期末押题预测卷-单元测试2021-2022学年七年级数学上册尖子生选拔卷（人教版）（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_4期末试卷

期末押题预测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．（2021·山东诸城·）如果把高于警戒水位1米记作 米，则低于警戒水位2米记作（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】B 【分析】根据具有相反意义的量的定义即可得． 【详解】解：因为“高于”和“低于”是一对具有相反意义的量， 所以如果把高于警戒水位1米记作 米，则低于警戒水位2米记作 米，故选：B． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟记定义是解题关键． 2．（2021·河北七年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成化简代数式，规则 是：每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一个同学，最 后解决问题．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据整式的加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项逐一判断即可． 【详解】解：由老师到甲，甲接力应为： ，故甲错 误； 由甲到乙,乙接力应为： ，故乙错误； 由乙到丙，丙接力应为： ，故丙错误； 由丙到丁，丁接力应为: ，故丁正确；故选D． 【点睛】本题考查了整式加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项；关键在于要正确 的进行括号、移项、加括号、合并同类项，不要出现符号错误的情况． 3．（2021·江苏九年级专题练习）小明解一道一元一次方程的步骤如下 解：以上 个步骤中，其依据是等式的性质有（ ） A．①②④ B．②④⑥ C．③⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】B 【分析】判断每一步的依据，即可得到答案． 【详解】解：①的依据为分数的性质，②的依据为等式的性质，③是去括号， ④的依据为等式的性质，⑤是合并同类项，⑥的依据为等式的性质，故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法的依据，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2021·江苏镇江市·）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，则 ∠ACE+∠BCD等于（ ） A．120° B．145° C．175° D．180° 【答案】D 【分析】由题意可知 ，根据补角的定义可得∠ACE+∠BCD等于 180°． 【详解】解：∵ ，∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为 补角，熟悉相关性质是解题的关键． 5．（2021·重庆市天星桥中学七年级月考）某项工作甲单独做需4天完成，乙单独做需6 天完成，若甲先做了一天，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，所列方 程为（ ） x1 x x x1 x x1 x 1 x1 A．  1 B．  1 C．  1 D．   1 4 6 4 6 4 6 4 4 8 【答案】C 【分析】合作的天数减1即可确定乙工作的天数，利用总的工作量为1列出方程即可． 【详解】解：若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙x x1 工作的天数为（x-1），根据题意得：  1，故选：C． 4 6 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找到关键描述语，找到等量关系是 解决问题的关键．工程问题中常用的关系式有：工作时间=工作总量÷工作效率． 6．（2021·河北九年级一模）有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块 的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置请你判断数字4对面的数字是（ ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据示意图，确定数字4的相邻面的数字，剩下的就是其对面的数字 【详解】解：由题图可知，与 相邻的数字有 ， ， ， ，所以数字 对面的数字为 ． 故选B 【点睛】本题考查了正方体的相邻面和相对面的判定，看懂示意图，确定邻面的数字是解 题的关键． 7．（2021·河南·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用 一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头 部所占的面积为（ ） A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2 【答案】C 【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的面积，再根据牛头所占面积为正方 1 形面积的 可得答案． 4 【详解】解：∵图1的正方形的边长为8cm，∴正方形的面积是64cm2， 1 1 由牛的拼法可知，牛的头部占正方形的 ，∴牛头部所占的面积是64× =16cm2， 4 4故选：C． 【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可 以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 8．（2021·重庆·西南大学附中）下列说法正确的是（ ） ①已知a，b，c是非零有理数，若 ，则 的值为0或－2； ②已知 时，那么 的最大值为8，最小值为－8； ③若 且 ，则代数式 的值为 ． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义进行化简和计算求值即可判断． 【详解】解：∵ ，∴a，b，c中两负一正，当a，b都为负数时， ； 当a，b一正一负时， ；故①正确； 时，那么 ，此时，最大值为8，最小值为-8； 时，那么 ；故②正确； ∵ 且 ，∴ 或 ； ，或 ；故③正确；故选：D 【点睛】本题考查了绝对值、代数式求值、有理数的运算，解题关键是理解绝对值的含义， 熟练化简绝对值，准确进行计算．9．（2021·江苏江都区·七年级期末）把根绳子对折成一条线段 ，在线段 取一点 ， 使 ，从 处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为 ，则绳子的 原长为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况 讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题． 【详解】解：如图 ∵ ，∴2AP= ＜PB ① 若绳子是关于A点对折， ∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm， ∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+ ×24=64cm； ②若绳子是关于B点对折， ∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm ∴PB=12 cm∴AP=12× cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维 的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 10．（2021·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方 形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律 图形的火柴棒的数目是（ ） A．52根 B．66根 C．70根 D．72根 【答案】C 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，将每行每列的火柴棒数进行总结，可得出：当有n层时，需要 根火柴，从而验证选项即可确定正确答案． 【详解】解：观察图形可以看出：搭1个正方形，一层，需要 根火柴棒； 搭3个正方形，两层，需要 根火柴棒； 搭6个正方形，三层，需要 根火柴棒； 搭10个正方形，四层，需要 根火柴棒； 因此当有n层时，需要 根火柴棒． 当 时， 根火柴棒，因此C选项正确．故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，用变量代替 数字总结规律，最终再代入数字求解即可，难度中等． 二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。 11．（2021·天津·耀华中学）若单项式 与 可合并为 ，则 ＝___． 【答案】54 【分析】根据同类项的定义，先求出 ， ，然后代入计算，即可得到答 案． 【详解】解：∵单项式 与 可合并为 ， ∴ ， ，∴ ， ，∴ ；故答案为：54． 【点睛】本题考查了同类项的定义，以及合并同类项，解题的关键是掌握定义，正确的求 出所需字母的值． 12．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值 为48，则第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…则第2020次输出的结果为 __________． 【答案】3 【分析】根据题意和题目中的运算程序，可以求出前几次的输出结果，即可发现输出结果 的变化特点，从而可以得到第2020次输出的结果． 【详解】解：由题意可得，若开始输入的x值为48，则第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为8， 第6次输出的结果为4，第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1，第9次输出的结 果为6，…， 则这列输出结果，从第三个开始，以6，3，8，4，2，1依次出现， ∵ ，∴第2020次输出的结果为3，故答案为：3． 【点睛】此题考查了程序流程图与代数式求值，明确题意，发现输出结果的变化规律并求 出相应的输出结果是解题的关键． 13．（2021·广东南海区·）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别 对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的 面积等于______． 【答案】16 【分析】由七巧板的作图原理，设⑤，⑥的面积为x，分别得到其他部分的面积，根据① 的面积得到x，从而计算所有部分的面积即可． 【详解】解：由七巧板的原理可知： 设⑤，⑥的面积为x，则②，③的面积为4x，①的面积为2x，④的面积为2x，⑦的面积为 2x， ∵①对应的面积等于2，即2x=2，则x=1， ∴这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于x+x+4x+4x+2x+2x+2x=16x=16，故答案为：16． 【点睛】本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键． 14．（2021·山东省初一期中）如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字， 在原正方体中，与数字1相对面上的数字是___。 【答案】 6 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“6”与“1”是相对面，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面， ∴与数字1相对面上的数字是6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面 入手，分析及解答问题． 15．（2021·浙江杭州·）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的 方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长 方形按同样的方式操作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩 下的长方形恰为正方形，则操作终止．当 时，a的值为______． 【答案】 【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为4-a；分当 时， 及当 ，两种情况讨论；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作 后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a， 当 时，即 时，第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a， ①当 时，即 时，第三次操作剩余两边为a、4-3a， 此时为正方形，得 ，解得 。又 不成立； ②当 ，即 时，第三次操作剩余两边边长分别为 ， 此时为正方形，得 ，解得 ，此时符合题意； 当 ，即 时，第2次操作，剪下的正方形边长为4-a，所以剩下的长方形的 两边分别为4-a、a-（4-a）=2a-4， ①当2a-4＜4-a，即a＜ 时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-4，剩下的长方形 的两边分别为2a-4、（4-a）-（2a-4）=8-3a，则2a-4=8-3a，解得a= ； ②2a-4＞4-a，即a＞ 时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为4-a，剩下的长方形的两 边分别为4-a、（2a-4）-（4-a）=3a-8，则4-a=3a-8，解得a= ；故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据剪纸的操作后的边长的关系 得出方程求解，注意 的范围需要分情况讨论． 16．（2021·四川双流·）对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．对任意一个“平衡数”M，将M的千位 数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数N，记 ．若A，B是 “平衡数”，且A的千位为5，B的个位为7，当 时，则 的最大值 为______． 【答案】10 【分析】设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，根据“平衡数”的定 义及 可求出 ，设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数 字为b+7-c，并得出 ，最后根据 求出a与b的关系，即可求出 的最大值． 【详解】解：设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d， 根据题意得： ，则 ． 设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，同理可得： ， ∵ ，∴ ．∴ ． ∵a为十位上的数字，a最小取0，∴b的最大值为3．则 的最大值为3+7=10．故答案 为：10． 【点睛】此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取 信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键． 17．（2021·浙江杭州市·七年级期末）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、 E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如 果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在 ___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？ 【答案】C C与D之间 【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置 时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A 与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论． 【详解】解：如图， ∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB； 若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB； 若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB； 若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB， ∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短． 如果工作台由5个改为6个，如图， 位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE； 位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE； 位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD； 位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD； 位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE； ∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题 的关键． 18．（2021·重庆八中七年级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形 EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒 6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针 旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ___． 【答案】 或 【分析】由题意，分两种情况讨论，当 平分 时，当 平分 时作出图 形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可． 【详解】 平分 ， ， 以每秒 的速度绕点O逆时针旋转， 以每秒 的速度点O顺时针旋转， ①如图1中，当 平分 时， 解得 ，②如图2，当 平分 时， 解得 故答案为： 或 【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间 可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键． 三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。 19．（2021·江苏广陵·）计算：（1） （2） 【答案】（1）-6 ；（2）15 【分析】（1）利用减法法则变形，进行计算即可求解； （2）先计算乘方，再利用有理数的乘方运算律计算乘法，最后计算加减，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（2021·成都市七年级期中）请将下列代数式先化简，再求值1  2   3 1  1 1 （1） a  2a b2     a b2 ，其中a ,b ． 2  3   2 3  4 2 （2）  2x2 2y2 3  x2y2 x2 3  x2y2  y2 ，其中x1,y 2． 【答案】（1）3ab2，1；（2）x2  y2 ，3 【分析】（1）根据去括号、合并同类项，可化简整式，再将a和b值代入计算； （2）根据去括号、合并同类项，可化简整式，再将x和y值代入计算； 1  2   3 1  1 2 3 1 【详解】解：（1） a  2a b2     a b2 = a2a b2  a b2= 2  3   2 3  2 3 2 3 3ab2 2 1 1  1 1 将a ,b 代入，原式=3       =1； 4 2  4 2 （2）  2x2 2y2 3  x2y2 x2 3  x2y2  y2 =2x2 2y2 3x2y2 3x2 3x2y2 3y2 =x2  y2 将x1,y 2代入，原式=12 22 =3． 【点睛】本题考查了整式的加减及化简求值的知识，先去括号，再合并同类项，然后把满 足条件的字母的值代入计算得到对应的整式的值． 21．（2020·浙江七年级单元测试）计算 3 2   3  3 (10) 4   3 （1）     （2） 4 3   4  2 1 (0.25)201242011  52  2 2  1 1 1  1 8     （3）   （4）  6 4 12 6 42 (32)      2  2   32     11      3  3   2 2  22   4  （5）11.35  1.05    7.7  （6）  3  9   32  2 1  5 14  |2|(3)3(2)2      6  22   2 2  3   1 （7） 1 5           1 （8） 3   5  4  3 1 1 1 1     12 123 123 100  1 17 49 1 【答案】（1） ；（2）  ；（3）-8；（4） ；（5）8；（6） ；（7）161； 3 4 6 3 200 （8） 101 【分析】根据有理数的混合运算法则分别计算． 3 2   3  3 (10) 4   3 【详解】解：（1）     4 3   4  15  1  2 12  3 12 =              4  10 3 3   4 4  15 1 10 4 =    4 10 3 15 1 = ； 3 2 1 （2）(0.25)201242011  52  2 2 2012 2  1 5 =    4201125   4 2 2012 1 4 =   4201125 4 25 2011 1 1  =   4  4 4 4  17 = ； 4  1 1 1  1 8     （3）    6 4 12 6 1 1 1  = 8     6 6 4 12 1 1 1 =48 48 48 6 4 12=8124 =-8； （4） 42 (32)      2  2   32     11      3  3  4 11 =16(32)  9  9 3  1  11  4 =   2  3  1 23 =  2 3 49 = ； 6  2 2  22   4  （5）11.35  1.05    7.7   3  9   32  4 4 4 =11.35 1.05 7.7 9 9 9 4 = 11.351.057.7 9 4 =18 9 =8； 2 1  5 （6）14    |2|(3)3(2)2      6  2 1 4 =1 2274 6 25 1 4 =1 25 6 25 2 =1 3 1 = ； 3 2   2 2  3   1 （7） 1 5           1 3   5  4  35  25 3  5  31 =   3  4 4 125 3 5  1 =    4 4 128 =5 1 4 =160+1 =161； 1 1 1 （8）1     12 123 123 100  1 1 1 1    = 122 133  1100100 2 2 2 2 2 2 2 =      12 23 34 100101  1 1 1 1  =2       12 23 34 100101  1 1 1 1 1 1 1  =21           2 2 3 3 4 100 101 200 = 101 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，以及一 些常用的简便运算方法． 22．（2021·西安爱知初级中学七年级月考）某种产品的形状是长方体，长为 ，它的展 开图如图： （1）求该长方体的宽和高；（2）某厂家要为该产品做一个包装纸箱，使每箱能装2件这 种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（厚度忽略不计），请求出该纸箱的体积． 【答案】（1）长方体的宽和高分别为： cm，2cm；（2）该纸箱的体积为： cm3. 【分析】（1）设长方体的高为 cm，则宽为 cm，结合展开图可得 再解方程可得答案； （2）由每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，则应 该让 的面重叠在一起，从而可得这个长方体的纸盒的长，宽，高分别为8cm，6cm， 4cm，从而可得答案. 【详解】解：（1）设长方体的高为 cm，则宽为 cm，所以： 解得： 所以长方体的宽和高分别为： cm，2cm. （2）由长方体的长和宽和高分别为： ， cm，2cm. 而每箱能装2件这种产品，并且要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少， 则应该让 的面重叠在一起，此时这个长方体的纸盒的长，宽，高分别为8cm，6cm， 4cm. 所以该纸箱的体积为： cm3. 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，长方体的认识，掌握利用长方体的展开图的 特点列方程是解题的关键. 23．（2021·湖南长沙市·明德华兴中学）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上 的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处， ∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处． (1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°； (2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数； (3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条 边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出 ∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令 ， ，推导出x与y的和即可求得答案； （3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据 ，即可得到答 案. 【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB， ∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°； （2）令 ， ∵ 30°∴ 30°+x， 30+y， ∴ 180°， 即 90°，∴ 45°，∴ 75°； （3） , ， ∴ 180°，∴ 90°， 又∵ ， . 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关 知识进行求解. 24．（2021·江西·南昌二中）已知多项式2x4y2﹣3x2y﹣x﹣4次数是b，3a与b互为相反数， 在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．（1）求a、b分别是多少？（2）有一动点P从 点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位 长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当 运动了2021次时，求点P所对应的有理数；（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度/秒 的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察 两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即 背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到 原点的距离相等时，所对应的时间t．【答案】（1） ；（2） ；（3） 或8． 【分析】（1）根据多项式的次数的定义可得 的值，再根据相反数的定义可得 的值； （2）先根据数轴的定义分别求出运动了 时，点 所对应的有理数，再归纳类推出 一般规律，由此即可得；（3）先求出小蚂蚁乙从点 运动到原点 所需时间为3秒，再分 ① 和② 两种情况，分别利用数轴的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）因为 的次数是 ， 的次数是 ， 的次数是1， 的次数是0，所以多项式 的次数是6，所以 ， 因为 与 互为相反数，所以 ，即 ； （2）当运动了1次时，点 所对应的有理数是 ， 当运动了2次时，点 所对应的有理数是 ， 当运动了3次时，点 所对应的有理数是 ， 当运动了4次时，点 所对应的有理数是 ， 当运动了5次时，点 所对应的有理数是 ， 归纳类推得：当运动了 次时，点 所对应的有理数是 （ 为正整数）， 因为 ，所以当运动了2021次时，点 所对应的有理数是 ； （3）小蚂蚁乙从点 运动到原点 所需时间为 （秒），由题意，分以下两种情况： ①当小蚂蚁乙没有背着饭粒运动，即 时， 运动 秒后，小蚂蚁甲所在点表示的数是 ，小蚂蚁乙所在点表示的数是 ， 则 ，解得 ，符合题设； ②当小蚂蚁乙背着饭粒运动，即 时， 运动 秒后，小蚂蚁甲所在点表示的数是 ，小蚂蚁乙所在点表示的数是 ， 则 ，解得 ，符合题设； 综上，甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时，所对应的时间 的值是 或8． 【点睛】本题考查了多项式的次数、数轴、一元一次方程的应用、数字规律探索等知识点， 较难的是题（2），正确归纳类推出一般规律是解题关键． 25．（2021·山东·济南外国语学校）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥 看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对 宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ， ， 两点之间的距离表示为 ．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两 点之间的距离为 ；有理数5与 对应的两点之间的距离为 ；有理数 与 对应的两点之间的距离为 ；… 解决问题：（1）数轴上有理数 与3对应的两点之间的距离等于_________；数轴上有 理数 与 对应的两点之间的距离用含 的式子表示为________；若数轴上有理数 与1 对应的两点 、 之间的距离 ，求 的值； 联系拓广：（2）如图，点 表示的数为4，点 表示的数为 ， 为数轴上的动点，动 点 表示的数为 ． ①若点 在点 、 两点之间，则 ______；若 ，则点 表示 的数 为______；由此可得：当 取最小值时，求整数 的所有取值的和； ②当点 到点 的距离等于点 到点 的距离的2倍时，求 的值． 【答案】（1） ， ， 或 ；（2） ， 或 ， ；（3） 或 【分析】（1）理解题意，根据距离的概念求解即可； （2）①根据点 的位置分情况讨论，利用距离求解即可，对 进行讨论，求出 的取值， 然后求解即可；②设点 表示的数为 ，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）数轴上有理数 与3对应的两点之间的距离为 ， 数轴上有理数 与 对应的两点之间的距离用含 的式子表示为 若数轴上有理数 与1对应的两点 、 之间的距离 ，则 即 或 解得 或 故答案为 ， ， 或 （2）设点 表示数为 ，则 ， ①若点 在点 、 两点之间，则 ， ， 若 ，即 当 时， ，解得 当 时， ，解得 即点 表示数 为 或当 取最小值时，可得 在 和 之间（包含端点），所以 又∵ 为整数∴ 的取值为 整数 的所有取值的和为 故答案为 ， 或 ， ②由题意可得： ，即 可得： 或 解得 或 故答案为 或 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离以及绝对 值方程，解题的关键是掌握数轴的基本知识，理解数轴上两点之间的距离． 26．（2021·辽宁大连市·）如图1，在 内部作射线 ， ， 在 左侧，且 ． （1）图1中，若 平分 平分 ，则 ______ ； （2）如图2， 平分 ，探究 与 之间的数量关系，并证明； （3）设 ，过点O作射线 ，使 为 的平分线，再作 的角平分 线 ，若 ，画出相应的图形并求 的度数（用含m的式子表示）． 【答案】（1）120；（2） ，见解析；（3）见解析， 或 【分析】（1）根据角平分线的性质得到 ，再结合已知条件即可得出答案； （2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论； （3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可． 【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ 平分 平分 ，∴ ， ∴ ，∴ ，故答案为：120； （2） ． 证明：∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ． ∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ； （3）如图1，当 在 的左侧时， ∵ 平分 ，∴ ， ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． ∵ 为 的平分线，∴ ．∴ ； 如图2，当 在 的右侧时，∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． ∵ 为 的平分线， ．综上所述， 的度数为 或 ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析 出各角之间的数量关系．