第三章核心考点突破训练（155题174页）-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关（解析版）（北师大版）_new_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_4专题练习_第1套

第三章核心考点突破训练（155 题 174 页） 考点1：与圆有关的最值问题 典例：（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接 BF，则BF的最小值为_______．解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt BCD中，由勾股定理得：BD=❑√CD2+BC2=❑√32+62=3❑√5， △ ∴BF=BD－DF=3❑√5-3， 故答案为：3❑√5-3． 巩固练习 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，圆O的弦中最长的是（ ） A．AB B．CD C．EF D．GH 【答案】A 【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长， 【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆O的弦中最长的是AB． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键． 2．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是 （ ） A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆 形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ） A．a B．b C．a+b D．a-b 【答案】C 【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一 直线上时，S取到最大值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两 边的长度之和大于第三边． 4．（2021·全国·九年级课时练习）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8，最小距离是 2，则此圆的半径是（ ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 【答案】C 【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：设⊙O的半径为r， 8-2 当点P在圆外时，r= =3； 2 8+2 当点P在⊙O内时，r= =5． 2综上可知此圆的半径为3或5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键． 5．（2022·贵州遵义·二模）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点 CA⊥CB，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ） A．14 B．2❑√34-4 C．2❑√34+2 D．2❑√34+4 【答案】D 【分析】连接OC，首先根据题意可得AO=BO，OC是Rt ABC的斜边上的中线，AB=2OC，可知故若要 使AB最大，则OC需取最大值，再连接OD并延长，交⊙△D于点C ，C ，当点C位于点C 时，OC最长， 1 2 2 再由过点D作DE⊥x轴于点E，可得DE=5，OE=3，根据勾股定理可求得OD，据此即可求得． 【详解】解：如图：连接OC ∵CA⊥CB ∴△ABC是直角三角形 ∵点A、点B关于原点O对称 ∴AO=BO ∴OC是Rt ABC的斜边上的中线 △1 ∴OC= AB 2 ∴AB=2OC 故若要使AB最大，则OC需取最大值 连接OD并延长，交⊙D于点C ，C 1 2 当点C位于点C 时，OC最长 2 过点D作DE⊥x轴于点E ∵点D(3，5) ∴DE=5，OE=3 在Rt ODE中，根据勾股定理得：OD=❑√DE2+OE2=❑√52+32=❑√34 △ ∴OC =OD+DC =❑√34+2 2 2 ∴AB=2OC =2(❑√34+2)=2❑√34+4 2 故AB的最大值为2❑√34+4 故选：D 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，解题的关键是找到点C的位置． 6．（2021·江苏扬州·九年级期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此 圆的半径为_______． 【答案】3或4##4或3 【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】设⊙O的半径为r， 7-1 当点P在圆外时，r= =3； 2 7+1 当点P在⊙O内时，r= =4． 2 综上可知，此圆的半径为3或4．故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键． 7．（2021·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）已知圆内一点P到圆周上点的最长距离 为7cm，最短距离为3cm，此圆的半径为___cm． 【答案】5 【分析】根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】如图,设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径AB，则PB=7，PA=3， ∴AB=10， ∴圆的半径为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 8．（2021·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、 B(0,1+t)、C(0,1-t)(t>0)，点P在以点D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ∠BPC=90°，则t的最小值为______，t的最大值为______． 【答案】 4 6 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的 取值范围． 【详解】解：连接AP， 由题意，得：AB=(1+t)-1=t，AC=1-(1-t)=t， ∴AB=AC， ∵∠BPC=90°， 1 ∴AP= BC=AB=t， 2 t要最大，就是点A到⊙O上的一点的距离最大， ∴P在AD的延长线上， ∵A(0,1)，D(4,4)， ∴AD=❑√16+(4-1) 2=5， ∴t的最小值是AP=AD-PD=5-1=4， ∴t的最大值是AP=AD+PD=5+1=6， 故答案为：4；6． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等 知识，是重要考点，难度较易，将问题转化为求AP的最大值是解题关键． 9．（2021·安徽省六安皋城中学九年级阶段练习）如图， A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点 P是 A上的运动点，则点P到点O的最大距离 ___． ⊙ ⊙【答案】7 【分析】连接OA，并延长交 A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，利用勾股定理求出OA的值， 进而即可求解． ⊙ 【详解】解：连接OA，并延长交 A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离， ⊙ ∵A的坐标为（﹣3，4）， ∴OA=❑√(-3-0) 2+(4-0) 2=5， ∴OP’=5+2=7． 故答案为：7 【点睛】本题主要考查圆的基本性质和勾股定理，找到使点P到点O的最大距离的位置，是解题的关键． 10．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点E是 AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将 AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，则线段A'C的最小 值是______． △【答案】2❑√10-2##-2+2❑√10 【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A'在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据 折叠的性质可知A′E=2，在Rt BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE−A′E即可求出结论． 【详解】解：如图，以点E为△圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A'在线段CE上时，A′C的长取最 小值， 1 由折叠可知，A'E=AE=BE= AB=2， 2 在Rt BCE中，由勾股定理可得，CE=❑√BC2+BE2=❑√62+22=2❑√10， △ ∴A'C的最小值=CE−A′E=2❑√10-2， 故答案为：2❑√10-2． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是 解题的关键． 11．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD中，AB=2❑√3，BC=2，点E是DC边上的动点， 现将 BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________． △【答案】2 【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题 可进行求解． 【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧， 连接BD，交圆弧于点H，如图所示： ∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短， ∵四边形ABCD是矩形，AB=2❑√3，BC=2， ∴DC=AB=2❑√3,∠BCD=90°， ∴BD=❑√BC2+CD2=4， ∴DH=BD-BH=4-2=2，即点D到点F的最短距离为2； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹． 12．（2022·四川凉山·九年级期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是 MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是________． 【答案】❑√13 【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：∵∠POA=90°， ∴PA=❑√OA2+OP2=❑√4+OP2， 当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3， ∴PA的最小值为：❑√4+32=❑√13， 故答案为：❑√13． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长 是解题的关键． 考点2：垂径定理及其应用 典例：（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图， 为 的直径，E为 的中点，弦 于点 E，连接 并延长交 于点F，连接 ． (1)求证： 是等边三角形； (2)若 的半径为2，求 的长． （1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， 设 的半径为 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 为 的直径， ∴∵E为 的中点， ∴ ， ∴ ∴ 是等边三角形， ∴ ∵ ∴ 是等边三角形， （2）解：∵ 的半径为2， ， ∴ ， ∵ 为 的直径， ， ∴ ． 巩固练习 1．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结 论一定正确的个数有（ ） ①CE=DE；②BE=OE；③ ；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CE=DE， ；故①③正确； ∴∠CAB=∠DAB；故④正确由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立； 所以一定正确的结论是①③④； 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握 垂径定理是解题的关键． 2．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4 米，则拱桥的半径为（ ） A．9米 B．10米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】设圆心是O，半径为r米，连接OA、OD．根据垂径定理得AD=8米，再由勾股定理得出方程， 解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接OA、OD． 则O、D、C三点共线， ∵CD是拱高， ∴OC⊥AB， ∴AD= AB=8（米）， 在Rt AOD中，根据勾股定理，得：r2=82+（r-4）2， 解得：△r=10， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 3．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径OD垂直弦AB于点C，若 ， ，则 的半径为（ ）A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得 ,再利用勾股定理直接求得 的长，即可得出答案． 【详解】解：设 半径为 ， ， ， 根据垂径定理得： ， ， 在 中， ， ， ， 解得 ， 即 的半径为5． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算． 4．（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接 OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）A．1 B． ＋1 C．2 －1 D．3 【答案】B 【分析】根据垂径定理得出点H是AB的中点，从而利用∠A＝45°求出OH、OA的长，继而求出DH即可． 【详解】解：∵AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB， ∴H是AB的中点，即 ， 又∵∠A＝45°，CD⊥AB， ∴△AHO是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径经理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握垂径定理是解题的关键． 5．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图 （单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是( )cm A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】设圆心为O点，连OE，交AB于C，则OE⊥AB，AC=BC=8，在Rt OAC中，设⊙O的半径为 △R，OC= R 4，利用勾股定理得到 ，解方程即可． 【详解】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图， AB=16，CE=4， 则OE⊥AB， ∴AC=BC=8， 在Rt OAC中，设⊙O的半径为R，OC=R 4， ∴ △ ， ∴ ， 解得，R=10， 即该球的半径是10cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 6．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为 半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ） A．2 B．6 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即 可． 【详解】解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ ， 设⊙O的半径为r， ∵点P为OB中点， ∴ ， 在 种，由勾股定理可得： ， 即： ，解得：r= 或：r= （舍）， ∴直径为 ． 故选∶C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求 解是解题的关键． 7．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，已知直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6， 2)，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：( )，_______． 【答案】 2 0 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解： 作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心， 如图所示，则圆心为(2，0)， 故答案为：2，0． 【点睛】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推 论得到圆心的位置． 8．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为M，OM∶MC=3∶2，则AB的长为________ 【答案】16 【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AM=BM，再计算出OM的长，然后根据勾股定理计算出AM 的长，从而得到AB的长． 【详解】解：连接OA，如图， ∵AB⊥CD， ∴AM=BM，∵CD=20， ∴OC=OA=10， ∵OM：MC=3：2， ∴OM=6， 在Rt OAM中，AM= =8， ∴AB=2AM=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 9．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算 术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这 段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸， 锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为________寸． 【答案】26 【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD ＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝r−1，OA＝r，根据 列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示： 由题意知：CE过点O，且OC⊥AB， 则AD＝BD＝ AB＝5， 设圆形木材半径为r， 则OD＝r−1，OA＝r，∵ ， ∴ ， 解得：r＝13， 即⊙O的半径为13寸， ∴⊙O的直径为26寸， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 10．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径 ，D是半径OC上一点， 且 ．A，B是⊙O上的两个动点， ，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 __________． 【答案】 ## 【分析】由题意易得出当点F与点D运动至共线时，OF长度最大．根据垂径定理可推出△ABD是等腰直 角三角形，设OF为x，则 ．再在 中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x， 再舍去不合题意的值即可． 【详解】∵ ， ∴当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图． ∵F是AB的中点， ∴OC⊥AB， ． 设OF为x，则 ． ∵ ， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴ ， 在 中， ，即解得： 或 （舍去）， ∴OF的长的最大值等于 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系的应用等知识．理解当点F与 点D运动至共线时，OF长度最大是解题关键． 11．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦 ，∠AOC=90°， 设AB=a，CD=b，则 _______． 【答案】36 【分析】过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，证明△AMO≌△ONC，可得 ，再由 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N， ∵ ，OM⊥AB， ∴ON⊥CD， ∴∠CON+∠OCN=90°，∴ ， ， ∵∠AOC=∠AMO=∠CNO=90°， ∴∠AOM+∠CON=90°， ∴∠AOM=∠OCN， 在△AMO和△ONC中， ∵∠AMO=∠ONC，∠AOM=∠OCN，AO=CO， ∴△AMO≌△ONC（AAS）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：36 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅 助线，构造全等三角形解决问题． 12．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断， 既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 的中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】15分米 【分析】连接 ，根据垂径定理求得 ，设圆的半径为 分米，则 ，根 据勾股定理即可求得 ． 【详解】解：连接 ，∵ 过圆心， 为 的中点， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ， 设圆的半径为x分米，则 分米， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ （分米）， 即拱门所在圆的半径是15分米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解 决问题的关键． 13．（2022·广西·银海学校八年级期末）已知锐角 内接于 ， 于点 ． (1)若 ，弦 的长为 ，求 的半径； (2)请用无刻度直尺画出 的角平分线 ．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 的半径2 (2)见解析【分析】（1）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可． （2）延长OD交⊙O于M，连接AM，射线AM即为∠BAC的角平分线． （1） 解：连接OB，OC． ∴∠BOC=2∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°， ∵OD⊥BC，OB=OC， ∴BD=CD= ，∠BOD= ∠BOC=60°， ∴∠OBD=30°， ∴OD= OB， ∵ ， ∴ ， ∴OB=2， 故⊙O的半径为2； （2） 解：延长OD交⊙O于M，连接AM，射线AM即为∠BAC的角平分线． ∵OD⊥BC， ∴ ， ∴∠BAM=∠CAM．【点睛】本题考查作图-基本作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题． 14．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 ，直径 是 河底线，弦 是水位线， ， 米， 于点 ，此时测得 ． (1)求 的长： (2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【答案】(1) 米 (2)经过5小时桥洞会刚刚被灌满 【分析】（1）连接 ，根据垂径定理可得 ，勾股定理求得 ，进而求得 ； （2）延长 交 于点 ，由（1）求得 ，进而求得 ，根据题意即可求解． （1） 解：如图，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设 ， 在 中， ， ∴ ， ∵直径 是河底线， ， ∴ ， 解得 ，∴ ， ， ∴ 米， （2） 如图，延长 交 于点 ， 由（1）可得 ， ∴ ∵水位以0.4米小时的速度上升， ∴ （小时）， 即经过5小时桥洞会刚刚被灌满． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 考点3：圆周角定理及其推论的应用 典例：（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，点 F是 延长线上的一点，且 平分 ， 于点E． (1)求证： ． (2)若 ， ，求 的长． （1）∵ AD平分∠BDF ，∴∠ADF=∠ADB． ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°， ∴∠ADF=∠ABC， ∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ACB， ∴ AB=AC ． （2）如图，过点A作AG⊥BD于点G． ∵ AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD， ∴ AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°． 又∵AD=AD， ∴ AED≌ AGD(HL)， ∴△GD=ED=△2． 在Rt AEC和Rt AGB中， ， △ △ ∴ AEC≌ AGB(HL)， ∴△BG=CE．△ ∵BD=18， ∴BG=BD-GD=18-2=16， ∴CE=BG=16， ∴CD=CE-DE=16-2=14． 巩固练习 1．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）一条弦的两个端点把圆周分成4：5两部分，则该弦所对的圆周角 为（ ） A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200° 【答案】C 【分析】根据弦的两个端点把圆周分成4：5两部分，得到 ，根据同圆中弧与所对圆心角 的度数相等推出 ，根据圆周角定理推出 ，． 【详解】如图， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴弦AB所对的圆周角为 或 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆弧，圆心角，圆周角，解决问题的关键是熟练掌握弧与圆心角的关系，圆周角 定理． 2．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点 D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（ ） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补 角求得∠ADC的度数． 【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°， ∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 3．（2022·江苏·江阴市陆桥中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点， 连接CA，CD，AD．若∠CAB=35°，则∠ADC的度数是（ ） A．40° B．45° C．55° D．100° 【答案】C 【分析】连接CB，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据圆周角定理求出∠ADC=∠B即可． 【详解】解：连接CB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=35°， ∴∠B=90°-∠CAB=55°， ∴∠ADC=∠B=55°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，能熟记直径所对的圆周角是直角和在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是关键． 4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上， ∠ADC＝30°，则BC的长为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得出 ， 勾股定理即可求解． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠ADC＝30°， ∴AC AB＝1， ∴BC AC ． 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得∠ACB＝ 90°是解题的关键． 5．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若 ∠D=85°，则∠B的度数为（ ） A．95° B．105° C．115° D．125° 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 6．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则 ∠AOB的度数是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】A 【分析】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据圆周角定理求出 的度数即可． 【详解】解：如图，在优弧 上任意取一点 ∵∠ACB＝130°，四边形 是圆内接四边形， ∴ ∵ ∴ ． 故选A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，添加辅助线构造圆周角是解题的关键． 7．（2022·全国·九年级单元测试）如图， 是直径，点 ， 在半圆 上，若 ，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BC，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得 ∠ADC的度数． 【详解】解：连接 ， 是直径， ， ， ， 四边形 是圆的内接四边形， ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题 的关键． 8．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）如图，半径为R的⊙O的弦 ，且 于 E，连结AB，AD，若 ，则R的值为______．【答案】 【分析】连接OA，OD，由弦 ，可得 ，继而可得 ，然后由圆周角定理，证得 ，即可判定 ，由 ， ，可求得 ，继而可得 是直 角三角形，则可求得 ，由此可解决问题． 【详解】解：连接OA，OD， ∵弦 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确 的作出辅助线和运用数形结合思想． 9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，已知半圆O的直径AB=9，C是半圆上一点，沿AC 折叠半圆得到 ，交直径AB于点D，若D在半径OA上，且为直径的三等分点，则AC的长是 ___________. 【答案】 【分析】连接CD，CB，CO，过点C作CH⊥OB于点H，根据圆周角定理及勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接CD，CB，CO， ∵∠CAD=∠CAB， ∴ ， ∴CB=CD， ∵CH⊥OB， ∴DH=BH， ∵AB=9，D在半径OA上，且为直径的三等分点，∴OA= =OC=OB，BD=6，AD=3， ∴OD=OA﹣AD= ， ∴OH=DH﹣OD= ， ∴AH=OA+OH=6， 在Rt COH中，CH= ， △ ∴AC= = ， 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，熟记圆周角定理是解题的关键. 10．（2022·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若 ∠APB=β，则β的取值范围是________. 【答案】40°≤β≤80° 【分析】连接AO，BO，AD，BD，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，求得∠ADB=40°，∠AOB=80°， 进而即可求解． 【详解】解：连接AO，BO，AD，BD， ∵四边形ACBD是圆的内接四边形， ∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-140°=40°，∠AOB=2∠ADB=80°，∵∠APB=β， ∴β的取值范围是：40°≤β≤80°， 故答案为：40°≤β≤80°． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是关键． 11．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）已知 的半径为2，弦 ，弦 ，则 的度 数为______________． 【答案】150°或30° 【分析】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作 于点P，作 于点Q，根据垂 径定理可求出 ， ，再根据勾股定理可求出 ， ，从而得出 ， ，即得出 ， ，进而可求出 ，最后由圆周角定理即可求出 的大小；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作 于点M，作 于点N，同理可求 出 ，再由圆周角定理即可求出 的大小． 【详解】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作 于点P，作 于点Q，如图， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ； ②当点B和点C在AO同侧时，过点O作 于点M，作 于点N，如图， 由①同理可得： ， ， ∴ ， ∴ ． 综上可知 的度数为150°或30°． 故答案为：150°或30°． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三 角形的性质．正确的作出图形和辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键． 12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°， , 则⊙O的半径为 ___________． 【答案】3 【分析】作直径CD，连接BD，根据圆周角定理和推论得到∠CBD=90°，∠D=∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】解：作直径CD，连接BD， ∵CD为直径， ∴∠CBD=90°， ∵∠D=∠A=30°， ∴CD=2BC=2×3=6， ∴⊙O的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键掌握在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径． 13．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，AB＝2， CB＝3，则⊙O的直径为_______． 【答案】 【分析】连接AC，首先利用90°的圆周角所对的弦是直径确定AC是直径，可得∠ABC＝90°，然后利用勾股 定理求出AC即可． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°， ∴AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝2，CB＝3，∴在直角三角形ABC中，AC ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，熟知半圆（或直径）所对圆周角是直角是解题的关键． 14．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）如图，点 在以 为直径的 上， ， ， 则 的长为______． 【答案】5 【分析】根据直径所对圆周角是直角，可知∠C=90°，再利用30°直角三角形的特殊性质解出即可． 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠C=90°， ∵∠A=30°， ∴ ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论及特殊直角三角形，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°． 15．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ， ， ，若 ， ，则线段AC的长为______．【答案】 【分析】连接BD，过B作BH⊥AC于H点，根据△BCD是直角三角形，可证明∠BAC=∠BDC，则有A、B、 C、D四点共圆，进而有BD是该圆的直径，可得∠BAD=90°，利用勾股定理可得 ，则有 ， ，根据BH⊥AC，可得△ABH、△BCH是直角三角形，则有 ∠ABH=30°，即 ，利用勾股定理可得 ，再在△BCH是直角三角形，可得 ，问题即可得解． 【详解】连接BD，过B作BH⊥AC于H点，如图， ∵∠BCD=90°， ∴△BCD是直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴在Rt△BCD中，∠DBC=30°，即∠BDC=60°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAC=∠BDC， ∴A、B、C、D四点共圆， ∵∠BCD=90°， ∴BD是该圆的直径， ∴∠BAD=90°， ∵AB=5，AD=2， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵BH⊥AC， ∴△ABH、△BCH是直角三角形， ∵∠BAC=60°， ∴∠ABH=30°， ∴ ， 即 ， ∵△BCH是直角三角形， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四 点共圆是解答本题的关键． 16．（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 在第一象限， 过原点，且与 轴、 轴交于点A， ，点A的坐标为 ， 的直径为10．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可 得出答案． 【详解】连接AB, ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴AB=10． 又∵∠AOB=90°，点A的坐标为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利 用勾股定理求解是解答此题的关键． 17．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图，AB为半圆O的直径，CD＝ AB＝2 ，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．【答案】2 【分析】连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，先证明△OCD为等边三角形得到 ∠COD＝60°，则根据圆周角定理得到∠CAD＝30°，∠ACB＝90°，再根据垂径定理得OE⊥BC，OF⊥AC，CH＝ AH，所以四边形OECH为矩形，于是得到∠EOF＝90°，OE＝CH＝ AC，设CE＝x，利用含30度角的直角三 角形三边的关系得到AC＝ x，在 ACB中利用勾股定理得到（ x）2+（2x）2＝（4 ）2，解方程 求出x得到OE＝2 ，然后在 OEF中利用勾股定理可计算出EF的长． 【详解】解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图， ∵CD＝ AB， ∴CD＝OC＝OD， ∴ OCD为等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠CAD＝ ∠COD＝30°， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵E为CB的中点， ∴OE⊥BC， ∵F为弧AC的中点， ∴OF⊥AC，CH＝AH， ∴四边形OECH为矩形，∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝ AC， 设CE＝x，则BE＝x， 在 ACE中，∵∠CAE＝30°， ∴AC＝ CE＝ x， 在 ACB中，（ x）2+（2x）2＝（4 ）2， 解得x＝4， ∴AC＝4 ， ∴OE＝2 ， 在 OEF中，EF＝ ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、圆的性质、解直角三角形，解题的关 键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用． 考点4：直线与圆的位置关系 典例：（2022·江苏·九年级单元测试）如图，P为正比例函数 图象上的一个动点，⊙P的半径为3， 设点P的坐标为（x、y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标． （2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围． 解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A； 当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5； ； 当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1， ，∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为 或 ； （2）由（1）可知当-1＜x＜5时，⊙P与直线x=2相交 当x＜-1或x＞5时，⊙P与直线x=2相离． 巩固练习 1．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级阶段练习）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相 切的是（ ） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断即可得出． 【详解】解： 于C， ∴以点P为圆心，，PC为半径的圆与直线l相切． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系:设 的半径为r，圆心O到直线1 的距离为d，若直线1和 相交 直线1和 相切 直线1和 相离 2．（2022·全国·九年级专题练习）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB ＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法先判断点A，点B与圆的位置关系，再结合直线与圆的交点的 个数进行判断即可． 【详解】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外，点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 3．（2022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2， )，圆P的半径为 2，下列说法正确的是（ ） A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点 D．圆P与x轴、y轴都没有公共点 【答案】B 【分析】点P到x轴的距离是 ，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y 轴相切，从而确定答案即可． 【详解】解：∵P（2， ），圆P的半径为2，2=2， ＜2， ∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切， ∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心 到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点； ③d＜r，直线和圆相交，有两个交点． 4．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）已知：在 中，∠A：∠B：∠C＝1：2： 3，以B为圆心，BC长为半径的 B与AC边的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意先求出∠A、∠B、∠C的度数，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切． 【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∴点B到AC的距离等于⊙B的半径， ∴以B为圆心，以BC为半径的圆与AC的位置关系是相切， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：①当圆心到直线的距离d＞圆的半径r，直线与圆相离；②当圆 心到直线的距离d＜圆的半径r，直线与圆相交；③当圆心到直线的距离d=圆的半径r，直线与圆相切．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O 的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在 中， ，根据勾股定 理得， ，解得 ，即可得． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ∴ 是直角三角形， 设OA=x，则OB=x， 在 中， ，根据勾股定理得， 解得 ， 则半径OA的长为 ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径 可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案． 【详解】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，∴该圆的半径＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是 解题的关键． 7．（2021·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学九年级阶段练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离， 点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（ ） A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m 【答案】C 【分析】根据直线和圆相离，则圆心到直线的距离大于半径，得2d＞m． 【详解】解：∵⊙O的直径为m，点O到直线L的距离为d，直线L与⊙O相离， ∴d＞ ， 即2d＞m， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 8．（2022·全国·九年级课时练习）已知 的半径为5，直线 与 有交点，则圆心 到直线 的距 离可能为（ ）． A．4.5 B．5.5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据直线AB和⊙O有公共点可知：d≤r进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点， ∴圆心O到直线AB的距离0＜d≤5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O 相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 9．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标为 ， 若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在 轴的上方与 轴相切和圆P在 轴的下方与 轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在 轴的上方与 轴相切时，平移的距离为 ， 当圆P在 轴的下方与 轴相切时，平移的距离为 ， 综上所述， 向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 10．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，以点（3，4）为圆心，3为半径 的圆必定与 轴___________． 【答案】相离 【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切． 【详解】解：∵点（3，4）到x轴的距离为4， ∴以点（3，4）为圆心，3为半径的圆必定与 轴相离． 故答案为：相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径； 与圆相离，直线到圆的距离大于半径． 11．（2022·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，若 与坐标轴有三个公共 点，则 的半径为______．【答案】 或3 【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可． 【详解】 点A的坐标为 如图1，当 经过原点时，半径为 如图2，当 与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为3 故答案为： 或3 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心 到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交 点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d3 ﹣3 ，可得当G、 7 3 D、B共线时，BD最小为3 ﹣3 ． （1） 解：当P在BA延长线上时，PB最大 ∴PB最大为：AB+PA=a+r， 当P在线段BA上时，PB最小 ∴PB最小为：AB﹣PA=a﹣r， 故答案为：a+r，a﹣r； （2） 解：①如图： ∵沿EF将△AEF翻折得到△PEF，1 4 2 ∴EA=EP= AD= ，即P的轨迹是以E为圆心，2为半径的半圆， 2 2 AE2AB2  2262 2 10 ∴当E、P、B共线时，此时BE= ， 10 ∴PB最小值为：BE﹣EP=2 ﹣2； 10 故答案为：2 ﹣2； ②连接BC，如图： ∵△APC和△BPD是等腰直角三角形， ∴PD=PB，PA=PC，APC=BPD=90， ∴∠DPB+∠APB=∠APC+∠APB，即∠DPA=∠BPC， ∴ DPA≌  BPC（SAS）， ∴AD=BC， ∴当BC最大时，AD就最大， 2 ∵AP=3 ，△APC是等腰直角三角形， 2 ∴AC= AP=6， ∵AB=7， ∴当C、A、B共线时，AC+AB最大，此时BC=AC+AB=13， 如图：∴AD最大为13； （3） 解：以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC、GB ∵AB为半圆O的直径，ABC=60， ∴ACB90，APC=ABC=60° ， ∴CAB=30 ， AB•cos30 3 ∴AC= =3 ， ∵CD⊥CP， ∴DCP=90， ∴∠ADC=∠DCP+∠APC=150°， ∵△GAC是等边三角形，AGC=GAC=60 3 ∴ ，GA=AC=3 ， 1 ∴∠ADC+ 2 AGC=180，点D在以3 3 为半径，点G为圆心的 AC ， 而∠GAB=∠GAC+∠CAB=90°， GA2AB2 (3 3)262 3 7 ∴BG= ， ∵△BGD中，BD>BG﹣GD， 7 3 ∴BD>3 ﹣3 ， ∴当G、D、B共线时，如图： 7 3 ∴BD最小值为3 ﹣3 ， 7 3 故答案为：3 ﹣3 ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，图形的翻折变换、全等三角形的判定与性质、三角形两边之差小于第三 边等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 6．（2021·河南省长垣县蒲北中心校九年级期中）如图，在△ABC 中，以AB为直径的⊙O分别交AC， BC于点 D，E．连接ED，若ED=EC．(1)求证：AB=AC； (2)填空：①若∠C=60°，CD=4，则AB= ； ②连接OD，当∠A的度数为 时，四边形ODEB是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②60° 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的外角等于内对角证明BC，即可得证； （2）①连接AE，利用等边三角形的性质和三角形的中位线的性质即可求出， ②利用等边三角形的性质和菱形的判定方法进行证明即可． （1） 证明：∵EDEC EDC C，  EDCADEBADE180， ∴EDC B， BC， AB＝AC； （2） 解：①∵AB AC,∠C 60， ∴ ABC是等边三角形， 同理△CDE是等边三角形， ∴BACCDE， ∴AB∥DE， 如图，连接AE， ∵AB是直径， ∴AEBC， ∴E为BC的中点，∵AB∥DE， ∴D为AC的中点， ∴AC 2CD8， ∴AB AC8； ②当A60 时，四边形ODEB是菱形． 证明：∵AB AC,∠A60， ∴ ABC是等边三角形， ∴∠B60，∠C60 ， ∴△CDE是等边三角形， ∴ACDE， ∴AB∥DE， 连接OD，则：OAODOB， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD60∠B ∴OD∥BC， ∴四边形ODEB是平行四边形， 又∵ODOB， ∴四边形ODEB是菱形． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用．熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定 是解题的关键． 7．（2022·广东·广州市第一中学三模）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将 AOB绕B点顺时针旋转α角（0360）至  AOB处． △ (1)如图1，m=4，α=90，求O点的坐标及AB扫过的面积； A、O、A OB (2)如图2，当旋转到 三点在同一直线上时，求证： 是⊙O的切线； (3)如图3，m=2，在旋转过程中，当直线BO与⊙A相交时，直接写出α的范围． 【答案】(1)O（2，2），AB扫过的面积为5π (2)见解析 (3)当直线BO与⊙A相交时，α的范围为：090或180270 【分析】（1）先判断出旋转后O'B⊥x轴，从而得出点O'的坐标，进而判断出是AB扫过的面积是以AB为 半径，圆心角为90的扇形的面积， （2）先判断出 AO'B≌  A'O'B．即可得出AO' A'O'，进而得出AO'OA即可得出结论； BO' （3）找出 与⊙A相切时旋转角的度数即可确定出范围． （1） 当α=90时，O'B⊥x轴， 由旋转知，O'BOB2， ∴O'（2，2）， 在Rt AOB中，OB=2，OA=m=4， △ 5 ∴AB=2由旋转知，BA绕点B旋转90到BA'， 90(2 5)2 ∴AB扫过的面积= 360 =5π； （2） 由旋转知，AB=A'B， ∴BAA'BA'A， ∵A、O、A三点在同一直线上， ∴AO'BA'O'B90， 在 AO'B和 A'O'B中， △AO'B△A'O'B90   BAA'BA'A ，   AB A'B ∴ AO'B≌  A'O'B．AO' A'O'， 由旋转知，A'O' AO， ∴AO AO， ∴OB是⊙O的切线； （3） ∵m=2， ∴A（0，2）， ∵B（0，2）， ∴OA=OB=2， 当顺时针旋转时，BO与⊙A相切时，四边形AOBO�刚好是正方形， ∴090，BO与⊙A相交， 同理：180270时，BO与⊙A相交， 即：当直线BO与⊙A相交时，α的范围为：090或180270． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股 定理，解本题的关键判断出， AO'B≌  A'O'B，是一道中等难度的中考常考题． 8．（2019·山东潍坊·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，AE是半圆O的切线（即圆O的切线）．连 接EB，交半圆于点D，连接AD．过点D作直线CD，且EDC DAB．(1)求证：直线CD是半圆O的切线； (2)求证：点C是线段AE的中点； (3)若AB10，BD8，求线段CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 15 CE (3) 4 【分析】（1）连接OD，根据等边对等角，得出OADODA，再根据等量代换，得出EDCODA， 再根据直径所对的圆周角等于90，得出ADBE，根据垂线的定义，得出EDA90，再根据等量代换， 得出ODC EDA90，即可得出ODCD，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （2）根据切线的性质，得出EABODC90，再根据角的关系和等量代换，得出 CDAEADB，EDC E，再根据等角对等边，得出AC CD，CDCE，然后根据等量代换， 得出ACCE，根据中线的定义，即可得出结论； （3）设CE长为x，则AE2x，根据勾股定理，得出AD6，再根据等面积法，得出用含x的式子表示 BE，再根据勾股定理，即可得出线段CE的长． （1） 证明：连接OD， ∵OAOD， ∴OADODA， ∵EDC DAB， ∴EDCODA， ∵AB是半圆O的直径， ∴ADB90， ∴ADBE， ∴EDA90， ∴ODC EDA90，∴ODCD， ∴直线CD是半圆O的切线； （2） 证明：∵AE、CD为半圆O的切线， ∴EABODC90， 又∵OADODA， ∴CDAEAD， 又∵ODOB， ∴ODBB， ∵EABADB90， ∵OADODA， ∴BODBEAD， ∴CDAEADB， ∵EBEDCCDA， ∴EDC E， ∴AC CD，CDCE， ∴ACCE， ∴点C是线段AE的中点； （3） 解：设CE长为x，则AE2x， 在Rt△ABD中， ∵AB10，BD8， AD AB2BD2  10282 6 ∴ ， 1 1 S  ABAE BEAD ∵ △ABE 2 2 ， 1 1 102x BE6 ∴ ， 2 210 BE x 解得： ， 3 在Rt△ABE中， 2x2102    10 x   2 根据勾股定理，可得：  3  ， 15 15 x  x  解得： ， （舍去）， 1 4 2 4 15 CE ∴ ． 4 【点睛】本题考查了切线的性质与判定、等腰三角形的性质、等量代换、勾股定理、等面积法，解本题的 关键在熟练掌握相关的性质、定理． 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C， 与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8， ∠EDB=∠EPB． (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)求⊙O的半径； (3)连接BE，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 2 5 (3) 【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到 PC PB6，由PDPC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC r，则有OD8r，利用勾股定 理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． PEDPEFASA （3）延长PB、 DE 相交于点 F ，证明 ，由全等三角形的性质得出 PDPF 10 ， DEEF，求出DF的长，则可得出答案． （1） 证明： DEPE，  DEO90， EDBEPB，BOEEDBDEO，BOEEPBOBP，  OBPDEO90， OBPB， PB为 O的切线； （2） 解：在Rt  PBD中，PB6，DB8， PD 62 82 10 根据勾股定理得： ，  PD与PB都为 O的切线， PC PB6， DCPDPC1064； 在RtCDO中，设OC r，则有OD8r， (8r)2 r242 根据勾股定理得： ， 解得：r3， 则圆的半径为3． （3） 延长PB、DE相交于点F ， PD与PB都为 O的切线， ∴ OP平分CPB， DPEFPE，  PEDF， PEDPEF 90， 又 PEPE，  PEDPEFASA ， PDPF 10，DEEF， BF PFPB1064， RtDBF DF  DB2BF2  8242 4 5 在 中， ， 1 BE  DF 2 5 ．  2 【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．本题是中考题常考题型，熟练掌握圆中的等量关系，切线的证 明方法，以及通过等量关系的转化证明三角形全等，利用解直角三角形解决求线段长度的问题是解题的关 键． 10．（2021·黑龙江·拜泉县第三中学九年级阶段练习）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA＝ O  5，OC＝3，E为BC的中点，以OE为直径的 交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．(1)求证： OCE≌△ABE； O △  (2)求证：DF为 的切线； (3)在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使 AOP也是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标， 不存在请说明理由． △ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在，使 AOP也是等腰三角形的点P的坐标为（1，3）、（9，3）、（4，3）、（﹣4，3） △ 【分析】（1）根据矩形的性质得出OC=AB，∠B=∠OCE=90°，根据中点的定义得到CE=BE，即可利用SAS 证明 OCE≌△ABE； △  O DF OD （2）要证明DF为 的切线只要证明 即可； （3）分两种情况进行分析：①当AO=AP；②当OA=OP，从而得到在直线BC上，除了E点外，它们分别 使 AOP为等腰三角形． （△1） 证明：∵四边形ABCO是矩形， ∴OC＝AB，∠B＝∠OCE＝90°， ∵E为BC的中点， ∴CE＝BE， 在 OCE和 ABE中， △ △ OC  AB  OCEB ，   CEBE ∴△OCE≌△ABE（SAS）； （2） 证明：连接OD， ∵△OCE≌△ABE， ∴EA＝EO， ∴∠EOA＝∠EAO， 在 O中，OO＝OD， ∴OOD＝ODO， ∴ODO＝EAO， ∴OD∥AE， ∵DF⊥AE， ∴DF OD， 又∵点D在 O上，OD为 O的半径， O  ∴DF为 切线； （3） 解：存在，如图，P P ①当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于 1和 4两点， P PH OA PH＝OC＝3 过 1点作 1 于点H， 1 ； AP＝OA＝5，PH＝OC＝3 ∵ 1 1 ， 5232 ∴AH＝ ＝4， ∴OH＝1， P（1，3） ∴点 1 ， P（9，3） 同理可得： 4 ； ②当OA＝OP时， P（4，3),P（﹣4，3） 同上可求得 2 3 ， 综上，使 AOP也是等腰三角形的点P的坐标为（1，3）、（9，3）、（4，3）、（﹣4，3）． 【点睛】△本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质和圆的有关性质，等腰三角形的判定．要熟练掌握 这些性质才能灵活运用． 11．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图， O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且 ABCD．(1)求证：ACBD． (2)若OF CD于F，OG AB于G，问，四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由． (3)若CE1，DE3，求 O的半径． 【答案】(1)ACBD，证明见解析 (2)四边形OFEG是正方形，理由见解析 OC  5 (3) ABCD ABCD AC BD 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由 判断 ，进而得到 ，从而得出 ACBD； （2）先证明四边形OFEG是矩形．连接OA，OD．根据垂径定理得出CF=DF，AG=BG．则利用CD=AB， 得到AG=DF．再由勾股定理可计算出OG=OF，即证明四边形OFEG是正方形； （3）先计算出CD=4，从而得到CF=DF=2，EF=1，再利用正方形的性质得出OF=EF=1，最后由勾股定理 即可求解． （1） 证明：∵ABCD， ABCD ∴ ， ABBC CDBC AC BD ∴ ，即 ， ∴ACBD； （2） 解：四边形OFEG是正方形. 理由如下：∵ABCD，OF CD，OG AB， ∴AEDOGEOFE90，∴四边形OFEG是矩形． 如图，连接OA，OD． ∵OF CD，OG AB， ∴CF=DF，AG=BG． ∵CD=AB， ∴AG=DF． OG OA2AG2 OF  OD2DF2 ∵ ， ，OA=OD， ∴OG=OF， ∴四边形OFEG是正方形； （3） 解：∵CE=1，DE=3， ∴CD=4， ∴CF=DF=2， ∴EF=CF-CE=2-1=1． ∵四边形OFEG是正方形， ∴OF=EF=1． OED OD OF2DF2  5 在Rt 中， ， O 5  ∴ 的半径为 ． 【点睛】本题为圆的综合题，考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理． 正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 12．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC 于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．(1)请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：BC是⊙O的切线； (3)过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是△ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点 O，以O为圆心以OA为半径画圆即可； （2）根据连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB 可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可 得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线； （3）设OD＝r，根据勾股定理列方程可得r值． （1）解：如图1所示，⊙O即为所求；（2）证明：如图2，连接OD， ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝ ∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴OD⊥BC， ∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线； （3） 解：设⊙O的半径为r，∵DF⊥AE，∴DF＝GF DG＝4，在 1  2 Rt△ODF中，∠OFD＝90°，OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，∴r2＝（r﹣2）2+42，r＝5，∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定和性质以及勾股定理，利用垂径定理设未知数，建 立方程是本题的关键． 13．（2021·江苏镇江·九年级期中）平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上 运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P． (1)当⊙P与边CD相切时，AP＝ ； (2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长； (3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数． 【答案】(1)2 (2)1.5 (3)当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点 【分析】(1)根据平行四边形的性质得到ABAC，根据勾股定理求出AC，根据切线的性质求出AP； (2)根据切线的性质得到PEBC，根据勾股定理列出方程，解方程求出AP； (3)根据勾股定理求出OP过点D时AP的长，结合图形得到OP与平行四边形ABCD四边公共点的个数． （1） 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，BC＝AD＝5， ∵AB⊥AC， ∴∠ACD＝∠BAC＝90°， BC2AB2 5232 ∴AC＝ ＝ ＝4， 当⊙P与边CD相切时，AC为⊙P的直径， ∴AP＝2． 故答案为：2． （2） 如图2，当⊙P与边BC相切时，设切点为E，连接PE， 则PE⊥BC， ∵AB⊥AC，点P在边AC上， ∴⊙P与AB相切， ∵⊙P与BC相切于点E， ∴BE＝AB＝3，EC＝2， 设AP＝x，则PE＝x，PC＝4﹣x， 在 Rt△PCE 中，由勾股定理得 x2+4＝（4﹣x）2， 解得，x＝1.5，即AP＝1.5． 故答案为：1.5．（3） 如图3，当⊙P过点D时，连接PD， 设AP＝x，则PD＝x，PC＝4﹣x， 在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2， 解得x＝3.125，即AP＝3.125， 则⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数情况如下： 当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点； 当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点； 当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，勾股定理，平行四边形的性质，掌握切线的性质定理是解题 的关键． 14．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了 10cm  O 1 AB 如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为 的 ，将圆形纸片沿着弦 折叠，使对折后劣 O 弧 AB 恰好过圆心 1，同学们用尺子度量折痕 AB 的长约为 18cm ，并且同学们用学过的知识验证度量的结 果是正确的． O OF  AB OF 验证如下：如图1，过点 1作 1 于点 F ，并延长 1 交虚线劣弧 AB 于点 E ， ∴AB2AF， 1 1 由折叠知， EF OF  OE  105(cm) ， 1 2 1 2 OA Rt△OFA OA10 连接 1 ，在 1 中， 1 ， AF  OA2OF2  10252 5 3(cm) 根据勾股定理得， 1 1 ，AB2AF 10 3101.73217.732(cm) ∴ ， 通过计算：17.73218，同学们用尺子度量折痕AB的长约为18cm是正确的． 请同学们进一步研究以下问题：  O 2 10cm AB  O 2 O 2 C  AB C AB AB (1)如图2， 的半径为 ， 为 的弦， ，垂足为点 ，劣弧 沿弦 折叠后经过 OC 2 P AB 的中点 ，求弦 的长（结果保留根号）；  O 3 AB AB CB Q CQ8cm BQ12cm AB (2)如图3，在 中劣弧 沿弦 折叠后与直径 相交于点 ，若 ， ，求弦 的长（结果保留根号）． 20 5 【答案】(1) 3 8 5 (2) 【分析】（1）连接 O 2 A ，延长 O 2 C 交  O 2于点 D ，求出 O 2 C ，再根据勾股定理可得出结论； Q AB Q' BQ' CA C' AQ' （2）作点 关于弦 的对称点 ，连接 并延长与 的延长线相交于 ，连接 ，先证明 △ABC≌△ABC'，可得CQC'Q'8，C'BCB20， △C'AQ'∽△C'BC C'A 再证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理可得出结论． (1) 解：连接 O 2 A ，延长 O 2 C 交  O 2于点 D ， 由题意可知CDCP，OC P 2 ∵ 是 的中点， O PCP 2 ∴ ， 2 2 20 OC O D 10 ∴ ， 2 3 2 3 3 OC  AB 2 ∵ ， ∴AB2AC，ACP90， 20 2 10 5 ∴ AC  O 2 A2O 2 C2  102  3    3 ， 10 5 20 5 ∴AB2AC 2  ； 3 3 (2) Q AB Q' BQ' CA C' AQ' 解：作点 关于弦 的对称点 ，连接 并延长与 的延长线相交于 ，连接 ， CQ8，BQ12， CBCQBQ81220， 有折叠性质可知：CBAABC'， CABBAC'90， AB AB， ∴△ABC≌△ABC'， ∴CBC'B，AC C'A， ∴CQC'Q'8，C'BCB20． ∵四边形ACBQ'是圆内接四边形， ∴CBC'CAQ'180， C'AQ'CAQ'180，∴C'AQ'CBC'， ∵C'C'， △C'AQ'∽△C'BC ∴ ， ∴C'AC'C C'BC'Q'， 即C'A2C'A208160． 则C'A2 80， 又∵C'A2 C'B2AB2， 80400AB2 ∴ ， AB8 5 ∴ ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的 判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键．