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第十三讲 平均数问题（一）
第一部分：趣味数学
无法实施的奖赏
国际象棋起源于印度。棋盘上共有8行8列构成64个格子。
传说国王要奖赏国际象棋的发明者，他的大宰相西萨·班·达伊尔，问他有什么要求，
这位聪明的大宰相的胃口并不是太大，他跪在国王面前说：“皇帝陛下，请在棋盘的第1个
格子里放上1颗麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋盘的第3个格子里放上4颗
麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个
格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请都赏给你的仆人吧！”
国王听了很不以为然，说：“爱卿，你的要求并多呀!我一定满足你的要求！” 没过一
会儿，他的粮管，就来报告了，“国王，不对呀！我们的整个国家的粮库的粮食都才能摆到
30格，如果满足他这个要求，我们国家要全国不吃不喝种两千多年哪！” 你知道为什么吗？
下面让我们来计算一下：
1.麦粒数目:
因为国际象棋的棋盘上共有64个格子，根据发明者的要求，各个格子的麦粒数应该依次
是：1，2，22 ，23 ,...,263 个。因此发明者所要求的麦粒总数是：1+2+22 +23 +...+263
=264-1= 18 446 744 073 709 551 615（粒）。这个结果太大了，太恐怖了!
2.单位数目麦粒质量的计算：
我称量了1000粒小麦，它们的质量约是40g，通过计算18 446 744 073 709 551 615粒
小麦的质量大于7000亿吨！
3.与2008年全球小麦产量比较：2008/09年度全球小麦产量将达到创纪录的6.56 亿吨，
要种植1067年，恐怖吗？
4.给载重量为30吨的大卡车拉 要用23 300 000 000辆。
想一想，这个故事能带给你什么启示呢？是的，不要小看 1、2、4、8……这些数字，当
它们不停地累积时，数字大的惊人。我们的学习不也是如此吗？只要我们坚持不懈，日积月
累，收获也是很大的。第二部分奥数小练
专题简析：
在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使杯 中
水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样
多。这就是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。
解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据“总数量÷总份数=平均
数”这个数量关系式来解答。
【例题1】 用4个同样的杯了装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3厘
米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？
【思路导航】根据已知条件，先求出4个杯子里水的总厘米数，再用总厘米数除以杯子
的个数就可以求出平均每个杯子里水面的高度。
（8＋5＋4＋3）÷3=5厘米
练习一：
1.小华期末测试语文、数学、英语、社会分别得了 90分、96分、92分、98分，这四门
的平均分是多少？
2.某校1——4年级分别有260人、300人、280人、312人，平均每个年级有多少人？
3.甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁筐共有梨50千克，平均每筐多少千克？
【】例题2 幼儿园小朋友做红花，小华做了7朵，小方做了9朵，小林和小宁合做了
12朵。平均每个小朋友做了多少朵？
【思路导航】根据已知条件，先求出做花的总朵数，再用花的总朵数除以人数就可求
出平均每人做花的朵数。
（7＋9＋12）÷4=7朵
练习二：
1.一个书架上第一层放书52本，第二层和第三层共放70本，第四层放了46本，平均每
层放书多少本？
2.某工厂第一、二车间共有工人180人，第三车间有103人，第四车间有81人。平均每
个车间多少人？3.商店有蓝色气球和红色气球共43只，黄气球有20只，绿气球有33只。平均每种气球
多少只？
【例题3 】 植树小组植一批树，3天完成。前2天共植113棵，第3天植了55棵。植
树小组平均每天植树多少棵？
【思路导航】要求植树小组平均每天植树的棵数，必须知道植树的总棵数和植树的天数，
植树的总棵数用前2天植的113棵加上第3天植的55棵：113＋55=168棵，植树的天数为3
天。所以，平均每天植树：168÷3=56棵。
练习三：
1.小佳期中考试语文、数学总分为 197分，外语考了91分，小佳三门功课的平均成绩是
多少分？
2.小红、小青的平均身高是103厘米，小军的身高是115厘米，三个人的平均身高是多少
厘米？
3.一个同学读一本故事书，前4天每天读25页，以后每天读40页，又读了6天正好读完。
这个同学平均每天读多少页？
【例题4】 一辆摩托车从甲地开往乙地，前2小时每小时行驶60千米，后3小时每小
时行驶70千米。平均每小时行驶多少千米？
【思路导航】根据已知条件，先求这辆摩托车行驶的总路程：60×2＋70×3=330千米，
再求行驶的总时间：2＋3=5小时。所以，平均每小时行驶：330÷5=66千米。
练习四：
1.小华家先后买了两批小鸡，第一批的 20只每只重60克，第二批的30只每只重70克。
小华家的小鸡平均多重？
2.少先队员为饲养场割草，第一组7人，平均每人割草13千克，第二组5人，平均每人
割25千克。平均每人割草多少千克？
3.一小组同学量身高，其中2人都是124厘米，另外4人都是130厘米。这组同学的平均
身高是多少？
【例题5】 数学测试中，一组学生的最高分是 98分，最低分是86分，其余5名学生
的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？【思路导航】要求平均分，应用总分数÷总人数=平均分，依题意，总分数为：98＋86＋
92×5=644分，总人数为：1＋1＋5=7人。
所以，这组学生的平均分为：644÷7=92分。
练习五：
1.一组同学进行立定跳远，最远的跳了152厘米，最近的跳了144厘米，其余6名同学都
跳了148厘米。这一组同学的平均跳远成绩是多少？
2.一组学生测量身高，最高的是150厘米，最矮的是136厘米，其余4名同学都是143厘
米。这组同学的平均身高是多少？
3.音乐考试中，一组学生中有2人得了最高分90分，1人得了最低分70分，其余5名同
学都得了78分。这组学生的平均成绩是多少?
第三部分：数学史话
平均数的由来
早在三千年前，我国《周易》即已产生了平均数的思想。《周易》“谦”卦说：“谦，
君子以裒多益寡，称物平施。”王弼的注说：“多者用谦
以为裒，少者用谦以为益；随物而与，施不失平也。孔颍
达的正义说：“称此物之多少，均平而施。物之先多者，
而得其施；物之先寡者，而亦得其施也。”宋代朱熹的注
说：“裒多益寡，所以称物之宜而平其施，损高增卑，以
趣于平，亦谦之意也。”
概括《周易》谦卦以及王弼、孔颖达与朱熹等人的注解，可见“裒”指减少，“益”指
增益。“裒多益寡”就是指对研究对象的各个单位的数量减有余而补不足；“称物平施”就
是指衡量事物要均等。
上述思想，为统计平均数的概念与作用奠定了基础：平均数是指在一组数据中所有数据
之和再除以数据的个数。平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的
一项指标。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。在统
计工作中,平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。参考答案：
练习一：
1.（90+96+92+98）÷4＝94（分）
2.（260+300+280+312）÷4＝263（人）
3.(32+38+50)÷4=30(千克)
练习二：
1.（52+70+46）÷4＝42（本）
2.（180+103+81）÷4＝91（人）
3.（43+20+3）÷4＝24（只）
练习三：
1.(197+91)÷3=96(分)
2.（103×2+115）÷3＝125（厘米）
3.（25×4+40×6）÷（4+6）＝34（页）
练习四
1.（20×60+30×70）÷（20+30）＝66（克）
2.（7×13+5×25）÷（7+5）＝18（千克）
3.（124×2+4×130）÷（2+4）＝128（厘米）
练习五：
1.（152+144+6×148）÷8＝148（厘米）
2.（150+136+4×143）÷6＝143（厘米）
3.（2×90+70+5×78）÷8＝80（分）
