第三章核心考点突破训练（155题174页）-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关（原卷版）（北师大版）_new_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_4专题练习_第1套

第三章核心考点突破训练 考点1：与圆有关的最值问题 典例：（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接 BF，则BF的最小值为_______．巩固练习 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，圆O的弦中最长的是（ ） A．AB B．CD C．EF D．GH 2．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是 （ ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆 形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ） A．a B．b C．a+b D．a-b 4．（2021·全国·九年级课时练习）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8，最小距离是 2，则此圆的半径是（ ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 5．（2022·贵州遵义·二模）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点 CA⊥CB，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ） A．14 B．2❑√34-4 C．2❑√34+2 D．2❑√34+4 6．（2021·江苏扬州·九年级期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为_______． 7．（2021·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）已知圆内一点P到圆周上点的最长距离 为7cm，最短距离为3cm，此圆的半径为___cm． 8．（2021·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、 B(0,1+t)、C(0,1-t)(t>0)，点P在以点D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ∠BPC=90°，则t的最小值为______，t的最大值为______． 9．（2021·安徽省六安皋城中学九年级阶段练习）如图， A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点 P是 A上的运动点，则点P到点O的最大距离 ___． ⊙ ⊙ 10．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点E是 AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将 AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，则线段A'C的最小 值是______． △11．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD中，AB=2❑√3，BC=2，点E是DC边上的动点， 现将 BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________． △ 12．（2022·四川凉山·九年级期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是 MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是________． 考点2：垂径定理及其应用 典例：（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图， 为 的直径，E为 的中点，弦 于点 E，连接 并延长交 于点F，连接 ． (1)求证： 是等边三角形； (2)若 的半径为2，求 的长． 巩固练习 1．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结 论一定正确的个数有（ ）①CE=DE；②BE=OE；③ ；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4 米，则拱桥的半径为（ ） A．9米 B．10米 C．13米 D．15米 3．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径OD垂直弦AB于点C，若 ， ，则 的半径为（ ） A． B．3 C．4 D．5 4．（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接 OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）A．1 B． ＋1 C．2 －1 D．3 5．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图 （单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是( )cm A．8 B．10 C．12 D．20 6．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为 半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ） A．2 B．6 C．4 D．6 7．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，已知直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6， 2)，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：( )，_______．8．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为M，OM∶MC=3∶2，则AB的长为________ 9．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算 术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这 段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸， 锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为________寸． 10．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径 ，D是半径OC上一点， 且 ．A，B是⊙O上的两个动点， ，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 __________．11．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦 ，∠AOC=90°， 设AB=a，CD=b，则 _______． 12．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断， 既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 的中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径． 13．（2022·广西·银海学校八年级期末）已知锐角 内接于 ， 于点 ． (1)若 ，弦 的长为 ，求 的半径； (2)请用无刻度直尺画出 的角平分线 ．（不写作法，保留作图痕迹） 14．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 ，直径 是河底线，弦 是水位线， ， 米， 于点 ，此时测得 ． (1)求 的长： (2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 考点3：圆周角定理及其推论的应用 典例：（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，点 F是 延长线上的一点，且 平分 ， 于点E． (1)求证： ． (2)若 ， ，求 的长． 巩固练习 1．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）一条弦的两个端点把圆周分成4：5两部分，则该弦所对的圆周角 为（ ） A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200° 2．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点 D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（ ）A．90° B．100° C．110° D．120° 3．（2022·江苏·江阴市陆桥中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点， 连接CA，CD，AD．若∠CAB=35°，则∠ADC的度数是（ ） A．40° B．45° C．55° D．100° 4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上， ∠ADC＝30°，则BC的长为（ ） A． B． C．2 D．1 5．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若 ∠D=85°，则∠B的度数为（ ）A．95° B．105° C．115° D．125° 6．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则 ∠AOB的度数是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 7．（2022·全国·九年级单元测试）如图， 是直径，点 ， 在半圆 上，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）如图，半径为R的⊙O的弦 ，且 于 E，连结AB，AD，若 ，则R的值为______． 9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，已知半圆O的直径AB=9，C是半圆上一点，沿AC 折叠半圆得到 ，交直径AB于点D，若D在半径OA上，且为直径的三等分点，则AC的长是 ___________.10．（2022·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若 ∠APB=β，则β的取值范围是________. 11．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）已知 的半径为2，弦 ，弦 ，则 的度 数为______________． 12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°， , 则⊙O的半径为 ___________． 13．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，AB＝2， CB＝3，则⊙O的直径为_______． 14．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）如图，点 在以 为直径的 上， ， ， 则 的长为______．15．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ， ， ，若 ， ，则线段AC的长为______． 16．（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 在第一象限， 过原点，且与 轴、 轴交于点A， ，点A的坐标为 ， 的直径为10．则点 的坐标为______． 17．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图，AB为半圆O的直径，CD＝ AB＝2 ，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长． 考点4：直线与圆的位置关系 典例：（2022·江苏·九年级单元测试）如图，P为正比例函数 图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）． （1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标． （2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围． 巩固练习 1．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级阶段练习）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相 切的是（ ） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 【答案】C 2．（2022·全国·九年级专题练习）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB ＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 3．（2022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2， )，圆P的半径为 2，下列说法正确的是（ ） A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点 D．圆P与x轴、y轴都没有公共点 4．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）已知：在 中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC长为半径的 B与AC边的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O 的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ） A． B． C． D．3 6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径 可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2021·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学九年级阶段练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离， 点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（ ） A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m 8．（2022·全国·九年级课时练习）已知 的半径为5，直线 与 有交点，则圆心 到直线 的距 离可能为（ ）． A．4.5 B．5.5 C．6 D．7 9．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标为 ， 若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）A．1 B．5 C．3 D．1或5 10．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，以点（3，4）为圆心，3为半径 的圆必定与 轴___________． 11．（2022·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，若 与坐标轴有三个公共 点，则 的半径为______． 12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ）， ，点P的坐标为 ， 与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相 交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以 O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l 上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．14．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径 为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动， 那么当⊙P的运动时间t（s）为_____________时，⊙P与直线CD相切． 15．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）在同一平面直角坐标系中有5个点： ． (1)画出 的外接圆 ，并指出点D与 的位置关系； (2) 的外接圆的半径=_________， 的内切圆的半径=_________． (3)若直线l经过点 ，判断直线l与 的位置关系．考点5：切线的性质 典例：（2022·河北承德·九年级期末）如图， ， ， ， ，点 在对角线 上 运动，以 为圆心， 为半径作 ． (1)当点 在 上时， ______，此时 与 的位置关系是______； (2)当 与边 相切时，求 的长； (3)直接写出 与 的边 有公共点时 的取值范围． 巩固练习 1．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H， 且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的 距离为（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．8cm 是解题的关键． 2．（2022·福建·福州第四中学桔园洲中学九年级阶段练习）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上， 并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（ ） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ） A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12） 4．（2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中）如图，菱形 的顶点A，B，C在 上，过点B作 的切线交 的延长线于点D．若 的半径为2，则 的长为（ ） A．4 B．3 C． D． 5．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作 ⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F， 若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）A．55° B．60° C．65° D．70° 7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C， 若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（ ） A．63° B．54° C．60° D．126° 8．（2022·浙江绍兴·一模）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O 于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径 等于_________cm． 9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，PA，PC是⊙O的两条切线，点B为⊙O上任意 一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为 ___________. 【答案】76°##76度 10．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在 中，点 是直径 的延长线上一点，过点 作 的切线 ， C为切点．连接 ，若 ，则 的度数为____________ ． 11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图， 切 于点A， 交 于点 ， 点 在 上， ，则 的度数是__________．12．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）如图， O与AB相切于点A，BO与 O交 于点C， ，则∠B等于 _____． ⊙ ⊙ 13．（2022·广东汕头·九年级期末）直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD//AB，若 ⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为________． 14．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C的圆 的切线交BO于点P，∠P的度数为40°，则∠A＝_____° 15．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，在扇形 中，点 ， 在弧AB上，将弧CD沿弦 折叠后恰好与 ， 相切于点 ， ．已知 ， ，则折痕 的长为 __． 16．（2021·浙江·奉化市锦屏中学三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝10， ∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，P是线段AO上一动点，⊙P的半径为1，当⊙P与平行四边形ABCD的边相 切时，AP的长为_______． 17．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）在扇形AOB中，半径 ， ，点P 在半径OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到 ．且 与 所在的圆相切于点B． (1)求 的度数； (2)求AP的长． 考点6：切线的判定 典例：（2022·全国·九年级专题练习）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于 点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若BD＝8，CE＝12，求AC的长． 方法或规律点拨 本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关 性质定理是解答本题的关键． 巩固练习 1．（2019·北京·北大附中实验学校九年级阶段练习）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程． 请回答：该画图的依据是______________________． 2．（2022·浙江·台州市书生中学九年级阶段练习）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为 ⊙O的弦，连接BD， ，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明． 3．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，四边形 是正方形，点A，点B在 上，边 的延长 线交 于点E，对角线 的延长线交 于点F，连接 并延长至点G，使 ．(1)求证： 与 相切； (2)若 的半径为1，求 的长． 4．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学九年级阶段练习）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点 C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长 交AC于点M． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若∠F＝30°，求∠M的度数； (3)在第二问的条件下，若ME＝1，求BF的长． 5．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度） 和圆规过点P作⊙O的切线， 小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈． 作法一： ①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B； ②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C； ③作直线PC． 作法二： ①作直径PA的四等分点B、C； ②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D； ③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E； ④作直线PE． 以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．6．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求直径AB的长． 7．（2021·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学九年级期中）如图，在 中， ， ，点 在 上， 经过点 ， ，且交 于点 ，直径 于点 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ，求 的长． 8．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC 于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH； (3)求证：CD＝HF． 9．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）小晶想在一块形状为直角三角形（∠C＝90°）的铁皮上截出 一个半圆形铁皮，现要使半圆的圆心在线段AC上，使这个半圆与AB，BC都相切．下面是小品设计的尺 规作图的过程． 已知：如图， ABC，∠C＝90°． △ 求作：以线段AC上点O为圆心的半圆弧，使它与AB，BC都相切． 作法：①作∠ABC的平分线与AC相交于O点； ②以O为圆心，OC长为半径作半圆弧与AC交于D点； 所以半圆弧CD即为所求． 根据小晶设计的尺规作图的过程 (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明， 证明：∵点C在⊙O上，且∠ACB＝90°即BC⊥AC． ∴BC与⊙O相切于点C_____（填推理的依据） 过O作OE⊥AB于点E， ∴BO是∠ABC的平分线，且OC⊥BC，OE⊥AB于点E． ∴____＝OC，（_____）（填推理的依据）． ∴点E在⊙O上．∴AB与⊙O相切于点E． 10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC， OD． (1)求证：∠BOD＝2∠A； (2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求 证：直线CE为⊙O的切线． 11．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在Rt  ABC中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O 作OE∥AB，交BC于E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长； (3)在（2）的条件下，求△ADO的面积． 12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的 中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E．(1)求证：DE为⊙O的切线； (2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长． 13．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90º，利用直尺和圆规按下列要求作图，并 在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆； (2)在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由； (3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半径． 考点7：与内切圆有关的问题 典例：（2022·江苏·九年级课时练习）已知Rt△ABC中，C 90．根据作图过程，解决下列问题． 【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于 1 HL 的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分 2 1 EF 别以E、F为圆心、大于 的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作 2 OM BC于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作 O．【解决问题】： (1)证明： O是Rt△ABC的内切圆； (2)若BC 6，AC 8，求 O的半径． 巩固练习 1．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ） ①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三 个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 2．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点可以确定一个圆 C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 5 3．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，在 中， ABAC  BC ， 于 ，  ABC 3 ADBC D R 为 的内切圆，设 的半径为 ， 的长为 ，则 的值为（ ）  O  ABC  O R AD h h 3 2 1 1 A． B． C． D． 8 7 3 2 4．（2022·河北承德·九年级期末）如图，在 ABC中，点I 为 ABC的内心，点D在BC边上，且IDBC， 若ABC 42，C 58，则AID的度数为（ ）A．111° B．130° C．172° D．170° 5．（2022·全国·九年级专题练习）如图， ABC中，A80，I 是内心，则BIC等于（ A．120° B．130° C．150° D．160° 6．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且 AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ） A．10 B．10 C．14 D．16 7．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧 交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆△心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交 BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACBC．I是 ABC的内心 D．I到△A，B，C三点的距离相等 8．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）如图△ABC的内切圆（圆心为点O）与 各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于 1 GH G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于 的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说 2 法不正确的是（ ） A．射线BP一定过点O B．点O是△DEF三条中线的交点 1 DE= BC C．若 是等边三角形，则 D．点O是 三条边的垂直平分线的交点 △ABC 2 △DEF 9．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中， C 90，B30，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（ ） 42 3 33 3 34 3 52 3 A． B． C． D． 10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC 6，点E、F分别是AD、BC的 中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ） 6 5 4 A．1 B． C． D． 5 4 3 11．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°； 12．（2021·贵州·铜仁市第十一中学一模）已知△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，I是△ABC的内心， 把△ABC向下平移得到△IDE，使得点C和点I重合，交AB于F，G两点，则△IFG的周长为 _____. 13．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、 DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S、S、S、S，则S、S、S、S 的数量关系为 1 2 3 4 1 2 3 4 ________． 14．（2022·河南周口·九年级期末）如图，已知△ABC． (1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）； (2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若A76， 则EDF ________．15．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，点E是 ABC的内心，AE的延长线和 ABC的外接圆相 交于点D，连接BE， △ △ (1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数； (2)求证：DE=DB． 16．（2021·全国·九年级）阅读材料：如图（一）， ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA， OB，OC， ABC被划分为三个小三角形，用S ABC△表示 ABC的面积． ∵S ABC＝△S OAB+S OBC+S OCA △ △ 1 1 1 △ △ △ △  又∵S OAB AB•r，S OBC BC•r，S OCA CA•r 2 2 2 △ △ △ 1 1 1 1 ∴S ABC AB•r  BC•r  CA•r l•r 2 2 2 2 △ 2s  ∴r （可作为三角形内切圆半径公式） l 根据上述阅读材料完成下列各题： （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分 别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a、 1 a、a、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）． 2 3 考点8：图形中扇形和不规则图形面积计算 典例：（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在 ⊙O外，∠EAB=∠D=30°.(1)∠C= ； (2)求证：直线AE是⊙O的切线； (3)当AB=3时，求图中阴影部分的面积. 巩固练习 1．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 是⊙O的直径，弦 ， ＝30°， ＝2 ，则S ＝（ ） 阴影 A．π B．2π C． D． π 2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，在半径为 ，圆心角等于45°的扇形AOB内部 作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在 上，则阴影部分的面积为（结果保 留π）（ ） A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，正方形 的边 ， 和 都是以1为半径的圆弧，则 无阴影两部分的面积之差是（ ） A． B． C． D． 4．（2022·湖南·长沙县百熙实验学校（初中部）九年级期中）若一个扇形的半径是6，弧长是 ，则它的 面积为___________. 5．（2022·辽宁·沈阳市尚品学校九年级阶段练习）如图， ， ， 两两不相交，且半径都等于 ， 则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为______．（结果保留 ） 6．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC 为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是 _______△__ 7．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分 别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴 影部分的面积为 _____．（结果保留π）8．（2021·广东惠州·九年级期末）如图，将直径为12的半圆，绕点A逆时针旋转60º，使点B落到点B'处， 则图中阴影部分的面积是________． 9．（2022·上海·上外附中九年级阶段练习）如图， 中， ，将 绕顶点 C按顺时针方向旋转 方向至 的位置，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留 ） 10．（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形 中，以 为直 径画半圆，则阴影部分的面积是________． 11．（2022·全国·九年级单元测试）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点， 图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为________．12．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）如图， 内接于⊙O， ，点E在直径BD 的延长线上，且AE=AB． (1)求证AE是⊙O的切线； (2)若AB=3，①求阴影部分的面积；②连AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面半径． 13．（2022·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O 移到OB的中点O′处，得到扇形 ，若 ，OA=2， 交 于点C． (1)连接OC，求∠AOC的度数； (2)请直接写出阴影部分 与 、 的数量关系；并求出阴影部分的面积． 14．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图， ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长 线上，∠BCD=∠A=30°．(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若CD=2 ，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）． 考点9：图形变换过程中形成的图形面积计算 典例：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点 上，点A，B的坐标分别是 、 ，△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到 ． (1)画出 ，直接写出点 ， 的坐标； (2)求在旋转过程中，线段OB所扫过的面积． 巩固练习 1．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，将 绕点 旋转 得到 ，已知 ， ，则线段 扫过的图形面积为（ ）A． B． C． D． 2．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点A顺时 针旋转90°，则边BC在旋转过程中所扫过的图形的面积为________． 【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 3．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点 C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】2π 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺 时针方向旋转60°后得到 ，若AB＝4，△则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面 积是_____（结果保留π）． 5．（2022·江苏·九年级课时练习）如图， ， ， ，把 绕点O顺时针旋转60°得 ，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为________．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，将三角形 绕 点 按逆时针方向旋转 （ ）后得到三角形 ，点 经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积是 _________． 7．（2022·山东·平阴县教育教学研究中心二模）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转 40°后得到△ADE，点B经过的路径为 ．则图中阴影部分的面积是________． 8．（2022·河南开封·一模）如图，直线 与两坐标轴分别交于A，B两点、点P是线段AB上的一 个动点，过P作y轴的平行线，交直线 于Q，△OPQ绕点O逆时针旋转30°，边PQ扫过区域（阴 影部分）面积的最大值为____________．9．（2021·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学九年级期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1 个单位长度， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)画出将 绕原点O顺时针方向旋转 得到的 ； (2)求（1）中线段 扫过的图形面积． 10．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图 所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），其中A（1，1）B（4，4）C（5，1）(1)将△ABC沿y轴翻折，作出翻折后得到的△ABC ，则点A 坐标为 .若在y轴上有一点P，使 1 1 1 1 PA+PB最小，则P的坐标是 ． (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，作出旋转后得到的△ABC ，A、B、C的对应点分别是A、B、 2 2 2 2 2 C ，则点B 的坐标为 ，AB旋转至AB 所扫过的面积是 （保留 ）． 2 2 2 2 考点10：圆的综合问题 π 典例：（2022·江苏·东台苏东双语学校九年级阶段练习）探究题 (1)知识储备 ①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA． ②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费 马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离． (2)知识迁移 我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的 外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离． (3)知识应用 A､B､C 120 AB3,BC 4,ABC 30 ①如图3所示的△ABC（其中 均小于 ）， ，现取一点P，使点 P到A､B､C三点的距离之和最小，求最小值；A､B､C AC 6km,BC 4 3km,C 90 ②如图4，若三个村庄 构成Rt△ABC，其中 ．现选取一点P打水井， 使P点到三个村庄A､B､C铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为 ________．（直接写结果） 巩固练习 1．（江苏省淮安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，点O为AB中点，分别延长OA到 点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小 半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP． (1)求证：△AOE≌△POC； (2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．  2．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为ACAC的中点， 连接BC，OD． (1)求证：OD∥BC； (2)如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为 2，求弦BC的长． 3．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，AB为 O的切线，C为切点，D是 O上一点，过点D作 DF  AB DF  O EO  O CG,OC,OD ，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知 DOE2CGE．(1)若 O的半径为5，求CG的长； (2)试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答） 4．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图1，AB是⊙O的直径，AB绕点A顺时针旋 转得到线段AC，连接BC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC于E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)过D作DF⊥AB，交⊙O于点F，直线AC交⊙O于点G，连接FG，DG，BF． ①如图2，证明：FG∥BD； ②当AC旋转到如图3的位置，在BF上取一点H，使得DH＝DF．若BF⊥DG，证明：D，O，H在同一条 直线上． 5．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）探究 (1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，且AB=a，P为⊙A上一动点，连接PB，易得PB的最大 值为 ___________，最小值为 ___________；（用含a，r的代数式表示） (2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，沿EF将 △AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 ___________； ②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接 2 BC、AD．若AB=7，AP=3 ，求AD的最大值；(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，且ABC=60，P为弧BC上任意一点， CD⊥CP交AP于D，若AB=6，则BD的最小值为 ___________． 6．（2021·河南省长垣县蒲北中心校九年级期中）如图，在△ABC 中，以AB为直径的⊙O分别交AC， BC于点 D，E．连接ED，若ED=EC． (1)求证：AB=AC； (2)填空：①若∠C=60°，CD=4，则AB= ； ②连接OD，当∠A的度数为 时，四边形ODEB是菱形． 7．（2022·广东·广州市第一中学三模）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点 坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将 AOB绕B点顺时针旋转α角（0360）至  AOB处． △(1)如图1，m=4，α=90，求O点的坐标及AB扫过的面积； A、O、A OB (2)如图2，当旋转到 三点在同一直线上时，求证： 是⊙O的切线； (3)如图3，m=2，在旋转过程中，当直线BO与⊙A相交时，直接写出α的范围． 8．（2019·山东潍坊·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，AE是半圆O的切线（即圆O的切线）．连 接EB，交半圆于点D，连接AD．过点D作直线CD，且EDC DAB． (1)求证：直线CD是半圆O的切线； (2)求证：点C是线段AE的中点； (3)若AB10，BD8，求线段CE的长． 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C， 与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8， ∠EDB=∠EPB．(1)求证：PB是⊙O的切线； (2)求⊙O的半径； (3)连接BE，求BE的长． 10．（2021·黑龙江·拜泉县第三中学九年级阶段练习）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA＝ O  5，OC＝3，E为BC的中点，以OE为直径的 交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F． (1)求证： OCE≌△ABE； O △  (2)求证：DF为 的切线； (3)在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使 AOP也是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标， 不存在请说明理由． △ 11．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图， O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且 ABCD．(1)求证：ACBD． (2)若OF CD于F，OG AB于G，问，四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由． (3)若CE1，DE3，求 O的半径． 12．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC 于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E． (1)请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：BC是⊙O的切线； (3)过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径． 13．（2021·江苏镇江·九年级期中）平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上 运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P． (1)当⊙P与边CD相切时，AP＝ ； (2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长； (3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数． 14．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了 10cm  O 1 AB 如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为 的 ，将圆形纸片沿着弦 折叠，使对折后劣O 弧 AB 恰好过圆心 1，同学们用尺子度量折痕 AB 的长约为 18cm ，并且同学们用学过的知识验证度量的结 果是正确的． O OF  AB OF 验证如下：如图1，过点 1作 1 于点 F ，并延长 1 交虚线劣弧 AB 于点 E ， ∴AB2AF， 1 1 由折叠知，EF OF  OE  105(cm)， 1 2 1 2 OA Rt△OFA OA10 连接 1 ，在 1 中， 1 ， AF  OA2OF2  10252 5 3(cm) 根据勾股定理得， 1 1 ， AB2AF 10 3101.73217.732(cm) ∴ ， 通过计算：17.73218，同学们用尺子度量折痕AB的长约为18cm是正确的． 请同学们进一步研究以下问题：  O 2 10cm AB  O 2 O 2 C  AB C AB AB (1)如图2， 的半径为 ， 为 的弦， ，垂足为点 ，劣弧 沿弦 折叠后经过 OC 2 的中点 P ，求弦 AB 的长（结果保留根号）； (2)如图3，在  O 3中劣弧 AB 沿弦 AB 折叠后与直径 CB 相交于点 Q ，若 CQ8cm ， BQ12cm ，求弦 AB 的长（结果保留根号）．