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期末考前基础练练练-整式乘法与因式分解
一．同底数幂的乘法（共4小题）
1．化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（ ）
A．﹣x6 B．x6 C．x5 D．﹣x5
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣x）3（﹣x）2
＝（﹣x）5
＝﹣x5．
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．计算m3•m2的结果，正确的是（ ）
A．m2 B．m3 C．m5 D．m6
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：m3•m2
＝m3+2
＝m5．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（1）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
（2）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，求﹣a100+2101的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
（2）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
（3）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
（2）∵ax＝5，
∴ax+y＝ax•ay＝5ay＝25．
∴ay＝5．
∴ax+ay＝5+5＝10．
（3）∵x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，
∴x6a＝x12．
∴6a＝12．∴a＝2．
∴﹣a100+2101＝﹣2100+2101＝﹣2100+2×2100＝2100．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关
键．
4．规定a*b＝3a×3b，求：
（1）求1*2；
（2）若2*（x+1）＝81，求x的值．
【分析】（1）根据所规定的运算进行作答即可；
（2）根据所规定的运算进行作答即可．
【解答】解：（1）∵a*b＝3a×3b，
∴1*2
＝31×32
＝3×9
＝27；
（2）∵2*（x+1）＝81，
∴32×3x+1＝34，
则2+x+1＝4，
解得：x＝1．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题
意，明确所规定的运算法则．
二．幂的乘方与积的乘方（共7小题）
5．若m+2n＝3，则2m•4n的值等于（ ）
A．16 B．9 C．8 D．6
【分析】先把2m•4n化为2m+2n，再把m+2n＝3代入计算．
【解答】解：∵2m•4n
＝2m•22n
＝2m+2n，
∵m+2n＝3，
∴原式＝23＝8，
故选：C．
【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则是
解题关键．
6．计算（﹣x）2的结果是（ ）
A．﹣2x B．2x C．﹣x2 D．x2
【分析】应用积的乘方的意义求解．
【解答】解：（﹣x）2＝x2，故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方，熟记运算法则是解题的关键．
7．已知ax＝﹣2，ay＝3，则a3x+2y等于（ ）
A．1 B．72 C．﹣72 D．﹣36
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应值
运算即可．
【解答】解：当ax＝﹣2，ay＝3时，
a3x+2y
＝a3x×a2y
＝（ax）3×（ay）2
＝（﹣2）3×32
＝﹣8×9
＝﹣72．
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的
掌握与运用．
8．已知2a＝3，2b＝27，求 的值．
【分析】根据2b＝27可知，2b＝33，再由2a＝3可知23a＝2b，据此可得出结论．
【解答】解：∵2b＝27，
∴2b＝33．
∵2a＝3，
∴23a＝2b，
∴b＝3a，
∴ ＝ ＝3．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，根据题意得出b＝3a是解题的关键．
9．已知：3a＝m，3b＝n，2b＝p（a、b都是正整数），用含m、n或p的式子表示下列各式：
（1）6b；
（2）32a+b．
【分析】（1）利用积的乘方的法则进行运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：当3a＝m，3b＝n，2b＝p时，
（1）6b
＝（2×3）b＝2b×3b
＝pn；
（2）32a+b
＝32a×3b
＝（3a）2×3b
＝m2n．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的
运算法则的掌握．
10．已知42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4，求x的值．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵42x•52x+1﹣42x+1•52x
＝5×42x•52x﹣4×42x•52x
＝202x，
∵42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4，
∴2x＝3x﹣4，
∴x＝4．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．简算：
（1）（﹣0.125）11×811；
（2）9992﹣1．
【分析】（1）利用积的乘方的法则进行求解即可；
（2）利用平方差公式进行求解较简便．
【解答】解：（1）（﹣0.125）11×811
＝（﹣0.125×8）11
＝（﹣1）11
＝﹣1；
（2）9992﹣1
＝（999+1）×（999﹣1）
＝1000×998
＝99800．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
三．同底数幂的除法（共4小题）
12．（1）若3×27m+9m＝316，求m的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x2n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）把代数式化为同底数幂的除法，再进行计算即可；
（2）先求出a3x与a2y的值，再进行计算即可；
（3）先把题中（x2）2n化为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3×27m÷9m＝316，
∴3×33m÷32m＝316，
∴33m+1﹣2m＝316，
∴3m﹣2m+1＝16，解得m＝15；
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a3x＝﹣8，a2y＝9，
∴a3x﹣2y＝a3x÷a2y＝（﹣8）÷9＝﹣ ；
（3）∵x2n＝4，
∴（3x2n）2﹣4（x2）2n
＝（3x2n）2﹣4（x2n）2
＝（3×4）2﹣4×42
＝122﹣4×16
＝144﹣64
＝58．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解
题的关键．
13．已知（2m）n＝4，（am）2÷an＝a3．
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）已知4m2﹣n2＝15，求m+n的值．
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的除法即可得出答案；
（2）根据平方差公式展开得到2m+n＝5，联立方程组求出m，n的值，代入代数式即可
得出答案．
【解答】解：（1）∵（2m）n＝4，（am）2÷an＝a3，
∴2mn＝4＝22，a2m﹣n＝a3，
∴mn＝2，2m﹣n＝3；
（2）∵4m2﹣n2＝15，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝15，
∵2m﹣n＝3，
∴2m+n＝5，
联立得 ，解得 ，
∴m+n＝3．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握 am÷an＝am﹣n
（a≠0）是解题的关键．
14．已知am＝8，an＝3，ak＝2，求am﹣3k+2n的算术平方根．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对式子
进行整理，从而可求得相应的值，再求算术平方根即可．
【解答】解：当am＝8，an＝3，ak＝2时，
am﹣3k+2n
＝am÷a3k×a2n
＝am÷（ak）3×（an）2
＝8÷23×32
＝8÷8×9
＝1×9
＝9，
9的算术平方根是： ＝3．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，算术平方根，解
答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．已知：2a＝10，2b＝5，2c＝80．求2a﹣2b+c的值．
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求
的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当2a＝10，2b＝5，2c＝80时，
2a﹣2b+c
＝2a÷22b×2c
＝2a÷（2b）2×2c
＝10÷52×80
＝10÷25×80
＝10× ×80
＝32．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对
相应的运算法则的掌握．
四．单项式乘单项式（共2小题）
16．计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．
【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．
＝（﹣2x3）•（﹣8x3）+x6﹣x6
＝16x6．
【点评】此题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练
掌握运算法则是解题的关键．
17．计算： ．
【分析】利用单项式乘单项式的运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝﹣ a2b• a2b3• a2b6
＝﹣ a6b10．
【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
五．单项式乘多项式（共2小题）
18．计算：2x•（x2﹣ x+3）．
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．
【解答】解：2x•（x2﹣ x+3）
＝2x•x2﹣2x• x+2x×3
＝2x3﹣x2+6x．
【点评】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则，单项式与多项式相乘，就是用
单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
19．计算：（﹣2xy）•（ x2+xy﹣ y2）．
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣2xy）•（ x2+xy﹣ y2）
＝﹣2xy• x2﹣2xy•xy+2xy• y2
＝﹣3x3y﹣2x2y2+ xy3．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
六．多项式乘多项式（共4小题）
20．已知（x+my）（x+ny）的结果为x2+2xy﹣6y2，求m2+n2的值．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn计算，再把m2+n2用含完全平方的形式表示求值即可．
【解答】解：∵（x+my）（x+ny）＝x2+2xy﹣6y2，
∴x2+nxy+mxy+mny2＝x2+（m+n）xy+mny2＝x2+2xy﹣6y2，
∴m+n＝2，mn＝﹣6，
∴m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝22﹣2×（﹣6）
＝4+12
＝16．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的
合并同类项．
21．已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，求m，n的值．
【分析】根据多项式乘多项式的法则，将式子变形为 2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣
3n，再由题意得到方程2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，求出m、n的值即可．
【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）
＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n
＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，
∵展开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，
∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，
解得m＝﹣1，n＝2．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，理解不含的
项是系数为零是解题的关键．
22．（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件，即可求得m，n的值；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）
＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n
＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，
∵展开式中不含x2和x3项，
∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，
解得：m＝3，n＝8；
（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）
＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
＝m3+n3．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（1）a4•3a2+（﹣2a2）3+5a6；
（2）（3x﹣2）（2x﹣3）﹣（x﹣1）（6x+5）；
（3） ．
【分析】（1）先算积的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可；
（2）先利用多项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可；
（3）利用积的乘方进行运算，最后算加法即可．
【解答】解：（1）a4•3a2+（﹣2a2）3+5a6
＝3a6﹣8a6+5a6
＝0；
（2）（3x﹣2）（2x﹣3）﹣（x﹣1）（6x+5）
＝6x2﹣9x﹣4x+6﹣（6x2+5x﹣6x﹣5）
＝6x2﹣9x﹣4x+6﹣6x2﹣5x+6x+5
＝﹣12x+11；
（3）
＝0.1259×（﹣8）9×（﹣8）+（ ）11×（ ）11×
＝（﹣0.125×8）9×（﹣8）+（ × ）11×
＝（﹣1）9×（﹣8）+111×
＝﹣1×（﹣8）+1×
＝8+2.5
＝10.5．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对
相应的运算法则的掌握．
七．整式的除法（共4小题）
24．计算：
（1）x2•（﹣x）2+x•（﹣x）3；
（2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）．
【分析】（1）先乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算乘法，最后合并同类项；
（2）根据单项式除多项式法则进行计算．
【解答】解：（1）x2•（﹣x）2+x•（﹣x）3
＝x2•x2+x•（﹣x3）＝x4﹣x4
＝0；
（2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）
＝﹣6x4÷2x2+8x3÷2x2
＝﹣3x2+4x．
【点评】本题考查了整式除法，同底数幂的乘法，合并同类项，关键是熟记同底数幂的
乘法法合并同类项，单项式除多项式法则．
25．计算[（2ab2）2﹣ab4]÷2ab4．
【分析】先算乘方，再算除法，即可解答．
【解答】解：[（2ab2）2﹣ab4]÷2ab4
＝（4a2b4﹣ab4）÷2ab4
＝2a﹣ ．
【点评】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握多项式除以单项式的
法则是解题的关键．
26．计算：（a2）3﹣a2×a4+（2a4）2÷a2．
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法化简，合并同类
项即可得出答案．
【解答】解：原式＝a6﹣a6+4a8÷a2
＝a6﹣a6+4a6
＝4a6．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，整式的除法，掌握
（ab）n＝anbn是解题的关键．
27．化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
【分析】利用多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则进行
计算，即可得出结果．
【解答】解：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+（xy+3y2）
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+xy+3y2
＝x2﹣xy．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，整式的除法，掌握多项式乘多项式的法则，多项
式除以单项式的法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
八．完全平方公式（共6小题）
28．已知x﹣y＝3，xy＝2，则（x+y）2的值等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．17
【分析】利用完全平方公式把原式变形，再把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵x﹣y＝3，xy＝2，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝9+8＝17，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
29．若x+y＝10，xy＝15，则代数式x2﹣xy+y2的值是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝15即可求解．
【解答】解：∵x+y＝10，xy＝15，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝102﹣3×15
＝100﹣45
＝55．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式的运用．注意整体思想在解题中的运用．
30．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读例题的解题思路：
例：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．
请结合例题解答问题．
若a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值．
【分析】根据完全平方公式即可解答．
【解答】解：∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝72，
∴a2+2ab+b2＝49，
∵ab＝10，
∴a2+b2＝49﹣2ab＝49﹣20＝29，
即a2+b2的值是29．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
31．已知a+b＝6，ab＝﹣3．求下列代数式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2．
【分析】（1）将a2+b2转化为（a+b）2﹣2ab，再整体代入计算即可；
（2）将（a﹣b）2转化为（a+b）2﹣4ab，再整体代入计算即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝6，ab＝﹣3．∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝36+6
＝42；
（2）∵a+b＝6，ab＝﹣3．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝36+12
＝48．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
32．计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．
【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）
＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）
＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6
＝﹣2x2﹣25x+31．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
33．若x+y＝3，xy＝﹣1，求x2+y2与（x﹣y）2的值．
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝3，xy＝1即可求解．
【解答】解：∵x+y＝3，
∴（x+y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝9，
∴x2+y2＝9﹣2xy，
∵xy＝﹣1，
∴x2+y2＝9+2＝11；
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，
＝11+2，
＝13．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的运用，熟练应用完全平方公式是解题的关键．
九．完全平方公式的几何背景（共4小题）
34．根据我们学习解决数学问题的经验，我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同
的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．例如：利用图 1可以得到数学等式a
（a+b）＝a2+ab，那么利用图2可以得到的数学等式是（ ）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝2a+2b+2c
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc
D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【分析】从整体和部分两个方面分别表示其面积，即可得出结论．
【解答】解：如图，从整体上看，大正方形的边长为（a+b+c），
因此面积为（a+b+c）2；
从各个部分看，整体的面积等于各个部分的面积和，
即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式的知识，掌握用不同的方法表示图形的面积是关键．
35．如图，正方形A、B的边长分别为a和b，现将B放在A的内部得图①，将A、B并列
放置后构造新的正方形得图②．则①②两图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．2ab B．a2+2ab+b2 C．a2﹣2ab+b2 D．a2+b2
【分析】利用正方形面积公式即可得出答案．
【解答】解：图①阴影部分面积为：（a﹣b）2；
图②阴影部分面积为：（a+b）2﹣（a2+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab．
①②两图中阴影部分的面积之和为：（a﹣b）2+2ab＝a2+b2．故答案为：D．
【点评】本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，
构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
36．许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达．如图①，根据图中面积关系可以
得到：（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．
（1）如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式；
（2）若a﹣b＝2， ，求a+b的值．
【分析】（1）由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，可
得等式．
（2）由（1）中等式，可得∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，将a﹣b＝2， 代入，进
而可得答案．
【解答】（1）解：由题意得（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．
故答案为：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．
（2）解：∵a﹣b＝2， ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景、数形结合思想，熟练掌握完全平方公式并
正确列方程组是解答本题的关键．
37．一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四
块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）自主探究：如果用两种不同的方法表示图 2中阴影部分的面积，从而发现一个等
量关系是 ．
（2）知识运用：若x﹣y＝5，xy＝6，则（x+y）2＝ ．
（3）知识迁移：设A＝ ，B＝x+2y﹣3，化简（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果．
（4）知识延伸：若（2021﹣m）2+（m﹣2022）2＝9，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）＝ ．
【分析】（1）阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，根据正方形的面积公式可得面积
为（a﹣b）2，阴影部分也可以看作边长为（a+b）的大正方形面积减去4个长为a，宽
为b的长方形的面积，即为（a+b）2﹣4ab，于是可得等式；
（2）由（1）得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，代入计算即可；
（3）（A﹣B）2﹣（A+B）2化简结果为﹣4AB，再代入计算即可；
（4）设 A＝2021﹣m，B＝m﹣2022，则 A+B＝﹣2，A2+B2＝9，由（A+B）2＝
A2+B2+2AB可求出AB的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）图2中的阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣
b）2，
图2的阴影部分也可以看作边长为（a+b）的大正方形面积减去4个长为a，宽为b的长
方形的面积，即为（a+b）2﹣4ab，
所以有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）由（1）得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
当x﹣y＝5，xy＝6，
则（x+y）2＝52+4×6＝49，
故答案为：49；
（3）∵A＝ ，B＝x+2y﹣3，
∴原式＝A2﹣2AB+B2﹣（A2+2AB+B2）
＝﹣4AB
＝﹣4• •（x+2y﹣3）
＝﹣（x﹣3﹣2y）（x﹣3+2y）
＝﹣[（x﹣3）2﹣（2y）2]
＝﹣（x2﹣6x+9﹣4y2）
＝﹣x2+6x﹣9+4y2；
（4）设A＝2021﹣m，B＝m﹣2022，则A+B＝2019﹣m+m﹣2021＝﹣2，
A2+B2＝9，
∵（A+B）2＝A2+B2+2AB，
∴4＝9+2AB，
∴AB＝﹣2.5，
即（2021﹣m）（m﹣2022）＝﹣2.5，
故答案为：﹣2.5．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的
结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
一十．完全平方式（共2小题）
38．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．7或﹣1 C．7 D．﹣5
【分析】根据完全平方式的特征列出m的方程求解便可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）＝±2×1×4，
∴m＝7或﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方式，熟记完全平方公式的特征是解题的关键．
39．若代数式x2+kx+64是完全平方式，则k等于（ ）
A．±16 B．16 C．±8 D．8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定
k的值．
【解答】解：∵x2+kx+64＝x2+kx+82，
∴kx＝±2×8x，
解得k＝±16．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
一十一．平方差公式（共4小题）
40．（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（ ）
A．a4﹣1 B．﹣a4+1 C．﹣a4+2a2﹣1 D．1﹣a4
【分析】将原式变形为﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1），再运用平方差公式和完全平方公
式进行求解．
【解答】解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）
＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）
＝﹣（a2﹣1）2
＝﹣（a4﹣2a2+1）＝﹣a4+2a2﹣1，
故选：C．
【点评】此题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行整式求值的能力，关键是能准
确理解并变形运用该知识．
41．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+2b）（3a﹣2b） B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（ a+b）（b﹣ a）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解答即可．
【解答】解：A．（2a+2b）（3a﹣2b）不可以用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B．（a+b）（﹣a﹣b）不可以用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C．（﹣m+n）（m﹣n）不可用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D．（ a+b）（b﹣ a）可用平方差公式计算，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，
其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
42．用简便方法计算：
（1）5002﹣499×501；
（2）（x﹣1）（x2+1）（x+1）．
【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式化简即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）
＝5002﹣5002+1
＝1；
（2）原式＝（x﹣1）（x+1）（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1．
【点评】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
43．探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；……
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（3）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
应用：先根据以上算式得出（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）＝22023﹣1，再得出答
案即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）
＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3﹣1，
故答案为：x3﹣1；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）
＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x4﹣1，
故答案为：x4﹣1；
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x7﹣1，
故答案为：x7﹣1；
应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）
＝22023﹣1，
∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则和平方差公式，能根据已知算式得出规律是解
此题的关键．
一十二．平方差公式的几何背景（共4小题）
44．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪
拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 a、b的恒等
式（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2•2ab+b2 D．a2•ab＝a（a﹣b）
【分析】分别计算挖掉小正方形后的面积和新的长方形面积，根据面积相等即可得到．【解答】解：挖掉小正方形后的面积＝a2﹣b2；
新的长方形面积＝（a+b）×（a﹣b）
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是
关键．
45．能用如图来解释其几何意义的等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab＝a（a+2b）
【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系得出答案即可．
【解答】解：如图，图中阴影部分可以看作长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为
（a+b）（a﹣b），
阴影部分的面积也可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
所以（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前
提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．
46．探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼
成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2023×2021写成（2022+1）×（2022﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后
化简求值．
【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣
b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为：3．
（2）20222﹣2023×2021．
＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×
（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
【点评】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
47．【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并
拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 ；（直接写结果）
【问题解决】
（ 2 ） 利 用 （ 1 ） 中 的 结 论 ， 计 算 ：
．
【分析】（1）用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积即可；
（2）将原式化为（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣
）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ），再得出 × × × × × ×…× × × ×
即可．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图
②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣ ）
（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）
＝ × × × × × ×…× × × ×＝ ×
＝ ．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前
提，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是解决问题的关键．
一十三．因式分解的意义（共1小题）
48．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
B．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，
也叫做分解因式．根据定义结合选项进行判断即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法运算，故A不符合题意；
x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x，结果是整式的和形式，不是因式分解，故B不符合题
意；
x2﹣2xy﹣y2＝x2﹣2xy+y2﹣2y2＝（x﹣y）2﹣2y2＝（x﹣y+ y）（x﹣y﹣ y），故C
不符合题意；
x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，是因式分解的形式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，因式分解与整式乘法的关系是
解题的关键．
一十四．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
49．因式分解
（1）x3+5x2+6x
（2）ax2﹣ay2
（3）6（m﹣n）2+3（n﹣m）
（4）a（a﹣1）﹣a+1
【分析】（1）先提取公因式，再用十字相乘法因式分解即可；
（2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（3）提取公因式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）x3+5x2+6x
＝x（x2+5x+6）
＝x（x+2）（x+3）；（2）ax2﹣ay2
＝a（x2﹣y2）
＝a（x+y）（x﹣y）；
（3）6（m﹣n）2+3（n﹣m）
＝3（m﹣n）（2m﹣2n﹣1）；
（4）a（a﹣1）﹣a+1
＝a2﹣a﹣a+1
＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、十字相乘法、公式法因式分解是
解题的关键．
50．因式分解：
（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
（3）64x2y2﹣（x2+16y2）2；
（4）（x2﹣x）（x2﹣x﹣8）+12．
【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；
（4）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（2）原式＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）；
（3）原式＝（8xy+x2+16y2）（8xy﹣x2﹣16y2）
＝﹣（x+4y）2（x﹣4y）2；
（4）原式＝（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12
＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x﹣6）
＝（x﹣2）（x+1）（x﹣3）（x+2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本
题的关键．
51．已知整式A＝5x2﹣9，B＝﹣x2+5，若A+B＝C．
（1）求整式C；
（2）将整式C因式分解；（3）整式D＝﹣7﹣4x，比较整式C和整式D的大小．
【分析】（1）把A与B代入A+B＝C中，合并即可确定出C；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用作差法比较C与D大小即可．
【解答】解：（1）∵A＝5x2﹣9，B＝﹣x2+5，
∴C＝A+B＝5x2﹣9﹣x2+5＝4x2﹣4；
（2）C＝4x2﹣4＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）；
（3）∵C﹣D＝4x2﹣4﹣（﹣7﹣4x）
＝4x2﹣4+7+4x
＝4（x+ ）2+2＞0，
∴C＞D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及整式的解集，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
一十五．因式分解-分组分解法（共1小题）
52．因式分解：
（1）2x2y﹣8xy；
（2）4a2﹣9b2；
（3）m2﹣36+n2﹣2mn．
【分析】（1）利用提公因式法分解；
（2）利用平方差公式分解；
（3）先重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解．
【解答】解：（1）原式＝2xy（x﹣4）；
（2）原式＝（2a+3b）（2a﹣3b）；
（3）原式＝m2﹣2mn+n2﹣36
＝（m﹣n）2﹣62
＝（m﹣n+6）（m﹣n﹣6）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题
的关键．
一十六．因式分解的应用（共4小题）
53．（1）将x2+10x+25因式分解．
（2）当x为何值时，x2+10x+25的值最小？最小值是多少？
【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）由（x+5）2≥0，可求当x＝﹣5时，x2+10x+25的最小值是0．
【解答】解：（1）x2+10x+25＝（x+5）2；
（2）∵x2+10x+25＝（x+5）2，
∴当x＝﹣5时，x2+10x+25的值最小，最小值是0．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，偶次方的性质是解题的
关键．
54．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后
两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以
完成整个式子的因式分解了，过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣
2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决
下列问题：
（1）因式分解：a2+5a﹣b2﹣5b；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）应用分组分解法，把a2+5a﹣b2﹣5b分解因式即可．
（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc＝0分解因式，然后根据三角形的分类方
法，判断出△ABC的形状即可．
【解答】解：（1）a2+5a﹣b2﹣5b
＝a2﹣b2+5a﹣b2﹣5b
＝（a+b）（a﹣b）+5（a﹣b）
＝（a+b+5）（a﹣b）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了因式分解的方法和应用，要熟练掌握，注意分组分解法的应用．
55．a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要
有过程）．
【分析】根据②3a2﹣8b+c＝0，得出c＝8b﹣3a2，代入①a+b2﹣2c﹣2＝0，得出（b﹣
8）2＝66﹣6a2﹣a，根据完全平方数得出a，b，c的值即可．
【解答】解：∵②3a2﹣8b+c＝0，
∴c＝8b﹣3a2，
∵a+b2﹣2c﹣2＝0，
即a+b2﹣2（8b﹣3a2）﹣2＝0，
整理得（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a是完全平方数，
∴66﹣6a2﹣a的值可能为1，4，9，16，25，36，49，64，
∵a为正整数，
∴a＝3，
可得b＝5或11，c＝13或61，
∴abc的最小值为3×5×13＝195．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识是解题的关键．
56．已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，
（1）求代数式xy的值；
（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．
【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再将已知代入即可；
（2）将所求的式子变形为xy（x2﹣3xy+y2），再将x2+y2＝6，xy＝1代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
又∵x﹣y＝2，x2+y2＝6，
∴6＝4+2xy，
∴xy＝1；
（2）x3y﹣3x2y2+xy3
＝xy（x2﹣3xy+y2），
∵x2+y2＝6，xy＝1，
∴原式＝1×（6﹣3）＝3．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，提取公因式法
因式分解是解题的关键．
一十七．零指数幂（共4小题）
57．计算： ．
【分析】利用有理数的乘方法则和零指数幂的意义解答即可．
【解答】解：原式＝﹣8+1﹣
＝﹣ ．
【点评】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则和零指数幂的意义，正确利用
上述法则与性质解答是解题的关键．
58．计算：5÷[（﹣1）3﹣4]+30×（﹣1）．
【分析】先计算有理数的乘方，零指数幂，再计算乘除，最后算加减，有括号先计算括
号里面即可得出答案．
【解答】解：原式＝5÷（﹣1﹣4）+1×（﹣1）＝5÷（﹣5）+（﹣1）
＝（﹣1）+（﹣1）
＝﹣2．
【点评】本题考查了零指数幂，有理数的混合运算，掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键．
59．阅读材料：
（1）1的任何次幂都为1；
（2）﹣1的奇数次幂为﹣1；
（3）﹣1的偶数次幂为1；
（4）任何不等于零的数的零次幂为1．
请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2019的值为1．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及相关有理数乘方的性质得出答案．
【解答】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1．
②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2019＝2017，则（2x+3）x+2019＝（﹣1）2017
＝﹣1，所以此时不成立．
③当x+2019＝0时，x＝﹣2019，此时2x+3≠0，所以x＝﹣2019．
综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2019时，代数式（2x+3）x+2019的值为1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确分类讨论是解题关键．
60．计算：（﹣2）3+ （2004﹣ ）0﹣|﹣ |．
【分析】根据乘方、零指数幂、绝对值等知识点进行解答．
【解答】解：原式＝﹣8+ ×1﹣|﹣ |
＝﹣8．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的题型．注意（2004﹣
）0＝1．
