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开学收心考试模拟卷01
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断．轴对称图形定义是如果一个图形沿着一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，寻找对称
轴．
2．(本题3分)下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、 ，不能构成三角形，此项不符题意；
B、 ，不能构成三角形，此项不符题意；
C、 ，能构成三角形，此项符合题意；
D、 ，不能构成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
3．(本题3分)一个凸多边形的内角和与外角和之比为 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B【分析】设这个多边形的边数为n，根据“多边形的内角和与外角和之比为 ”，即可求解．
【详解】解∶设这个多边形的边数为n，根据题意得：
解得： ，
即这个多边形的边数为6．
故选：B
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和公式与外角和
等于360°是解题的关键．
4．(本题3分)如图，在 中， ， ． 平分 交 于点D，下列说法：
① ；② ；③点D在 的中垂线上；④ ．其中正确的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据 ， ， 平分 ，可得 ，从
而得到 ，故①正确；然后设 ，可得 ，由勾股定理
可得 ，再由直角三角形的性质可得 ，故②错误；再由
，可得 ，从而得到点D在 的中垂线上，故③正确；可得到
，故④正确，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
设 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴点D在 的中垂线上，故③正确；
∴ ，故④正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的
判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判
定是解题的关键．
5．(本题3分)下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算法则运算即可得出正确选项．
【详解】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项错误，不符合题意；
C． ，选项正确，符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了幂的运算法则，准确计算是本题的关键．
6．(本题3分)若多项式 分解因式为 ，则 的值是（ ）A．2 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】利用十字相乘法很容易确定m的值．
【详解】解： 多项式 分解因式为 ，
即 ，
，系数对应相等，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．
7．(本题3分)已知 为实数，且 ，若 ，则 满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的减法的法则对条件进行整理，从而可求解．
【详解】解：∵ 为实数，且
故选：A
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．(本题3分)在下面的正方形分割方案中，可以验证 的图形是（ ）
A．图1 B．图2 C．图3 D．图4
【答案】D
【分析】根据图形进行列式表示图形的面积即可．【详解】解：由图1可得， ，A选项不符合题意；
由图2可得， ，B选项不符合题意；
由图3可得， ，C选项不符合题意；
由图4可得， ，D选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了乘法公式的几何意义，关键是能根据图形准确列出整式．
9．(本题3分)如图，在 中， 是 的中线， 是 边的中垂线，且 与 相交
于点 ，连结 ， ，若四边形 与四边形 的面积分别为7和11，则 的面积
为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．36
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形 与四边形 的面积分别为7和11，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 边的中垂线，
∴ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点
到线段的两个端点的距离相等．
10．(本题3分)在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若
△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【答案】C
【分析】由题意知A，B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰；以AC、BC为
腰；以BC、AB为腰，满足条件的点C即为所求，分别以A,B为圆心作圆，作AB的垂直平分线,则
圆与坐标轴的交点，垂直平分线与坐标轴的交点符合题意．
【详解】解：如图，分别以A,B为圆心作圆，作AB的垂直平分线,则圆与坐标轴的交点，垂直平分
线与坐标轴的交点符合题意，其中I,A,B三点共线，则除点I以外的7个点符合要求．
满足条件的点C个数是图中的C、D、E、F、G、H，J共计7个点．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与坐标与图形的性质，分类别寻找正确答案为关键．
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共18分)
11．(本题3分)用科学计数法表示： _____________；
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
12．(本题3分)当 ________时，分式 的值为零．
【答案】2
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出 的值．
【详解】解： 分式 的值为零，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值
为零．
13．(本题3分)分解因式： _______．
【答案】
【分析】提公因式 ，即可求解．
【详解】解： ，故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．(本题3分)计算 ______．
【答案】-0.25
【分析】根据积的同底数幂乘法逆运算及积的乘方逆运算解答．
【详解】解：
＝
＝
＝0.25 (-1)
=-0.25×
故答案为：-0.25．
【点睛】此题考查了乘法公式：同底数幂乘法和积的乘方计算法则，熟记计算法则及逆运算是解
题的关键．
15．(本题3分)如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，若
，则 的面积_________．
【答案】15
【分析】过D作 垂足为E，根据角平分线定理可得 ，然后根据三角形的面积
公式计算即可．
【详解】解：如图：过D作 垂足为E，
∵ ，
∴ ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ 的面积为： ．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件是
解题的关键．
16．(本题3分)如图，边长为 的等边 中， 是 上中线且 ，点 在 上，连接
，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是___________（用含 ，
的式子表示）．
【答案】 ##
【分析】因为 ，所以当 最小时， 周长取得最
小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接 并延长，作点 关于射线 的对称点 ，连接 ， ，连接 交
延长线于点 ，连接 ，如下图：
和 是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
，
，
， ，且 平分 ，
，
，即点 在射线 上运动，
点 和点 关于射线 对称，
， ，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
，
又 ，
当 最小时， 周长取得最小值，
即 时， 周长取得最小值，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质判定，以及轴对称求最值，能够根据题
意作出相关的图形是解题的关键．
三、解答题(共72分)
17．(本题4分)解方程 ；
【答案】
【分析】方程两边同时乘以 ，把分式方程化成整式方程，解整式方程，检验后，即可得出
分式方程的解
【详解】∵ ，
∴方程两边同时乘以 得： ，解得：
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
【点睛】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关
键
18．(本题4分)先化简，再求值 ，其中a＝2
【答案】 ；0
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分
得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=
=
=
= ，
当 a=2时，原式= =0．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19．(本题6分)如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
求证：AB DE，AC DF．【答案】见解析
【分析】根据SSS证明 ABC与 DEF全等，进而利用平行线的判定解答即可．
【详解】证明：∵BF＝△EC， △
∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在 ABC与 DEF中，
△ △
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定．证明三角形全等是解题的关键．
20．(本题6分)已知 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)在(1)的条件下，且 为整数，求 的值．
【答案】(1)
(2) ， ， ，
【分析】（1）根据平方差公式将 变形，代入 ，可求出 的值，再根据完全
平方公式将 变形，由此即可求解；
（2）根据（1）可知 ， ， ，则
可化简为 ，根据 为整数，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值是 ．
（2）解：由（1）可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 的值为 ， ， ， ，且 ，即 ，
∴当 时， 满足条件，则 ；
当 时， 满足条件，则 ；
当 时， 满足条件，则 ；
当 时， 满足条件，则 ．
综上所述，当 为整数， 的值为 ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查平方差公式，完全平方公式在分式运算中的运算，掌握分式的性质，分式
的混合运算是解题的关键．
21．(本题8分)在如图所示的方格纸中，
(1)作出△ABC关于MN对称的图形△A B C ．
1 1 1
(2)说明△A B C 可以由△A B C 经过怎样的平移变换得到？
2 2 2 1 1 1
(3)以MN所在直线为x轴，AA 的中点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，试在x轴上找一点P，使
1得PA +PB 最小，直接写出点P的坐标．
1 2
【答案】(1)见解析；(2)△A B C 可以由△A B C 向右平移6个单位，向下平移2个单位得到；(3)作
2 2 2 1 1 1
图见解析，点P的坐标为(1，0)．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于MN对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）依据△A B C 与△A B C 的位置，即可得到平移的方向和距离；
2 2 2 1 1 1
（3）连接AB ，交x轴于P，连接A P，依据两点之间，线段最短，即可得到PA +PB 最小，进而得
2 1 1 2
到点P的坐标．
【详解】解：(1)如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
(2)△A B C 可以由△A B C 向右平移6个单位，向下平移2个单位得到；
2 2 2 1 1 1
(3)如图，连接AB ，交x轴于P，连接A P，则PA +PB 最小，
2 1 1 2
此时，点P的坐标为(1，0)．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短距离问题以及利用轴对称变换作图，熟练运用两点之间线段最
短的性质定理和轴对称的性质作出图形是解题的关键.
22．(本题10分)如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．(1)尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△DEA≌△ACB（AAS），推出DE＝AC，AE＝BC，可得结论．
（1）
解：如图，射线AE即为所求．
（2）
证明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC，
∴AE＝EC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
在△DEA和△ACB中，，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC，AE＝BC，
∴DE＝2BC．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．(本题10分)为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类
玩具的进价比B玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进A类玩具的数量与用800元购进
B类玩具的数量相同．
(1)求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
(2)该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为35元出售，每个
B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于800元，则商店至少购进A类玩具多少
个？
【答案】(1)A的进价是25元，B的进价是20元
(2)至少购进A类玩具60个
【分析】（1）设B的进价为x元，则A的进价是 元；根据用1000元购进A类玩具的数量与
用800元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．
（2）设A玩具a个，则B玩具 个，结合“玩具店将每个A类玩具定价为35元出售，每个
B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于800元”列出不等式并解答．
【详解】（1）设B的进价为x元，则A的进价是 元，
由题意得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的解．
∴ （元）
答：A的进价是25元，B的进价是20元；（2）设A玩具a个，则B玩具 个，
由题意得： ，
解得： ．
答：至少购进A类玩具60个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找
到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力．
24．(本题12分)如图，已知 中， ， 是 的平分线， 于点 ，点
在边 上， ．求证：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）根据三角形内角和求得∠CDA＝∠EDA，根据全等三角形的判定证得△ACD≌△AED
（ASA）继而根据全等三角形的性质即可求证；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可求证；
（3）根据全等三角形的性质可得AC＝AE， CF＝BE，继而根据线段和差即可求解．
【详解】证明：（1）∵ 是 的平分线
∴∠CAD＝∠EAD
∵ , 于点
∴∠C＝∠AED＝90°
∴180°－∠C－∠CAD＝180°－∠AED－∠EDA
即∠CDA＝∠EDA
在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED（ASA）
∴DC＝DE
（2）在Rt△CDF和Rt△EDB中
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）
∴
（3）由（1）知△ACD≌△AED（ASA）
∴AC＝AE
∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＝AF＋CF＋BE
由（2）知，CF＝BE
∴AB＝AF＋2BE
即
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质、线段的和差，解题的关键是
熟练运用全等三角形的判定方法：ASA、HL．
25．(本题12分)已知，如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C
在第一象限， ，AC=BC，点A的坐标为(m,0)，点C的横坐标为n，且
．
(1)直接写出m，n的值；
(2)如图2，D为边AB的中点，以点D为顶点的直角∠EDF的两边分别交边BC于E，交边AC于F
①求证：DE=DF；②求证： ；
(3)在平面坐标内有点G(点G不与点A重合)，使得△BCG是以BC为直角边的等腰直角三角形，请
直接写出满足条件的点G的坐标．
【答案】(1)m＝1 , n＝4
(2)①见解析；②见解析
(3)G的坐标为(3，11)，(7，8)，(－3，3)
【分析】(1)根据 ，得出m=1，n=4；
(2)①连接CD，则CD⊥AB，CD平分∠ACB，△BCD和△ACD都为等腰直角三角形，再证
，得出DE=DF；
②由①知 ，可得 ，可证得 ，再由 ，即
可证得结论；
(3)作出以BC为直角边的等腰直角三角形 、 、 ，可证得
，可得 ，
，即可得出点G的坐标．
【详解】（1）解： ，
，
，n-4=0，
解得m=1，n=4；
（2）证明：①如图：连接CD，∵在△ABC中，AC=BC，D为边AB的中点，
∴CD⊥AB， ，
∴△DBC和△DAC都是等腰直角三角形，
∴DB＝DC，
∵ ，
∴∠BDE=∠CDF，
在△DBE和△DCF中
∴ ，
∴DE=DF；
②∵ ，
∴
∴
∵
∴S DECF= S ABC
四边形
△
（3）解：∵m=1，n=4，
∴点A的坐标为(1,0)，点C的横坐标为4，
如图：过点C向x轴和y轴分别作垂线，垂足为点M、N，∵ ，
∴∠BCN=∠ACM，
在△CMA和△CNB中
∴ ，
∴CM=CN=4，BN=AM=4-1=3，OB=3+4=7，
， ，
如图：作出以BC为直角边的等腰直角三角形 、 、 ，
作 轴于点Q， 于点R，
由题意可知： ，在 与 中，
，
， ，
作 轴于点M，作 轴， 于点P，
轴，
，
，
，
，
在 与 中，
，
， ，
同理可证得 ，
，
， ，
G的坐标为(3，11)，(7，8)，(-3，3)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，关键是掌握证明三角形
全等是证明线段相等的重要方法．
