2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
基础知识达标测
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A A D D B C D C B
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．a>−1且a≠3 12．m＞﹣1 13．3.75
14．−3<x<0 15．13或14 16．❑√2
三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22
题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．
【详解】（1）解：x2−3x+1=0，
Δ=(−3) 2−4×1×1=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
3±❑√5
∴x= ，
2×1
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：4x(2x−1)=3(2x−1)，
4x(2x−1)−3(2x−1)=0
(2x−1)(4x−3)=0，
2x−1=0或4x−3=0，
1 3
∴x = ，x = ．
1 2 2 4
18．
【详解】（1）解∶设函数解析式为y=a(x+1) 2+4，
把B(2,−5)代入，得−5=9a+4，
解得a=−1，∴y=−(x+1) 2+4；
（2）解∶令y=0，则0=−(x+1) 2+4，解得x =−3，x =1，
1 2
∴CD=1−(−3)=4，
令x=0，则y=−(0+1) 2+4=3，
∴E(0,3)，
∴OE=3，
1
∴△CDE的面积为 ×4×3=6，
2
故答案为：6．
19．
【详解】（1）∵x＝2是方程x2+ax−a−5=0的解
∴把x＝2代入方程x2+ax−a−5=0得：4+2a-a﹣5＝0
解得a＝1
∵x +x ＝-a
1 2
∴2+x ＝−1
2
∴x ＝-3
2
∴a＝1，方程的另一个根为﹣3．
（2）∵Δ=a2-4（-a-5）＝a2+4a+20=（a+2）2+16＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．
【详解】（1）解：当a=1，b=2时，抛物线为：y=3x2+4x+1，
1
令y=3x2+4x+1=0，解得：x =−1，x =− ，
1 2 3
( 1 )
∴该抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或 − ,0 ；
3
（2）当0<x<1时，抛物线与x轴有两个交点，理由如下：
由条件得：当x=1时，y=3a+2b+1>0．
∵ a+b=−1，即b=−1−a，
∴ 3a+2b+1=3a+2(−1−a)+1=a−1>0，
∴ a>1，
∴ Δ=4b2−12a=4(−1−a) 2−12a=4(a−1) 2+4a>0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下方．b
该抛物线的对称轴为：x=− ，
3a
∵ b=−1−a，
b a+1 1 1
∴ − = = + ，
3a 3a 3 3a
∵ a>1，
b
∴ 0<− <1，
3a
∴抛物线的对称轴大于0小于1，
∵当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，
∴当0<x<1时，抛物线与x轴有两个交点．
21．
【详解】（1）解：设每月的增长率为x，由题意得：100+100(1+x)+100(1+x) 2=364，
解得x=0.2或x=−3.2（不合题意舍去）．
答：每月的增长率是20%．
（2）解：设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有
364+100(1+20%) 2 (y−3)−640≥(90−5)y，
解得y≥12．
答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．
22．
【详解】（1）存在和谐点，和谐点的坐标为(−1,−1),(2,2)；
设函数y=x2−2的和谐点为(x,x)，可得x=x2−2，
解得x=−1或x=2，
∴和谐点为(−1,−1),(2,2)；
（2）①∵点(−1,−1)是二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的和谐点，
∴1=a+2+c,
∴c=−a−1,
∵二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+2x+c=x有且只有一个根，
∴Δ=1−4ac=0，
1 1
∴a=− ,c=− ，
2 21 1
∴该二次函数的表达式为：y=− x2+2x− ；
2 2
1 1
②由①可知， y=− x2+2x+1=− (x−2) 2+3，
2 2
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=3，
当x=0时，y=1，
当x=4时，y=1，
∵函数的最小值为1 ，最大值为3 ，
当2≤m≤4时，函数的最小值为1 ，最大值为3 ．
23．
【详解】（1）解：图①可得函数经过点(100,1000)，
设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，
将点(100,1000)代入得：1000=10000a，
1
解得：a= ，
10
1
故y与x之间的关系式为y= x2 ，
10
图②可得：函数经过点(0,30)，(100,20)，
{100k+b=20)
设z=kx+b，则 ，
b=30
{ k=− 1 )
解得： 10 ，
b=30
1
故z与x之间的关系式为z=− x+30(0≤x≤100)；
10
1 1 1
（2）解：w=zx−y=− x2+30x− x2=− x2+30x，
10 10 5
1
∴w与x之间的函数关系式为w=− x2+30x；
5
1
（3）解：令y=490，得 x2=490，
10
解得：x=70（负值舍去），
由图象可知，当0<y≤490时，1 1 1
w=− x2+30x=− (x2−150x)=− (x−75) 2+1125，
5 5 5
1
∵− <0，
5
∴当x≤75时，w随x的增大而增大，
∵0<x≤70，
1
∴当x=70时，w有最大值=− ×(70−75) 2+1125=1120，
5
答：今年最多可获得毛利润1120万元．
24．
【详解】（1）解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点
A的坐标为(−4，0)，
∴OA=4，
∵OA=OC，
∴OC=4，则C(0,4)，
把A(−4，0)，C(0,4)代入二次函数解析式y=−x2+bx+c得，
{−16−4b+c=0) {b=−3)
，解得， ，
c=4 c=4
∴二次函数解析式为y=−x2−3x+4．
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为y=−x2−3x+4，且A(−4，0)，C(0,4)，
∴设直线AC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
{−4k+b=0) {k=1)
∴ ，解得， ，
b=4 b=4
∴直线AC的解析式为y=x+4，
∵点E的横坐标为m，直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F，
∴点D、F的横坐标为m，
∴D(m,m+4)，F(m,−m2−3m+4)，
∴DF=−m2−3m+4−(m+4)=−m2−4m=−(m+2) 2+4，
∴当m=−2时，DF有最大值，且最大值为4．
（3）解：∵二次函数y=−x2−3x+4的图像与x轴交于A，B两点，且A(−4，0)，
∴令y=0时，x2+3x−4=0，则x =−4，x =1，
1 2
∴B(1,0)，且C(0,4)
在Rt△BOC中，OB=1，OC=4，∴BC=❑√OB2+OC2=❑√12+42=❑√17，
第一种情况：如图所述，点Q在直线AC下方，
四边形PCBQ是菱形，则PC∥BQ，BQ=BC=❑√17，且直线AC的解析式为y=x+4，
∴设直线BQ所在直线的解析为y=x+c，把点B(1,0)代入得，0=1+c，解得，c=−1，
∴直线BQ的解析式为y=x−1，设Q(q,q−1)，过点Q作QH⊥x轴于点H，
∴BH=1−q，QH=q−1，
∴BQ=❑√BH2+QH2=❑√(1−q) 2+(q−1) 2=❑√17，整理得，2q2−4q−15=0，
4±2❑√34 2±❑√34
∴q= = ，
4 2
2+❑√34 2+❑√34 ❑√34 (2+❑√34 ❑√34)
∴当q= 时，q−1= −1= ，即Q , ；
2 2 2 2 2
2−❑√34 2−❑√34 ❑√34 (2−❑√34 ❑√34)
当q= 时，q−1= −1=− ，即Q ,− ；
2 2 2 2 2
第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方，
四边形BCQP是菱形，QP∥BC，BP=BC=❑√17，且B(1,0)，C(0,4)，
∴直线BC的解析式为y=−4x+4，设P(p,p+4)，
∴BP=❑√(1−p) 2+(p+4) 2=❑√17，整理得，p2+3p=0，解得，p =0（与点C重合，不符合题
1
意，舍去），p =−3，即P(−3,1)，
2
∴设PQ所在直线的解析式为y=−4x+n，把点P(−3,1)代入得，n=−11，
∴直线PQ的解析式为y=−4x−11，
根据题意，设Q(r,−4r−11)，
∴PQ=❑√(−3−r) 2+(1+4r+11) 2=❑√17，整理得，17r2+102r+136=0，
−102±34
∴r= ，即r =−2，r =−4，
34 1 2
∴Q(−2,−3)或Q(−4,5)，
(2+❑√34 ❑√34)
综上所述，存在点Q使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形，且Q , 或
2 2
(2−❑√34 ❑√34)
Q ,− 或Q(−2,−3)或Q(−4,5)．
2 2
