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第二十七章 相似章末测试卷
姓名：________ 班级：________ 得分：________
注意事项：
本试卷满分100分，时间60分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知 ，添加下列条件后，仍无法判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可求出
，再根据三角形相似的判定定理结合各选项逐项判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ．
A．由 ， ，则可通过两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明
，故该选项不符合题意；
B．由 ， ，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明 ，
故该选项不符合题意；
C．由 ， ，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明 ，
故该选项不符合题意；
D．由 ， ，可知两边对应成比例，但其夹角不是 和 ，故不能证明
，故该选项符合题意．
故选D．
2．如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把 缩小到原来的 倍，则点A的对应点为（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接
并延长到 使得 ，则点 是点A的对应点，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 并延长到 使得 ，则点 是点A的对应点，即点A的对应点
为D点，
故选A．
3．如图，在正方形网格上有 个斜三角形：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥
．在②～⑥中，与①相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是 ，分别求出五个三角形的三
边的比，符合这个结果就是与①相似的．
【详解】解：①三角形的三边之比是 ，
② 中， ，
③ 中 ，
④ 中，
⑤ 中，
⑥ 中，
故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．
4．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）
的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为 ，那么它的下部应设计的高度为（ ）
．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了黄金分割，设它的下部应设计的高度为 ，则雕像的上部为 ，根据题意
得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设它的下部应设计的高度为 ，则雕像的上部为 ，
由题意得， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），∴它的下部应设计的高度为 ，
故选B．
5．如图，A、B在圆形方格网横线上，点C、D是直径AB与网格横线的交点，则BC：CD：DA为（ ）
A．3：4：5 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5
【答案】B
【分析】要求 的值，想到构造这三条线段所在的三角形相似，所以过点A作 ，垂足为
，可得 ，然后利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点A作 ，垂足为 ，取格点F，G，则CG=1，DF=3，AE=2，如图：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是 ， ， ， 、以C，D，E为顶点的三角形与
相似，则点E的坐标不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 为等腰直角三角形，则 为等腰直角三角形那个，再进行分类讨论：当
时，当 时．
【详解】解：∵点A，B，C的坐标分别是 ， ， ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∵以C，D，E为顶点的三角形与 相似，
∴ 为等腰直角三角形那个，
当 时，如图： ，
当 时，过点E作 于点F，如图：∵ ， ，
∴点F为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上：点E的坐标可能是： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形形状
相同，对应边成比例．
7．如图，在 中， ，以点 为圆心适当长为半径画弧，分别交 于
点 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点
，作线段 的垂直平分线分别交 于点 ，连接 ，下列结论错误的是（ ）A． 平分 B．
C． D．
【答案】C
【分析】由作图可知 平分 ，即可判断A，证明四边形 是菱形，即可判断B，再利用平行
线分线段成比例定理即可判断D，得到答案．
【详解】解：由作图可知， 平分 ，
，
垂直平分线段 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
故A、B、D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、平
行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上
水面所在圆的半径长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图， ，上水面 ，过点A作 ，垂足为F，交 于点G，则
， ， ，由等腰三角形三线合一，得 ， ；可
证 ，于是 ，求得 ．
【详解】解：如图， ，上水面 ，过点A作 ，垂足为F，交 于点G，则
，
∴
由题知， ，
∴ ，
即上水面所在圆的半径长为线段 长
∵
∴ ，
∴
∴
∴
∴
故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三
角形，寻求线段之间的数量关系是解题的关键．
9．如图，正方形 和正方形 是位似图形，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，则这两
个正方形位似中心的坐标为（ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A
是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点，分别求出直线的函数解析式，然后求交点
即可．
【详解】解：∵正方形 和正方形 中，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是 与 的交点.
设 所在的直线的解析式为
解得∴ 所在的直线的解析式为
当 时， ，所以 与 的交点为 ；
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是 与 的交点
设 所在的直线的解析式为
解得
∴ 所在的直线的解析式为
设 所在的直线的解析式为
解得
∴CG所在的直线的解析式为
联立 解得
∴ 与 的交点为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是 或
故选：D．
【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的
关键．
10．如图，在 中， ， ，点P从点B出发以1个单位 的速度向点A运动，同时点
Q从点C出发以2个单位 的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与 相似时，运动时间
为（ ）A． B． C． 或 D．以上均不对
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为 ，先分别求出
， ， ，再分四种情况：① ，② ，③ ，
④ ，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设运动时间为 ，
由题意得： ， ，
，
，点 从点 运动到点 所需时间为 ，点 从点 运动到点 所需时间为
，
，
，
，
①当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
②当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；③当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
④当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
综上，运动时间为 或 ，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图， ，直线 与这三条平行线分别交于点 和点 ，已知 ，
， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求得 ，根据平行线分线段成比例得出 ，代
入数据即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
故答案为： ．
12．如图，在 ， ， ．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作圆弧，
分别交边 ， 于点 ， ；②分别以点 和点 为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，在
内，两弧交于点 ；③作射线 交边 于点 ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】先判断 ，再证明 ，再结合三角形的内角和定理可得 ，再根
据含 角的直角三角形的性质即可作答．
【详解】解：由题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∵在 中， ，∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是角平分线的作图，相似三角形的性质,含 角的直角三角形的性质以及勾股定理等
知识，熟悉角平分线的作图步骤与相似三角形的对应角相等是解本题的关键．
13．如图， 和 是以点C为位似中心的位似图形，且 和 的面积之比为1：9，点
C的坐标为 ，若点B的对应点 的横坐标为6，则点B的横坐标为 ．
【答案】
【分析】过点B作 轴于点D，过点 作 于点H，则 ，可得 可得
，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得 ，继而得到 ，然后根据
题意可得 ,进而求得 ,最后求得 即可解答．
【详解】解：如图：过点B作 轴于点D，过点 作 于点H，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 的面积之比为1：9，
∴ ，
∴ ，
∵点C的坐标为 ，点B的对应点 的横坐标为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的横坐标为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了位似图形、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质定
理是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在x轴和y轴上，且 ， ．
在第二象限内，将矩形 以原点O为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形 ，则矩形的对角线交点 的坐标是 ；再将矩形 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形
……，以此类推，得到的矩形 的对角线交点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应
点的坐标的比等于 或 即可求得 的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．
【详解】解：∵在第二象限内，将矩形 以原点 为位似中心放大为原来的 倍，
∴矩形 1与矩形 是位似图形，点 与点 是对应点，
∵ ， ．
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵将矩形 以原点 为位似中心放大 倍，得到矩形 …，
∴ ，
∴ ，
∵矩形 的对角线交点为对角线两端点的中点，即 为 与 的中点，
∴ ，即 ，当 时， ，即
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位
似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
15．如图，在 中， ，把 沿斜边 折叠，得到 ，过点D作
交 的延长线于点E，过点C作 ，分别交 ， 于点M，N，若 ， ，则
．
【答案】 /
【分析】此题考查了折叠问题，全等三角形和相似三角形的性质和判定方法，连接 ，根据题意可得
为等腰三角形，进而证明 全等，然后根据 相似即可求得 的值．
解题的关键是能够根据题意构造出相应的辅助线．
【详解】解：连接 ，如图，
由对称的性质可知， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴在 中， ．
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．如图，在 中， ，点E是 的内心，过点E作 交 于
点F，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角
平分线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过 作 ，交 于 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可以得到 ， ，证明
，然后可以得到 ，设 ，则可得到 ，
然后求解即可．【详解】解：过 作 ，交 于 ，
则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
17．（6分）已知线段a、b、c满足 ，且 ．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段，
（1）根据题意可设 ，由 得到方程 ，解方程即可得到
答案；
（2）根据比例中项的定义得到 ，解之可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴ ，
∴ （负值舍去）．
18．（6分）课本再现
一般地，点C把线段 分成两条线段 和 （如图1）．如果 ，那么称线段 被点C黄金
分割，C叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比．
知识应用
(1)如图1，若 ，C是线段 的黄金分割点（ ），求线段 的长．
(2)如图2，在 中， ， ， 是 的平分线，求证：D是 的黄金分割点．
图1 图2
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】本题考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质的应用：
（1） ，则 ．根据黄金分割点，得 ，代入数值计算，即可作答．
（2）由 平分 ，得两个对应角相等，即证明 ，再进行边的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
∵ 是线段 的黄金分割点（ ）．
∴ ，
即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
即 ；
（2）证明：∵ ， ， ．
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的黄金分割点．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ，
内部任意一点 的坐标为 ．(1) 是由 经过某种变换后得到的图形，观察它们对应点的坐标之间的关系，指出是怎样变换
得到的？并写出变换后点 的对应点 的坐标（用含 、 的代数式表示）；
(2)以原点 为位似中心，在位似中心的同侧画出 的一个位似 ，使它与 的相似比为
．写出 、 、 的坐标，及变换后点 的对应点 的坐标（用含 、 的代数式表示）；
(3)求 与 的面积比．
【答案】(1)将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的 ，点 的坐标为 ；
(2)图见解析， ， ， ； ；
(3) 与 的面积比为 ．
【分析】本题考查了作图-位似变换，平移变换等知识．
（1）根据图形平移的方式，即可得出平移规律；
（2）根据位似的性质，求得 、 、 点的坐标，依次连接即可；
（3）根据位似的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据图形得，将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的 ，
变换后点 的对应点 的坐标为 ；（2）解：如图所示， 为所求图形，点 的对应点 的坐标 ；
；
∴ ， ， ；
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ；
（3）解：∵ 与 的相似比为 ， 与 的面积相等，
∴ 与 的面积比为 ．
20．（8分）如图，正方形 中，点F是 边上一点，连结 ，以 为对角线作正方形 ，边
与正方形 的对角线 相交于点H，连结 ．
(1)填空：若 ，则 °；
(2)若当点F在线段 上运动时（不与B、C两点重合），设 ，试求y与x之间的函数关系
式；
(3)若 ，请求出 的值．
【答案】(1)27(2)
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）由四边形 ， 是正方形，得到 ，于是得到
，推出 ，由于 ，
于是得到结论；
（2）由四边形 ， 是正方形，推出 ，得，由于 ，得到
，列比例式即可得到结果；
（3）设 ， ，则 ，根据勾股定理得到 ， 由于 ，
，于是得到 ，得到比例式即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形 ， 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：27．
（2）∵四边形 ， 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，即 ；（3）∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21．（8分）如图1是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2是晒衣架一端横切面的示意图，立杆
相交于点 两点立于地面，经测量； ， ， ，
现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链 成一条线段， ．
(1)求证： ．
(2)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理
由．
【答案】(1)见解析
(2)会拖落到地面，理由见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理得出 ，，从而得到 ，即可得证；
（2）首先证明 ，进而得出 的长即可．
【详解】（1）证明： 相交于点 ，
，
，
，
同理可证： ，
，
；
（2）解：小红的连衣裙会拖落到地面；
在 中， ，
过点 作 于点 ，
同（1）可证： ，
，则 ，
∴ ， ，
所以小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度 晒衣架的高度 ．小红的连衣裙会拖落到地面．
22．（8分）在 中，(1)如图1，P是 上的点，过点P作直线截 ，使截得的三角形与 相似．例如：过点P作
交 于D，则截得的 与 相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．
(2)如图2，Q是 上异于点B，C的动点，过点Q作直线截 ，使截得的三角形与 相似，直接
写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）
【答案】(1)见解析
(2)当 时，满足条件的直线有4条；当 时，满足条件的直线有3条
【分析】（1）利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定
理过点P作两条，再利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过点P作两条．
（2）把Q点看成从C点出发到B点的动点，发现当Q点在某一个位置时，所作截的三角形与原三角形相
似的数量减少了一个，通过此时的临界条件把 的长度计算出来，进行分类说明．
【详解】（1）解：如图所示：
第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过
点P分别作 与 的平行线 与 ．分别得到 ， ．
第二种：利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别作 垂直 于点G，作 交
于点F，使 ．分别得到 ， ．
（2）解：如图所示，假设点Q从点C开始往点B移动，由（1）可知，作 ，
得 ．作 交 于点F，使 ，得 ．
作 ，得 ．作 ，得 ．
当移动到 位置时，此时出现点F于点A重合，此时是一个临界点，利用 得 ，则
，又此时 ，所以
该点往左移动，不能在三角形 内做出作 交 于点F，该点往右移动，可以在三角形 内做出
作 交 于点F，使 ．
故当 时，满足条件的直线有4条；
当 时，满足条件的直线有3条．
【点睛】本题通过画图综合性的考察了三角形相似的判定，作图时运用到了平行于三角形一边的直线和其
他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理．
在做此类试题时考虑必须全面，不能漏掉解．
23．如图1，点 为矩形 边 上一点，且 ，把 沿着 折叠，点 的对应点 恰好
落在线段 上．(1)求证： ；
(2)如图2，延长 交 于点 ，交 于点 ．
①求证： ；
②求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、矩形与折叠、等腰三角形的判
定及性质：
（1）根据等腰三角形的判定及性质和折叠的性质得 ， ，再利用
即可求证结论；
（2）①利用全等三角形的性质得 ， ，进而可得
，再根据折叠的性质得 ，进而可证
，进而可求证结论；
②根据等腰直角三角形的性质得 ，再利用相似三角形的判定及性质即可求解；
熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：证明： ，
为等腰直角三角形，
，
沿 折叠得到 ，且四边形 是矩形，
， ，
在 与 中，
，．
（2）①证明： ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
②在 中， ，
，
，
，
，
由①知： ，
，
，
，
．
