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相似三角形基本模型综合培优训练（三）
1．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°
到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（ ）
A．8 B．7 C．9 D．
2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等边 的边长是 ，点 是线段 上一动点，连接 ，点 是 的中点，将线段 绕
点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，当 是直角三角形时，则线段 的长度为______ ．4．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E
是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是_____．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点
O，已知BD=4，OC=2 ，则OE=_________．
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与BC边上的点 重合，折痕为BE，再沿过点E的直线折叠，
使点B与AD边上的点 重合，折痕为EF，连接 ， ，若 ，则 的值为
__________．
7．如图，等边 边长为 ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，且 ，作平行四边形
PQCR，则用含 的代数式表示平行四边形PQCR 的面积为_____；当PC AR时， ______．8．如图，菱形 中， ，对角线相交于点 ，点 、 分别是边 、 上的点，且
，连接 、 分别交对角线 于点 、 ，若 ， ，则 的面积为
__．
9．在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在
直线上△的动点．
(1)如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；
(2)如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；
(3)在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4 ，AE：EC＝1：3，请直接
写出 的值为 ．
10．如图1在 中， ， ， 是 中点， 为 上一点，连接 ，过 作
于 交 于 ．
(1)求证： ；
(2)探究 与 的数量关系，并证明；
(3)如图2，若 ，求 的值．
11．在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE
上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．(1)如图，当点E在边BA上时，
①求证：DF•CE＝AB•AD；
②若BE＝2，求线段CF的长．
(2)若 DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．
△
12．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至A ，记旋转角为α，连接B ，过点D作DE垂直于直
线B ，垂足为点E，连接D ，CE．
(1)如图1，当α＝ 时，△DE 的形状为______，连接BD，B 与CE的数量关系是______．
(2)当 且a≠ 时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点E，C，D， 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与 E的数量关系．
13．在△ABC中∠B＝45°，∠BAC＝90°，E为BC边上一点，D为BA延长线上一动点，连接DE，且
∠BDE＝∠ACD．(1)如图1，求证：DE＝DC．
(2)如图2，过点B作BF⊥CD于点F，交AC于点G，交DE于点H，求证： ．
(3)如图3，若点M是AC的中点，AC＝ ，点N是BC边上点E左侧的一点，且NE＝1，当点D在运动
过程中，当四边形ANEM周长最短时，直接写出DC的长．
14．矩形ABCD满足BC＝2AB，E、F分别为AD、BC边上的动点，连接EF，沿EF将四边形DEFC翻折
至四边形GEFH．
(1)①如图1，若点G落在矩形ABCD内，当∠BFE＝57°时，直接写出∠AEG＝ ．
②如图2，若点G落在AB边上，当G为AB中点时，直接写出sin∠BFH＝ ．
(2)如图3，若点G落在AB边上，且满足AB＝nAG，①求 的值（用含n的代数式表示）；
②在E、F运动的过程中，直接写出 的值（用含n的代数式表示）
15．如图，在矩形ABCD中， ，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，
使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若 ， ，求线段BE和CP的长．
