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2025 年中考第三次模拟考试（内蒙古卷） 至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、
小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ）
数 学
A． B． C． D．
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
5．若 图象上有三个点 ， ， ，则 ， ， 大小关系是（ ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
A． B． C． D．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
6．下列运算正确的是（ ）
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
A． B．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 C． D．
第Ⅰ卷
7．如图，在等边 中， ，点 在边 上， ，则 长为（ ）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间
站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C．2 D．
2．如图，烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光线 从液体中射向空气时发生折射，光线变成
8．如图，已知顶点为 的抛物线 过 ，则下列结论：① ；②对于任意的 ，
，点 在射线 上．已知 ， ，则 的度数为（ ）
均有 ；③ ；④若 ，则 ；⑤ ；⑥不等式
的解集为 ；其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五
项能力的分项得分，分别按 进行综合评价，他的综合得分为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
9．设α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝__________．
A．10 B．9 C．8 D．7
10．如图，在扇形 中， ， ， 的平分线交弧 于点 ，过点 作
4．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏
于点 ， 于点 ，则图中阴影部分的面积为__________．经过停车区的人
停车区 使用共享单车的人数
数
1号区 60 3
2号区 100 4
3号区 90 9
11．如图，土坡 是一个梯形， ，斜坡 长130米，坡度是 ，沿 走上平台，可以 4号区 120 18
坐电梯直达矩形观景台 顶部 ，在点 观察坡底点 ，俯角是 ，则观景台的垂直高度 为
5号区 70 7
__________米．
表二：每日早高峰期间的平均人流量
停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区
人流量（单位：
240 300 160 400 200
人）
【问题解决】
(1)记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车，估计事件A的概率；
12．如图，已知在矩形 中，连接 ， ，将矩形 绕点C旋转，使点B恰好落在
(2)为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明
对角线 上的点 处，点A、D分别落在点 处，边 分别与边 交于点M、N， 理由．
，那么线段 的长为__________． 15．（本题8分）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其
素 历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，
材 计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．
1 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门
三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
13．（10分）1）解方程： ；
素
材 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
（2）解不等式： 2
素
14．（10分）【问题提出】
材 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享
3
单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车
区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案， 问题解决
同学们展开了研究．
任
【开展研究】
务 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收
1
集，结果如下表．
表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______
任
个，乙部门工作时间可表示为______天；
务 拟订设计方案
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时
2
该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
16．（本题11分）如图，已知 内接于 ， 是 的直径，点E在 上，过E作 的切线，
交 的延长线于点F，若 ．
(1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标；
(2)如图 ，将抛物线沿直线 折叠得到新的图象 ，若 恰好有 个“不动点”，求 的
值；
(3)如图 ，点 为“不动点”，点 是抛物线 上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点 ， ，
使 ？若存在，求出所有符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
17．（本题12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是 ， 上的两点，连接 ， ，
，则 的值为________；
（2）如图2，在矩形 中， ，点E是 上的一点，连接 ， ，且 ，则
的值为_____；
【类比探究】（3）如图3，在四边形 中， ，点E为 上一点，连接 ，过点C作
的垂线交 的延长线于点G，交 的延长线于点F，求证： ；
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点A
落在点C处得 ，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ，求 的值．
18．（本题13分）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”，例如
， 都是“不动点”．
【迁移应用】在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ．
