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第 17 章 勾股定理 章节复习卷（5 个知识点+50 题练
习）
知识点
知识点1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及c＝ ．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形
中的每一条直角边．
知识点2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，
然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的
面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
知识点3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就
是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足
较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合
其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的
两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
知识点4．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以
它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
知识点5．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的
应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关
线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边
为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个
正整数的直角三角形的斜边．
练习卷
一．勾股定理（共10小题）
1．（2023秋•福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以
点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴的正半轴于 点，则 点的横坐标介于
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【分析】先根据勾股定理求出 的长，由于 ，故估算出 的长，再根据点 在
轴的正半轴上即可得出结论．
【解答】解： 点 坐标为 ，
，
点 、 均在以点 为圆心，以 为半径的圆上，
，
，点 在 轴的正半轴上，
点 的横坐标介于3和4之间．
故选： ．
【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出 的
长是解答此题的关键．
2．（2024•海淀区校级开学）已知 中， ，若 ， ，则
的面积为 8 ．
【分析】由勾股定理得出 ，可求出 ，则可得出答案．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积等知识，由勾股定理求出 是解题的关键．
3．（2023秋•连云港期末）如图，在 正方形网格中，点 、 、 都在网格线上，
且都是小正方形边的中点．将 的三边 、 、 按照从小到大排列为（用“ ”连接）．
【分析】设小正方形的边长为1个单位长度，将 向右平移半个单位长度如图所示，
根据勾股定理求出 、 、 的长即可得出结论．
【解答】解：设小正方形的边长为1个单位长度，
将 向右平移半个单位长度如图所示，
由勾股定理可知， ， ， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
4．（2023春•乐陵市期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点 ， ， ， ，则由勾股定理可得，这两点间的距离
．
例如，如图1， ， ，则 ．
【直接应用】
（1）已知 ， ，求 、 两点间的距离；（2）如图2，在平面直角坐标系中， ， ， 与 轴正半轴的夹角是
．
①求点 的坐标；
②试判断 的形状．
【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）①过点 作 轴于点 ，求出 ，则可求出答案；
②求出 和 的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2）①过点 作 轴于点 ，
与 轴正半轴的夹角是 ，
，，
，
；
② ， ，
， ，
， ，
，
是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公
式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2023春•平泉市期末）如图： 网格中每个正方形边长为1，表示 长的线段
是
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，
，
，
，
表示 应为线段 ．故选： ．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握利用勾股定理求线段的长是解题关键．
6．（2023春•滨州期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形
的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为 ， ， ， ，下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是
，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接 ，
根据勾股定理，得 ， ，
，
，
，故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边．
7．（2022秋•沙河市期末）如图，长方形 的边 在数轴上，若点 与数轴上表示
数 的点重合，点 与数轴上表示数 的点重合， ，以点 为圆心，对角线
的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点 ，则点 表示的数为
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理计算出 的长度，进而求得该点与点 的距离，再根据点 表示
的数为 ，可得该点表示的数．
【解答】解：在长方形 中， ， ，
，
则点 到该交点的距离为 ，
点 表示的数为 ，
该点表示的数为： ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个
直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
8．（2024•海淀区校级开学）如图，四边形 中， ，过点 作 于点
，点 恰好是 的中点，连接 ， ， ， ．
（1）直接写出 的长为 3 ；
（2）求 的长．【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，求出 ，证明
，求出 ，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1） ，
，
， ，
，
，
故答案为：3；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，
， 为 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
，， ，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含 30度角直角三角形的性质，熟练掌
握勾股定理是解题的关键．
9．（2023春•香河县期末）在四边形 中， ， ， ，
，求四边形 的面积．
【分析】先作辅助线，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到 和 的长，
再根据 ，代入数据计算即可．
【解答】解：延长 ，与 的延长线于点 ，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，， ，
，
，
．
【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
10．（2023秋•锦江区校级期末）在 中， ， ， ， ，
分别为射线 与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值
为 ； 的最大值为 ．
【分析】过点 作 ，使得 ，过点 作 于点 ，连接 ，
证明 得出 ， ，则当 在线段 上时，取的最小值，最小值为 的长，延长 至 使得 ，连接 ，则
进而勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点 作 ，使得 ，过点 作 于点 ，
连接 ，
又 ， ，
，
，
，则当 在线段 上时 取的最小值，最小值为 的
长，
， ， ，
，
，
在 中， ，
，，
如图所示，延长 至 使得 ，连接 ，则 ，
， ，
，
故答案为： ； ．
【点评】本题考查了勾股定理，作辅助线是解题的关键．
二．勾股定理的证明（共10小题）
11．（2023春•重庆期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，
勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋
铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅
图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出
另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解： 、大正方形的面积为： ；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ，
，故 选项能证明勾股定理．
、梯形的面积为： ；
也可看作是 2 个直角三角形和一个等 腰直角三角形组成，则其面积为：
，
，
，故 选项能证明勾股定理．
、大正方形的面积为： ；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ，
，
，故 选项能证明勾股定理．
、大正方形的面积为： ；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为： ，
，
选项不能证明勾股定理．
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
12．（2023春•北京期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦
图”．如果图中勾 ，弦 ，则小正方形的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理可以求得 的值，再根据图形可知小正方形的边长为 ，然后正
方形的面积 边长 边长计算即可．
【解答】解：由图可得，
，
小正方形的边长为 ，
小正方形的面积为 ，
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是明确题
意，求出 的值．
13．（2023•莲湖区一模）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地
运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方
形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4，则中间小正方形的
面积占大正方形面积的 ．
【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面积，然后利用分割法求得中间小正方形的面
积，则易得答案．
【解答】解：如图， ， ．由勾股定理知， ．
所以大正方形的面积为20．
所以中间小正方形的面积为： ．
所以 ．
所以中间小正方形的面积占大正方形面积的 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是掌握正方形的面积公式，直角三
角形的面积公式．
14．（2023•红花岗区校级一模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我
国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形
拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ．若 ，
大正方形的面积为25，则 的长为
A．9 B． C． D．3
【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为： ；接下来根据
勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为： ，
每一个直角三角形的面积为： ，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
15．（2023春•兴庆区校级期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，
若直角三角形两直角边边长分别为5，12，则图中阴影部分的面积为 4 9 ．
【分析】由勾股定理可得直角三角形斜边的长，再利用正方形的面积减去四个全等直角三
角形的面积可得答案．
【解答】解： 直角三角形两直角边边长分别为5，12，
斜边长 ，
图中阴影部分的面积为： ．
故答案为：49．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行证明．
16．（2023春•应县期末）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代
数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦
图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形
、正方形 、正方形 的面积分别为 ， ， ．若 ，
则正方形 的边长为 ．【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为 、 且 ，
由题意可知： ， ， ，
因为 ，即 ， ，
所以 ， 的值是8．
所以正方形 的边长为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握正方形的面积随着正方形的边长的变化是解题的关键．
17．（2023春•思明区校级期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四
个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三
角形的直角边长分别为 ， ，斜边长为 将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠
地拼接在一起，得到图形 ．若该图形的周长为48， ，则该图形的面积
96 ．【分析】根据题目中的数据和图形，可以得到 ，然后即可得到 、 、
的值，然后即可计算出图形 的面积．
【解答】解：由图②可得，
，
解得 ，
图形 的面积为： ，
故答案为：96．
【点评】本题考查勾股定理的证明、勾股定理，直角三角形的面积，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（2023春•宁津县期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用
代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方
法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图 1，在数轴上找出表示 4 的点 ，过点 作直线 垂直于 ，在 上取点 ，使
，以点 为圆心， 为半径作弧，则弧与数轴的交点 表示的数是 ．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推
至 处时，水平距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，
求绳索 的长．
【分析】（1）用含 、 的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；
（2）①根据勾股定理求出 ，根据实数与数轴解答即可．
②设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定理可得
，即可得到结论．
【解答】解：（1）由图3的左图可知： ，即 ，由图3的右图可知： ，即 ．
．
．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）①在 中，
，
，
点 表示的数是 ，
故答案为： ；
② ， ，
．
设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，
利用勾股定理可得 ．
解得： ．
答：绳索 的长为 ．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的
平方和等于斜边的平方是解题的关键．
19．（2023秋•张店区校级期中）问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾
股定理；
定理表述：
（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；
尝试证明：
（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理；
定理应用：（3）某工程队要从点 向点 铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段 铺设，需
要绕道沿着矩形的边 和 铺设管道，经过测量 米， 米，已知铺设每
米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据等积法可进行求解；
（3）利用勾股定理可进行求解．
【解答】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，那么
（2） ，
，
，
；
（3）在 中， （米 ，
（元 ；
答：增加了8000元．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一
种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式
，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得
到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问
题
（1）如图2，在 中， ， 是 边上的高， ， ，求
的长度．
（2）如图3，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，
求 的值．
【分析】（1）先根据勾股定理先求出 ，再根据“双求法”求出 的长度；
（2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出 ，德关于 的方程求解．
【解答】解：（1）在 中 ，
由面积的两种算法可得： ，
解得： ．
（2）在 中 ，
在 中 ，
所以 ，解得 ．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．
三．勾股定理的逆定理（共10小题）
21．（2022秋•永州期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三
角形．
【解答】解： 、 ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
、 ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
、 ，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
、 ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，
这个三角形就是直角三角形．
22．（2023春•黄岩区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角
形的是
A． B．
C． D．【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解： 、三角形的三边为 ， ，3， ，则这个三角形不
直角三角形，本选项不符合题意；
、三角形的三边为 ， ， ， ，则这个三角形不直角三
角形，本选项不符合题意；
、三角形的三边为 ， ， ， ，则这个三角形是直角
三角形，本选项符合题意；
、三角形的三边为 ， ， ，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，
那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
23．（2023•海淀区校级开学）如图，在正方形方格中，点 ， ， 在格点上，则
4 5 ．
【分析】由网格可知 且 ，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图， ，且 ，
，
，
，
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
24．（2023 秋•南山区期末）已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，且
， ，则 的长为 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出 ，即 ，设 ，在
中，由勾股定理得出 ，求出 即可．
【解答】解：设 ，
， ， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得
是解答本题的关键．
25．（2023春•台江区期末）如图，每个小正方形的边长为 1， ， ， 是小正方形的
顶点．
（1）求 和 ；
（2）求 的度数．【分析】（1）连接 ，根据勾股定理得到 和 的长度；
（2）根据勾股定理得到 ， ， 的长度，根据勾股定理的逆定理得到 是
等腰直角三角形，继而可得出 的度数．
【解答】解：（1）连接 ．
根据勾股定理可以得到： ， ，
， ；
（2） ， ，
，即 ，
是等腰直角三角形，
．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断 是等腰直角三角形是解决本题的关
键．
26．（2023春•鄂州期末）在 中， 、 、 的对边分别记为 、 、 ．下列
条件中；不能说明 是直角三角形的是
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理可分析出 、 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出
的正误．【解答】解： 、 ， ，
，
不为直角三角形，故此选项符合题意；
、 ，
为直角三角形，故此选项不合题意；
、 ， ，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
、 ，
设 ， ， ，
，
能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的
三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．
27．（2023 春•麒麟区校级期中）如图：在四边形 中， ， ，
， ， ，求四边形 的面积．
【分析】在直角三角形 中，由 及 的长，利用勾股定理求出 的长，再由
及 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 为直角三角形，根据四边形 的
面积 直角三角形 的面积 直角三角形 的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解： ，
为直角三角形，
又 ， ，根据勾股定理得： ，
又 ， ，
， ，
，
为直角三角形， ，
则 ．
故四边形 的面积是36．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的
逆定理是解本题的关键．
28．（2022秋•昌黎县期末）已知 ， ， 满足
（1） ； ； ；
（2）判断以 ， ， 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么三角形？
并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；
（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1） 、 、 满足满足 ，
， ，
解得： ， ， ；
（2） ， ，
，
能构成三角形，
又 ， ，
此三角形是直角三角形，面积 ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股
定理的逆定理是解题的关键．
29．（2023春•岳池县期末）在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，下列
条件：① 与 互余；② ；③ ，其中可以判定
是直角三角形的有 3 个．
【分析】根据三角形内角和定理可以判断①③，根据勾股定理逆定理可以判断②，从而即
可得到答案．
【解答】解：① 与 互余，
，
，
，
是直角三角形，故①正确，符合题意；
② ，
，即 ，
是直角三角形，故②正确，符合题意；
③ ， ，
， ，
是直角三角形，故③正确，符合题意；
综上所述，可以判定 是直角三角形的有①②③，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和定
理、勾股定理逆定理是解题的关键．
30．（2023春•定远县期中）定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 、 ，
若以 、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股
分割点．
（1）已知 、 把线段 分割成 、 、 ，若 ， ， ，
则点 、 是线段 的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点 、 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ， ，
求 的长．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点 、 是线段 的勾股分割点．
（2）设 ，则 ，分两种情形①当 为最长线段时，依
题意 ，②当 为最长线段时，依题意 ，分别列出方
程即可解决问题．
【解答】解：（1）是．
理由： ， ，
，
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，
点 、 是线段 的勾股分割点．
（2）设 ，则 ，
①当 为最长线段时，依题意 ，
即 ，
解得 ；
②当 为最长线段时，依题意 ．
即 ，
解得 ，
综上所述， 或10．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，
注意不能漏解，属于中考常考题型．
四．勾股数（共10小题）31．（2023春•赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著
名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和
是否等于最长边的平方．
【解答】解： 、 ，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
、 ，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
、 ，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
、 ，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足 的三个正整
数，称为勾股数．
32．（2023春•抚顺县期末）以下四组数中，是勾股数的是
A．1，2，3 B．12，13，4 C．8，15，17 D．4，5，6
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和
是否等于最长边的平方．
【解答】解： 、 ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
、 ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
、 ，是勾股数，故本选项符合题意；
、 ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数．
33．（2023春•龙亭区期末）写出一组勾股数（即能够成为直角三角形三条边长的三个正整数） 3 ， 4 ， 5 （答案不唯一） ．
【分析】满足 的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多
组，随机写出一组则可．
【解答】解：根据勾股数的概念得，勾股数可以为：3，4，5；6，8，10；9，12，15；5，
12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61；12，35，37；13，84，85；
20，21，29；20，99，101等，任选1组即可．
故答案为：3，4，5（答案不唯一）．
【点评】本题考查勾股数，比较简单．
34．（2023•茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，
12，13；③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 11 ，
60 ， 61 ．
【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．
【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个
数是5， ，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为 ，第三个数为 ，
根据勾股定理的逆定理，得： ，
解得 ．
则得第5组数是：11，60，61．
故答案为：11，60，61．
【点评】本题考查了勾股数，关键是根据给出的数据找出规律是本题解题关键．
35．（2023春•确山县期末）在下列四组数中，属于勾股数的是
A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1， ，
【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案．
【解答】解： 、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
、 ， 、40、41是勾股数；
、 ， ，3，4不是勾股数；、 ， ， 均不是整数， ， ， 不是勾股数；
故选： ．
【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键．
36．（2023春•南岗区期末）如果 表示大于1的整数， ， ， ，
求证： ， ， 为勾股数．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和
是否等于最长边的平方．
【解答】证明： ， ， 为勾股数，理由如下：
．
又 ，
．
即： ， ， 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
， ， 为勾股数．
【点评】本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知
的三边满足 ，则 是直角三角形．
37．（2023春•金安区校级期末）若 ，12，13是一组勾股数，则 5 ．
【分析】根据满足 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解： ，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键．
38．（2023春•滑县期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数
是 2 5 ．【分析】设第三个数为 ，根据勾股定理的逆定理得：① ，② ．
再解 即可．
【解答】解：设第三个数为 ，
是一组勾股数，
① ，
解得： （不合题意，舍去），
② ，
解得： ，
故答案为：25．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给
边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，
进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
39．（2023春•凤山县期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾
股数，如：3，4，5都是正整数，且 ，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股
数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ；
7，24，25； ， ， ．
（1）当 时，求 ， 的值
（2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【分析】（1）由表格中勾股数的规律，勾股数的定义得到 ，求出 ，
得到 ；
（2）直角三角形的三边长都是正整数时，则这三个数为勾股数，因此即可判断．
【解答】解：（1）由表格中勾股数的规律，得到 ，
， ，，
，
；
（2）10，24，26是一组勾股数，理由如下：
， ，
，
，24，26是一组勾股数．
【点评】本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义；发现表格中勾股数的规律．
40．（2023春•辛集市期末）材料阅读：给定三个数 、 、 ，若它们满足 ，
则称 、 、 这三个数为“勾股数”．例如：
① ， ， ； ，即 ， 、4、5这三个数为勾股数．
② ， ， ； ，即 ， 、12、13这三
个数为勾股数．
若三角形的三条边 、 、 满足勾股数，即 ，则这个三角形为直角三角形，且
、 分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8、15、17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【分析】（1）三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数
就是勾股数，据此判断即可．
（2）根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即
可．（3）由于没有明确直角，所以应考虑两种情况：8是直角边或8是斜边．根据勾股定理进
行计算．
【解答】解：（1）因为 ，且8，15，17都是正整数，故8、15、17是为勾股
数．
（2）
该三角形是直角三角形
其面积 ．
（3）当8是直角边时，则另一条边 ，周长为 ；
当8是斜边时，则另一条边 ，周长为 ．
故其周长为24或 ．
【点评】（1）考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．
验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
（2）主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力．
（3）不要漏掉一种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
五．勾股定理的应用（共10小题）
41．（2023秋•滨海县期中）将一根 的筷子置于底面直径为 ，高为 的圆柱
形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在 点时，
筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出 的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时 ，
当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在 中， ， ，
，
此时 ，
所以 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出 的值最大值与最小值是解题
关键．
42．（2023春•海淀区校级期中）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，
她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出 ，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接
触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 ，由此可计算出学校旗杆的高度是
A． B． C． D．
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为 米，则绳子的长
度为 米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米，根据勾股定理可得： ，
解得， ．
即旗杆的高度为12米．
故选： ．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
43．（2023春•黄石期末）如图，某自动感应门的正上方 处装着一个感应器，离地
米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米
的学生 正对门，缓慢走到离门 1.2米的地方时 米），感应门自动打开，则
1. 5 米．
【分析】过点 作 于点 ，构造 ，利用勾股定理求得 的长度即可．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
米， 米， 米，则 （米
．
在 中，由勾股定理得到： （米
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用
勾股定理求得线段 的长度．
44．（2023春•莒南县期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是 ， ， ，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是
2.5 ．
【分析】由勾股定理求出 ，再由勾股定理求出 即可．
【解答】解：如图所示：
由勾股定理知： ，
，
即电梯内能放入这些木条的最大长度是 ．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题
的关键．
45．（2022秋•晋中期末）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，
准备采用如下方法：先测量门的边 和 的长，再测量点 和点 间的距离，由此可
推断 是否为直角，这样做的依据是A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余
【分析】由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，且 ，即可得得出结论．
【解答】解： ，
是直角三角形，且 ，
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
46．（2023•昌平区二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的
两侧建立两座灯塔．只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心
触礁．如图所示的网格是正方形网格，点 ， ， ， ， ， ， 是网格线交点，
当船航行到点 的位置时，此时与两个灯塔 ， 间的角度 的大小）一定无触礁
危险．那么，对于 ， ， ， 四个位置，船处于_____时，也一定无触礁危险．
A．位置 B．位置 C．位置 D．位置
【分析】连接 ， ，设正方形网格边长为 1，用勾股定理求出 ，
，证明 ，得到 ，选出船的位置．【解答】解：如图，连接 ， ，
设正方形网格边长为1，则 ， ，
，
，
，
当船航行到点 的位置时，一定无触礁危险，
船处于 时，也一定无触礁危险，
故选： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题关键．
47．（2023春•寻乌县期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，
委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木
柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3尺．牵着绳索
（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长
为 尺，可列方程为 ．
【分析】设绳索长为 尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为 尺，可列方程为 ，
故答案为：
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
48．（2023秋•驿城区期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在
上有一处古建筑 ，使得 的长不能直接测出，工作人员测得 米， 米，
米，在测出 米后，测量工具坏了，使得 的长无法测出，请你想办法求出 的长度．
【分析】由勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，则 ，
再由勾股定理求出 的长，即可解决问题．
【解答】解： 米， 米， 米， ，
，
是直角三角形，且 ，
，
（米 ，
（米 ，
答： 的长度为140米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理，
根据勾股定理的逆定理证明 是解题的关键．
49．（2023秋•姜堰区期末）如图，学校高 的教学楼 上有一块高 的校训宣传牌
，为美化环境，对校训牌 进行维护．一辆高 的工程车在教学楼前点 处，伸
长 的云梯（云梯最长 刚好接触到 的底部点 处．问工程车向教学楼方向行驶
多少米，长 的云梯刚好接触到 的顶部点 处？【分析】过点 作 交 于点 ，由勾股定理求出 ，设 ，
则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，过点 作 交 于点 ，
由题意得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
答：工程车向教学楼方向行驶5米，长 的云梯刚好接触到 的顶部点 处．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．50．（2023春•镇江期末）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面 ，圆盘半径为 ．
摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离
地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到
点 时，小丽到点 ，此时 ，且小丽距离地面 ．
（1） 与 全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【分析】（1）分别证明 ， ，即可利用 证明
；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再根据线段之间的关系求出 ，进而利
用勾股定理求出 ，则 ，由此可得两人所在座舱距离地
面的高度差为 ．
【解答】解：（1） ，理由如下：
， ，
，
，
，，
又 ，
；
（2） ，
，
小丽到点 ，且小丽距离地面 ，
，
又 ， ，
，
，
，
，
两人所在座舱距离地面的高度差为 ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与
判定条件是解题的关键．
