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期中期末考前基础练练练-全等三角形（45题）
一、单选题
1
1．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=8m，DC= AD，BD平分∠ABC，则点D
3
到AB的距离为（ ）
A．2m B．3m C．4m D．6m
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
1
∵AC＝8m，DC= AD，
3
∴DC＝2m，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2m，
∴点D到AB的距离等于2m.
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，由已知条件可得CD=2cm，根据角平分线的性
质可得CD=DH，据此解答.
2．如图，在 Rt△ABC 中， ∠B=90°,AD 平分 ∠BAC ，交 BC 于点D，
DE⊥AC ，垂足为点E，若 BD=1 ，则 DE 的长为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．6
2
【答案】B
【解析】【解答】∵∠B=90° ，∴DB⊥AB ，又∵AD 平分 ∠BAC ，DA⊥AC ，∴由角平分线的性质得 DE=BD=1 .
故答案为：B
【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等，根据性质可知DE=BD，即可得解.
3．如图，∠1=∠2，添加下列条件仍不能判定△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．BD=CD C．∠B=∠C D．
AB=AC
【答案】B
【解析】【解答】解：A．∠1=∠2，AD=AD，∠3=∠4，符合全等三角形的判定定理
ASA，能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．BD=CD，AD=AD，∠1=∠2，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；
C．∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出
△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；
D．AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出
△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
4．如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取
1
OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于 CD的长为半径作弧，两弧
2
在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：
△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（
）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】【解答】解：由作图可知OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
{OP=OP
OC=OD，
PC=PD
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，即线OP就是∠AOB的平分线．
故答案为：D.
【分析】由作图可知OC＝OD，CP＝DP，由图形可得OP=OP，利用SSS证明
△POC≌△POD，得到∠POC＝∠POD，据此解答.
5．如图，将两根钢条 A A' ， BB' 的中点O连在一起，使 A A' ， BB' 可绕点O
自由转动，就做成了一个测量工件，则 A'B' 的长等于内槽宽 AB ，那么判定
△OAB≌△OA'B' 的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【解析】【解答】由已知 OA=OA'，OB=OB'
∵∠AOB=∠A'OB'
∴△OAB≌△OA'B' (SAS)
故答案为：A．
【分析】根据题意可得：OA=OA'，OB=OB'，结合对顶角相等，可利用“SAS”证
明△OAB≌△OA'B'。6．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．85°
【答案】A
【解析】【解答】如图，∠A=180°−105°−45°=30°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴∠D=∠A=30°，即x=30，
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的性质求解即可。
7．下列说法不正确的是（ ）
A．全等三角形的对应边上的中线相等
B．全等三角形的对应边上的高相等
C．全等三角形的对应角的角平分线相等
D．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】D
【解析】【解答】根据全等三角形的性质有，
全等三角形的对应边上的中线相等，故A正确；
全等三角形的对应边上的高相等，故B正确；
全等三角形的对应角的角平分线相等，故C正确；
有两边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的性质和判定可求解.
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形C．周长相等的两个图形是全等图形
D．全等图形的面积相等
【答案】D
【解析】【解答】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，故本选项错误；
B、形状相等的两个图形不一定能完全重合，故本选项错误；
C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，故本选项错误；
D、全等图形的面积相等，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、
周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析．
9．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为
（ ）
A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．
0.7cm2
【答案】B
【解析】【分析】延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP，∴S =S ，
△ABP △BEP
1
AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S =S ，∴S =S +S =
△APC △PCE △PBC △PBE △PCE 2
S =0.5cm2，
△ABC
10．如图，已知线段AB=20米，MA⊥AB于点A，MA=6米，射线BD⊥AB于B，P点
从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出
发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（
）
A．5 B．5或10 C．10 D．6或10
【答案】A【解析】【解答】解：当△APC≌△BQP时，AP=BQ，即20﹣x=3x，
解得：x=5；
1
当△APC≌△BPQ时，AP=BP= AB=10米，
2
此时所用时间x为10秒，AC=BQ=30米，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
故选A．
【分析】分两种情况考虑：当△APC≌△BQP时与当△APC≌△BPQ时，根据全等三角形
的性质即可确定出时间．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=2cm，那
么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ED=EC，
∴AE+DE=AE+EC=AC=2（cm），
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，计算即可．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点EF是中线AD上的两点，则图中全等三角形有
几对( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中{
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
在△ABE和△ACE中
{
AB=AC
∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠AEB=∠AEC
∴∠BEF=∠CEF
在△ABF和△ACF中
{
AB=AC
∠BAF=∠CAF
AF=AF
∴△ABF≌△ACF（SAS）
∴∠AFB=∠AFC
∴∠BFD=∠CFD
在△BEF和△CEF中
{∠BFD=∠CFD
EF=EF
∠AFB=∠AFC
∴△BEF≌△CEF（ASA）
在△BFD和△CFD中
{∠BEF=∠CEF
FD=FD
∠ADB=∠ADC
∴△BFD≌△CFD（ASA）
在△BED和△CED中
{∠BED=∠CED
ED=ED
∠EDB=∠EDC
∴△BED≌△CED（ASA）
共有6对全等三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定定理判断每一对三角形即可得出答案.
13．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
【答案】D
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A选项正确；
在△AOP和△BOP中，
{PO=PO
，
PA=PB
∴△AOP≌△BOP（HL），
∴∠AOP=∠BOP，OA=OB，故B、C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项
错误．
故选D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“HL”证明
△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对
应边相等可得OA=OB．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设
△ABD和△BDC的面积分别是S，S，则S：S 的值为（ ）
1 2 1 2
A．1：2 B．3：2 C．5：√5 D．√5：1
【答案】D
【解析】【解答】解：如图过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE＝DC
又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ =√AC2+BC2=√22+12＝ √5，
∴S：S＝AB：BC＝ √5：1．
1 2
故答案为：D．
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质可得DE=DC，再利用三角形的面
积公式可得S：S＝AB：BC＝ √5：1。
1 2
15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°，△EDC≌△ABC，且
A、C、D在同一条直线上，则∠BCE=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△EDC≌△ABC，
∴∠DCE=∠ACB=100°，
∵A、C、D在同一条直线上，
∴∠ACD=180°，
∴∠BCE=∠ACB+∠DCE﹣∠ACD=20°，
故选A．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠ACB=100°，由A、C、D在同一条直线
上，得到∠ACD=180°，根据角的和差即可得到结论．
二、填空题
16．如图，AC，BD相交于点O，OB=OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是
．（只写一个）【答案】OA=OC（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA=OC，
故答案为：OA=OC（答案不唯一）．
【分析】观察图形，可知图形中隐含对顶角相等，即∠AOB=∠COD，可知两三角形
中有一组对应边相等和一组对应角相等，可以添加边OA=OC，或添加一组对应角相等
∠A=∠C或∠B=∠D.
17．如图，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=9cm，BD=7cm，AD=4cm，
则DC= cm.
【答案】5
【解析】【解答】解：∵△ABD≌△ACE，点B和点C对应，
∴AB=AC=9
∴CD=AC-AD=9-4=5.
故答案为：5.
【分析】由全等三角形的性质可得AB=AC，然后根据线段的和差关系进行求解即可.
18．一个三角形的三边为9、7、x，另一个三角形的三边为y、9、6，若这两个三角形
全等，则x+ y= ．
【答案】13
【解析】【解答】解：根据全等三角形的对应边相等得，x=6，y=7
∴x+ y=6+7=13
故答案为：13．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可求出x、y值，再求和即可.19．如图， △AOD≌△BOC ， ∠C=50° ， ∠COD=40° ， AD 与 BC 相交
于点 E ，则 ∠DEC= ．
【答案】40°
【解析】【解答】解：如图，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠D=∠C=50°，
∵∠D+∠DEC+∠DNE=180°，∠C+∠DOC+∠ONC=180°，∠D=∠C，∠DNE=∠ONC，
∴∠DEC=∠DOC，
∵∠COD=40° ，
∴∠DEC=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D=∠C=50°，结合∠DNE=∠ONC，根据三角形
内角和定理求出∠DEC=∠DOC，即可得出答案。
20．如图，已知AD//BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，
交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2
【答案】5
【解析】【解答】解答：解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD // BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
1
∴PG＝PE＝PF＝ EF＝2cm，
2
又∵AB＝5cm，
1 1
∴△APB的面积＝ AB×PG＝ ×5×2＝5（cm2）．
2 2
故答案为：5．
1
【分析】先求出PF⊥BC，再求出PG＝PE＝PF＝ EF＝2cm，最后利用三角形的面积
2
公式计算求解即可。
21．如图， △ABC≌△DFE ，CE＝6，FC＝2，则BE＝ ．
【答案】14
【解析】【解答】解： ∵△ABC≌△DFE ，
∴BC=FE，
∵CE=6，FC=2，
∴EF=CE+CF=8=BC，
∴BE=BC+CE=8+6=14 ．
故答案为： 14.
【分析】先求出BC=FE，再求出EF=CE+CF=8=BC，最后计算求解即可。
22．如图所示，△ABE≌△ACD，∠B=70°，∠AEB=75°，则∠CAE= °．【答案】5
【解析】【解答】∵∠B＝70°，∠AEB＝75°，
∴∠BAE=35∘
∵△ABE≌△ACD，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠CAE＝∠BAC- ∠BAE=5∘
故答案为：5.
【分析】因为△ABE≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等即可求得∠B和∠C的度
数，从而得到∠BAC的度数。在三角形ABE中，根据题目所给条件即可求出∠BAE
的度数，继而得到∠CAE的度数。
23．如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是
．（只需写一个，不添加辅助线）
【答案】AD=CD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加AD=CD．理由如下：
{AB=CB
在△ABD和△CBD中， BD=BD ，
AD=CD
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：AD=CD（答案不唯一）．
【分析】由已知AB=BC，及公共边BD=BD，添加AD=CD，由SSS证明三角形全等即
可．
24．如图所示，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是
AE=1，CF=2，则EF长为 ．【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥BE，CF⊥BF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF=2，AE=BF=1，
∴EF=BE+BF=3．
故答案为3．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC，∠ABC=90°，再根据等角的余角相等得到
∠EAB=∠FBC，则可根据“ASA”判断△ABE≌△BCF，所以BE=CF=2，进而求出EF的
长．
25．如图，点 O 在 △ABC 内部，且到三边的距离相等，若 ∠BOC=130° ，则
∠A= ．【答案】80°
【解析】【解答】∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-2（∠OBC+∠OCB）
=180°-2×（180°-∠BOC）
=180°-2×（180°-130°）
=80°，
故答案为：80°．
【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．
三、作图题
26．如图，在 ΔABC 中，尺规作图：作 ΔABC 的角平分线 AE .（不写作法，保留
作图痕迹）
【答案】解：如图， AE 为 ΔABC 的角平分线，
【解析】【分析】利用用尺规作图的方法做出∠BAC的角平分线，交BC于点E。
27．如图，在 Rt△ABC 中.
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离 (PD 的长 )
等于PC的长；
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD.
( 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 )
【答案】（1）解：如图，点P即为所求；（2）解：如图，线段PD即为所求.
【解析】【分析】（1）由点P到AB的距离 (PD 的长 ) 等于PC的长知点P在
∠BAC 平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为
半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离
的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为
要求的点）；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于
点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点
间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB
交于点D，PD即为所求）.
四、解答题
28．如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：AB＝CD.
【答案】证明：在△ABC和△CDA中，
{∠1=∠2
∠B=∠D ，
AC=AC
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AB＝CD.
【解析】【分析】利用AAS先证出△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质，即可得
AB＝CD.
29．如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，
AC=CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠EDC，
在△ABC和△CDE中，
{∠B=∠EDC
∠ACB=∠E，
AC=CE
∴△ABC≌△CDE(AAS)．
【解析】【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△CDE即可。
30．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上， AB∥DE，AC∥DF 且 BE=CF
．求证： AB=DE ．
【答案】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BC＝EF．
在△ABC与△DEF中，
{∠B=∠DEF
BC=EF ，
∠ACB=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再利用线段的
和差及BE=CF，可得BC=EF，再利用“ASA”证明△ABC≌△DEF，可得AB=DE。
31．如图，已知在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
∠5=∠6.{∠1=∠2
【答案】解：∵ AC=CA ，
∠3=∠4
∴△ADC≌△ABC（ASA）.
∴DC=BC.
{DC=BC
又∵ ∠3=∠4 ，
EC=CE
∴△CED≌△CEB（SAS）.
∴∠5=∠6.
【解析】【分析】根据ASA易证△ADC≌△ABC，根据全等三角形对应边相等得出
DC=BC，进而再根据SAS判定△CED≌△CEB，根据全等三角形的对应角相等得出
∠5=∠6.
32．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和
AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明
它的道理.
【答案】解：在△ACD和△ACB中，
AD=AB，CD=CB，AC＝AC.
∴△ACD≌△ACB.
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的平分线.
【解析】【分析】AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全
等，根据全等三角形的性质解题.
33．如图： △ ABC和 △ DBC的顶点A和D在BC的同旁，AB=DC，AC=DB，AC和DB相交于点O，试判定∠A与∠D相等吗？并说明理由．
【答案】解：相等，证明如下：
在 ΔABC 和 ΔDCB 中，
{AB=DC
AC=DB ，
BC=CB
∴ΔABC≅ΔDCB(SSS) ，
∴∠A=∠D ．
【解析】【分析】利用SSS即可证明ΔABC≅ΔDCB，再利用全等的性质可以得到
∠A=∠D。
34．如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：
DE=DF．
{AD=AD
【答案】证明：在△ABD和△ACD中， BD=CD ，
AB=AC
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质，可证得
∠BAD=∠CAD，然后根据角平分线的性质，可证得结论。
35．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC.图中AE，BD有怎样的数量
关系和位置关系？试证明你的结论．【答案】解：BD=AE，BD⊥AE，理由如下：如图所示：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
{
BC=AC
∠BCD=∠ACE，
DC=EC
∴△BCD≌△ACE(SAS)；
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC，
∵∠AHO=∠BHC，
∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BD⊥AE．
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠ACB=∠DCE=90°，由角的和差关系可得
∠BCD=∠ACE，由已知条件可知BC=AC，DC=EC，证明△BCD≌△ACE，得到
BD=AE，∠DEC=∠EAC，由对顶角的性质可得∠AHO=∠BHC，则
∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°，推出∠AOH=90°，据此解答.
36．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和
PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
{CD=CE
，
CM=CN
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°
．
【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
五、综合题
37．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽
度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸
直走20m有一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当
到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米.
（1）河的宽度是 米.
（2）请你说明他们做法的正确性.
【答案】（1）5
（2）解：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，
{∠ABC=∠EDC=900
在△ABC和△EDC中， BC=DC ，
∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，即他们的做法是正确的.
【解析】【解答】解：(1)由题意知，DE=AB=5米，即河的宽度是5米，
故答案是：5；
【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；
（2）首先利用ASA判断出△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等解答.
38．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
（1）求证：ΔABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）解：∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和
{AB=DE
△DEF中， BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）解：由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，由AD=CF得出AC=DF，从而利用SSS判断
出△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形对应角相等得出∠F=∠ACB，再由三角形的内角和得出∠ACB的
度数，从而得出答案。
39．如图△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm.求：
（1）∠1的度数；
（2）AC的长.【答案】（1）解：∵△ADF≌△BCE
∴∠E=∠F=22°
由三角形外角的性质可得： ∠1=∠B+∠E=62°
∠1的度数为 62°
（2）解：∵△ADF≌△BCE
∴AD=BC=2cm
∴AC=AD+CD=3cm
即AC的长为 3cm
【解析】【分析】（1）由全等三角形对应角相等得∠E=∠F=22°，由三角形任意一个
外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠1=∠B+∠E，据此求解；
（2）由全等三角形的对应边相等得AD=BC=2cm，然后根据AC=AD+CD进行计算.
40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，
过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证
明；
（3）在(2)的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵AE⊥AD
∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°
又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°
∴∠1=∠2
在△ABD和△ACE中
{AB=AC
∠1=∠2
AD=AE
∴△ABD≌△ACE；
（2）解： BD2+FC2=DF2 理由如下：
连接FE， ∵∠BAC=90°,AB=AC∴∠B=∠3=45°
由(1)知△ABD≌△ACE
∴∠4=∠B=45° ， BD=CE
∴∠FCE=∠3+∠4=45°+45°=90°
∴CE2+FC2=FE2
∴BD2+FC2=FE2
∵AF平分 ∠DAE
∴∠DAF=∠EAF
在△DAF和△EAF中
{
AF=AF
∠DAF=∠EAF
AD=AE
∴△DAF≌△EAF
∴DE=FE .
∴BD2+FC2=DF2 ；
（3）解：过点A作 AG⊥BC 于G
由(2)知 DF2=BD2+FC2=32+42=25
∴DF=5
∴BC=BD+DF+FC=3+5+4=12
∵AB=AC,AG⊥BC
1 1
∴BG=AG= BC= ×12=6
2 2
∴DG=BG-BD=6-3=3
∴在 RtΔADG 中 AD=√AG2+DG2=√62+32=3√5 .
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据已知条件，
利用SAS即可判断 △ABD≌△ACE； （2）由△ABD≌△ACE 可得 ∠4=∠B=45° ，
BD=CE， 进而可得∠FCE=90°，根据勾股定理可得CE2+FC2=FE2， 利用SAS判
断△DAF≌△EAF，证出DE=FE ，再利用等量代换即可证明 BD2+FC2=DF2 ；
（3） 过点A作 AG⊥BC 于G，由（2）中的结论求出 DF=5，进而求出BC=12，
根据等腰三角形的三线合一可得BG=AG=6，进而求出DG=3 ，在 RtΔADG 中 ，利用勾股定理即可求出AD的长.
41．如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4.
（1）求证： △BDP≌△BCP；
（2）求证：AD=AC．
【答案】（1）证明： ∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DPB=∠2+∠CPB=180∘.
∴∠DPB=∠CPB.
在 △BDP 和 △BCP 中
{∠DPB=∠CPB
PB=PB
∠3=∠4
△BDP≌△BCP(ASA).
（2）证明： ∵△BDP≌△BCP.
∴DP=CP，
在 △ADP 和 △ACP 中
{AP=AP
∠1=∠2
DP=CP
∴△ADP≌△ACP(SAS).
∴AD=AC.
【解析】【分析】（1）利用等角的补角相等证得∠DPB=∠CPB，再结合公共边即可由
角边角证得△BDP≌△BCP；（2）由（1）中△BDP≌△BCP可得DP=CP，从而可由边角
边证得△ADP≌△ACP，又全等三角形的对应边相等，故AD=AC.
42．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE【答案】证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE＝CF，
∵∠B＋∠ADC＝180°．
∠ADC＋∠CDF＝180°（平角定义），
∴∠CDF＝∠B，
在△CDF和△CBE中，
{
∠CDF=∠B
∠F=∠CEB=90° ，
CE=CF
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
{AC=AC
，
CE=CF
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE＝AF，
∵AF＝AD＋DF，
∴AE＝AD＋BE．
【解析】【分析】过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，利用“AAS”证明
△CDF≌△CBE，得到AE=AF，再通过等量代换，即可证明出结论。
43．如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝
∠CFA，∠BEC＋∠BCA＝180°．（1）求证：△BCE≌△CAF．
（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵ ∠BEC＝∠CFA，∠BEC＋∠BCA＝180° ，
∴∠BEC+∠BCE+∠ACF=180°，∠BCE+∠CBE+∠AEC=180°，
∴∠ACF=∠CBE，
在△CBE和△CAF中
{∠CBE=∠ACF
∠BEC＝∠CFA∴△CBE≌△CAF（AAS）
CB＝CA
（2）解：EF+AF=BE．
∵△BCE≌△CAF，
∴AF=CE，CF=BE，
∵CE+EF=CF，
∴EF+AF=BE．
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理和已知条件，可证得
∠BEC+∠BCE+∠ACF=180°，∠BCE+∠CBE+∠AEC=180°，由此可推出
∠ACF=∠CBE；再利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得AF=CE，CF=BE，根据CF=CE+EF，可
证得结论.
44．如图所示在△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，D为AB的中点，如果点P
在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点O在线段CA上由点C向点A运
动；
（1）设运动时间为t，则有：BD= ；BP= ；PC=
；
（2）当点O运动在某一时刻使△BPD与△COP全等，求点O运动的速度？【答案】（1）12cm；4tcm；（16-4t）cm
（2）解：设点O运动的速度为xcm/s，则CO=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴当BP=CP，BD=CO时，△BPD≌△COP(SAS)，
即4t=16-4t，12=xt，
解得t=2，x=6；
当BP=CO，BD=CP时，△BPD≌△CPO(SAS)，
即4t=xt，12=16-4t，
解得x=4，t=1，
综上所述，点O运动的速度为4cm/s或6cm/s．
【解析】【解答】解：（1）∵D为AB的中点，
1
∴BD= AB=12cm，
2
∵点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，
∴BP=4tcm，PC=(16-4t)cm；
故答案为：12cm，4tcm，(16-4t)cm；
1
【分析】（1）根据中点的概念可得BD= AB=12cm，由题意可得BP=4tcm，根据
2
PC=BC-BP可得PC；
（2）设点O运动的速度为xcm/s，则CO=xtcm，根据等腰三角形的性质可得
∠B=∠C，故当BP=CP，BD=CO时，△BPD≌△COP，据此求出x的值；当BP=CO，
BD=CP，△BPD≌△CPO，据此求出x的值.
45．如图
（1）发现问题
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线
上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E三
点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线
段CM，AE，BE之前的数量关系，并说明理由．
（3）探究发现
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设
AD与BE相交于点O，旋转角θ(0°<θ<180°)尝试在图3中探索∠AOE的度数，直接
写出结果，不必说明理由．
【答案】（1）60°；AD=BE
（2）解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
{
CA=CB
∠ACD=∠BCE，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）解：60°或120°
【解析】【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
∠ACD=∠BCE，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案为：60°；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE；
（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°∴∠AOE=180°-120°=60°．
当△CDE继续旋转时，同理可得∠AOE=120°.
综上所述，∠AOE=60°或120°.
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根
据角的和差关系得∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE，得∠ADC=∠BEC，根据等边三
角形的性质得∠CDE=∠CED=60°，则∠ADC=∠BEC=120°，然后根据∠AEB=∠BEC-
∠CED进行计算；②根据全等三角形的性质可得结论；
（2）同理证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠ADC=∠BEC，根据等腰直角三角形的
性质可得∠CDE=∠CED=45°，则∠ADC=∠BEC=135°，根据∠AEB=∠BEC-∠CED可得
∠AEB的度数，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DM=ME=CM，据此解答；（3）同理证明△ACD≌△BCE，得到∠CAD=∠CBE，易得∠OAB+∠OBA=120°，然后
根据内角和定理进行计算.
