文档内容
2025 年中考押题预测卷（西宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020
东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的
个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形”，“ 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形
叫做中心对称图形”．根据两类图形的定义即可得到结果．
【详解】解：因为四个图形都不是轴对称图形，也均不是中心对称图形，
所以四个图形中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是0个．
故选：A．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的
因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可．【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、 中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、 不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方．根据合并同类项的法
则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．习总书记指出“善于学习，就是善于进步”，“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有
人在平台上学习，将数据 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记
数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”描述的是必然事件
B．了解央视春晚的收视率适合用抽样调查
C．调查某品牌烟花的合格率适合用全面调查
D．如果某彩票的中奖率是 ，那么一次购买 张彩票一定会中奖
【答案】B
【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，根据概率的意义，全面调查与抽样调
查，随机事件的特点，逐一判断即可解答，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【详解】解： 、成语“刻舟求剑”描述的是不可能事件，故 不符合题意；
、了解央视春晚的收视率适合用抽样调查，故 符合题意；
、调查某品牌烟花的合格率适合用抽样调查，故 不符合题意；
、如果某彩票的中奖率是 ，那么一次购买 张彩票不一定会中奖，故 不符合题意；
故选： ．
6．如图， 是 的直径且 ，弦 与 相交于点 ，连接 ， ．若 ，则
的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求弧长．连接 ，根据 ，可得 ，从而得到
，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴半径为1，
∴ 的长度为 ．
故选：C
7．如图，在矩形 中， ， ，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点
E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径作弧交于点P，作射线 ，交 于点H，过点D作
的垂线交 的延长线于点Q，垂足为点G，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由作图过程可知， 为 的平分线， ，可得出 ．由矩形的性质可得
，由勾股定理得， ，则 ．在
中，利用勾股定理求出 的长，即可得出 的长，再根据 即可求解．
【详解】解：由作图过程可知， 为 的平分线， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵四边形 为矩形，
，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得， ．
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，
解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤当 时， 随 的增大而增大，其中正确结论的
个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与x，y轴的交点
可对①②④进行判断；根据图象过 ，结合对称轴则可对③进行判断；根据抛物线的性质则可对⑤进行
判断．
【详解】解：观察图象，可知该图象开口向上，与 轴交于正半轴，与 轴有两个交点，
，故②正确；
图象过点 ，对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故①错误，④正确；
把 代入 中，得 ，
又 ，
，即 ，
，故③正确；
由图象，可得当 1时， 随 的增大而减小，故⑤错误．
综上所述，可得①⑤错误，②③④正确．正确结论有3个，
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式 ，
故答案为： ．
10．方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘
得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以分式方程的解是 ．
故答案为： ．
11．已知点 ， 在反比例函数 的图象上．若 ，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于k是解
题的关键．
根据反比例函数的图象上点的特征，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵点 ， 在反比例函数 的图象上，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2
12．已知圆锥的高为1，高所在的直线与母线的夹角为 ，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】先利用三角函数计算出 ，再利用勾股定理计算出 ，由圆锥的性质可知圆锥的侧面展开图为
一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，最后根据圆锥的侧面积公
式计算即可．
【详解】解：
如图， ， ，
在 中， ，
，
，
即圆锥的母线长为2，
圆锥的侧面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解直角三角形等，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，即圆锥的侧面积等于圆锥底面周长与母线乘积的一半．
13．某市今年第一季度的专项教育投入为 亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为 ，第三季度增长
的百分比是第二季度增长百分比的 倍，则第三季度专项教育投入 （亿元）关于 的函数关系式为
．（不要求写自变量 的取值范围）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为 亿元，则今年第二
季度的专项教育投入为 亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为 亿元，
∴今年第二季度的专项教育投入为 亿元，
故答案为： ．
14．一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，
从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估
计口袋中有黑球 个．
【答案】
【分析】本题主要考查由频率估计概率，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，
这时对总体的估计也就越精确．设这个口袋中黑球的数量为 个，根据题意可得 ，即可求解．
【详解】解：设这个口袋中黑球的数量为 个，
解得：
经检验 是原方程的解，
故答案为： ．
15．如图，在菱形 中，点 是 的中点，以 为圆心， 为半径作弧，交 于 ，连接 、
．若 ， ，则阴影部分的面积为 ．【答案】
【分析】根据菱形的性质及 ，可得△ABD、△BCD是等边三角形，∠ABC=120°，再由勾股定理
可得 ，从而得到 ，再由BE=BF，可得DF⊥BC，可得 ，然后根据阴影部
分的面积为 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AD∥BC，
∵ ，
∴∠C=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，∠ABC=120°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=2， DE⊥AB，
∴ ，
∴ ，
根据题意得：BE=BF=2，
∴DF⊥BC，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为：【点睛】本题主要考查了求扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，等
边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键．
16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过 ，那么用电器可变
电阻 应控制的范围是 ．
【答案】
【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数
形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，求解即可 ．
【详解】解：设反比例函数关系式为： ，
把 代入得： ，
反比例函数关系式为： ，
当 时，则 ，
根据函数图象可得：当 时， ，
故答案为： ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，且点 在点 右方，连接
， ，若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】【分析】根据已知条件得出 ，根据等面积法得出 ，设 ，则 ，进
而即可求解．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∵ ， 是 的角平分线，
∴
∵
∴
设 ，则 ，
∴
解得： 或 （舍去）
∴
故答案为： ．【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
18．如图， 是等腰三角形， ，点 在边 上， ， ，点 为边 上一动点，
连接 ，将 延 翻折，得到 ，当 与腰垂直时，则 ．
【答案】 或 或
【分析】根据等腰三角形的性质先求出 ，分 ， ，两种情况讨论，利用
含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ 是等腰三角形， ，
∴ ，
当 时，设 交 于点H，
如图，当点 在 上方时，
则 ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ；如图，当点 在 下方时，
则 ，
同理得 ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ；
时，设 交 于点H，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴点 三点共线，
∴ ，
∴ ；综上， 或 或
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，画
出示意图是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分） ．
【答案】3
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊
角的三角函数值，准确计算．
20．（8分）先化简： ，再从 选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】 ；1
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：，
∵ ， ，
∴把 代入得：原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
21．（8分）如图，一次函数 （k为常数， ）的图像与x轴，y轴分别交于 ， 两点，且
，与反比例函数 （m为常数，且 ）的图像交于C，E两点，过点C作 轴于点
D，且 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）用含 代数式表示出 ， 两点的坐标，然后根据 即可求出 ，然后再将点C的
横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入 即可求出 ；
（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点 的坐标，然后即可计算 的面积；
（3）根据点 和点 的横坐标，结合图像，找到反比例函数图像在一次函数图像下方时对应的 范围即可．
【详解】（1）解：当 代入 得 ；当 代入 得 ，故 ， ，
，
，
一次函数解析式为： ，
，
点C的横坐标为 ，将 代入 得 ，
即点C的坐标为 ，将点C的坐标代入 得 ，
，
反比例函数的解析式为： ；
故一次函数解析式为： ，反比例函数的解析式为： ．
（2）解：将一次函数与反比例函数联立得 ，
解得 或 ，
故点 的坐标为 ，点 到 轴的距离为 ，
；
（3）解：由（2）可知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
根据图像可得： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合的图像性质，利用图像解不等式等知识，采用待定系数法
求函数解析式是解题关键．22．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲
盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为
了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角
色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图：
(1)数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，
请补全条形统计图；
(2)合理预测：若该校共有 名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数；
(3)分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由．
【答案】(1) ， ，见解析
(2) 人
(3)见解析
【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是能读懂统计图，从中获取有
用信息．
（1）根据喜爱哪吒的有 人，占 ，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有 人除以
此次调查的学生数乘以 度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数；出此次调查的学生人
数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数；
（2）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有 人除以此次调查的学生人数乘以 即可；
（3）选择调查中人数比较少的，答案不唯一，言之有理即可．
【详解】（1）解： 此次调查的学生有 （人），
扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为 ，
喜爱“殷夫人”的有 （人），
补全条形统计图如图所示：（2） （人），
答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为 人；
（3）应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一）
23．（10分）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白
匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购
买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
(1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
(2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和
为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元
(2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个
【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等
式是解答本题的关键．
（1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370
元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可；
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球 个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能
超过1500元列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球 个．
由题意得： ，
又 取正整数，
可取5，6
当 时，匹克球数量为： 个；
当 时，匹克球数量为： 个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44
个．
24．（10分）如图，以点O为圆心， 长为直径作圆，在 上取一点C，延长 至点D，连接 ，
，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线
(2)若 ， ，则 的长
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，如图，根据圆周角定理得到 ，即 ，求得 ，得到
，根据切线的判定定理得到答案；
（2）根据勾股定理得到 ，求得 ，根据切线的性质得到 根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
为直径，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：连接 ，
， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得： ．
25．（12分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2，以水平地面
为 轴，以停车棚支柱 为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度 （单位：m）与距
离停车棚支柱 的水平距离 （单位： ）近似满足二次函数关系 的图象，其中点
距地面 ，点 为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱 的水平距离为 ，距地面 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长 ，
高 的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；
(3)如图，雨点沿着与地面的夹角为 的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面
（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货
箱多高的货物？（参考数据： ，结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解；
（2）求出 时对应的y值，与货车的高比较大小即可；
（3）过点B作 轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作 ，垂足为H，计算出 ，
进而求出点C的横坐标以及对应的y值，减去货车高度即为所求．
【详解】（1）解：由题意知 ， ，代入 ，得：
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：∵ ，棚顶外沿B距车棚支柱 的水平距离为 ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内；
（3）解：如图，过点B作 轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作 ，垂足为H，
由题意知，在 中， ， ，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
解得 ，
则点C的横坐标为： ，当 时， ，
，
即货车最多还能装超出货箱 的货物．
26．（12分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种
“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
【数据采集】
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 ，用绳子拉直 后系在树干 上的
点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合， ，
．
【数据应用】
(1)天晴时打开“天幕”，若 ，求遮阳宽度 （结果精确到 ）；
(2)下雨时收拢“天幕”， 从 减少到 ，求点E下降的高度（结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．
（1）由对称的性质可得， ， ，解直角三角形得出 ，即可得
解；
（2）作 于 ，四边形 为矩形，得出 ，解直角三角形得出 ，分别
求出 和 时 的值，作差即可得解．
【详解】（1）解：由对称的性质可得， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，∴ ；
（2）解：如图，作 于 ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
∴下雨时收拢“天幕”， 从 减少到 ，求点E下降的高度为 ．
