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第13 章 轴对称（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·福建宁德·七年级统考期末）书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形
的舞，无图的画，无声的乐．下列是用小篆书写的“魅力宁德”四个字，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·八年级课时练习）如图， 是线段 的垂直平分线，垂足为点 ， ， 是 上两点．
下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西梧州·梧州市第一中学校考三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与
AC的关系是（ ）
A． B． C． 且 D． 且 平分
4．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）与点B（0，
1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（ ）
A． 轴 B． 轴
C．直线 （直线上各点横坐标均为1）D．直线 （直线上各点纵坐标均为1）5．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）一副三角板 和 如图摆放， ， ，
若 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 平分 B． 平分 C． D．
6．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在 中，点O是 内一点，连接 、 ，
垂直平分 ，若 ， ，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．6
7．（2023·河北·统考中考真题）四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形形状的改变而
变化．当 为等腰三角形时，对角线 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， 中， ， 是 边上的高， 是 延长线上
一点， 平分 ，若 ， ， ，则下列等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，点 为 内一定点，点 ， 分别在 的两边上，若
的周长最小，则 与 的关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·八年级单元测试）如图， 和 是两个等边三角形， 是以 为斜边的等
腰直角三角形，连接 ， ， ，下列三个结论：① ；② ；③点
在线段 的中垂线上；④ ；⑤ ；⑥ ．其中正确的结论的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·全国·八年级专题练习）若点 与点 关于x轴对称，则 ．
12．（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 是由 经过平移和关于坐标轴对称等变换得到的，其中点P与 是变换前后图形上的一对对应点．若点P的坐标为 ，
则点 的坐标为 （用含a、b的代数式表示）．
13．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一张纸片上将 翻折得到三角形 ，并以
为边作等腰 ，其中 ，且E，A，C三点共线， ，则 的度数是 ．
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， ， ， ， ，若 ，
，且 长为奇数，则 的长为 ．
15．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ，且
B，C，D三点共线．连接 ，分别交 于点M，N，连接 ，则 ＝ ．16．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，A是直线 外的一点， 于点H， ，P是
上一动点， 是等边三角形，连接 ，则线段 的最小值是 ．
17．（2022秋·山东德州·八年级统考期中）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角
，等题直角 做了一个探究活动：将 的直角顶点M放在 的斜边 的中点处，
设 ，猜想此时重叠部分四边形 的面积为 ．
18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，等边 和等边 的边长都是4，点 在同一
条直线上，点P在线段 上，则 的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）已知 如图所示，
（1）画出 中 边上的高线 ，在 内部作射线 使得 ，交 边于点 ，请
你依题意补全图形；
（2）判断 与 之间的关系，并说明理由．
20．（8分）（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图， ， ．求证：直线 是线段
的垂直平分线．21．（10分）（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）如图， 为等腰直角三角形， ，
点D在 上，点E在 的延长线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
22．（10分）（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图， ， ，垂足分别为D、C，
，且 ．连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的度数．23．（10分）（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，在 中， ， ，
点 在线段 上运动（ 不与 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ．
（1）当 时， ， ；点 从 向 的运动过程中， 逐渐变 （填
“大”或“小”）；
（2）当 等于多少时， ，请说明理由．
（3）在点 的运动过程中， 与 的长度可能相等吗？若可以，请直接写出 的度数，请说明理
由．
24．（12分）（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）解答题
（1）问题发现
如图1，把一块三角板（ ， ）放入一个“ ”形槽中，使三角形的三个顶点 、 、
分别在槽的两壁及底边上滑动，已知 ，在滑动过程中，发现与 始终相等的角是 ，
与线段 相等的线段是 ；
（2）拓展探究
如图2，在 中，点 在边 上，并且 ， ．求证： ．
（3）能力提升
如图3，在等边 中， ， 分别为 、 边上的点， ，连接 ，以 为边在 内
作等边 ，连接 ，当 时，请直接写出 的长度．参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由
此问题可求解．
【详解】解：C选项是轴对称图形，A、B、D选项都不是轴对称图形；
故选：C．
【点拨】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据垂直平分线的性质分析选项即可．
【详解】解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ， ，故D选项结论正确，不符合题意；在 和 中，
∴ ，
∴ ，故B选项结论正确，不符合题意；
同理可知： ，
∴ ，故C选项结论正确，不符合题意；
利用排除法可知选项A结论不正确，符合题意．
故选：A
【点拨】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，利用性质证明
， ．
3．D
【分析】由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．
【详解】解：∵ ACE是由 ABC翻折得到，
∴AE=AB,CE=CB
∴AC⊥BE且AC平分BE，
故选D．
【点拨】此题考查矩形的性质，线段的垂直平分线的判定，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定．
4．C
【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．
【详解】根据A点和B点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查坐标与图形变化—轴对称，掌握成轴对称的两个点的坐标的特点是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，则 ，∴ 平分 ，故 选项正确；
∵ ， ，如图所示，设 与 交于点 ，
∴ ，由 选项正确可得 ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 错误，故 选项错误；
由上述证明可得， ，
∴ ，故 选项正确；
根据上述证明可得， ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 选项正确；
故选： ．
【点拨】本题主要考查平行性中三角板的计算，掌握三角板中各角度的关系，平行性的判定和性质是解题
的关键．
6．A
【分析】连接 ，由垂直平分线的性质可得 ，由等角对等边可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解
题的关键．
7．B
【分析】利用三角形三边关系求得 ，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，即 ，
当 时， 为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若 时， 为等腰三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．B
【分析】过点C作 于点F，易证 （AAS），得到 ，
， ，进而得到 ，因此 ．由于
得到 ，又
，得到 ，因此 ，所以 ．由 得 ，变形
得到 ．
【详解】如图，过点C作 于点F是高，
平分
在 和 中
（ ）
， ，
∵在 中， ，又
，
，即
故选：B
【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关
键．
9．D
【分析】作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，其中 交 于 ，交 于 ，此时
的周长最小值等于 的长，由轴对称的性质可知△ 是等腰三角形，所以 ，推出 ，所以 ，即得出答案．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，
连接 ， ， ，其中 交 于 ，交 于 ，
此时 的周长最小值等于 的长，
由轴对称性质可知： ， ， ， ，
，
，
，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
10．C
【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝
∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，则根据“SAS”可证明 APC≌△BPD，则可对①进行判
断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC＝150°，△再利用PB＝PC和三角形内角和
可计算出∠PBC＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，则可判断
ABD与 BCA不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判
△定方法可△对⑤进行判断；延长CP交AB于H，计算出∠CHB＝90°，则可对⑥进行判断．
【详解】解：∵△ABP和 CDP是两个等边三角形， APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
△ △∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴∠APC＝∠BPD＝150°，
在 APC和 BPD中，
△ △
，
∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正确；
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的中垂线上，所以③正确；
∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，
∴∠BPC＝150°，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝15°，所以④正确；
∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，
∴∠ABC≠∠BAD，
∴△ABD与 BCA不全等，所以②错误；
∵∠ABC＋∠△BAD＝75°＋105°＝180°，
∴AD∥BC，所以⑤正确；
延长CP交AB于H，如图，
∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，
∴∠ABC＋∠PCB＝90°，
∴∠CHB＝90°，
∴PC⊥AB，所以⑥正确．
正确的有5个，
故选：C．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决此类问题的关键．
11．2
【分析】根据若两点关于 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于 轴对称，则
横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
12．
【分析】根据点B和 的位置判断出平移方式和对称变换方式，继而求解．
【详解】解：由图中可以看出，点 只有向右平移2个单位才能和点 的纵坐标相等，翻折可得到两点关
于 轴对称，此时两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．那么点 也是如此转换得到 ．
点 的坐标为 ，向右平移2个单位后变为 这点关于 轴的对称点是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标的平移变换和轴对称变换，解决本题的关键是根据图形中关键点的转换得到转换
方法．
13． /152度
【分析】根据折叠得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ， ，根据三角
形外角的性质得出 ，求出 ，根据三角形内角和定理求出
结果即可．
【详解】解：根据折叠可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题
的关键是熟练掌握等边对等角．
14．3
【分析】由已知条件得 ，进而得出 ， ，再根据
得到 为等边三角形，进而得到 ，最后根据三角形的三边关系即
可求出．
【详解】解：在 和 中
，
， ，
， ，
，
为等边三角形，
，
， ，
，即 ，
,
长为奇数，
，
故答案为3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理与
性质是解题的关键．
15．60【分析】根据已知证明 都是等边三角形，得到 ，即可证明
，推出 ，进一步证明 ，可得 ，求
出 ，证明 是等边三角形，可得结果．
【详解】解：∵ 都是等腰三角形，且 ，
∴ 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故答案为：60．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解此题的关键是推出
和 ，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．2【分析】以 为边作等边 ，连接 ，证明 ，得出 ，说明当 最小时，
最小，根据垂线段最短，过点E作 于点B，当点P在点B时， 最小，即 最小，根据
含 角的直角三角形的性质求出 ．
【详解】解：以 为边作等边 ，连接 ，如图所示：
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵垂线段最短，
∴过点E作 于点B，当点P在点B时， 最小，即 最小，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，
解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明 ．
17．【分析】利用等腰直角三角形的性质证得 ， ， ，从
而证明 ，根据四边形 的面积= 求出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形，M是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积=
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题
的关键．
18．8
【分析】连接 ，根据 和 都是边长为4的等边三角形，证明 ，可得
，所以 ，进而可得当点P与点C重合时， 的值最小，正好等于
的长，即可求解．【详解】解：如图，连接 ，
∵ 和 都是边长为4的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点P与点C重合时，点A与点 关于 对称， 的值最小，正好等于 的长，
∴ 的最小值为 ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所
学知识求解是解决本题的关键．
19．(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）先作 交 于点 ，根据等角对等边可得 ，即点 到点 和点 的距离
相等，故可推出点的距离相等，故可推出点 在 的垂直平分线上，画图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得 ，结合题意即可推得 ．
【详解】（1）解：如图：先作 交 于点 ，作 的垂直平分线与 交于点 ，即为所求．
（2）解： ，理由如下：
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了画图——三角形的高，等角对等边，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余
等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．见解析
【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理和两点确定一条直线的基本事实推理即可．
【详解】证明： ，
点 在线段 的垂直平分线上．
，
点 在线段 的垂直平分线上．
直线 是线段 的垂直平分线．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能正确运用线段垂直平分线性质的逆定理进行推理是解
此题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到 ， ，再利用 证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到 ，继而求出 ，根据全等三角形的性质得
到 ，再利用角的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的
性质得到相等的角．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据垂直的定义得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据全等三
角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰直角三角形的性质得出 ，由三角形外角的性质得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解此题的关
键是推出 ．
23．(1) ； ；小；
(2) ，理由见解析；
(3)可能相等， ，理由见解析
【分析】（1）现根据邻补角的定义，得到 ，进而得到 ，然后利用三角形内角和
定理，得到 ， ，又因为点 从 向 的运动过程中， 逐渐增
大，所以 逐渐变小；
（2）利用三角形内角和定理，得到 ，根据平角的性质，得到 ，
进而得到 ，再根据“ ”证明 ，即可得到答案；
（3）根据等边对等角的性质，得到 ，再利用三角形内角和定理，得出 ，由三
角形外角的性质，得到 ，进而得到 ，最后利用邻补角，即可求出 的度数．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
点 从 向 的运动过程中， 逐渐增大，
逐渐变小，
故答案为： ； ；小；
（2）解：当 时， ，理由如下：
，，
又 ， ，
，
，
当 时，
，
，
在 和 中，
，
，
即当 时， ，；
（3）解：在点 的运动过程中， 与 的长度可能相等，理由如下：
，
，
，
，
， ，
，
，
．
【点拨】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
24．(1) ；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出 ，可证 ，根据全等三角形的性质得出 ；
（2）根据三角形外角性质推出 ，可证 ；
（3）过点 作 交 于点 ，根据等边三角形的性质推出 ， ，
，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出 可证明
，根据全等三角形的性质得出 ， AD＝CM，根据线段的和差
求解即可．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2） ， ，
，
在 和 中，
，
；
（3）如图 ，过点 作 交 于点 ，、 是等边三角形，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
【点拨】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角
形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解
题的关键．
