB时，PC的值最小，利用三角形的面积
进行求解即可.
解：如图，当PC⊥AB时，PC的值最小，
∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∴ AC•BC= AB•PC，
即 ×6×8= ×10PC，
∴PC=4.8，
故选D.
【点拨】本题考查了垂线段最短，解题的关键是会利用面积法求三角形的高.
34．C
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
解：在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥△AB时，PC的值最小，
此时： ABC的面积＝ •AB•PC＝ •AC•BC，
△
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面
积法求高．
35．②③④⑤
【分析】据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线、线段的中点的定
义对各小题分析判断即可得解．
解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是-4和2，故本小题错误；
③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；
④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线.
故答案为：②③④⑤
【点拨】本题考查了射线、线段的性质，数轴，两点间的距离的定义，熟记各性质与
概念是解题的关键．
36．6
【分析】由于每两个不同的点确定一条线段，根据端点个数任取两点作为一条，数出
个数就是条数．
解：图中线段有：AB、AC、AD；BC、BD；CD；共3+2+1=6条．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段，是一道基础题，找线段时要按照一定的
顺序做的不重不漏，如果记住公式会更加简便准确．
37．A′B′＞AB．
【分析】根据比较线段的长短的方法即可解答．
解：由图知A′B′＞AB，
故答案为A′B′＞AB．
【点拨】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关
键.
38．3cm或9cm##9cm或3cm
【分析】分点C在点B的左侧和右侧两种情况计算即可．
解：当点C在点B的右侧时，
AC=AB+BC=3+6=9（cm）；
当点C在点B的左侧时，
AC=AB-BC=6-3=3（cm）；
故答案为：3cm或9cm．
【点拨】本题考查了线段的计算，正确进行分类是解题的关键．
39．1或4或6
【分析】同一平面内的四个点，可以是在同一直线上，可以三点在一条直线上，也可
以是任意三点不在同一条直线上，根据过两点有且只有一条直线可以得出答案．解：根据题意可以分为三种情况：
①四点在同一直线上：则只能做一条直线；
②其中三点在同一直线上：如图
可以作出4条直线；
③任意三点都不在一条直线上：如图
即可作出6条．
综上可以得出可以为1条，可以是4条，可以是6条．
故答案为：1或4或6．
【点拨】本题考查了直线的性质，要考虑到平面内的四个点的位置不确定，注意分情
况讨论．
40．
【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线.的交点个数，找出规律即
可解答.
解：如图：2条直线相交有1个交点，
3条直线相交最多有 个交点，
4条直线相交最多有 个交点，
5条直线相交最多有 个交点，
6条直线相交最多有 个交点，
…n直线相交最多有 个交点．
所以 ，
而最少可以得到1个交点，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n
条直线相交时最少有一个交点.
41． m+ n
【分析】先根据中点的定义可得EC= AC、DF= BD，再根据线段的和差可得
AC+BD=AB-CD=m-n，最后根据 =EC+CD+DF求解即可．
解：∵点 、点 分别为 、 的中点
∴EC= AC,DF= BD
∵ ，
∴AC+BD=AB-CD=m-n
∴ =EC+CD+DF= AC+CD+ BD= (AC+BD)+CD= ( m-n)+n= m+ n．
故答案为 m+ n．
【点拨】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间
的关系成为解答本题的关键．
42．2cm或8cm##8cm或2cm【分析】根据题意分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运
用，要考虑点B在线段AC上时和点B在线段AC的延长线上时．
解：∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴
①如图，当点B在线段AC上时，依题意得，
cm，
②如图，当点B在线段AC的延长线上时，依题意得，
cm，
故答案为：2cm或8cm
【点拨】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，数形结合分类讨论是解题的
关键．
43．10或40##40或10
【分析】设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点定义求出BM、BN的长度，
然后分①BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN，②BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN，
分别代入数据进行计算即可得解．
解：如图，设较长的木条为AB＝50cm，较短的木条为BC＝30cm，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝ AB＝ ×50＝25(cm)，
BN＝ BC＝ ×30＝15(cm)，
①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝25+15=40 (cm)，②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝25﹣15＝10(cm)，
综上所述，两根木条的中点间的距离是40cm或10cm．
故答案为：40或10．
【点拨】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况
讨论，作出图形更形象直观．
44．12.5##
【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算
即可．
解：当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点
的距离之和最长；
当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为
AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米；
当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为
AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米；
当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为
AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米．
综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为
12.5千米．
故答案为：12.5．
【点拨】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．
45．15条
【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他5个点画一条
直线，共可以画6×5=30（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果．
解：因为每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，但互
相之间又有重合的直线，所在实际条数为30÷2=15（条）．
故答案为：15条．
【点拨】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键．
46． 2或4##4或2 30
【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线
上、在线段AB的延长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值；
（2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，
DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值；
解：（1）∵BE＝3AE，
∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm，
当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm，
故答案为：2或4．
（2）∵BE＝3AE，
∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE），
当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm，
故3ED+BE的最小值为30cm，
故答案为：30．
【点拨】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3
（DE+AE）是解题的关键．
47．21
【分析】根据题意可知其图形之中共有7条边，据此进一步根据角的特点用
加以计算求解即可.
解：由题意得： ，
故图形中共有21个锐角，
故答案为：21.
【点拨】本题主要考查了角的规律探索，熟练掌握相关规律是解题关键.
48．见分析
解：根据角的表示方法，结合图形表示如下：
∠ABE ∠ABC ∠ACB ∠ACF
∠α ∠1 ∠2 ∠3
49． 10 450°
【分析】(1)∠AOE＝90°，故图中所有的角都是不大于90°的角；
(2)将所有的角相加，发现有的角相加等于∠EOA，即和为90°，而有的角相加等于
∠BOD，即和为45°，将这样的角凑在一起计算，即可求出所有角的度数.
解：不大于 90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，
∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10个；它们的度数之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠ EOB＋∠BOA)＋[(∠DOC
＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°.
故答案为10；450°.
【点拨】此题主要考查角的表示与和差关系，解题的关键是熟知角的定义运算法则.
50． 70.65° ＞
【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论.
解：70°39′=70°+39′ 60=70°+0.65°=70.65°，
∵0.52×60=31.2，0.2×60=12，
∴52.52°=52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：70.65°；＞．
【点拨】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算
成度分秒的形式，再进行比较．
51．22.5
【分析】根据分针与时针每分钟转动的度数，得出2点时的夹角，然后根据15分钟内
它们所转动的角度，可得答案．
解：对于分针，每分钟转动360÷60=6°
对于时针，每分钟转动6÷12=0.5°
在2点整，分针落后时针 ×360=60°
而再过15分钟，分针追上（6-0.5）×15=82.5°
即两针夹角为：82.5-60=22.5°
故答案为：22.5．
【点拨】本题考查了钟面角，理解时针与分针转动角度的意义所在，时钟的时针跟分
针都会同时转动是解题关键．
52．78°
【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三
角形内角和定理即可求解．
解：∵AE，DB是正南和正北方向，
∴BD∥AE，
∵B处在A处的南偏西42°方向，
∴∠BAE＝∠DBA＝42°，∵C处在A处的南偏东30°方向，
∴∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，
又∵C处在B处的北偏东72°方向，
∴∠DBC＝72°，
∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．
故答案为：78°．
【点拨】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向
为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏
东或偏西．
53．25°12′
【分析】首先把25.2º化成25°+0.2°，再把0.2°化成分即可．
解：25.2º =25°12′．
故答案为：25°12′．
【点拨】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1°=60′，1′=60″．
54．12°21′58″
【分析】根据度分秒的除法，从大的单位开始除，把余数化成下一单位，可得答案．
解： 48°84′232″÷4=12°21′58″．
【点拨】本题考查了度分秒的换算，利用了度分秒的除法，从大的单位开始除，把余
数化成下一单位．
55．①③④
【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．
解：∵ ， ，
∴当 时， ，故①不正确；∵
∴②正确；
∵
∴③不正确；
∵ ， ，
∴
∴④不正确；
综上所述：不正确的是①③④，
故答案为：①③④
【点拨】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．
56．58
【分析】根据∠BAC= ， ，求出∠EAC的度数，由∠DAE= ，根据
∠2=∠DAE-∠EAC求出结果．
解：∵∠BAC= ， ，
∴∠EAC=∠BAC-∠1= ，
∵∠DAE= ，
∴∠2=∠DAE-∠EAC= ，
故答案为：58 ．
【点拨】此题考查三角板角度计算，掌握各角度之间的位置关系及三角板各角的度数
是解题的关键．
57．45°
【分析】先计算出∠AOC和∠COD的度数，再进行计算即可．
解：∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝75°﹣15°＝60°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝ ∠AOC＝ ×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝15°+30°＝45°，
故答案为：45°．
【点拨】 本题考查角平分线的应用，熟练掌握角平分线的意义和角度的几何计算是解
题关键．
58．22.5【分析】根据钟表上2时15分，时针在“2”和“3”之间，分针在“3”上，可以得出时
针和分针相差 个大格，再根据每个大格夹角是30°即可得结果．
解：∵钟表上从“1”到“12”一共有12大格，每个大格夹角是30°，
∴钟表上2时15分时，时针在“2”和“3”之间，分针在“3”上，
∴时针和分针相差 个大格，即 ×30°＝22.5°
故答案为：22.5
【点拨】本题考查钟表面知识，解题的关键是掌握时针转动一大格，转动的角度是
30°，每个大格分为5个小格，分针转动一小格，转动的角度是6°．
59． 或
【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过 时，当旋转的角度超过 ，不超过
时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可．
解：当旋转的角度不超过 时，如图：
∴ ，
，
∵ ， OE平分∠BOC，
∴ ， ，
∴ ．
当旋转的角度超过 ，不超过 时，如图，∴ ，
，
∵ ， OE平分∠BOC，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查旋转，几何图形中角之间的关系，解题的关键是分情况讨论，结合
图进行求解．
60．25°或75°
【分析】分OB在∠AOC中和OC在∠AOB中两种情况考虑，当OB在∠AOC中时，
由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB+∠BOC即可求出∠AOC的
度数；当OC在∠AOB中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝
∠AOB﹣∠BOC即可求出∠AOC的度数．
解：分两种情况考虑．
当OB在∠AOC中时，如图1所示，
∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+25°＝75°；
当OC在∠AOB中时，如图2所示，
∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣25°＝25°．
故答案为：75°或25°．【点拨】本题考查了角的计算，分∠AOC＝∠AOB+∠BOC和∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
两种情况考虑是解题的关键．
61．70°
【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程，解方程即可．
解：设这个角的度数为x,
根据题意得：90°-x= （180°-x）-2°，
解得：x=70°．
所以这个角的度数为70°．
故答案为：70°
【点拨】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的
关键．
62．135°##135度
【分析】根据邻补角的和等于180°列式求出∠AOC的度数，从而可求出∠AOD的度数．
解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOC+∠AOD=180，
∵∠AOD=3∠AOC，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD =135°．
故答案为：135°
【点拨】本题考查了邻补角的和等于180°的性质，理解定义是解答此题的关键．
63．138
【分析】由于∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=138°，易求∠2=42°，而∠1=∠2，那么
∠BOD=84°，再利平角的性质可求∠COB，即可求解．
解：∵∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=138°，∴∠2=42°，
∵∠1=∠2，
∴∠BOD=2∠2=84°，
∴∠COB=180°-84°=96°，
∠COE=∠COB+∠2=138°．
故答案为：138
【点拨】此题考查对顶角和邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
64．142.5°或127.5°
【分析】根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD
的度数，然后根据对顶角相等，可求∠AOC和∠AOD的度数，然后由角平分线的性质，可
求∠AOE的度数，最后根据∠COE=∠AOC+∠AOE，即可求出∠COE的度数．
解：∵|∠BOD |＝30°，
∴∠BOD ＝±30°，
当∠BOD-∠BOC=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOD-∠BOC=30°，
∴∠BOC=∠BOD-30°，
∴∠BOD-30°+∠BOD=180°，
∴∠BOD=105°，
∴∠BOC=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOD=∠BOC=75°，∠AOC=∠BOD=105°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE= ∠AOD=37.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=105°+37.5°=142.5°．
当∠BOD-∠BOC=-30°，则∠BOC-∠BOD=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOC-∠BOD=30°，
∴∠BOD=∠BOC-30°，
∴∠BOC+∠BOC-30°=180°，
∴∠BOC=105°，
∴∠BOD=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=105°，∠AOC=∠BOD=75°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE= ∠AOD=52.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=75°+52.5°=127.5°，
综上：∠COE=142.5°或127.5°，
故答案为：142.5°或127.5°．
【点拨】此题考查了邻补角和对顶角及角平分线的定义，根据∠BOC与∠BOD是邻补
角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数是解题的关键．
65．70°或110°
【分析】由两个角的两边互相垂直，即可得这两个角互补或相等，又由其中一角度数，即可求另一角的度数．
解： 同一平面内的两个角的两边互相垂直（如图所示），
这两个角互补或相等，
其中一个角为 ，
另一角的度数为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】此题考查了垂线的意义，熟练运用画图分析以及分类讨论是此题的难点，也
是解决此题的关键．
66．144°
【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE=90°，进而利用∠AOC：∠COE=2：3，得出
∠AOC的度数，进而得出答案．
解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC：∠COE=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COE=3x，
则3x+2x=90°，
解得：x=18°，
故∠AOC=36°，
则∠AOD=180°-36°=144°．
故答案为：144°．
【点拨】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC度数是解题关键．
67．4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列
式计算求解MP的最小值．
解：当MP⊥AB时，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB•MP＝AM•BM，
即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．
故答案为：4.8．
【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解
题的关键．
68．
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最
小，利用面积法即可求出此时BP的长．
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S ABC＝ ×BC×AD＝ ×AC×BP，
△
∴6×4＝5BP，
∴PB＝ ，
即BP最短时的值为： ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关
键．
