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跟踪训练 09 函数的应用
一．选择题（共15小题）
1．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级
是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的，
里氏震级的计算公式为 ，其中 是被测地震的最大振幅， 是“标准地
震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据
该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大
振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的 倍（精确到
．（参考数据： ， ，
A．794 B．631 C．316 D．251
【解答】解： ，
，即 ，
当 时，地震的最大振幅为 ，
当 时，地震的最大振幅为 ，
故 ．
故选： ．
2．某商场要将单价分别为36元 ，48元 ，72元 的3种糖果按 的比例混合
销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为
A．52元 B．50元 C．48元 D．46元
【解答】解：定价 （元 ．
故选： ．
3．据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了 ，如果按此规律，
设2009年的冬季冰盖面积为 ，从2009年起，经过 年后冬季冰盖面积 与 的函数关
系是
A． B．
C． D．
【解答】解：设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为 ，则 ，
，
设2009年的冬季冰盖面积为 ，从2009年起，经过 年后冬季冰盖面积 与 的函数关
系是： ，
即为： ．
故选： ．
4．有一组实验数据如表所示：
3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
A． B． C． D．
【解答】解：由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数 的图象类似，所以选项 最能反映 ， 之间的函数关系．
故选： ．
5．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 会按确定的比率衰减（称为衰减率），
与死亡年数 之间的函数关系式为 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量
的 ，则可推断该文物属于
参考数据： ；参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
【解答】解：当 时， ，
故 ，解得 ，所以 ，
由题意得 ， ，
解得 ，而 ，可推断该文物属于唐，
故选： ．
6．中国的 技术领先世界， 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率
取决于信道带宽 ，经科学研究表明： 与 满足 ，其中 是信道内信
号的平均功率， 是信道内部的高斯噪声功率， 为信噪比．当信噪比比较大时，上式真数中的1可以忽略不计．若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至4000，则 大约
增加了（附
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，信噪比为1000时最大数据传输速率约为： ，
信噪比为4000时最大数据传输速率约为： ，
，
故选： ．
7．某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受
“每张订单金额 折后）满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元
（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额 折后）满300元时
可减免60元”，
即每张订单打折前原金额不少于500元．
由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，
而要购入商品共45件，所以最少需要下的订单张数为4张．
故选： ．
8．某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过 ．若该溶质的半成品含
杂质 ，且每过滤一次杂质含量减少 ，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至
少应过滤
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次【解答】解：设原有溶质的半成品为 ，含杂质 ，经过 次过滤，含杂质
，
要使该溶质经过 次过滤后杂质含量不超过 ，则 ，即 ，
， ，
，该溶质的半成品至少应过滤6次，才能达到市场要求．
故选： ．
9．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一
尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现
把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为 ，那么前四日所取木棒
的总长度为
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意可知，每天所取部分是以 为首项， 为公比的等比数列，
则前四日所取木棒的总长度为 ．
故选： ．
10．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入
的研发资金比年增加 ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 600万元的年份是
（参考数据： ， ， ， ．
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
【解答】解：设从2021年后，第 年该公司全年投入的研发资金为 万元，则 ，
由题意可得， ，即 ，
故 ，则 ，
故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年．
故选： ．
11．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留
量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位： 与时间 （单位：
年）近似满足关系式 ， ，其中 为抗生素的残留系数，当 时，
，则
A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ， ，
则 ，化简整理可得， ，解得 ．
故选： ．
12．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光
定量 法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在 扩增过程中的靶标 进行实
时检测．已知被标靶的 在 扩增期间，每扩增一次， 的数量就增加 ．若
被测标本 扩增5次后，数量变为原来的10倍，则 的值约为 ．（参考数据：
，
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
【解答】解：设 数量没有扩增前数量为 ，由题意可得， ，即 ，
所以 ，即 ，
故 ．
故选： ．
13．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 （单位： 可以表示为 ，其中
表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以 游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的
A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍
【解答】解：由 得 ．
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
故选： ．
14．按复利计算利息的一种储蓄，本息和 （单位：万元）与储存时间 （单位：月）满
足函数关系 为自然对数的底数， ， 为常数）若本金为5万元，在第22个月
时本息和为20万元，则在第33个月时本息和是 万元．
A．36 B．40 C．50 D．60
【解答】解：由题意有 ， ，
则 ，即 ，
则 ，即第33个月时本息和是40万元．
故选： ．
15．第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，
换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循
环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水污染物数量
与时间 的关系为 为最初污染物数量）．如果前4小时消除了 的
污染物，那么污染物消除至最初的 还需要
A．3.6小时 B．3.8小时 C．4小时 D．4.2小时
【解答】解：因为前4小时消除了 的污染物，所以 ，解得 ，
设经过 小时污染物消除至最初的 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以污染物消除至最初的 还需要 小时．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．树人中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期
两周的募捐活动．两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募
捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，
从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第 ，
天募得的捐款数为 元．若甲小组前 天募得捐款数累计为 元，乙小组前 天
募得捐款数累计为 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则
A．
B．甲小组募得捐款为9550元C．从第7天起，总有
D． ， 且
【解答】解：设第 天甲小组募得捐款为 ，且 ，
对于甲小组， ， ，
， ，
， ，且 ，
，故 错误；
设 代表第 天乙小组募得捐款，由题可知 ，
， ，故 错误；
， ，故 正确；
令 ， ，
当 时， ，
数列 为递增数列，
， ，故 正确．
故选： ．
17．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
A．消耗 汽油，乙车最多可行驶
B．甲车以 的速度行驶 消耗约 汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80千米 小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解答】解：对于 ，由图可知，当乙车速度大于 时，乙车每消耗1升汽油，行
驶里程都超过 ，故 错误，
对于 ，甲车以 的速度行驶时，燃油效率为 ，则行驶 消耗约 汽油，
故 正确，
对于 ，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最
少，故 错误，
对于 ，在机动车最高限速80千米 小时相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，故更省
油，故 正确．
故选： ．
18．如图，假定两点 ， 相同的初速度运动．点 沿直线 做匀速运动， ；点
沿线段 （长度为 个单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离
．令 与 同时分别从 ， 出发，那么，定义 为 的纳皮尔对数，用现在的
数学符号表示 与 的对应关系就是 ，其中 为自然对数的底数．则下列结论正确的是
A．当点 在线段 的三等分点（靠近点 时，
B．当点 在线段 的中点时，
C．当点 从线段 的三等分点（靠近点 移动到中点时，经过的时间为
D．当点 从线段 的三等分点（靠近点 移动到中点时，经过的时间为
【解答】解：由题意可知，当点 在线段 的三等分点（靠近点 时，
点 的速度大小为 ，
则 ，解得 ，故 错误，
当点 在中点时， ，解得 ，故 正确，
当 点 从 线 段 的 三 等 分 点 （ 靠 近 点 移 动 到 中 点 时 ， 经 过 的 时 间 为
，故 正确， 错误．
故选： ．
19．某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水
平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量． 降雨量的等级划分如下：
等级
降用量
小雨
中雨
，大雨
，
暴雨
，
大暴雨
，
特大暴雨
，
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高
度为 ，瓶口高度为 收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 设 降 雨 量 为 ， 容 器 内 雨 水 高 度 为 ， 根 据 体 积 相 等 得 ：
，解得 ，由 ， ，可得 ， ．
20， ， ，25， ， ．
故选： ．
20．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的
计算公式为 （其中常数 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最
大振幅， 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．
地震的能量 （单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中 为地震震级．下列说法正确的是
A．若地震震级 增加1级，则最大振幅 增加到原来的10倍
B．若地震震级 增加1级，则放出的能量 增加到原来的10倍
C．若最大振幅 增加到原来的100倍，则放出的能量 也增加到原来的100倍
D．若最大振幅 增加到原来的100倍，则放出的能量 增加到原来的1000倍
【解答】解： ，
，故 选项正确，
，故 选项错误，
， ，
故 选项错误， 选项正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．如图，某池塘里浮萍的面积 （单位： 与时间 （单位：月）的关系为 ．关
于下列说法正确的是 ①④ ．
①浮萍每月的增长率为2；
②浮萍每月增加的面积都相等；
③第4个月时，浮萍面积不超过 ；
④若浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别是 ， ， ，则 ．【解答】解：将点 的坐标代入函数 的解析式，解得 ，
故函数的解析式为 ，
对于①， ，
则浮萍每月的增长率为2，故①正确，
对于②，浮萍第1个月增加的面积为 ，
第2个月增加的面积为 ，故②错误，
对于③，第4个月时，浮萍的面积为 ，故③错误，
对于④，由题意可得， ， ， ，
，即 ，
所以 ，故④正确，
故正确的为①④．
故答案为：①④．
22．已知 ， 两城市的距离是 、根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在
，假设油价是 6 元 ，以 的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元 ．为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是
57 （精确到 ，参考数据
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 知 ， 行 车 的 总 费 用
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 ．
故答案为：57．
23．个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现
行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额
（含税） 收入 个税起征点 五险一金（个人缴纳部分） 累计专项附加扣除；专项附
加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，
其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子
女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3000元的部分
2 超过3000元至12000的部分
3 超过12000元至25000的部分
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高
一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个
税金额为 179 0 元 ．
【解答】解：需要交费的金额 元，
第一级数交费 ，剩余 元
第二级数交费 元，剩余 元，
第三级数交费 ，
合计 元，
故答案为：1790元．24．中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如表：
方案代号 基本月租（元 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元
分钟）
1 30 48 0.60
2 98 170 0.60
3 168 330 0.50
4 268 600 0.45
5 388 1000 0.40
6 568 1700 0.35
7 788 2588 0.30
某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案 3 较合算．
【解答】解：月通话量平均为320分钟，
方案1的月话费为： （元 ；
方案2的月话费为： （元 ；
方案3的月话费为168元，其它方案的月话费至少为268元．
经比较，选择方案3较合算．
故答案为：3．
25．中国古代数学著作《九章算术》中记载买鸡问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；
人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”设人数为 ，鸡价为 ，则 那么，
9 ， ．
【解答】解：由
① ②得 ，再将 代入①解得 ．
故答案为：9；70．
四．解答题（共3小题）
26．某公司有两种活期理财产品，投资周期最多为一年，产品一：投资 1万元，每月固定盈利40元．产品二：投资1万元，前 个月的总盈利 （单位：元）与
的关系式为 ．已知小明选择了产品二，第一个月盈利10元，前两个月盈
利30元．
（1）求 的解析式；
（2）若小红有1万元，根据小红的投资周期的不同，探讨她在产品一和产品二中选择哪一
个，才能获得最大盈利．
【解答】解：（1）由题知， ， （1） ， （2） ，
所以 ，解得 ，
所以 的解析式为 ， ；
（2）由（1）得 ， ，
由题知，投资产品一：投资 1 万元，每月固定盈利 40 元，设总盈利为函数 ，
元，
投资产品二：收益为 元，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
所以小红的1万元投资周期小于7个月，选产品一获得最大盈利；
小红的1万元投资周期为7个月，选产品一或产品二获得最大盈利相同为280元；
小红的1万元投资周期大于7个月，选产品二获得最大盈利．
27．人对声音的感觉与它的强度有关，声音的强度用 （单位： 表示，但在实际测量时，声音的强度水平用 （单位：分贝）表示，它们满足以下公式： ，其中
，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端．
（1）若树叶沙沙声的强度 ，耳语的强度 ，恬静的无线
电广播的强度 ，分别求出它们的强度水平；
（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50分贝以
下．试求声音强度 范围为多少？
【解答】解：（1）树叶沙沙声的强度水平为 （分贝）；
耳语的强度水平为 （分贝）；
无线电广播的强度水平为 （分贝）；
（2）由题意得 ，即 ，解得 ．
28．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表：
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 3元
超过 但不超过 的部分 6元
超过 的部分 9元
（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；
（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？
【解答】解：（1）解：设用水量为 ，水费为 元，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
故每月用水量和水费之间的函数关系为 ．
（2）由（1）可得，当 时， ，不符合题意，舍去，
当 时，令 ，解得 ，符合题意，
当 时， ，不符合题意，舍去，
综上所述，此月此户居民的用水量为 ．
