第三章核心考点突破训练（155题174页）-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关（解析版）（北师大版）_new_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_4专题练习_第1套

第三章核心考点突破训练（155 题 174 页）
考点1：与圆有关的最值问题
典例：（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接
BF，则BF的最小值为_______．解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt BCD中，由勾股定理得：BD=❑√CD2+BC2=❑√32+62=3❑√5，
△
∴BF=BD－DF=3❑√5-3，
故答案为：3❑√5-3．
巩固练习
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，圆O的弦中最长的是（ ）
A．AB B．CD C．EF D．GH
【答案】A
【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，
【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆O的弦中最长的是AB．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．
2．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是
（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆
形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．a B．b C．a+b D．a-b
【答案】C
【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一
直线上时，S取到最大值，据此求解即可．
【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两
边的长度之和大于第三边．
4．（2021·全国·九年级课时练习）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8，最小距离是
2，则此圆的半径是（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
【答案】C
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
8-2
当点P在圆外时，r= =3；
2
8+2
当点P在⊙O内时，r= =5．
2综上可知此圆的半径为3或5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键．
5．（2022·贵州遵义·二模）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点
CA⊥CB，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（
）
A．14 B．2❑√34-4 C．2❑√34+2 D．2❑√34+4
【答案】D
【分析】连接OC，首先根据题意可得AO=BO，OC是Rt ABC的斜边上的中线，AB=2OC，可知故若要
使AB最大，则OC需取最大值，再连接OD并延长，交⊙△D于点C ，C ，当点C位于点C 时，OC最长，
1 2 2
再由过点D作DE⊥x轴于点E，可得DE=5，OE=3，根据勾股定理可求得OD，据此即可求得．
【详解】解：如图：连接OC
∵CA⊥CB
∴△ABC是直角三角形
∵点A、点B关于原点O对称
∴AO=BO
∴OC是Rt ABC的斜边上的中线
△1
∴OC= AB
2
∴AB=2OC
故若要使AB最大，则OC需取最大值
连接OD并延长，交⊙D于点C ，C
1 2
当点C位于点C 时，OC最长
2
过点D作DE⊥x轴于点E
∵点D(3，5)
∴DE=5，OE=3
在Rt ODE中，根据勾股定理得：OD=❑√DE2+OE2=❑√52+32=❑√34
△
∴OC =OD+DC =❑√34+2
2 2
∴AB=2OC =2(❑√34+2)=2❑√34+4
2
故AB的最大值为2❑√34+4
故选：D
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，解题的关键是找到点C的位置．
6．（2021·江苏扬州·九年级期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此
圆的半径为_______．
【答案】3或4##4或3
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】设⊙O的半径为r，
7-1
当点P在圆外时，r= =3；
2
7+1
当点P在⊙O内时，r= =4．
2
综上可知，此圆的半径为3或4．故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
7．（2021·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）已知圆内一点P到圆周上点的最长距离
为7cm，最短距离为3cm，此圆的半径为___cm．
【答案】5
【分析】根据直径是圆中最大的弦解答即可．
【详解】如图,设圆的圆心为点O，
∵直径是圆中最大的弦，
∴过P，O作圆的直径AB，则PB=7，PA=3，
∴AB=10，
∴圆的半径为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键．
8．（2021·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、
B(0,1+t)、C(0,1-t)(t>0)，点P在以点D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足
∠BPC=90°，则t的最小值为______，t的最大值为______．
【答案】 4 6
【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的
取值范围．
【详解】解：连接AP，
由题意，得：AB=(1+t)-1=t，AC=1-(1-t)=t，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
1
∴AP= BC=AB=t，
2
t要最大，就是点A到⊙O上的一点的距离最大，
∴P在AD的延长线上，
∵A(0,1)，D(4,4)，
∴AD=❑√16+(4-1) 2=5，
∴t的最小值是AP=AD-PD=5-1=4，
∴t的最大值是AP=AD+PD=5+1=6，
故答案为：4；6．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等
知识，是重要考点，难度较易，将问题转化为求AP的最大值是解题关键．
9．（2021·安徽省六安皋城中学九年级阶段练习）如图， A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点
P是 A上的运动点，则点P到点O的最大距离 ___． ⊙
⊙【答案】7
【分析】连接OA，并延长交 A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，利用勾股定理求出OA的值，
进而即可求解． ⊙
【详解】解：连接OA，并延长交 A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，
⊙
∵A的坐标为（﹣3，4），
∴OA=❑√(-3-0) 2+(4-0) 2=5，
∴OP’=5+2=7．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查圆的基本性质和勾股定理，找到使点P到点O的最大距离的位置，是解题的关键．
10．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点E是
AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将 AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，则线段A'C的最小
值是______． △【答案】2❑√10-2##-2+2❑√10
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A'在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据
折叠的性质可知A′E=2，在Rt BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE−A′E即可求出结论．
【详解】解：如图，以点E为△圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A'在线段CE上时，A′C的长取最
小值，
1
由折叠可知，A'E=AE=BE= AB=2，
2
在Rt BCE中，由勾股定理可得，CE=❑√BC2+BE2=❑√62+22=2❑√10，
△
∴A'C的最小值=CE−A′E=2❑√10-2，
故答案为：2❑√10-2．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是
解题的关键．
11．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD中，AB=2❑√3，BC=2，点E是DC边上的动点，
现将 BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．
△【答案】2
【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题
可进行求解．
【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，
连接BD，交圆弧于点H，如图所示：
∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短，
∵四边形ABCD是矩形，AB=2❑√3，BC=2，
∴DC=AB=2❑√3,∠BCD=90°，
∴BD=❑√BC2+CD2=4，
∴DH=BD-BH=4-2=2，即点D到点F的最短距离为2；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹．
12．（2022·四川凉山·九年级期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是
MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是________．
【答案】❑√13
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：∵∠POA=90°，
∴PA=❑√OA2+OP2=❑√4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：❑√4+32=❑√13，
故答案为：❑√13．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长
是解题的关键．
考点2：垂径定理及其应用
典例：（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图， 为 的直径，E为 的中点，弦 于点
E，连接 并延长交 于点F，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 的半径为2，求 的长．
（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
设 的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴∵E为 的中点，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴ 是等边三角形，
（2）解：∵ 的半径为2，
，
∴ ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ．
巩固练习
1．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结
论一定正确的个数有（ ）
①CE=DE；②BE=OE；③ ；④∠CAB=∠DAB．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CE=DE， ；故①③正确；
∴∠CAB=∠DAB；故④正确由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立；
所以一定正确的结论是①③④；
故选：B．
【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握
垂径定理是解题的关键．
2．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4
米，则拱桥的半径为（ ）
A．9米 B．10米 C．13米 D．15米
【答案】B
【分析】设圆心是O，半径为r米，连接OA、OD．根据垂径定理得AD=8米，再由勾股定理得出方程，
解方程即可．
【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接OA、OD．
则O、D、C三点共线，
∵CD是拱高，
∴OC⊥AB，
∴AD= AB=8（米），
在Rt AOD中，根据勾股定理，得：r2=82+（r-4）2，
解得：△r=10，
即拱桥的半径为10米，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
3．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径OD垂直弦AB于点C，若 ， ，则
的半径为（ ）A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据垂径定理可得 ,再利用勾股定理直接求得 的长，即可得出答案．
【详解】解：设 半径为 ，
， ，
根据垂径定理得：
，
，
在 中，
，
，
，
解得 ，
即 的半径为5．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算．
4．（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接
OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）A．1 B． ＋1 C．2 －1 D．3
【答案】B
【分析】根据垂径定理得出点H是AB的中点，从而利用∠A＝45°求出OH、OA的长，继而求出DH即可．
【详解】解：∵AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，
∴H是AB的中点，即 ，
又∵∠A＝45°，CD⊥AB，
∴△AHO是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径经理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握垂径定理是解题的关键．
5．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图
（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是( )cm
A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【分析】设圆心为O点，连OE，交AB于C，则OE⊥AB，AC=BC=8，在Rt OAC中，设⊙O的半径为
△R，OC= R 4，利用勾股定理得到 ，解方程即可．
【详解】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图，
AB=16，CE=4，
则OE⊥AB，
∴AC=BC=8，
在Rt OAC中，设⊙O的半径为R，OC=R 4，
∴ △ ，
∴ ，
解得，R=10，
即该球的半径是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
6．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为
半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即
可．
【详解】解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ ，
设⊙O的半径为r，
∵点P为OB中点，
∴ ，
在 种，由勾股定理可得： ，
即： ，解得：r= 或：r= （舍），
∴直径为 ．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求
解是解题的关键．
7．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，已知直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，
2)，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：( )，_______．
【答案】 2 0
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解： 作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，
如图所示，则圆心为(2，0)，
故答案为：2，0．
【点睛】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推
论得到圆心的位置．
8．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，
AB⊥CD，垂足为M，OM∶MC=3∶2，则AB的长为________
【答案】16
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AM=BM，再计算出OM的长，然后根据勾股定理计算出AM
的长，从而得到AB的长．
【详解】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∵CD=20，
∴OC=OA=10，
∵OM：MC=3：2，
∴OM=6，
在Rt OAM中，AM= =8，
∴AB=2AM=16．
故答案为16．
【点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
9．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算
术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这
段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，
锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为________寸．
【答案】26
【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD
＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝r−1，OA＝r，根据 列方程求解可得．
【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
则AD＝BD＝ AB＝5，
设圆形木材半径为r，
则OD＝r−1，OA＝r，∵ ，
∴ ，
解得：r＝13，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
10．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径 ，D是半径OC上一点，
且 ．A，B是⊙O上的两个动点， ，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于
__________．
【答案】 ##
【分析】由题意易得出当点F与点D运动至共线时，OF长度最大．根据垂径定理可推出△ABD是等腰直
角三角形，设OF为x，则 ．再在 中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x，
再舍去不合题意的值即可．
【详解】∵ ，
∴当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图．
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB， ．
设OF为x，则 ．
∵ ，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，即解得： 或 （舍去），
∴OF的长的最大值等于 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系的应用等知识．理解当点F与
点D运动至共线时，OF长度最大是解题关键．
11．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦 ，∠AOC=90°，
设AB=a，CD=b，则 _______．
【答案】36
【分析】过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，证明△AMO≌△ONC，可得 ，再由
，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，
∵ ，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴∠CON+∠OCN=90°，∴ ， ，
∵∠AOC=∠AMO=∠CNO=90°，
∴∠AOM+∠CON=90°，
∴∠AOM=∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
∵∠AMO=∠ONC，∠AOM=∠OCN，AO=CO，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：36
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造全等三角形解决问题．
12．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，
既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米，
为 的中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．
【答案】15分米
【分析】连接 ，根据垂径定理求得 ，设圆的半径为 分米，则 ，根
据勾股定理即可求得 ．
【详解】解：连接 ，∵ 过圆心， 为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
设圆的半径为x分米，则 分米，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （分米），
即拱门所在圆的半径是15分米．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解
决问题的关键．
13．（2022·广西·银海学校八年级期末）已知锐角 内接于 ， 于点 ．
(1)若 ，弦 的长为 ，求 的半径；
(2)请用无刻度直尺画出 的角平分线 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1) 的半径2
(2)见解析【分析】（1）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可．
（2）延长OD交⊙O于M，连接AM，射线AM即为∠BAC的角平分线．
（1）
解：连接OB，OC．
∴∠BOC=2∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴BD=CD= ，∠BOD= ∠BOC=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD= OB，
∵ ，
∴ ，
∴OB=2，
故⊙O的半径为2；
（2）
解：延长OD交⊙O于M，连接AM，射线AM即为∠BAC的角平分线．
∵OD⊥BC，
∴ ，
∴∠BAM=∠CAM．【点睛】本题考查作图-基本作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
14．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 ，直径 是
河底线，弦 是水位线， ， 米， 于点 ，此时测得 ．
(1)求 的长：
(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【答案】(1) 米
(2)经过5小时桥洞会刚刚被灌满
【分析】（1）连接 ，根据垂径定理可得 ，勾股定理求得 ，进而求得 ；
（2）延长 交 于点 ，由（1）求得 ，进而求得 ，根据题意即可求解．
（1）
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
∵直径 是河底线， ，
∴ ，
解得 ，∴ ， ，
∴ 米，
（2）
如图，延长 交 于点 ，
由（1）可得 ，
∴
∵水位以0.4米小时的速度上升，
∴ （小时），
即经过5小时桥洞会刚刚被灌满．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
考点3：圆周角定理及其推论的应用
典例：（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，点
F是 延长线上的一点，且 平分 ， 于点E．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
（1）∵ AD平分∠BDF ，∴∠ADF=∠ADB．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ADF=∠ABC，
∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC ．
（2）如图，过点A作AG⊥BD于点G．
∵ AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴ AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°．
又∵AD=AD，
∴ AED≌ AGD(HL)，
∴△GD=ED=△2．
在Rt AEC和Rt AGB中， ，
△ △
∴ AEC≌ AGB(HL)，
∴△BG=CE．△
∵BD=18，
∴BG=BD-GD=18-2=16，
∴CE=BG=16，
∴CD=CE-DE=16-2=14．
巩固练习
1．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）一条弦的两个端点把圆周分成4：5两部分，则该弦所对的圆周角
为（ ）
A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°
【答案】C
【分析】根据弦的两个端点把圆周分成4：5两部分，得到 ，根据同圆中弧与所对圆心角
的度数相等推出 ，根据圆周角定理推出 ，．
【详解】如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴弦AB所对的圆周角为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆弧，圆心角，圆周角，解决问题的关键是熟练掌握弧与圆心角的关系，圆周角
定理．
2．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点
D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补
角求得∠ADC的度数．
【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（2022·江苏·江阴市陆桥中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，
连接CA，CD，AD．若∠CAB=35°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．55° D．100°
【答案】C
【分析】连接CB，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据圆周角定理求出∠ADC=∠B即可．
【详解】解：连接CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=35°，
∴∠B=90°-∠CAB=55°，
∴∠ADC=∠B=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，能熟记直径所对的圆周角是直角和在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是关键．
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，
∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，
勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝30°，
∴AC AB＝1，
∴BC AC ．
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得∠ACB＝
90°是解题的关键．
5．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若
∠D=85°，则∠B的度数为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
6．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则
∠AOB的度数是( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】A
【分析】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据圆周角定理求出 的度数即可．
【详解】解：如图，在优弧 上任意取一点
∵∠ACB＝130°，四边形 是圆内接四边形，
∴
∵
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，添加辅助线构造圆周角是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级单元测试）如图， 是直径，点 ， 在半圆 上，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BC，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得
∠ADC的度数．
【详解】解：连接 ，
是直径，
，
，
，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题
的关键．
8．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）如图，半径为R的⊙O的弦 ，且 于
E，连结AB，AD，若 ，则R的值为______．【答案】
【分析】连接OA，OD，由弦 ，可得 ，继而可得 ，然后由圆周角定理，证得
，即可判定 ，由 ， ，可求得 ，继而可得 是直
角三角形，则可求得 ，由此可解决问题．
【详解】解：连接OA，OD，
∵弦 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确
的作出辅助线和运用数形结合思想．
9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，已知半圆O的直径AB=9，C是半圆上一点，沿AC
折叠半圆得到 ，交直径AB于点D，若D在半径OA上，且为直径的三等分点，则AC的长是
___________.
【答案】
【分析】连接CD，CB，CO，过点C作CH⊥OB于点H，根据圆周角定理及勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，连接CD，CB，CO，
∵∠CAD=∠CAB，
∴ ，
∴CB=CD，
∵CH⊥OB，
∴DH=BH，
∵AB=9，D在半径OA上，且为直径的三等分点，∴OA= =OC=OB，BD=6，AD=3，
∴OD=OA﹣AD= ，
∴OH=DH﹣OD= ，
∴AH=OA+OH=6，
在Rt COH中，CH= ，
△
∴AC= = ，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，熟记圆周角定理是解题的关键.
10．（2022·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若
∠APB=β，则β的取值范围是________.
【答案】40°≤β≤80°
【分析】连接AO，BO，AD，BD，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，求得∠ADB=40°，∠AOB=80°，
进而即可求解．
【详解】解：连接AO，BO，AD，BD，
∵四边形ACBD是圆的内接四边形，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-140°=40°，∠AOB=2∠ADB=80°，∵∠APB=β，
∴β的取值范围是：40°≤β≤80°，
故答案为：40°≤β≤80°．
【点睛】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是关键．
11．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）已知 的半径为2，弦 ，弦 ，则 的度
数为______________．
【答案】150°或30°
【分析】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作 于点P，作 于点Q，根据垂
径定理可求出 ， ，再根据勾股定理可求出 ， ，从而得出 ，
，即得出 ， ，进而可求出 ，最后由圆周角定理即可求出
的大小；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作 于点M，作 于点N，同理可求
出 ，再由圆周角定理即可求出 的大小．
【详解】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作 于点P，作 于点Q，如图，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
②当点B和点C在AO同侧时，过点O作 于点M，作 于点N，如图，
由①同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ．
综上可知 的度数为150°或30°．
故答案为：150°或30°．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三
角形的性质．正确的作出图形和辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键．
12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°， ,
则⊙O的半径为 ___________．
【答案】3
【分析】作直径CD，连接BD，根据圆周角定理和推论得到∠CBD=90°，∠D=∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径CD，连接BD，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∵∠D=∠A=30°，
∴CD=2BC=2×3=6，
∴⊙O的半径为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键掌握在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
13．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，AB＝2，
CB＝3，则⊙O的直径为_______．
【答案】
【分析】连接AC，首先利用90°的圆周角所对的弦是直径确定AC是直径，可得∠ABC＝90°，然后利用勾股
定理求出AC即可．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，CB＝3，∴在直角三角形ABC中，AC ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，熟知半圆（或直径）所对圆周角是直角是解题的关键．
14．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）如图，点 在以 为直径的 上， ， ，
则 的长为______．
【答案】5
【分析】根据直径所对圆周角是直角，可知∠C=90°，再利用30°直角三角形的特殊性质解出即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论及特殊直角三角形，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°．
15．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ， ，
，若 ， ，则线段AC的长为______．【答案】
【分析】连接BD，过B作BH⊥AC于H点，根据△BCD是直角三角形，可证明∠BAC=∠BDC，则有A、B、
C、D四点共圆，进而有BD是该圆的直径，可得∠BAD=90°，利用勾股定理可得 ，则有
， ，根据BH⊥AC，可得△ABH、△BCH是直角三角形，则有
∠ABH=30°，即 ，利用勾股定理可得 ，再在△BCH是直角三角形，可得
，问题即可得解．
【详解】连接BD，过B作BH⊥AC于H点，如图，
∵∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在Rt△BCD中，∠DBC=30°，即∠BDC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠BDC，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵∠BCD=90°，
∴BD是该圆的直径，
∴∠BAD=90°，
∵AB=5，AD=2，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵BH⊥AC，
∴△ABH、△BCH是直角三角形，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABH=30°，
∴ ，
即 ，
∵△BCH是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四
点共圆是解答本题的关键．
16．（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点
在第一象限， 过原点，且与 轴、 轴交于点A， ，点A的坐标为 ， 的直径为10．则点的坐标为______．
【答案】
【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可
得出答案．
【详解】连接AB,
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴AB=10．
又∵∠AOB=90°，点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利
用勾股定理求解是解答此题的关键．
17．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图，AB为半圆O的直径，CD＝ AB＝2
，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．【答案】2
【分析】连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，先证明△OCD为等边三角形得到
∠COD＝60°，则根据圆周角定理得到∠CAD＝30°，∠ACB＝90°，再根据垂径定理得OE⊥BC，OF⊥AC，CH＝
AH，所以四边形OECH为矩形，于是得到∠EOF＝90°，OE＝CH＝ AC，设CE＝x，利用含30度角的直角三
角形三边的关系得到AC＝ x，在 ACB中利用勾股定理得到（ x）2+（2x）2＝（4 ）2，解方程
求出x得到OE＝2 ，然后在 OEF中利用勾股定理可计算出EF的长．
【详解】解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，
∵CD＝ AB，
∴CD＝OC＝OD，
∴ OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝ ∠COD＝30°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E为CB的中点，
∴OE⊥BC，
∵F为弧AC的中点，
∴OF⊥AC，CH＝AH，
∴四边形OECH为矩形，∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝ AC，
设CE＝x，则BE＝x，
在 ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴AC＝ CE＝ x，
在 ACB中，（ x）2+（2x）2＝（4 ）2，
解得x＝4，
∴AC＝4 ，
∴OE＝2 ，
在 OEF中，EF＝ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、圆的性质、解直角三角形，解题的关
键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用．
考点4：直线与圆的位置关系
典例：（2022·江苏·九年级单元测试）如图，P为正比例函数 图象上的一个动点，⊙P的半径为3，
设点P的坐标为（x、y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．
解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A；
当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5；
；
当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，
，∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为 或 ；
（2）由（1）可知当-1＜x＜5时，⊙P与直线x=2相交
当x＜-1或x＞5时，⊙P与直线x=2相离．
巩固练习
1．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级阶段练习）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相
切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断即可得出．
【详解】解： 于C，
∴以点P为圆心，，PC为半径的圆与直线l相切．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系:设 的半径为r，圆心O到直线1
的距离为d，若直线1和 相交 直线1和 相切 直线1和 相离
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB
＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法先判断点A，点B与圆的位置关系，再结合直线与圆的交点的
个数进行判断即可．
【详解】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2， )，圆P的半径为
2，下列说法正确的是（ ）
A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D．圆P与x轴、y轴都没有公共点
【答案】B
【分析】点P到x轴的距离是 ，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y
轴相切，从而确定答案即可．
【详解】解：∵P（2， ），圆P的半径为2，2=2， ＜2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心
到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；
③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．
4．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）已知：在 中，∠A：∠B：∠C＝1：2：
3，以B为圆心，BC长为半径的 B与AC边的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意先求出∠A、∠B、∠C的度数，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切．
【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴点B到AC的距离等于⊙B的半径，
∴以B为圆心，以BC为半径的圆与AC的位置关系是相切，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：①当圆心到直线的距离d＞圆的半径r，直线与圆相离；②当圆
心到直线的距离d＜圆的半径r，直线与圆相交；③当圆心到直线的距离d=圆的半径r，直线与圆相切．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O
的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在 中， ，根据勾股定
理得， ，解得 ，即可得．
【详解】解：由题意得， ， ， ，
∴ 是直角三角形，
设OA=x，则OB=x，
在 中， ，根据勾股定理得，
解得 ，
则半径OA的长为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径
可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案．
【详解】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，∴该圆的半径＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是
解题的关键．
7．（2021·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学九年级阶段练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，
点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（ ）
A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m
【答案】C
【分析】根据直线和圆相离，则圆心到直线的距离大于半径，得2d＞m．
【详解】解：∵⊙O的直径为m，点O到直线L的距离为d，直线L与⊙O相离，
∴d＞ ，
即2d＞m，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质．
8．（2022·全国·九年级课时练习）已知 的半径为5，直线 与 有交点，则圆心 到直线 的距
离可能为（ ）．
A．4.5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据直线AB和⊙O有公共点可知：d≤r进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，
∴圆心O到直线AB的距离0＜d≤5．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O
相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
9．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标为 ，
若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在 轴的上方与 轴相切和圆P在 轴的下方与 轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在 轴的上方与 轴相切时，平移的距离为 ，
当圆P在 轴的下方与 轴相切时，平移的距离为 ，
综上所述， 向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
10．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，以点（3，4）为圆心，3为半径
的圆必定与 轴___________．
【答案】相离
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
【详解】解：∵点（3，4）到x轴的距离为4，
∴以点（3，4）为圆心，3为半径的圆必定与 轴相离．
故答案为：相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；
与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
11．（2022·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，若 与坐标轴有三个公共
点，则 的半径为______．【答案】 或3
【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可．
【详解】
点A的坐标为
如图1，当 经过原点时，半径为
如图2，当 与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为3
故答案为： 或3
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心
到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交
点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d<r，直线和圆相交，有两个交点．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ），
，点P的坐标为 ， 与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相
交时，横坐标为整数的点P的坐标______．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）【分析】先分别求得 与直线l相切时点P的坐标，然后再判断 与直线l相交时点P的横坐标x的取
值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【详解】如图， 与 分别切AB于D、E．
由 ， ，易得 ，则A点坐标为 ．
连接 、 ，则 、 ，则在 中， ，
同理可得， ，则 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，
当 与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为 ，
横坐标为整数的点P的坐标为 、 、 ．
故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得 与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以
O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l
上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．
【答案】3或4##4或3
【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：
⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可．
【详解】∵直线AB⊥l，
∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s；
当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，
此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s．
故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键．
14．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径
为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，
那么当⊙P的运动时间t（s）为_____________时，⊙P与直线CD相切．
【答案】4或8
【分析】利用⊙P的圆心在直线AB上，分别得出⊙P在O点左边和右边两种情况，并根据直角三角形的性
质即可计算出结果．
【详解】解解：当点P在射线OA上时⊙P与CD相切，如图
过P作PE⊥CD与E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6−2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间t＝ ＝4（秒）；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，
如图，过P作PF⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6＋2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间t＝ ＝8（秒）．
综上所述，t＝4秒或8秒．
故答案为：4或8．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合的思想并能利用直角三角形的性质得出结论
是解题的关键．
15．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）在同一平面直角坐标系中有5个点：
．
(1)画出 的外接圆 ，并指出点D与 的位置关系；(2) 的外接圆的半径=_________， 的内切圆的半径=_________．
(3)若直线l经过点 ，判断直线l与 的位置关系．
【答案】(1)图见解析，点D在 上
(2) ，
(3)直线l与 相切
【分析】（1）根据 三边垂直平分线的交点就是 的外心，从而画出 ，根据点D到点P的距
离等于半径得出点D在 上；
（2）根据两点间的距离公式得出 的外接圆的半径，根据等面积法求出 的内切圆的半径；
（3）先用SAS证明△PGD≌△DFE，从而得到∠PDE =90°，继而得出直线l与 相切．
（1）
解：根据题意画出这五个点，
∵AC的垂直平分线是直线x=-1，BC的垂直平分线是x轴，
∴ 的外接圆 的圆心的坐标是：
由此画出如下图形，则 半径为
又∵
∴ ，
∴点D在 上；
（2）
解：由（1）可知 的外接圆的半径= ，
由图可知： ．
∵ ，r为 的内切圆的半径，
∴
解得：
故答案为： ，
（3）
取点 ， ，连接PD、PG、EF，
则有PG=DF=2，∠PGD=∠DFE=90°，DG=EF=1
∴△PGD≌△DFE（SAS），
∴∠DPG=∠EDF，
∴∠PDE=∠PDG+∠EDF=∠PDG+∠DPG=90°，
∴直线l与 相切．【点睛】本题考查在网格中三角形的外接圆，求三角形的外接圆的半径和内切圆的半径，切线的判定定理，
掌握网格中的外接圆画法和勾股定理，以及切线的判定定理是解题的关键．
考点5：切线的性质
典例：（2022·河北承德·九年级期末）如图， ， ， ， ，点 在对角线 上
运动，以 为圆心， 为半径作 ．
(1)当点 在 上时， ______，此时 与 的位置关系是______；
(2)当 与边 相切时，求 的长；
(3)直接写出 与 的边 有公共点时 的取值范围．
（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB CD，BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴AC＝ ＝4，当点 在 上时，AC为⊙P的直径，
∴⊙P的半径为2；
即AP＝2
此时C在圆上，PC⊥CD，
故边CD与 相切；
（2）如图1，当⊙P与边BC相切时，设切点为E，连接PE，
则PE⊥BC，
∵AB⊥AC，点P在边AC上，
∴⊙P与AB相切．
∵⊙P与BC相切于点E，
∴BE＝AB＝3，EC＝2，
设AP＝x，则PE＝x，PC＝4−x，
在Rt△PCE中，由勾股定理得 ＋4＝ ，
解得x＝ ，即AP＝ ；
（3）当C在圆上时， 与 的边 有公共点，且此时 最小，
即AP＝2
当D在圆上时，如图2， 与 的边 有公共点，且此时 最大，
设PC＝x，则PD＝AP＝4－x，CD＝3
在Rt△CDP中， ，
解得x＝ ，4－x＝ ，
即AP＝ ，综上所述：当 时， 与 的边 有公共点
巩固练习
1．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，
且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的
距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．8cm
【答案】B
【分析】连接OA，由垂径定理和勾股定理得OH=3，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得CH=OC-
OH=2cm．
【详解】解：连接OA，
∵OH⊥AB，
∴AH=4，OA=OC=5，
∴OH=3，
∵当点H平移到点C时，直线与圆相切，
∴CH=OC-OH=2cm，
即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切．
故选：B．【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
2．（2022·福建·福州第四中学桔园洲中学九年级阶段练习）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，
并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用切线的性质得出∠ADO=∠ODC，进而得出∠ADO=∠AOD，即可得出OA=6，即：OB=4，同
理：BC=OB即可得出结论.
【详解】解：连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠ODC，
∵ ，
∴∠ODC=∠AOD，
∴∠ADO=∠AOD
∴AD=OA
∵AD=6，
∴OA=6，
∵AB=10，
∴OB=4，
同理可得
OB=BC=4，
故选：A.【点睛】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出OA=6.
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相
切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
【答案】C
【分析】利用根据圆的切线性质可知 PAB、 AOC为直角三角形，利用直角三角形中30°角的性质和勾股
定理分别求出AP、AD的长度，进而求△出OD△、PD的长度即可求得答案．
【详解】解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形．
∴AC＝OD，OC＝AD．
∵ 与x轴相切，
∴AC为 的半径．
∵点A坐标为（8，5），∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根据勾股定理，得 ，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放
在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．
4．（2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中）如图，菱形 的顶点A，B，C在 上，过点B作
的切线交 的延长线于点D．若 的半径为2，则 的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD = 90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到
OAB为等边三角形，得到∠AOB= 60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
△【详解】解：连接OB，
∵BD是 的切线，∴∠OBD = 90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA= AB，
∵OA = OB，
∴OA=OB= AB，
∴ OAB为等边三角形，
∴△∠AOB=60°，
∴∠ODB = 30° ，
∴OD=2OB=4，
由勾股定理得，BD= ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切
点的半径是解题的关键．
5．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作
⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得
答案．
【详解】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，
若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】连接IE、IF，根据切线的性质可得∠AEI＝∠AFI＝90°，从而得到∠A＝180°﹣∠EIF，再由圆周角
定理可得∠EDF＝90°﹣ ∠A，即可求解．
【详解】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝ ∠EIF，∴∠EDF＝90°﹣ ∠A，
∵∠B＝55°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣ ×50°＝65°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心
与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，
若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（ ）
A．63° B．54° C．60° D．126°
【答案】A
【分析】根据切线的性质可得OA⊥AB，进而根据直角三角形的两锐角互余求得∠AOC，根据半径相等，
等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝36°，
∴∠AOC＝90°﹣∠B＝54°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝ ＝ ＝63°，
故选：A.
【点睛】本题考查了切线的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
8．（2022·浙江绍兴·一模）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O
于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于_________cm．
【答案】20
【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得
到 ，求出r即可．
【详解】解：设圆的半径为rcm，
如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，
∵ ，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，
∴OD=（r-8）cm，
在Rt△AOD中，
即 ，
解得：r=20，
即该圆的半径为20cm．
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求
出圆的半径．
9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，PA，PC是⊙O的两条切线，点B为⊙O上任意
一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为 ___________.【答案】76°##76度
【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到∠PAO=∠PCO=90°，根据四边
形内角和等于360°计算即可.
【详解】解：连接OA、OC，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∵PA，PC是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣104°=76°，
故答案为：76°.
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的
半径是解题的关键.
10．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在 中，点 是直径 的延长线上一点，过点 作 的切线 ，
C为切点．连接 ，若 ，则 的度数为____________ ．
【答案】
【分析】连接 ，根据切线的性质，得出 ，再根据直角三角形两锐角互余，得出 的度
数，然后再根据三角形的外角和定理，得出 ，再根据等边对等角，得出
，再进行计算即可得出 的度数．【详解】解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵点 是直径 的延长线上一点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角和定理、等边对等角，解本题的
关键在熟练掌握相关的性质定理．
11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图， 切 于点A， 交 于点 ，
点 在 上， ，则 的度数是__________．
【答案】 ##25度
【分析】连接OA．根据切线的性质可知 ，从而可求出 ．再根据圆周角定理即可求
出 的度数．【详解】如图，连接OA．
∵ 切 于点A，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键．
12．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）如图， O与AB相切于点A，BO与 O交
于点C， ，则∠B等于 _____． ⊙ ⊙
【答案】
【分析】如图，连接OA．利用切线的性质求得 ，再利用外角的性质即可求解 .
【详解】解：如图，连接OA．则OA⊥AB．
∴ ，
∵ ，∴ ．
∵OA＝OC，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质及三角形外角的性质，等边对等角，作出适当的辅助线是解题的关键．
13．（2022·广东汕头·九年级期末）直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD//AB，若
⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为________．
【答案】
【分析】连接OA，作OE⊥CD于E，利用垂径定理得出CE，通过CD∥AB，AB⊥OB，证明E、O、A三点
共线，再利用勾股定理解Rt△OEC求出OE，最后利用勾股定理解Rt△AEC求出AC．
【详解】解：连接OA，作OE⊥CD于E，则 ，∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∵CD AB，OE⊥CD，
∴E、O、A三点共线．
连接OC，
在Rt△OEC中，OC=5，CE=4，
由勾股定理得 ，
，
．
【点睛】本题考查圆的切线的定义、垂径定理和勾股定理，本题中通过垂径定理得出CE，证明E、O、A
三点共线是解题的关键．
14．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C的圆
的切线交BO于点P，∠P的度数为40°，则∠A＝_____°
【答案】115
【分析】连接OC、CD，根据切线的性质可得∠OCP＝90°，得出∠DOC＝90°﹣40°＝50°，由OC＝OD，
根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ODC＝65°，进而根据圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝ （180°﹣∠DOC）＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ODC＝115°，
故答案为：115．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形对角互补，求得 是解题的关键．
15．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，在扇形 中，点 ， 在弧AB上，将弧CD沿弦 折
叠后恰好与 ， 相切于点 ， ．已知 ， ，则折痕 的长为 __．
【答案】
【分析】根据对称性作 关于 的对称点 ，则 ，连接 交 于 ，
则点 都在以 为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作 关于 的对称点 ，则
连接 交 于∵将 沿弦 折叠
∴点 都在以 为圆心，半径为6的圆上
∵将 沿弦 折叠后恰好与 ， 相切于点 ．
∴
∴
∵
∴四边形MEOF中
即 的度数为 ；
∵ ，
∴ （ ）
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
16．（2021·浙江·奉化市锦屏中学三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝10，
∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，P是线段AO上一动点，⊙P的半径为1，当⊙P与平行四边形ABCD的边相
切时，AP的长为_______．
【答案】 或2
【分析】讨论：当⊙P与AD相切时，过P点作PE⊥AB于E，如图1，根据切线的性质得PE=1，判断
APE为等腰直角三角形，从而得到AP= PE= ；当⊙P与AB相切时，过P点作PF⊥AB于F，如图
△
2，根据切线的性质得PF=1，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP=2PF=2．
【详解】解：∵ ▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA= AC= ×10=5，
当⊙P与AD相切时，过P点作PE⊥AB于E，如图1，则PE=1，
∵∠DAC=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AP= PE= ；
当⊙P与AB相切时，过P点作PF⊥AB于F，如图2，则PF=1，∵∠BAC=30°，
∴AP=2PF=2；
综上所述，AP的长为 或2．
故答案为： 或2．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过
切点．
17．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）在扇形AOB中，半径 ， ，点P
在半径OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到 ．且 与 所在的圆相切于点B．
(1)求 的度数；
(2)求AP的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据折叠的性质、切线的性质和四边形内角和度数可求得 的度数，再根据平角的定
义即可求得 的度数；
（2）连接 交PB于点G，由折叠的性质知，BP垂直平分 ， ． ，则， ，再说明 ，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（1）
由折叠可得： ，
∵ 与 所在的圆相切于点B，
∴ ，
∵四边形内角和为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）
连接 交PB于点G，
由折叠可知，BP垂直平分 ， ， ，
∵ 与圆相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠AOB＝75°， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，
四边形和三角形内角和定理和勾股定理等知识，根据折叠的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理
求得 是解题的关键．
考点6：切线的判定
典例：（2022·全国·九年级专题练习）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于
点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BD＝8，CE＝12，求AC的长．
【答案】(1)见解析(2)12
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性
质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得 AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝
∠ACB＝90°，即可证得结论； △
（2）在Rt ODB中，根据勾股定理求得BO，得到BC＝16，然后，在Rt ACB中，根据勾股定理列出关
于AC的方△程，解方程即可． △
（1）证明：连接OD．
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE//OA，
∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD．
在 AOD和 AOC中，
△ △，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACO．
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝12，
∴OE＝OD＝OC＝6，
在Rt ODB中，BD＝8，OD＝6，BD2＋OD2＝BO2，
∴BO＝△10，
∴BC＝BO＋OC＝16．
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD＝AC．
在Rt ACB中，AC2＋BC2＝AB2，
即：A△C2＋162＝（AC＋8）2，解得：AC＝12．
方法或规律点拨
本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关
性质定理是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2019·北京·北大附中实验学校九年级阶段练习）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．请回答：该画图的依据是______________________．
【答案】90°所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理．
【详解】解：由画法知，画法（1）是根据90°所对的弦是直径，画法（2）根据是过半径外端并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：90°所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定定理是解题的关键．
2．（2022·浙江·台州市书生中学九年级阶段练习）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为
⊙O的弦，连接BD， ，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明．
【答案】直线BD是⊙O的切线，证明见解析
【分析】首先根据等腰三角形的性质得到 ，再根据三角形外角的性质，可得 ，
求出 ，根据切线的判定定理即可判定．
【详解】解：直线BD是⊙O的切线；
证明如下：
， ，
，
，
，是⊙O的半径，
直线BD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，正确的识别图形是解题的
关键．
3．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，四边形 是正方形，点A，点B在 上，边 的延长
线交 于点E，对角线 的延长线交 于点F，连接 并延长至点G，使 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 的半径为1，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据四边形 是正方形，得到 ，从而得到 是 的直径，结合
， ， ，证明 即可；
（2）连接 ， ，证明 ，从而证明 ，利用勾股定理计算即可．
（1）
解：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是 的直径，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故 是 的切线；
（2）
解：如图，连接 ， ，
∵四边形 是正方形， 是圆的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， （舍去），
故 的长为 ．
【点睛】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，勾
股定理是解题的关键．
4．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学九年级阶段练习）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点
C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长
交AC于点M．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若∠F＝30°，求∠M的度数；
(3)在第二问的条件下，若ME＝1，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)∠M＝60°
(3)BF＝2
【分析】（1）连接OD，首先根据等腰三角形的性质和平行线的判定方法证得 ，然后由
DE⊥AC，即可证明出DE⊥OD，进而可得直线DE是⊙O的切线；
（2）首先根据AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，然后证明出AB＝AM，进而得到△ABM是等边三角形，
即可求出∠M的度数；
（3）首先求出∠EDM＝30°，然后根据30°角直角三角形的性质得到MD＝2ME＝2，进而求出BD＝MD＝
2，然后根据等角对等边得到BF＝BD＝2．
（1）
证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ ，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线；（2）
解：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°；
（3）
解：∵∠DEM＝90°，∠M＝60°，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和
判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）
和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．
【答案】两种作法都正确，证明见解答．
【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出∠BOP=90°，进而判断出∠OPC=90°，即
可得出结论；
选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出 ，进而得出∠APE=90°，即
可得出结论．
【详解】解：选作法一、如图作法一，
连接BC，由题意得，OB=OP=BC=PC，
∴四边形OBCP为菱形，
∴∠BOP=90°，
∴OB CP，
∵∠BOP=90°，∴∠OPC=90°，
∵OP为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
选作法二、如图作法二，
连接DE，由题意设，AP=4x，
∴PE=3x，AE=PD=4x，
∴ ，
∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，
∵OP为⊙P的半径，
∴PE是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了尺规作图，正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解本题
的关键．
6．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O
的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明
OD⊥BC；
（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的
长．
（1）
证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）
设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB= =20．
【点睛】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点
（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
7．（2021·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学九年级期中）如图，在 中， ， ，点 在
上， 经过点 ， ，且交 于点 ，直径 于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，求出
，得出 ，即可得出 是 的切线；
（2）由垂径定理得出 ，由直角三角形的性质得出 ，得出
， ，即可得出 ．
（1）
证明：连接 ，如图所示：， ，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）
解： 直径 ，
，
，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、垂径定理、含 角的直角三角形的性质等知识；
熟练掌握切线的判定和等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC
于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）连接OE，根据∠BEF＝90°，证明BF是圆O的直径，说明OB＝OE，得出∠OBE＝
∠OEB，根据BE平分∠ABC，得出∠CBE＝∠OBE，根据内错角相等，两直线平行，证明 ，得
出∠AEO＝∠C＝90°，即可证明结论正确；
（2）先证明∠BEC＝∠BEH，再根据等角的余角相等证明∠FEH＝∠FEA，即可证明结论正确；
（3）连接DE，根据角平分线的性质，得出EC＝EH，根据“AAS”证明△CDE≌△HFE，即可证明结论．
（1）
证明：连接OE，如图所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）
证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）
证明：连接DE，如图所示：
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性
质，余角和补角的性质，作出相应的辅助线，证明△CDE≌△HFE，是解题的关键．9．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）小晶想在一块形状为直角三角形（∠C＝90°）的铁皮上截出
一个半圆形铁皮，现要使半圆的圆心在线段AC上，使这个半圆与AB，BC都相切．下面是小品设计的尺
规作图的过程．
已知：如图， ABC，∠C＝90°．
△
求作：以线段AC上点O为圆心的半圆弧，使它与AB，BC都相切．
作法：①作∠ABC的平分线与AC相交于O点；
②以O为圆心，OC长为半径作半圆弧与AC交于D点；
所以半圆弧CD即为所求．
根据小晶设计的尺规作图的过程
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明，
证明：∵点C在⊙O上，且∠ACB＝90°即BC⊥AC．
∴BC与⊙O相切于点C_____（填推理的依据）
过O作OE⊥AB于点E，
∴BO是∠ABC的平分线，且OC⊥BC，OE⊥AB于点E．
∴____＝OC，（_____）（填推理的依据）．
∴点E在⊙O上．
∴AB与⊙O相切于点E．
【答案】(1)见解析
(2)过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，OE，角平分线上的点到角的两边距离相等
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过O作OE⊥AB于点E，利用角平分线的性质定理，切线的判定证明即可．
（1）
如图，半圆O即为所求．（2）
∵点C在⊙O上，且∠ACB＝90°即BC⊥AC．
∴BC与⊙O相切于点C（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线），
过O作OE⊥AB于点E，
∴BO是∠ABC的平分线，且OC⊥BC，OE⊥AB于点E．
∴OE＝OC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∴点E在⊙O上．
∴AB与⊙O相切于点E．
故答案为：过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，OE，角平分线上的点到角的两边距离相等．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，
OD．
(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求
证：直线CE为⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析BC BD
【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得 ，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等
于圆周角的一半可得结论；
（2）连接OC，AD，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可
说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90，从而证明结论．
（1）
证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
BC BD
∴ ，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠CAB；
（2）
证明：如图，连接OC，AD，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，
BC BD
∵ ，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
BC BC
∵ ，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝90，
∴∠CDE+∠DCE＝90，
∴∠OCD+∠DCE＝90，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查垂径定理、圆周角定理、切线的证明等知识点，难度一般，掌握同弧
（或等弧）所对的圆周角相等是解题的关键．
11．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在Rt

ABC中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O
作OE∥AB，交BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB10
S =4.32
△ADO
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，得出12，3A，再根据等边对等角，得出1A，再根据等
量代换，得出32，再利用SAS，得出△OCE≌△ODE，进而得出OCEODE，进而得出
ODDE，即可得出结论；
（2）根据（1），得出 ODE是直角三角形，根据勾股定理，得出OE 5，再根据三角形的中位线定理，
即可得出AB的长；
（3）连接CD，根据圆周角定理，得出ADC 90，再根据等面积法，得出CD的长，然后根据勾股定理，
得出AD的长，再根据三角形的面积公式，得出 ADC的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即
可得出△ADO的面积．
（1）
证明：如图，
∵OE∥AB，
∴12，3A，
∵OAOD，
∴1A，
∴32，
∵OC OD，OEOE，
△OCE≌△ODESAS
∴ ，
∴OCEODE，
∵C 90，
∴OCEODE 90，
即ODDE，
∴DE是⊙O的切线．（2）
解：由（1），可得：三角形ODE是直角三角形，
在Rt△ODE中，
∵OD3，DE 4，
∴OE 5，
又∵O、E分别是AC、BC的中点，
∴AB2OE10；
（3）
解：如图，连接CD，
∵AB是直径，
∴ADC 90，
在Rt

ABC中，
∵AC 6，AB10，BC 8，
1 1
∴S  ACBC ABCD，
ABC 2 2
1 1
68 10CD
∴ ，
2 2
解得：CD4.8，
AD AC2CD2  624.82 3.6
∴ ，
1 1
S  ADCD 4.83.68.64
∴ ，
ADC 2 2
∵O是AC中点，即OD是 ADC的中线，
1 1
S  S  8.644.32
∴ ．
ADO 2 ADC 2【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、
三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的
中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长．
60
【答案】(1)见解析(2) 13
【分析】（1）由中位线定理知OD//AC，然后由平行线的性质得到OD⊥DE，故得到答案；
（2）由直径所对的圆周角是90°及等腰三角形的性质得到AC的长，然后使用勾股定理求出AD的长度，
最后用等积法算出DE长度即可．
（1）证明：连接OD，
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；（2）∴AD⊥BD，
∵BD＝CD＝5，
∴AC＝AB＝13，
AC2CD2 13252
∴AD＝ ＝ ＝12，
1 1
∵ S ADC  2 AC  DE  2 AD  CD
1 1
13DE 125
∴ ，
2 2
60
解得：DE＝ ，
13
60
答：DE的长为 ．
13
【点睛】本题考查了切线的判定及性质定理，涉及了圆周角、等腰三角形等相关知识，掌握并熟练使用相
关定义、定理，精准识图是本题的解题关键．
13．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90º，利用直尺和圆规按下列要求作图，并
在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆；
(2)在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
【答案】(1)①见解析②见解析
(2)AC与⊙O相切，理由见解析
(3)3【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据（1）中作图方法得出AO平分∠BAC，由角平分线的性质得出OE=OB，利用切线的判定方法证
明即可；
（3）设⊙O的半径为r，根据三角形等面积法列出一元一次方程求解即可．
（1）解：如图所示
（2）AC与⊙O相切，
证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠ABC=90°， AO平分∠BAC，
∴OE=OB，
又∵OE⊥AC，OB为圆的半径，
∴AC与⊙O相切；
（3）
设⊙O的半径为r，
S S S
ABC AOB AOC
∵
又∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°
∴AC=10
1 1 1
∴ ABBC  ACr ABr
2 2 21 1 1
∴
68 10r 6r
2 2 2
∴r3
即⊙O的半径为3．
【点睛】题目主要考查基本的作图方法及角平分线的性质，切线的判定，一元一次方程的应用等，理解题
意，综合运用这些知识点是解题关键．
考点7：与内切圆有关的问题
典例：（2022·江苏·九年级课时练习）已知Rt△ABC中，C 90．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于
1
HL
的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分
2
1
EF
别以E、F为圆心、大于 的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作
2
OM BC于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作 O．
【解决问题】：
(1)证明： O是Rt△ABC的内切圆；
(2)若BC 6，AC 8，求 O的半径．
（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，如图，根据作图可知OA、OB分别是∠CAB、∠ABC的角平分线，
∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°，
∴OP=OD，OD=OM，
∴OP=OD=OM，
∴O点到Rt△ABC三边的距离相等，
∴O点是Rt△ABC的内心，
∴⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，
∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM，
∴四边形OPCM是正方形，
∴CM=OM=OP=PC=r，
∵BC=6，AC=8，
∴在Rt△ABC中，AB=10，
∵OM=OD，OB=OB，
∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，
∴BM=BD，
同理可得AP=AD，
∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD，
∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10，
∴r=2，
即⊙O的半径为2．
巩固练习
1．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【分析】利用垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【详解】解：①不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题错误；
②任意一个三角形内心一定在三角形内部，故命题正确；
③三角形的外心是三角形的三边的中垂线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，故命题正确；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故命题错误．
则正确的是：②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆，要注意到垂径定理叙述中：被平分
的弦必须不是直径．
2．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点可以确定一个圆
C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，内心的性质解答即可．
【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
B．不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
C．相等的弧所对的圆心角相等，故原说法正确；
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等，故原说法错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，内心的
性质是解答本题的关键．
5
3．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，在 中， ABAC  BC ， 于 ，
 ABC 3 ADBC D
R
为 的内切圆，设 的半径为 ， 的长为 ，则 的值为（ ）
 O  ABC  O R AD h h3 2 1 1
A． B． C． D．
8 7 3 2
【答案】A
【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出 ABC的面积，利用面积相等即可解
决问题．
【详解】解：如图所示：O为 ABC中ABC、ACB、BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线交AB、
AC、BC于点E、G、F ，
1 1 1 1
S S S S  ABR BCR ACR RABACBC ，
ABC AOB BOC AOC 2 2 2 2
5
 ABAC  BC ，
3
1 5  1 8
S  R BCBC R BC，
ABC 2 3  2 3

AD的长为h，
1
S  BCh ，
ABC 2
1 8 1
 R BC BCh
，
2 3 2
8
h R
，
3
R R 3
  
h 8
R
8，
3
故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形
ABC面积相等推出关系式是解题关键．
4．（2022·河北承德·九年级期末）如图，在 ABC中，点I 为 ABC的内心，点D在BC边上，且IDBC，
若ABC 42，C 58，则AID的度数为（ ）
A．111° B．130° C．172° D．170°
【答案】C
【分析】 ABC中，点I 为 ABC的内心，可求出CAI的度数，根据四边形AIDC的内角和即可得出结论．
【详解】解：在 ABC中，ABC 42，C 58
BAC＝180 －42 －58 ＝80 
点I 为 ABC的内心，
1
BAC
CAI＝ BAI＝ ＝40
  2 
四边形AIDC的内角和180（4－2）＝360，且IDBC
AID＝360－C－IDC－CAI＝360－90－40－58＝172
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义及多边形的内角和，牢固掌握相关概念是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图， ABC中，A80，I 是内心，则BIC等于（
A．120° B．130° C．150° D．160°
【答案】B
【分析】根据内心的性质得到BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分线的定义和三角形内角和
定理计算可得．
【详解】解：∵I是内心，∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）
1
=180°-2（∠ABC+∠ACB）
=130°，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点．
6．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且
AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3
∴BC=BE+CE =5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14．
故答案为C．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识点，灵活利用切线长定理是解题答本题
的关键．
7．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧
交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆△心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交
BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是 ABC的内心
D．I到△A，B，C三点的距离相等
【答案】D
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是 ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是 ABC的内△心，
∴I到AB△，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的
性质．
8．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）如图△ABC的内切圆（圆心为点O）与
各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于
1
GH
G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于 的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说
2
法不正确的是（ ）A．射线BP一定过点O B．点O是△DEF三条中线的交点
1
DE= BC
C．若 是等边三角形，则 D．点O是 三条边的垂直平分线的交点
△ABC 2 △DEF
【答案】B
【分析】根据基本尺规作图、三角形的内心的定义、外心的定义、等边三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC三个内角平分线的交点，
由尺规作图可知，射线BP是ABC的平分线，
∴射线BP一定过点O，故A选项说法正确，不符合题意；
点O是△DEF三边垂直平分线的交点，故B选项说法错误，符合题意；故D选项说法正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
DE= BC
∴ ，故C选项说法正确，不符合题意；
2
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、内切圆与内心，掌握三角形的外心和内心的定义、基本尺
规作图是解题的关键．
9．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，
C 90，B30，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（ ）
42 3 33 3 34 3 52 3
A． B． C． D．
【答案】D【分析】取内切圆的圆心O，连接圆心与切点，由C 90，B30可得∠BAC=60°，再根据内切圆的
3
圆心的是三角形三条角平分线的交点，可知∠OAE=30°，从而得到AE= ，CE=1， CD=1，再用勾股定理
即可求解．
【详解】解：取内切圆的圆心O，与AC，AB的切点E、F，连接OD、OE、OF．
∵C 90，B30，
∴∠BAC=60°，
∵内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，
1
∴OAE BAC 30
2
又∵OE=1，OE⊥AC（切线的性质），
3
∴AE= ，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，C 90，
∴四边形CDOE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴CE=CD=OE=1，
3
∴AC= AE+CE= +1，
在Rt△ACD中，C 90，
∴AC2CD2  AD2，
 2
∴AD AC2CD2  31 12  52 3 ，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的内切圆，切线的性质等知识，根据题意正确
画出的辅助线是解题的关键．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC 6，点E、F分别是AD、BC的
中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ）6 5 4
A．1 B． C． D．
5 4 3
【答案】D
【分析】由三角形APB的面积为12，可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF交于点P'，求出
AC=10，由三角形面积公式可得出答案．
【详解】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥AB，
∵P在EF上，AB=8，BC=6，
1
∴S PAB=2×8×3=12，
△
设△PAB内切圆半径是r，
1
∵S PAB=2（AP+PB+AB）•r=12，
△
∴AP+BP最小时，r有最大值，
如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'，
∵AP+BP=AP+CP≥CA，
∴此时CA即为AP+BP最小值，
∵AB=8，AD=6，
6282
∴AC= =10，
∴AP+BP最小值为10，
∴PA=PB=5，1 1 1
∴2×5×r+2×5×r+2×8×r=12，
4
解得r= ，
3
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将AP+BP最小值
转化为CA的长是解题的关键．
11．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，
∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°；
【答案】125
1 1
OBC= ABC=30°,OCB= ACB=25°,
【分析】根据三角形的内心的概念得到 然后根据三角形内角
2 2
和定理计算即可．
【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
1 1
∴OBC= ABC=30°,OCB= ACB=25°,
2 2
∴∠BOC=180°OBCOCB=180°30°25°=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角
角平分线的交点是解题的关键．
12．（2021·贵州·铜仁市第十一中学一模）已知△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，I是△ABC的内心，
把△ABC向下平移得到△IDE，使得点C和点I重合，交AB于F，G两点，则△IFG的周长为 _____.【答案】7
【详解】连接AI，BI，根据I是△ABC的内心，可得IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，再根据∠ACB平
移，使其顶点与点I重合，可得DI//AC，EI//BC，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得△IFG的周
长．
【解答】解：如图，连接AI，BI，
∵I是△ABC的内心，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠BAI，∠CBI＝∠ABI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI//AC，EI//BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，.
∴∠BAI＝∠DIA，∠ABI＝∠EIB，
∴FA＝FI，GB＝GI，
∴GF+FI+GI＝GF+FA+GB＝AB＝7．
∴△IFG的周长为7．
故答案为：7 ．
【点睛】此题考查三角形内心的性质，利用图形的平移考查等腰三角形证明和平行线的性质，难度一般．
13．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、
DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S、S、S、S，则S、S、S、S 的数量关系为
1 2 3 4 1 2 3 4
________．【答案】S+S=S+S
1 3 2 4
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，
1 1
OE=OF=OG=OH=r，设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S+S= r（a+b）r+ r（c+d）
1 3 2 2
1
= r（a+b+c+d）=S+S．
2 2 4
【详解】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，
设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，
1 1 1 1
S= r（a+b）r，S= r （b+c） S= r（c+d），S= r（a+d），
1 2 2 2 3 2 4 2
1 1 1
∴S+S= r（a+b）r+ r（c+d）= r（a+b+c+d），
1 3 2 2 2
1 1 1
S+S= r（a+d）+ r （b+c）= r（a+b+c+d），
2 4 2 2 2
∴S+S=S+S．
1 3 2 4
故答案为：S+S=S+S．
1 3 2 4
【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．14．（2022·河南周口·九年级期末）如图，已知△ABC．
(1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
(2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若A76，
则EDF ________．
【答案】(1)见解析(2) 52
【分析】（1）作∠ABC、∠ACB的角平分线，两条角平分线交于O点，过O点作OD⊥BC于D，以O点
为圆心，以OD为半径画圆，⊙O就是△ABC的内切圆．
（2）连接OE、OF，由切线的性质可知∠OFA=∠OEA=90，根据四边形的内角和等于360求出∠EOF的
度数．根据圆周角定理即可求出∠EDF的度数．
（1）
如图，⊙O就是△ABC的内切圆；
（2）
如图连接OE、OF，
∵F、E分别是⊙O 与AB、AC边的切点，
∴∠OEA=∠OFA=90，
在四边形AFOE中，∠A=76，
∴∠EOF=360909076104，∵∠EOF与∠EDF是EF弧所对的圆心角和圆周角，
1
∴∠EDF=
1
∠EOF=
10452，
2 2
故答案为52．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的尺规作图法，切线的性质及圆周角定理．熟练掌握以上知识是解题的
关键．
15．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，点E是 ABC的内心，AE的延长线和 ABC的外接圆相
交于点D，连接BE， △ △
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】(1)124°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆周角定理求出CAD，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC；
（2）根据内心的性质，三角形的外角定理证明．
（1）解：∵∠CBD=34°∴∠CAD=34°∵点E是 ABC的的内心∴∠BAC=2∠CAD=68°∴∠EBC+∠ECB=（180°-
68°）÷2=56°∴∠BEC=180°-56°=124° △
（2）∵E是 ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC ∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，
∠CBD=∠CA△D∴∠DEB=∠DBE ∴DE=DB ．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心
的概念，三角形的外角的性质是解题的关键．
16．（2021·全国·九年级）阅读材料：如图（一）， ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA，
OB，OC， ABC被划分为三个小三角形，用S ABC△表示 ABC的面积．
∵S ABC＝△S OAB+S OBC+S OCA △ △
1 1 1
△ △ △ △ 
又∵S OAB AB•r，S OBC BC•r，S OCA CA•r
2 2 2
△ △ △1 1 1 1
∴S ABC AB•r  BC•r  CA•r l•r
2 2 2 2
△
2s

∴r （可作为三角形内切圆半径公式）
l
根据上述阅读材料完成下列各题：
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分
别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a、
1
a、a、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
2 3
2S
【答案】（1）边长分为5、12、13的三角形内切圆半径为2；（2）r ；（3）内切圆半径r
abcd
2S

a a a  a
1 2 3  n
【分析】（1）首先证明三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可．
1 1 1
（2）连接OA、OB、OC、OD．由S =S +S +S S ，由S =2AB•r+2BC•r+2
四边形ABCD OAB OBC OCD+ AOD 四边形ABCD
△ △ △ △
1 1
CD•r+2AD•r=2（a+b+c+d）•r=S，即可推出答案．
2S
r
（3）类似（2）即可得到 a 1 a 2 a 3   a n ．
【详解】解：（1）∵52+122＝25+144＝169＝132，
∴边长分为5、12、13的三角形是直角三角形，
1 1
∴  5×12 （5+12+13）•r，
2 2
∴r＝2，∴边长分为5、12、13的三角形内切圆半径为2．
（2）如图（二）中，连接OA、OB、OC、OD．
∵S ABCD＝S OAB+S OBC+S OCD+S AOD
四边形
1 1 1 1
△ △ △ △
   
又∵S OAB AB•r，S OBC BC•r，S OCD CD•r，S AOD AD•r，
2 2 2 2
△ △ △ △
1 1 1 1 1
∴S ABCD AB•r  BC•r  CD•r  AD•r （a+b+c+d）•r＝S，
四边形 2 2 2 2 2
2S
∴r ．
abcd
（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a、a、a、…、an，
1 2 3
2S

其内切圆半径r a 1 a 2 a 3   a n ．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形的面积公式、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学
会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．
考点8：图形中扇形和不规则图形面积计算
典例：（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在
⊙O外，∠EAB=∠D=30°.
(1)∠C= ；
(2)求证：直线AE是⊙O的切线；
(3)当AB=3时，求图中阴影部分的面积.（1）解： ，∠D=30°，
∴ ，
故答案为：30°．
（2）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠BAC=60°，
而∠EAB=30°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（3）解：连结OB，过点O作OF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠BAC=60°， ，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，∠AOB=60°，
∵AB=3，
∴OA=OB=AB=3，
∴ ，
∵OF⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为：
．
巩固练习1．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 是⊙O的直径，弦 ， ＝30°， ＝2 ，则S
＝（ ）
阴影
A．π B．2π C． D． π
【答案】D
【分析】根据垂径定理求得 ；然后由圆周角定理知 ＝60°．然后通过解直角三角形求
得线段 的长度；最后将相关线段的长度代入 ．
【详解】解：如图，假设线段 交于点E．
∵ 是 O的直径，弦 ，
⊙
∴ ．
又∵ ＝30°，
∴ ＝60°， ＝30°，
∴ 1， ，
∴ OE•EC BE•EDπ
π，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算．注意解此题的思路是：采用了“分割法”求得阴影部分
的面积．
2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，在半径为 ，圆心角等于45°的扇形AOB内部
作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在 上，则阴影部分的面积为（结果保
留π）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先要明确 ，然后依面积公式计算即可．
【详解】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
在Rt OFE中，OE=2EF，
△
∵OF= ， ，∴ ，
解得：EF=1，
∴EF=OD=CD=1，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理的应用，得到正方形和三角形的边长是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，正方形 的边 ， 和 都是以1为半径的圆弧，则
无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，求出它们的面积，再用两个扇形的面积的
和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差来求解．
【详解】解：如图：
正方形的面积 ；①
两个扇形的面积 ；②
② ①，得： ．
故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积
之间的联系是解题的关键．
4．（2022·湖南·长沙县百熙实验学校（初中部）九年级期中）若一个扇形的半径是6，弧长是 ，则它的
面积为___________.
【答案】
【分析】已知扇形半径，扇形弧长，根据扇形面积等于半径与弧长积的一半，即可求解．
【详解】解：根据扇形的面积公式得， （ 是扇形的弧长），
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算公式，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．
5．（2022·辽宁·沈阳市尚品学校九年级阶段练习）如图， ， ， 两两不相交，且半径都等于 ，
则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为______．（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据三个扇形的半径都是 ，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】解： 三个扇形的半径都是 ，
而三个圆心角的和是 ，
图中的三个扇形 即三个阴影部分 的面积之和为 ．
故答案为： ．
【点睛】考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只
需知道三个圆心角的和即可．
6．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC
为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是 _______△__【答案】
【分析】连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据三角形中位线定理求出OD，根据梯
形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】解：连接OD、CD，
∵BC为半圆的直径，
∴CD⊥AB，
∵CA＝CB，
∴AD＝DB，又BO＝OC，
∴OD＝ AC＝1，OD AC，
∴∠COD＝∠ACB＝90°，
∴图中阴影部分的面积是＝ ×（1＋2）×1− ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式、三角形中位线定理、梯形的面积公式是解
题的关键．
7．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分
别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴
影部分的面积为 _____．（结果保留π）【答案】
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=3，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
8．（2021·广东惠州·九年级期末）如图，将直径为12的半圆，绕点A逆时针旋转60º，使点B落到点B'处，
则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【分析】利用面积的和差的推导可知阴影部分面积和扇形 的面积相同，再用扇形面积公式推导即可．
【详解】解：依题意得： ， ，
∴ ，
又由题意可知： ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，掌握利用和差求不规则图形的面积是解题的关键．
9．（2022·上海·上外附中九年级阶段练习）如图， 中， ，将 绕顶点
C按顺时针方向旋转 方向至 的位置，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据勾股定理求出 ，分别求出扇形 的面积、扇形 的面积,根据旋转可得 的
面积等于 的面积，即可求出答案．
【详解】在 中， ，
扇形 的面积为： ，
扇形 的面积为： ．
根据旋转可得 的面积等于 的面积，
故
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理、扇形的面积计算等知识点，能分别求出每部分的面积是解此
题的关键．
10．（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形 中，以 为直
径画半圆，则阴影部分的面积是________．【答案】
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓
形CE的面积，则 ．
【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知
相关知识是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级单元测试）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，
图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为________．【答案】
【分析】如图， 为 边的高，利用两圆相切的性质得到AB=AC=BC=8，则可判断△ABC是等边三角形，
CH=4，易求出OC的长度，则OE=OC+CE，用大圆面积减去15个小圆面积即可．
【详解】解：如图， 为 边的高，
所有小圆相切，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
与 相切，
的半径 ，
阴影部分的面积 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌
握相关内容是解题的关键．
12．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）如图， 内接于⊙O， ，点E在直径BD
的延长线上，且AE=AB．
(1)求证AE是⊙O的切线；
(2)若AB=3，①求阴影部分的面积；②连AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面半径．
【答案】(1)证明见解析；(2)① - ；②
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得到 ，利用半径相等，得到∠OAB=∠OBA=30°，再
利用AE=AB，得到∠BAE=120°，利用∠OAE =90°求证即可；
（2）①根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出OA= ，用三角形OAE面积 扇形OAD面积，
−
即可求出阴影面积；②求出 ，利用弧长等于圆锥的底面周长，即可求出圆锥底面半径．
（1）
证明：连接OA，如图，
∵∠C=60°，∠C和∠AOB是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵AE=AB，
∴∠E=∠OBA=30°，
∴∠BAE=120°，
∴∠OAE=∠BAE-∠OAB=90°，∴AE是⊙O的切线；
（2）
解：①∵∠OAE=90°，∠E=30°，
∴OE=2OA，∠AOE=60°，
∵AE=AB=3，
∴在 中， ，
∴OA= ，
∴S ADE=SRt AOE S OAD= = ，
阴影 扇形
△
− − −
即阴影部分的面积为 ；
−
②∵∠AOB=120°，OA= ，
∴弧AB的长为 = ，
设扇形OAB围成的圆锥的底面半径为 ，则 ，
∴ ，
即以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面半径为 ．
【点睛】本题考查了切线，圆周角定理，圆锥性质，扇形面积，弧长以及等腰三角形性质，熟练掌握并灵
活运用知识点是解题关键．
13．（2022·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O
移到OB的中点O′处，得到扇形 ，若 ，OA=2， 交 于点C．(1)连接OC，求∠AOC的度数；
(2)请直接写出阴影部分 与 、 的数量关系；并求出阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】(1)连接CB，根据题意可证得 是OB的垂直平分线，可证得△OBC为等边三角形，
，据此即可求得；
(2)首先根据 ，即可求得 与 、
的数量关系；再根据 为OB中点，OA=OB=OC=2，及勾股定理即可求得 与 的长度，最后根
据扇形的面积公式及三角形的面积公式，即可求得．
（1）
解：如图：连接CB，
∵将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形 ，
∴ 为OB中点， ，
∴ 是OB的垂直平分线，
∴CB=CO，
又∵OC=OB，∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：
∵ 为OB中点，OA=OB=OC=2，
∴ ，
在 中， ，
∴
∵ ，
，
∴
【点睛】本题考查了平移的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，
勾股定理，证得 为等边三角形是解决本题的关键．
14．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图， ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长
线上，∠BCD=∠A=30°．
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若CD=2 ，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．
【答案】(1)直线CD与⊙O相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切；
（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用 求得阴影部分的面积．
（1）
解：结论：直线CD与⊙O相切．
理由：∵∠A=30°
∴∠COB=2∠A=60°
∵OC=OB
∴ COB为等边三角形
∴∠OCB=60°
∵∠BCD=30°
∴∠OCD=90°
∴直线CD与⊙O相切
（2）
解：∵∠COB=60°，∠OCD=90°
∴∠D=30°
∴OD=2OC
设OC=r，则OD=2r
根据勾股定理得， ，即∴r=2，
∴ = = ．
【点睛】此题考查了切线的性质及扇形的面积公式，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线，以及扇形的面积计算公式．
考点9：图形变换过程中形成的图形面积计算
典例：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点
上，点A，B的坐标分别是 、 ，△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到 ．
(1)画出 ，直接写出点 ， 的坐标；
(2)求在旋转过程中，线段OB所扫过的面积．
（1）解：如图：
∴A 点坐标为（-3，3），B 点坐标（-2，1）；
1 1
（2）解： ∵B 点的坐标为(-2，1)，
1
∴ ，
∴线段OB所扫过的面积= ．巩固练习
1．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，将 绕点 旋转 得到 ，已知
， ，则线段 扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积= ，由旋转的性质就可以
得出 就可以得出AB扫过的图形的面积= 求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴ ， ．
∵AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据
旋转的性质求解是关键．
2．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点A顺时
针旋转90°，则边BC在旋转过程中所扫过的图形的面积为________．【答案】
【分析】 在旋转过程中所扫过的图形的面积等于 在旋转过程中所扫过的图形 在旋转过程中所
扫过的图形，由扇形面积公式可求解．
【详解】解： 在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．
3．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点
C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】2π
【分析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝ ，再根据旋转的性质得出
△ABC≌△A′B′C，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇
形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，∴阴影部分的面积＝ − ×4×4＋ ×4×4− ＝2π，
故答案为2π．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺
时针方向旋转60°后得到 ，若AB＝4，△则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面
积是_____（结果保留π）．
【答案】2π
【分析】用扇形 的面积减去△ABC的面积再加上 的面积再减去扇形 的面积，因为
是由△ABC旋转得到的，因此面积相等，最终阴影部分的面积就是扇形 的面积减去扇形
的面积即为所求．
【详解】解：扇形 的面积是： ，
扇形 的面积是： ，
∵ 是由△ABC旋转得到的，因此 和△ABC面积相等．
则阴影部分的面积是： - ﹣ ＝ ．
故答案为：2π．
【点睛】本题考查求阴影部分面积， 在求阴影部分的面积是常常采用割补法将其转化为规则图形的面积．
5．（2022·江苏·九年级课时练习）如图， ， ， ，把 绕点O顺时针旋转60°得
，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为________．【答案】
【分析】根据勾股定理得到OA，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OA、OC，
∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，
∴OA= =2 ，
∵AB扫过的面积=S OAC+S COD-S AOB-S OBD，
扇形 扇形
∵S COD=S AOB △ △
△ △
∴边AB扫过的面积=S OAC -S OBD = - =
扇形 扇形
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，将三角形 绕 点
按逆时针方向旋转 （ ）后得到三角形 ，点 经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积是
_________．【答案】
【分析】把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
【详解】圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点睛】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
7．（2022·山东·平阴县教育教学研究中心二模）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转
40°后得到△ADE，点B经过的路径为 ．则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质可知，△ABC≌△ADE，从而可以得到 ，再根据图形得阴影部分的面
积＝图形面积− ，然后代入数据计算即可解答本题．
【详解】解：由旋转不变性可知，△ABC≌△ADE，即 ，
∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE，
∴阴影部分的面积是： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式
和数形结合的思想解答．
8．（2022·河南开封·一模）如图，直线 与两坐标轴分别交于A，B两点、点P是线段AB上的一
个动点，过P作y轴的平行线，交直线 于Q，△OPQ绕点O逆时针旋转30°，边PQ扫过区域（阴
影部分）面积的最大值为____________．
【答案】
【分析】如图，设△OPQ绕点O逆时针旋转30°到达了 ODC的位置，根据旋转性质，得到阴影部分的面
△
积等于 ，设点P的坐标为（m， ），则Q（m， ），计算OP，OQ，代入公式
计算，构造关于m的二次函数求最值即可．
【详解】图，设 OPQ绕点O顺时针旋转30°到达了 ODC的位置，
△ △由旋转性质可知， ，
∴ ，
设阴影部分的面积为S，
∴ ，
设点P的坐标为（m， ），则Q（m， ），
∴ ， ，
∴
当 时，S有最大值，且为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式、旋转的性质、扇形的面积公式、二次函数的最值等知识，灵活运
用割补法表示阴影的面积，并构造二次函数计算最值是解题的关键．
9．（2021·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学九年级期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1
个单位长度， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出将 绕原点O顺时针方向旋转 得到的 ；
(2)求（1）中线段 扫过的图形面积．
【答案】(1) 如下图所示；(2) ．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出顺时针旋转 后的图形 即可；
（2）首先明确线段 扫过的图形是半径为 ，圆心角为 的一个扇形，再利用扇形面积公式即可得出
结论．
（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：由（1）知：线段 扫过的图形是半径为 ，圆心角为 的一个扇形，
，圆心角 ，
线段 扫过的图形的面积=
= ．
故线段 扫过的图形的面积为 ．
【点睛】此题考查图形的旋转变换与作图，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
10．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图
所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），其中A（1，1）B（4，4）C（5，1）
(1)将△ABC沿y轴翻折，作出翻折后得到的△ABC ，则点A 坐标为 .若在y轴上有一点P，使
1 1 1 1
PA+PB最小，则P的坐标是 ．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，作出旋转后得到的△ABC ，A、B、C的对应点分别是A、B、
2 2 2 2 2
C ，则点B 的坐标为 ，AB旋转至AB 所扫过的面积是 （保留 ）．
2 2 2 2
π
【答案】(1)（﹣1，1）；（0， ）(2)图见解析；（4，﹣2），
【分析】（1）根据翻折变换的性质找出对应点即可得出图形以及点 的坐标，连接 ，与y轴交于点 ，
则点 即为所求；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可得出图形，以及点 的坐标，根据扇形的面积计算公式即可得
出AB旋转至 所扫过的面积．
（1）解：如图所示， 即为所求， （﹣1，1），∵ 与 关于 轴对称，
∴连接 ，与 的交点即为满足PA+PB最小的点 ，
∴设直线 的解析式为 ，
将点 （﹣4，4），A（1，1）代入解析式得：
，解得 ，
∴ ，
当x＝0时， ，
∴P（0， ），
故答案为：（﹣1，1），（0， ）；
（2）如图所示， 即为所求， （4，﹣2），
， ，
∴AB旋转至 所扫过的面积＝ ＝ ，故答案为：（4，﹣2）， ．
【点睛】本题考查了作图旋转变换，翻折变换，扇形的面积计算等知识，熟练掌握旋转变换与翻折变换的
性质是解题的关键．
考点10：圆的综合问题
典例：（2022·江苏·东台苏东双语学校九年级阶段练习）探究题
(1)知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费
马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移
我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的
外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用
A､B､C 120 AB3,BC 4,ABC 30
①如图3所示的△ABC（其中 均小于 ）， ，现取一点P，使点
P到A､B､C三点的距离之和最小，求最小值；
A､B､C AC 6km,BC 4 3km,C 90
②如图4，若三个村庄 构成Rt△ABC，其中 ．现选取一点P打水井，
使P点到三个村庄A､B､C铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为
________．（直接写结果）
（1）解：①证明：在PA上截取PD=PC，连接CD，∵AB=AC=BC，
AB AC BC
所以 ，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴PCDDCM ACBDCM ，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
AC BC

ACDBCP

CPCD
∴△ACD≌△BCP(SAS)，
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC；
（2）如图2，根据（1）的结论得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，
∴当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小，
∴线段AD的长度即为△ABC的费马距离，
故答案为：AD；（3）①如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则线段AD的长即为最短距离，
∵△BCD为等边三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，
∵AB=3，BD=4，
AD AB2BD2  3242 5
∴ ；
②以BC为边，在BC下方作等边△BCK，设等边△BCK外接圆为⊙O，连接AK交⊙O于P，则由①知此
时PA+PB+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作KT⊥AC交AC延长线于T，如图：
∵△BCK是等边三角形，
4 3
∴∠BCK=60°，CK=BC= ，
∵∠CAB=90°，
∴．∠TCK=30°，
在Rt△CTK中，
1 1
TK  CK  4 32 3,CT  3TK  32 36,
2 2AT  ACCT 6612,
∴
在Rt△AKT中，
 2
AK  AT2TK2  122 2 3 2 39，
2 39
故答案为： ．
巩固练习
1．（江苏省淮安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，点O为AB中点，分别延长OA到
点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小
半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
(1)求证：△AOE≌△POC；
(2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠1+∠C＝∠2，理由见解析
【分析】（1）利用公共角相等，根据SAS证明三角形全等便可；
（2）由全等三角形得∠C＝∠E，再利用三角形外角性质得结论．
（1）
证明：
∵点O为AB中点，
∴OA=OB，
∵P在小圆上，E在大圆上，
∴OAOP，OCOE，
在△AOE和△POC中，
OA=OP

AOE=POC
，

OE=OC∴△AOE≌△POC（SAS）；
（2）
∠1+∠C＝∠2，理由是：
∵△AOE≌△POC，
∴∠E＝∠C，
∵∠1+∠E＝∠2，
∴∠1+∠C＝∠2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．根据已知条件证明三角形全等是解题的关键．本题同时考查
了圆中常见的等量关系，以及三角形外角的性质．

2．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为ACAC的中点，
连接BC，OD．
(1)求证：OD∥BC；
(2)如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为
2，求弦BC的长．
【答案】(1)证明见解析
2 2
(2)

【分析】（1）连接BD，由D为AC的中点，得 AD=CD ，则 ABD=CBD ，由等腰三角形的性质得
ABD=BDO，推出CBD=BDO，即可得证；
（2）由垂径定理得OFBC，由平行线的性质得DOEF ，则 DOE是等腰直角三角形，OED=45°，
2
易证 是等腰直角三角形，得BG OB，再由 ，即可得出结果．
OGB 2 BC 2BG
（1）
证明：连接BD，如图1所示：
AC
∵D为 的中点，
AD=CD
∴ ，
∴ABD=CBD，
∵ODOB，
∴ABD=BDO，
∴CBD=BDO，
∴OD∥BC；
（2）
解：∵G为BC中点，
∴OFBC，
由（1）得：OD∥BC，
∴DOEF ，
∴ DOE是等腰直角三角形，
∴OED=45°，
∵DEAB，
∴EOA=BOG=45°，
∴ OGB是等腰直角三角形，
2 2
∴BG= OB= ×2= 2，
2 2
BC 2BG2 2
∴ ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角
三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，AB为 O的切线，C为切点，D是 O上一点，过点D作
DF  AB DF  O EO  O CG,OC,OD
，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知
DOE2CGE．
(1)若 O的半径为5，求CG的长；
(2)试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
5 3
【答案】(1)
(2)DE 2EF，证明见解析
【分析】（1）由题意得，COE2CGE，根据DOE2CGE得COE DOE，根据切线的性质
得OC  AB，即OCB90，根据题意得DFB90，则OCBDFB90，即可得OC∥DF ，根据
角之间的关系和边之间的关系得 ODE是等边三角形，即可得∴DOE60，则CGE30,根据题意得，
GE10，GCE90，在Rt

GCE中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，△OCE为等边三角形，可得ECF 30，在Rt  CEF 中，
1
EF  CE
根据直角三角形的性质得 ，即 ；方法二：连接 ，过点O作 ，垂足为
2 DE 2EF CE OH DF
H，根据题意得，四边形OCFH 是矩形，所以CF OH ，根据等边三角形的性质得DEOE，根据边之间
的关系得CE=OE，根据HL得Rt  CFE≌Rt  OHE，即可得EF EH ，由此即可得DE 2EF．
（1）
解：如图所示，连接CE．CECE
∵ ，
∴COE2CGE，
∵DOE2CGE，
∴COE DOE，
∵AB为 O的切线，C为切点，
∴OC  AB，
∴OCB90，
∵DF  AB，垂足为F，
∴DFB90，
∴OCBDFB90，
∴OC∥DF ，
∴COEOED，
∴DOEOED，
∴ODDE．
∵ODOE，
∴ ODE是等边三角形，
∴DOE60，
∴CGE30．
∵ O的半径为5，
∴GE10，
∵GE是 O的直径，
∴GCE90，
Rt GCE GC GEcosCGE10cos305 3
∴在  中， ．
（2）
DE 2EF，证明如下证明：方法一：如图所示，
∵COEDOE60，
CEDE
∴ ，
∴CEDE．
∵OCOE，
∴△OCE为等边三角形，
∴OCE 60．
∵OCB90，
∴ECF 30．
1
EF  CE
∴在 中， ，
Rt CEF 2

1
∴EF  DE，
2
即DE 2EF；
方法二：如图所示，连接CE，过点O作OH DF，垂足为H，
∴OHF 90，
∵OCBDFC90，
∴四边形OCFH 是矩形，
∴CF OH ，
∵ ODE是等边三角形，
∴DEOE，∵OH DF，
∴DH EH ，即DE=2EH，
∵COE DOE，
CEDE
∴ ，
∴CEDE，
∴CEOE，
在Rt△ CFE和Rt△OHE中，
CE OE

CF OH
∴Rt

CFE≌Rt

OHE（HL），
∴EF EH ，
∴DE 2EF．
【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的
判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
4．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图1，AB是⊙O的直径，AB绕点A顺时针旋
转得到线段AC，连接BC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过D作DF⊥AB，交⊙O于点F，直线AC交⊙O于点G，连接FG，DG，BF．
①如图2，证明：FG∥BD；
②当AC旋转到如图3的位置，在BF上取一点H，使得DH＝DF．若BF⊥DG，证明：D，O，H在同一条
直线上．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析②见解析【分析】（1）如图1，连接OD、AD，根据旋转可证得△ABC是等腰三角形，根据直径所对的圆周角是直
角可得出AD⊥BC，根据三角形中位线性质可得OD∥AC，进而推出OD⊥DE，再运用切线的判定定理即
可；
（2）①如图2，连接BG、AD，根据直径所对的圆周角是直角可得出AD⊥BC，再运用弦、弧、圆周角的
关系即可证得结论；
②如图3，连接OD，运用圆周角定理及三角形内角和定理证明∠BDH＝∠BDO，即可证得结论．
（1）
证明：如图1，连接OD、AD，
∵AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∴BD＝CD且AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）
）①证明：如图2，连接BG、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BGA＝∠BDA＝90°，∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴BD＝GD，
BDGD
∴ ，
∵DF⊥AB，
BDBF
∴ ，
GDBF
∴ ，
∴∠1＝∠2，
∴FG∥BD；
②证明：如图3，连接OD，
∵DF⊥AB，AB是⊙O的直径，
AD AF
∴ ，
∴∠3＝∠4＝∠5，
∵AB＝AC，
∴∠3＝∠C，
∴∠5＝∠C，
∴FG

DB，
BGDF
∴ ，
∴∠DBF＝∠BDG，∵BF⊥DG，
BDBF
∴∠DBF＝∠BDG＝45°， ，
1
∴∠3＝∠4＝ ∠DBF＝22．5°，
2
∴∠7＝90°−∠4＝67．5°，
∵DF＝DH，
∴∠6＝∠7＝67．5°，
∴∠BDH＝∠6−∠DBF＝22．5°，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠BDO＝22．5°，
∴∠BDH＝∠BDO，
∴D，O，H在同一条直线上．
【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，以及三角形的中位线
定理和三角形的内角和定理是解题的关键．
5．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）探究
(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，且AB=a，P为⊙A上一动点，连接PB，易得PB的最大
值为 ___________，最小值为 ___________；（用含a，r的代数式表示）
(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，沿EF将
△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 ___________；
②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接
2
BC、AD．若AB=7，AP=3 ，求AD的最大值；
(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，且ABC=60，P为弧BC上任意一点，
CD⊥CP交AP于D，若AB=6，则BD的最小值为 ___________．【答案】(1)a+r，a﹣r
10
(2)①2 ﹣2，②13
7 3
(3)3 ﹣3
【分析】（1）当P在BA延长线上时，PB最大，PB最大为AB+PA=a+r，当P在线段BA上时，PB最小，
PB最小为：AB﹣PA=a﹣r；
1 1
（2）①由沿EF将△AEF翻折得到△PEF，可知EA=EP= AD= BC=2，即P的轨迹是以E为圆心，以2
2 2
AE2AB2 10
为半径的半圆，故当E、P、B共线时，PB最小，此时BE= =2 ，即得PB最小值为：BE﹣
10
EP=2 ﹣2；
②连接BC，由△APC和△BPD是等腰直角三角形，可证明△DPA≌△BPC（SAS），即得AD=BC，故当BC
2
最大时，AD就最大，而AP=3 ，△APC是等腰直角三角形，可得当C、A、B共线时，BC最大此为
AC+AB=13，故AD最大为13；
（3）以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC，连接GD、GB，由AB为半圆O的直径，ABC60，可ACB90 APC=ABC=60 3 ADC DCPAPC 150
得 ， ，AC=AB•cos30°=3 ，从而有 ，根据
1
∠ADC+
2
AGC=180，即知D的轨迹是以G为圆心，3
3
为半径的
AC
，由
GAB=GAC+CAB=90 GA2AB2 7 7 3
，得BG= =3 ，即有△BGD中，BD>3 ﹣3 ，可得当G、
7 3
D、B共线时，BD最小为3 ﹣3 ．
（1）
解：当P在BA延长线上时，PB最大
∴PB最大为：AB+PA=a+r，
当P在线段BA上时，PB最小
∴PB最小为：AB﹣PA=a﹣r，
故答案为：a+r，a﹣r；
（2）
解：①如图：
∵沿EF将△AEF翻折得到△PEF，1 4
2
∴EA=EP= AD= ，即P的轨迹是以E为圆心，2为半径的半圆，
2 2
AE2AB2  2262 2 10
∴当E、P、B共线时，此时BE= ，
10
∴PB最小值为：BE﹣EP=2 ﹣2；
10
故答案为：2 ﹣2；
②连接BC，如图：
∵△APC和△BPD是等腰直角三角形，
∴PD=PB，PA=PC，APC=BPD=90，
∴∠DPB+∠APB=∠APC+∠APB，即∠DPA=∠BPC，
∴ DPA≌  BPC（SAS），
∴AD=BC，
∴当BC最大时，AD就最大，
2
∵AP=3 ，△APC是等腰直角三角形，
2
∴AC= AP=6，
∵AB=7，
∴当C、A、B共线时，AC+AB最大，此时BC=AC+AB=13，
如图：∴AD最大为13；
（3）
解：以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC、GB
∵AB为半圆O的直径，ABC=60，
∴ACB90，APC=ABC=60° ，
∴CAB=30 ，
AB•cos30 3
∴AC= =3 ，
∵CD⊥CP，
∴DCP=90，
∴∠ADC=∠DCP+∠APC=150°，
∵△GAC是等边三角形，AGC=GAC=60 3
∴ ，GA=AC=3 ，
1
∴∠ADC+
2
AGC=180，点D在以3
3
为半径，点G为圆心的
AC
，
而∠GAB=∠GAC+∠CAB=90°，
GA2AB2 (3 3)262 3 7
∴BG= ，
∵△BGD中，BD>BG﹣GD，
7 3
∴BD>3 ﹣3 ，
∴当G、D、B共线时，如图：
7 3
∴BD最小值为3 ﹣3 ，
7 3
故答案为：3 ﹣3 ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，图形的翻折变换、全等三角形的判定与性质、三角形两边之差小于第三
边等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、等边三角形及转化思想的应用，综合性较强．
6．（2021·河南省长垣县蒲北中心校九年级期中）如图，在△ABC 中，以AB为直径的⊙O分别交AC，
BC于点 D，E．连接ED，若ED=EC．(1)求证：AB=AC；
(2)填空：①若∠C=60°，CD=4，则AB= ；
②连接OD，当∠A的度数为 时，四边形ODEB是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②60°
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的外角等于内对角证明BC，即可得证；
（2）①连接AE，利用等边三角形的性质和三角形的中位线的性质即可求出，
②利用等边三角形的性质和菱形的判定方法进行证明即可．
（1）
证明：∵EDEC
EDC C，

EDCADEBADE180，
∴EDC B，
BC，
AB＝AC；
（2）
解：①∵AB AC,∠C 60，
∴ ABC是等边三角形，
同理△CDE是等边三角形，
∴BACCDE，
∴AB∥DE，
如图，连接AE，
∵AB是直径，
∴AEBC，
∴E为BC的中点，∵AB∥DE，
∴D为AC的中点，
∴AC 2CD8，
∴AB AC8；
②当A60 时，四边形ODEB是菱形．
证明：∵AB AC,∠A60，
∴ ABC是等边三角形，
∴∠B60，∠C60 ，
∴△CDE是等边三角形，
∴ACDE，
∴AB∥DE，
连接OD，则：OAODOB，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD60∠B
∴OD∥BC，
∴四边形ODEB是平行四边形，
又∵ODOB，
∴四边形ODEB是菱形．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用．熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定
是解题的关键．
7．（2022·广东·广州市第一中学三模）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将 AOB绕B点顺时针旋转α角（0360）至
 AOB处． △
(1)如图1，m=4，α=90，求O点的坐标及AB扫过的面积；
A、O、A OB
(2)如图2，当旋转到 三点在同一直线上时，求证： 是⊙O的切线；
(3)如图3，m=2，在旋转过程中，当直线BO与⊙A相交时，直接写出α的范围．
【答案】(1)O（2，2），AB扫过的面积为5π
(2)见解析
(3)当直线BO与⊙A相交时，α的范围为：090或180270
【分析】（1）先判断出旋转后O'B⊥x轴，从而得出点O'的坐标，进而判断出是AB扫过的面积是以AB为
半径，圆心角为90的扇形的面积，
（2）先判断出 AO'B≌  A'O'B．即可得出AO' A'O'，进而得出AO'OA即可得出结论；
BO'
（3）找出 与⊙A相切时旋转角的度数即可确定出范围．
（1）
当α=90时，O'B⊥x轴，
由旋转知，O'BOB2，
∴O'（2，2），
在Rt AOB中，OB=2，OA=m=4，
△ 5
∴AB=2由旋转知，BA绕点B旋转90到BA'，
90(2 5)2
∴AB扫过的面积= 360 =5π；
（2）
由旋转知，AB=A'B，
∴BAA'BA'A，
∵A、O、A三点在同一直线上，
∴AO'BA'O'B90，
在 AO'B和 A'O'B中，
△AO'B△A'O'B90

 BAA'BA'A
，

 AB A'B
∴ AO'B≌  A'O'B．AO' A'O'，
由旋转知，A'O' AO，
∴AO AO，
∴OB是⊙O的切线；
（3）
∵m=2，
∴A（0，2），
∵B（0，2），
∴OA=OB=2，
当顺时针旋转时，BO与⊙A相切时，四边形AOBO�刚好是正方形，
∴090，BO与⊙A相交，
同理：180270时，BO与⊙A相交，
即：当直线BO与⊙A相交时，α的范围为：090或180270．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股
定理，解本题的关键判断出， AO'B≌  A'O'B，是一道中等难度的中考常考题．
8．（2019·山东潍坊·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，AE是半圆O的切线（即圆O的切线）．连
接EB，交半圆于点D，连接AD．过点D作直线CD，且EDC DAB．(1)求证：直线CD是半圆O的切线；
(2)求证：点C是线段AE的中点；
(3)若AB10，BD8，求线段CE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
15
CE
(3) 4
【分析】（1）连接OD，根据等边对等角，得出OADODA，再根据等量代换，得出EDCODA，
再根据直径所对的圆周角等于90，得出ADBE，根据垂线的定义，得出EDA90，再根据等量代换，
得出ODC EDA90，即可得出ODCD，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）根据切线的性质，得出EABODC90，再根据角的关系和等量代换，得出
CDAEADB，EDC E，再根据等角对等边，得出AC CD，CDCE，然后根据等量代换，
得出ACCE，根据中线的定义，即可得出结论；
（3）设CE长为x，则AE2x，根据勾股定理，得出AD6，再根据等面积法，得出用含x的式子表示
BE，再根据勾股定理，即可得出线段CE的长．
（1）
证明：连接OD，
∵OAOD，
∴OADODA，
∵EDC DAB，
∴EDCODA，
∵AB是半圆O的直径，
∴ADB90，
∴ADBE，
∴EDA90，
∴ODC EDA90，∴ODCD，
∴直线CD是半圆O的切线；
（2）
证明：∵AE、CD为半圆O的切线，
∴EABODC90，
又∵OADODA，
∴CDAEAD，
又∵ODOB，
∴ODBB，
∵EABADB90，
∵OADODA，
∴BODBEAD，
∴CDAEADB，
∵EBEDCCDA，
∴EDC E，
∴AC CD，CDCE，
∴ACCE，
∴点C是线段AE的中点；
（3）
解：设CE长为x，则AE2x，
在Rt△ABD中，
∵AB10，BD8，
AD AB2BD2  10282 6
∴ ，
1 1
S  ABAE BEAD
∵ △ABE 2 2 ，
1 1
102x BE6
∴ ，
2 210
BE x
解得： ，
3
在Rt△ABE中，
2x2102    10 x   2
根据勾股定理，可得：  3  ，
15 15
x  x 
解得： ， （舍去），
1 4 2 4
15
CE
∴ ．
4
【点睛】本题考查了切线的性质与判定、等腰三角形的性质、等量代换、勾股定理、等面积法，解本题的
关键在熟练掌握相关的性质、定理．
9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，
与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，
∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
2 5
(3)
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到
PC PB6，由PDPC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC r，则有OD8r，利用勾股定
理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．
PEDPEFASA
（3）延长PB、 DE 相交于点 F ，证明 ，由全等三角形的性质得出 PDPF 10 ，
DEEF，求出DF的长，则可得出答案．
（1）
证明： DEPE，

DEO90，
EDBEPB，BOEEDBDEO，BOEEPBOBP，

OBPDEO90，
OBPB，
PB为 O的切线；
（2）
解：在Rt

PBD中，PB6，DB8，
PD 62 82 10
根据勾股定理得： ，

PD与PB都为 O的切线，
PC PB6，
DCPDPC1064；
在RtCDO中，设OC r，则有OD8r，
(8r)2 r242
根据勾股定理得： ，
解得：r3，
则圆的半径为3．
（3）
延长PB、DE相交于点F ，
PD与PB都为 O的切线，
∴ OP平分CPB，
DPEFPE，

PEDF，
PEDPEF 90，
又 PEPE，

PEDPEFASA
，
PDPF 10，DEEF，
BF PFPB1064，
RtDBF DF  DB2BF2  8242 4 5
在 中， ，
1
BE  DF 2 5 ．
 2
【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．本题是中考题常考题型，熟练掌握圆中的等量关系，切线的证
明方法，以及通过等量关系的转化证明三角形全等，利用解直角三角形解决求线段长度的问题是解题的关
键．
10．（2021·黑龙江·拜泉县第三中学九年级阶段练习）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA＝
O

5，OC＝3，E为BC的中点，以OE为直径的 交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．(1)求证： OCE≌△ABE；
O
△ 
(2)求证：DF为 的切线；
(3)在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使 AOP也是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标，
不存在请说明理由． △
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，使 AOP也是等腰三角形的点P的坐标为（1，3）、（9，3）、（4，3）、（﹣4，3）
△
【分析】（1）根据矩形的性质得出OC=AB，∠B=∠OCE=90°，根据中点的定义得到CE=BE，即可利用SAS
证明 OCE≌△ABE；
△  O DF OD
（2）要证明DF为 的切线只要证明 即可；
（3）分两种情况进行分析：①当AO=AP；②当OA=OP，从而得到在直线BC上，除了E点外，它们分别
使 AOP为等腰三角形．
（△1）
证明：∵四边形ABCO是矩形，
∴OC＝AB，∠B＝∠OCE＝90°，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
在 OCE和 ABE中，
△ △ OC  AB

OCEB
，

 CEBE
∴△OCE≌△ABE（SAS）；
（2）
证明：连接OD，
∵△OCE≌△ABE，
∴EA＝EO，
∴∠EOA＝∠EAO，
在 O中，OO＝OD，
∴OOD＝ODO，
∴ODO＝EAO，
∴OD∥AE，
∵DF⊥AE，
∴DF OD，
又∵点D在 O上，OD为 O的半径，
O

∴DF为 切线；
（3）
解：存在，如图，P P
①当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于 1和 4两点，
P PH OA PH＝OC＝3
过 1点作 1 于点H， 1 ；
AP＝OA＝5，PH＝OC＝3
∵ 1 1 ，
5232
∴AH＝ ＝4，
∴OH＝1，
P（1，3）
∴点 1 ，
P（9，3）
同理可得： 4 ；
②当OA＝OP时，
P（4，3),P（﹣4，3）
同上可求得 2 3 ，
综上，使 AOP也是等腰三角形的点P的坐标为（1，3）、（9，3）、（4，3）、（﹣4，3）．
【点睛】△本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质和圆的有关性质，等腰三角形的判定．要熟练掌握
这些性质才能灵活运用．
11．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图， O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且
ABCD．(1)求证：ACBD．
(2)若OF CD于F，OG AB于G，问，四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．
(3)若CE1，DE3，求 O的半径．
【答案】(1)ACBD，证明见解析
(2)四边形OFEG是正方形，理由见解析
OC  5
(3)
ABCD ABCD AC BD
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由 判断 ，进而得到 ，从而得出
ACBD；
（2）先证明四边形OFEG是矩形．连接OA，OD．根据垂径定理得出CF=DF，AG=BG．则利用CD=AB，
得到AG=DF．再由勾股定理可计算出OG=OF，即证明四边形OFEG是正方形；
（3）先计算出CD=4，从而得到CF=DF=2，EF=1，再利用正方形的性质得出OF=EF=1，最后由勾股定理
即可求解．
（1）
证明：∵ABCD，
ABCD
∴ ，
ABBC CDBC AC BD
∴ ，即 ，
∴ACBD；
（2）
解：四边形OFEG是正方形.
理由如下：∵ABCD，OF CD，OG AB，
∴AEDOGEOFE90，∴四边形OFEG是矩形．
如图，连接OA，OD．
∵OF CD，OG AB，
∴CF=DF，AG=BG．
∵CD=AB，
∴AG=DF．
OG OA2AG2 OF  OD2DF2
∵ ， ，OA=OD，
∴OG=OF，
∴四边形OFEG是正方形；
（3）
解：∵CE=1，DE=3，
∴CD=4，
∴CF=DF=2，
∴EF=CF-CE=2-1=1．
∵四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF=1．
OED OD OF2DF2  5
在Rt 中， ，
O 5

∴ 的半径为 ．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理．
正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
12．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC
于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．(1)请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
(3)过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是△ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点
O，以O为圆心以OA为半径画圆即可；
（2）根据连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB
可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可
得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（3）设OD＝r，根据勾股定理列方程可得r值．
（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；（2）证明：如图2，连接OD， ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝
∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（3） 解：设⊙O的半径为r，∵DF⊥AE，∴DF＝GF DG＝4，在
1

2
Rt△ODF中，∠OFD＝90°，OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，∴r2＝（r﹣2）2+42，r＝5，∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定和性质以及勾股定理，利用垂径定理设未知数，建
立方程是本题的关键．
13．（2021·江苏镇江·九年级期中）平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上
运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．
(1)当⊙P与边CD相切时，AP＝ ；
(2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长；
(3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数．
【答案】(1)2
(2)1.5
(3)当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到ABAC，根据勾股定理求出AC，根据切线的性质求出AP；
(2)根据切线的性质得到PEBC，根据勾股定理列出方程，解方程求出AP；
(3)根据勾股定理求出OP过点D时AP的长，结合图形得到OP与平行四边形ABCD四边公共点的个数．
（1）
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
BC2AB2 5232
∴AC＝ ＝ ＝4，
当⊙P与边CD相切时，AC为⊙P的直径，
∴AP＝2．
故答案为：2．
（2）
如图2，当⊙P与边BC相切时，设切点为E，连接PE，
则PE⊥BC，
∵AB⊥AC，点P在边AC上，
∴⊙P与AB相切，
∵⊙P与BC相切于点E，
∴BE＝AB＝3，EC＝2，
设AP＝x，则PE＝x，PC＝4﹣x，
在 Rt△PCE 中，由勾股定理得 x2+4＝（4﹣x）2，
解得，x＝1.5，即AP＝1.5．
故答案为：1.5．（3）
如图3，当⊙P过点D时，连接PD，
设AP＝x，则PD＝x，PC＝4﹣x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，
解得x＝3.125，即AP＝3.125，
则⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数情况如下：
当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；
当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；
当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，勾股定理，平行四边形的性质，掌握切线的性质定理是解题
的关键．
14．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了
10cm  O 1 AB
如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为 的 ，将圆形纸片沿着弦 折叠，使对折后劣
O
弧 AB 恰好过圆心 1，同学们用尺子度量折痕 AB 的长约为 18cm ，并且同学们用学过的知识验证度量的结
果是正确的．
O OF  AB OF
验证如下：如图1，过点 1作 1 于点 F ，并延长 1 交虚线劣弧 AB 于点 E ，
∴AB2AF，
1 1
由折叠知， EF OF  OE  105(cm) ，
1 2 1 2
OA Rt△OFA OA10
连接 1 ，在 1 中， 1 ，
AF  OA2OF2  10252 5 3(cm)
根据勾股定理得， 1 1 ，AB2AF 10 3101.73217.732(cm)
∴ ，
通过计算：17.73218，同学们用尺子度量折痕AB的长约为18cm是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
 O 2 10cm AB  O 2 O 2 C  AB C AB AB
(1)如图2， 的半径为 ， 为 的弦， ，垂足为点 ，劣弧 沿弦 折叠后经过
OC
2 P AB
的中点 ，求弦 的长（结果保留根号）；
 O 3 AB AB CB Q CQ8cm BQ12cm AB
(2)如图3，在 中劣弧 沿弦 折叠后与直径 相交于点 ，若 ， ，求弦
的长（结果保留根号）．
20 5
【答案】(1)
3
8 5
(2)
【分析】（1）连接 O 2 A ，延长 O 2 C 交  O 2于点 D ，求出 O 2 C ，再根据勾股定理可得出结论；
Q AB Q' BQ' CA C' AQ'
（2）作点 关于弦 的对称点 ，连接 并延长与 的延长线相交于 ，连接 ，先证明
△ABC≌△ABC'，可得CQC'Q'8，C'BCB20，
△C'AQ'∽△C'BC C'A
再证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理可得出结论．
(1)
解：连接 O 2 A ，延长 O 2 C 交  O 2于点 D ，
由题意可知CDCP，OC
P 2
∵ 是 的中点，
O PCP
2
∴ ，
2 2 20
OC O D 10
∴ ，
2 3 2 3 3
OC  AB
2
∵ ，
∴AB2AC，ACP90，
20 2 10 5
∴ AC  O 2 A2O 2 C2  102  3    3 ，
10 5 20 5
∴AB2AC 2  ；
3 3
(2)
Q AB Q' BQ' CA C' AQ'
解：作点 关于弦 的对称点 ，连接 并延长与 的延长线相交于 ，连接 ，
CQ8，BQ12，
CBCQBQ81220，
有折叠性质可知：CBAABC'，
CABBAC'90，
AB AB，
∴△ABC≌△ABC'，
∴CBC'B，AC C'A，
∴CQC'Q'8，C'BCB20．
∵四边形ACBQ'是圆内接四边形，
∴CBC'CAQ'180，
C'AQ'CAQ'180，∴C'AQ'CBC'，
∵C'C'，
△C'AQ'∽△C'BC
∴ ，
∴C'AC'C C'BC'Q'，
即C'A2C'A208160．
则C'A2 80，
又∵C'A2 C'B2AB2，
80400AB2
∴ ，
AB8 5
∴ ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的
判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键．