文档文本内容
1
资料分析三色笔记
一、增长率........................................................................................................ 1
增长率............................................................................................................................................... 1
百分数与百分点.............................................................................................................................. 2
增长率与倍数.................................................................................................................................. 2
成数与翻番 ..................................................................................................................................... 3
增幅、降幅与变化幅度................................................................................................................. 3
增长率比较 ..................................................................................................................................... 4
二、增长量........................................................................................................ 8
一般增长量...................................................................................................................................... 8
年均增长量...................................................................................................................................... 8
百化分：.......................................................................................................................................... 9
增长量的比较................................................................................................................................10
三、比重......................................................................................................... 11
现期比重........................................................................................................................................11
基期比重 .......................................................................................................................................14
两期比重比较................................................................................................................................17
两期比重计算................................................................................................................................18
比重总结........................................................................................................................................20
四、平均数...................................................................................................... 21
平均数考情分析 ...........................................................................................................................21
现期平均数....................................................................................................................................21
基期平均数：................................................................................................................................23
两期平均数比较............................................................................................................................25
两期平均数计算 ...........................................................................................................................25
五、倍数与比值............................................................................................... 27
倍数与比值....................................................................................................................................27
2
数量关系三色笔记
一、解题思想.................................................................................................. 29
代入排除思想................................................................................................................................29
倍数特性思想................................................................................................................................30
余数特性思想................................................................................................................................32
奇偶特性思想................................................................................................................................33
赋值思想........................................................................................................................................34
极限思想........................................................................................................................................35
逆向推理思想................................................................................................................................36
整除思想........................................................................................................................................37
十字交叉........................................................................................................................................38
方程思想........................................................................................................................................39
二、核心题型解题方法.................................................................................... 41
工程问题........................................................................................................................................41
行程问题........................................................................................................................................41
经济利润问题................................................................................................................................43
几何问题........................................................................................................................................43
排列组合及概率问题....................................................................................................................46
溶液问题........................................................................................................................................48
和定最值问题................................................................................................................................50
容斥问题........................................................................................................................................51
计算问题........................................................................................................................................52
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资料分析三色笔记
一、增长率
▲增长率
（一）含义
增长率是表述基期量与现期量变化的相对量。增长率又称增速、增幅或者增长幅度、增
值率等，增长率为负时表示下降。
（二）增长率、降幅、变化幅度的区别
（1）增长率：有正有负，比较时带符号→5% ＞-10%。
（2）降幅：必须为负，比较时看绝对值→|-5%| ＜|-10%|。
（3）变化幅度：有正有负，比较时看绝对值→|5%| ＜|-10%|。
◆例：在增长率10%、-20%、30%、40%、-50%、-60% 中：
①增长率最大的是：40%。先排除负的，-20%、-50%、-60%排除；再从剩下的中挑最大的，
为40%。
②降幅最大的是：-60%。必须为负，先排除10%、30%、40%，剩下的找绝对值最大的，
则降幅最大的是-60%。
③变化幅度最大的是：-60%。可正可负，看绝对值最大的，为-60%。
（三）公式：
r= 增长量/ 基期（核心公式）= 增长量/（现期- 增长量）（常考 1）
=（现期- 基期）/ 基期（常考 2）
（四）速算——截位直除
（1）除前看最接近的选项之间的差距。
（2）差距大，截两位。
差距大：①首位不同；②首位相同，次位差大于首位。
（3）差距小，截三位。
（4）截位原则：看下一位（保留两位看第三位、保留三位看第四位），四舍五入。
（5）一步除法，截分母。
（6）多步除法，截分子、分母。
（7）如果选项之间有10 倍左右的关系，需要看小数点、位数、单位。
2
▲百分数与百分点
（一）含义
（1）百分数：用来反映量之间的比例关系。
（2）百分点：用来反映百分数的变化。
（二）百分数、百分点的区别
百分数表示两个量的比例关系，用除法计算；百分点表示百分数的变化，用加减法计算。
比如：问10% 比4% 多多少，两个百分数之间用百分点来描述，用加减法，10%-
4%=6%，数值上是6%，但表述的时候是6 个百分点。
◆例：（2019 联考）2017 年我国成年国民图书阅读率为59.1%，比上年增加0.3 个百
分点；报纸阅读率为37.6%，比上年降低2.1 个百分点。
①2016 年我国成年国民图书阅读率为：遇到“增加”用减法，59.1%-0.3%=58.8%。
②2016 年我国报纸阅读率为：遇到“降低”用加法，37.6%+2.1%=39.7%。
▲增长率与倍数
（一）增长率：
1. 识别：
增长+ 比例（相对量，比如百分数、倍数、成数），又名：增速、增幅、增值率。
2. 公式：增长率=（现期- 基期）/ 基期。
（二）倍数：
3
1. 识别：A 是B 的几倍，A 比B 多几倍。
2. 公式：是几倍=A/B，比如问500 是100 的几倍，500/100=5。多几倍（增长率）=（A-B）
/B=A/B-1，其中，A/B 就是“是几倍”，多几倍= 是几倍-1。
比如：问500 比100 多几倍，（500-100）/100=4。
（三）两者关系
倍数= 增长率+1。（A-B）/B 与（现期- 基期）/ 基期的形式是一样的，
说明多几倍= 增长率。r= 是几倍-1，则是几倍=r+1。
比如：2019 年比2018 年增长了50%，问2019 年是2018 年的几倍，1+50%=1.5 倍；
2018 年比2017 年增长了20%，则2018 年是2017 年的1+20%=1.2 倍。
◆例：（2017 国考）某市2015 年全年粮食总产量4.16 万吨，同比下降2.3%；甘蔗
产量0.57 万吨，下降23.6%；油料产量0.12 万吨，增长32.4%。问：甘蔗产量是油料几倍？
甘蔗产量比油料多几倍？
※ 答：甘蔗产量是油料的0.57/0.12 ≈5 倍。甘蔗产量比油料多5-1=4 倍。
▲成数与翻番
（一）成数
几成就相当于十分之几，也就是百分之几十。比如1 成=1/10=10%。3 成
=3/10=30%。
（二）番数
1. 识别：翻了几番。
2. 一句话：遇番数，化倍数，翻N 番，变为原来的2N 倍。翻1 番，变为原来的2 倍，
翻2 番，变为原来的4 倍，翻3 番，变为原来的8 倍，翻4 番，变为原来的16 倍，2=21，
4=22，8=23，16=24，底数都为2，番数跟指数是对应的，因此翻N 番，变为原来的2N 倍。
◆例：2018 年某省国民生产总值为250 亿元，到2025 年要达到国民生产总值翻4 番
的目标，问：2025 年的国民生产总值的目标为多少亿元？
※ 答：翻4 番为24=16 倍，250×16=4000 亿元。
▲增幅、降幅与变化幅度
（1）增幅一般就是指增长率，有正有负。
（2）降幅指下降的幅度，比较降幅的大小时，只比较绝对值（正增长率不参与降幅的比较）。
（3）变化幅度指增长或下降的绝对比率，变化幅度比较大小时用增长率的绝对值。
◆例：（1）2017 年收入10 万元，同比增长10%，增速比去年提高5 个百分点，则
2016 年的增长率为多少？
※ 答：出现“提高”，用减法，10%-5%=5%。
（2）2017 年收入10 万元，同比增长10%，增速比去年回落5 个百分点，则2016 年
的增长率为多少？
4
※ 答：出现“回落”，用加法，10%+5%=15%。
（3）2017 年收入10 万元，同比下降10%，降幅比去年扩大5 个百分点，则2016 年
的降幅为多少？增长率为多少？
※ 答：下降10% 为-10%，降幅比去年扩大5 个百分点，降幅计算时不带符号，10%-
5%=5%，即2016 年降幅为5%，增长率为-5%。
（4）2017 年收入10 万元，同比下降10%，降幅比去年收窄5 个百分点，则2016 年
的降幅为多少？增长率为多少？
※ 答：降幅为10%+5%=15%，增长率为-15%。
记忆口诀：“增速”→高减低加。“降幅”→-（高减低加）
▲增长率比较
（一）识别：
增速最快/ 最慢、增长幅度最大/ 最小。
（二）题型：
已知现期、基期，比较增长率→r=（现期- 基期）/ 基期= 现期/ 基期-1。比较的时候，
如果是A/B-1 和C/D-1，都有“-1”，可以直接比较A/B 和C/D 的大小。
（三）方法：
看现期和基期的倍数关系是否明显。
（1）当现期/ 基期=1+（不明显），用（现期- 基期）/ 基期比较。
（2）当现期/ 基期=2+（明显），用现期/ 基期比较。
◆例：下图（2012-2015）哪一年的同比增速最快？
※ 答：图中看倍数关系明不明显，2011 年跟2012 年倍数关系明显，直接用
426/133=3+，866/426=2+，1600/866=1+，1800/1600=1+，明显2012 年增速最大。
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随堂练习
【例1】（2019 联考）
2011 年至2017 年我国马拉松赛事场次趋势（单位：场）
2017 年我国马拉松赛事场次比2011 年增加了：( )
A. 约47 倍 B. 约49 倍 C. 约51 倍 D. 约53 倍
※【答案】B。解析：增加+ 倍数（比例），为增长率计算问题。2017 年是现期，2011
年是基期。r=（现期- 基期）/ 基期=（1102-22）/22=1080/22，首位商4，次位商9，对应
B 项。
★★【拓展】
1. 本题问的是增加了多少倍，相当于“多几倍”，不是“是几倍”，是几倍=r+1，多
6
几倍=r。
2.（现期- 基期）/ 基期= 现期/ 基期-1，建议用（现期- 基期）/ 基期更好计算。因
为先减之后，只需要除到第一位就能得出答案，但用现期/ 基期-1 需要除到第二位。
【例2】（2018 山东）
7 月28 日～8 月5 日间，A 影片票房环比增速最快的单日，当日A 影片占全国总票房
的比例在该影片上映10 天内排名：( )
A. 第 7 B. 第 6 C. 第 5 D. 第 4
※【答案】A。解析：先找到当日的比例再进行排名，注意问的是环比增速最快的，环
比按最小的统计周期（天）相比，即和上一天比，增速比较问题，看“现期/ 基期”倍数关系
明显不明显。r7 月28 日=2.15/1.03=2+，倍数关系明显，直接用“现期/ 基期”做比较。除了
7 月28 日，其余日期的环比增长率都没有2 倍以上的关系，即7 月28 日的环比增长率最大，
占全国总票房的比例是73.5%，看其余日期的比例，一共有3 天（58.3%、54.7%、66.3%）
的比例比73.5% 低，一共有10 天，即7 月28 日排名第7。故选A。
★【提示】
1. 只要有一个2 倍以上的倍数关系，就可以用“现期/ 基期”来比较。
2. 本题中比73.5% 大的数据有很多，所以我们就找比73.5% 小的数据，更容易排名。
【例3】（2019 广东）
2016-2018 年全国电力工业统计数据（部分）
指标名称
2018 年
2017 年
2016 年
可再生能源发电量（亿千瓦时）
18700
17000
15500
其中：水电发电量（亿千瓦时）
12000
11945
11745
风电发电量（亿千瓦时）
3660
3057
2420
光伏发电发电量（亿千瓦时）
1775
1182
662
7
生物质发电发电量（亿千瓦时）
906
794
647
全口径发电设备容量（万千瓦）
189967
177703
165151
2017 年，下列可再生能源发电量同比增幅最大的是： （ ）
A. 水电 B. 风电 C. 光伏发电 D. 生物质发电
※【答案】C。解析：增幅最大，即增长率最大，判定题型为增长率比较问题。2017 年
同比是和2016 年做比较，对应材料找数据，不需要看2018 年的数据，表格中的数据都是1
倍多的关系，用“（现期- 基期）/ 基期”做比较。
A 项：（11945-11745）/11745=200/11745；
B 项：（3057-2420）/2420=637/2420；
C 项：（1182-662）/662=520/662；
D 项：（794-647）/647=147/647。可以看出C 项明显最大。故选C。
★★【拓展】
1. 做资料分析进行速算时，可以用眼睛直接看出答案的时候，不要怀疑自己，直接选答案。
2. 一眼看不出来的可以大致估算。找一个中间数1/2，520/662 ＞1/2，其余三个数都
小于1/2，即C 项最大。
【例4】（2019 河南）
2018 年第四季度就业形势较好和较差的职业排名
排名
就业景气较好的
十个职业
CIER 指数
就业景气较差的
十个职业
CIER 指数
2018 年第
四季度
比上一季度
变化
2018 年第
四季度
比上一季
度变化
1
技工/ 操作工
25.67
0.82
高级管理
1.07
-0.32
2
教育/ 培训
16.24
8.51
公关/ 媒介
1.36
0.17
3
销售业务
14.26
2.14
项目管理/ 项目协
调
1.41
0.02
4
社区/ 居民/ 家政/
服务
12.99
4.78
销售行政/ 商务
1.42
0.15
5
烹饪/ 料理/ 食品开
发
9.64
3.5
物业管理
1.45
0.21
6
交通运输服务
8.4
2.81
生产管理/ 运营
1.45
0.1
7
软件/ 互联网开发/
系统集成
7.99
1.68
信托/ 担保/ 拍卖
/ 典当
1.46
0.28
8
商超/ 酒店/ 娱乐管
理/ 服务
7.87
1.14
IT 管理/ 项目协调
1.55
-0.1
8
9
生物/ 制造/ 医疗器
械
7.71
0.81
汽车制造
1.8
-0.49
10
翻译（口译和笔译）
7.67
1.58
环境科学/ 环保
1.81
0.41
与第三季度相比，第四季度CIER 指数上升最快的职业是：( )
A. 社区/ 居民/ 家政服务
B. 教育/ 培训
C. 技工/ 操作工
D. 高级管理
※【答案】B。解析：例1. 把“指数”看做具体的量。变化即变化量，正的即增长量，负的
即减少量。已知现期、增长量，求增长率，可以用“增长量/（现期- 增长量）”来计算，但是
太麻烦了，直接比较“增长量/ 现期”。对应材料找数据，A 项：4.78/12.99 ＜1/2，排除；B 项：
8.51/16.24 ＞1/2，保留；C 项：0.82/25.67 ＜1/2，排除；D 项：-0.32/10.7 ＜0，即r ＜0，
排除。明显B 项最大。故选B。
★【提示】
1. 结论：已知：现期、增长量，比较增长率，直接比较“增长量/ 现期”。
2. 推导：r= 增长量/（现期- 增长量），分子、分母同时除以增长量，原式转化为1÷（现
期/ 增长量-1），如果“增长量/ 现期”越大，则“现期/ 增长量”越小，分母越小，则分
数越大，即r 越大。
二、增长量
▲一般增长量
（一）识别
增长+ 单位（绝对量）
（二）公式
公式一（简单）：增长量= 现期- 基期。
公式二（重点）：增长量= 现期/（1+ 增长率）× 增长率。
▲年均增长量
（一）识别
年均+ 增长+ 单位（绝对量）
（二）公式
年均增长量=（现期- 基期）/N（年份差）
比如现期是2015 年，基期是2011 年，年份差=2015-2011=4。
（1）2011 ～2015 年间：基期：2011 年，现期：2015 年，年份差=2015-2011=4。
（2）2011 ～2015 这5 年间（考的少）：基期：2010 年，现期：2015 年，年份差为5（基
期往前推一年）。如2006 年～2008 这3 年间，基期需要往前推1 年，为2005 年。
9
（3）五年规划：十二五期间（2011 年～2015 年）：基期：2010 年，现期：2015 年，
年份差为5（基期往前推一年）。
▲百化分：
记的时候，不要从分数记百分数，我们真正用的时候是百分数化分数，记的时候争取把
百分数化分数。
（一）常见的分数化百分数例子
不用刻意背，通过做题巩固即可。
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
1
1
50%
33.3%
25%
20%
2
3
4
5
1
1
1
1
16.7%
14.3%
12.5%
11.1%
6
7
8
9
1
1
1
1
10%
9.1%
8.3%
7.7%
10
11
12
13
1
1
1
1
7.1%
6.7%
6.25%
5.9%
14
15
16
17
1
1
5.6%
5.3%
18
19
（二）3 步速记法
①“7 ～12”，加和（整数部分+ 分母）为20。12.5%=1/8、11.1% ≈1/9、9.1% ≈1/11、
8.3% ≈1/12、7.7% ≈1/13。
②（16、6）和（14、7）互换的两对。16.7%≈1/6、6.25%=1/16、14.3%≈1/7、7.1%≈1/14。
其中7.7%、7.1% 都是7 开头，如果快到8%，加和（整数部分+ 分母）为20，即7.7% ≈1/13。
如果是7 开头一点，和14 进行转化，即7.1% ≈1/14。
③（17、18、19），5.963。5.9% ≈1/17、5.6% ≈1/18、5.3% ≈1/19。
（三）百化分方法
（1）增长率百化分之放缩法：利用与背过的百分数的倍数关系，实现百化分。
①1.43%：14.3% ≈1/7，则1.43% ≈1/70。
②67%：6.7% ≈1/15，67% ≈1/1.5。
③1.9%：1.9% ≈2%=1/50。
（2）增长率百化分之取中法：如果遇到百分数左右难取舍，且选项差距接近，取中即可。
①18.5%：介于16.7% ≈1/6 和20%=1/5 之间，则18.5% ≈1/5.5，n=5.5。
②15.4%：介于14.3% ≈1/7 和16.7% ≈1/6 之间，则15.4% 看成1/6.5，n=6.5。
（3）增长率百化分之公式法：如果遇到百分数实在想不起来，或者你就不想背那么请记住：
N=100/ 百分号前的数字（保留小数点后一位）。
①44%：44/100=1/N，N=100/44 ≈2.2，则44% 看成1/2.2。
10
②37%：N=100/37 ≈2.7，则37% 看成1/2.7。
▲增长量的比较
（一）识别
增长最多/ 最少、下降最多/ 最少。
（二）题型分类
已知：现期、基期，比较增长量。增长量= 现期- 基期，柱形图中可以直接看高度差。
已知：现期、增长率，比较增长量。口诀：大大则大，一大一小百化分。
①例：2018 年，张三私房钱为200 块，同比增长20%；李四私房钱为100 块，同比
增长10%。张三现期大、r 大，增长量大。
②例：2018 年，张三私房钱为200 块，同比下降20%；李四私房钱为100 块，同比
下降10%。张三现期大，下降幅度大，则张三的下降量大。如果张三存款有10 万，下降1%，
李四有100 亿，下降50%，李四下降量一定大。
③例：2018 年，张三私房钱为200 块，同比增长20%；李四私房钱为100 块，
同比增长25%。张三现期大、r 小，一大一小的情况，需要百化分比较。20%=1/5，即
200/6=30+，25%=1/4，100/5=20，张三增长量大。
④有上升有下降，比较变化的时候，用百化分来做，如100 增长10%，100 下降
10%，问谁的变化量大，百化分，10%=1/10，增长量=100/11，减少量=100/9。
11
随笔练习
【例1】（2019 广东）2018 年，全省新登记企业最集中的三个行业分别是批发和零售业、
租赁和商务服务业、制造业，新登记企业数分别为36.14 万户、15.19 万户、9.25 万户，分
别同比增长0.23%、增长22.98%、下降6.8%。
2018 年，租赁和商务服务业新登记企业数较上年增加约多少万户？( )
A.2.8 B.3.8 C.4.8 D.5.8
※【答案】A。解析：增加+ 具体单位，增长量的问题。主体“租赁和商务服务业”，
定位材料找数据，已知现期、r，求增长量，（1）百化分，r=22.98%，介于20%=1/5 和
25%=1/4% 之间，则22.98% ≈1/4.5，n=4.5；（2）增长量= 现期/（n+1）=15.19/5.5，首
位商2，对应A 项。
【例2】（2019 联考）2018 年1 季度，铜产量221 万吨，增长8.7%，提高1.4 个百分
点；锌产量142 万吨，增长1.7%，回落1.3 个百分点。
2018 年1 季度全国铜产量同比增量是同期锌产量同比增量的：( )
A. 不到2 倍 B.2 ～4 倍之间
C.4 ～6 倍之间 D.6 倍以上
※【答案】D。解析：看到“倍”，倍数问题，问的是增长量之间的倍数，需要先求出增长
量。铜：r=8.7% ≈1/12，n=12，则增长量= 现期/（n+1）=221/13；锌：r=1.7% ≈1/60，
n=60，增长量= 现期/（n+1）=142/61。列式：221/13÷（142/61），选项差距大，截两位
计算，即22/13×（61/14），先约分，即11/13×（61/7）≈11/13×9=99/13=7+，对应D 项。
故选D。
★【提示】
1. 也可以大致估算，221/13÷（142/61）≈17/2+=6+，对应D 项。
2.1.7%：100/1.7=1000/17 ≈60。或者16.7%=1/6，则1.7% ≈1/60。
三、比重
▲现期比重
（一）题型分类
（1）“比重= 部分/ 总体”的三量变化。考查部分占总体的百分之几。
1. 求比重：
①A 占B 的比重→A/B，谁占谁就是谁除以谁，占前是部分、占后是总体。
②A 中B 的占比→B/A，表述为“A 中”，说明A 是总体，B 是部分，因此用B/A。
2. 求部分（用乘法）：部分= 总体× 比重。
3. 求总体（用除法）：总体= 部分/ 比重。
◆例：①2019 年，张三总收入50 万，其中炒股所得30 万。问：2019 年张三炒股所
得占总收入的比重为多少？
12
※ 答：出现“占……比重”，求的是比重，占前/ 占后，炒股是部分，总收入是总体，比重
=30/50=60%。
②2019 年，张三总收入50 万，其中投资所得占10%。问：2019 年张三投资所得为多少？
※ 答：给总体和比重，求部分量，用乘法，部分量= 总体× 比重=50×10%=5。
③2019 年，张三工资所得10 万元，占总收入的比重为20%。问：2019 年张三总收
入为多少？
※ 答：已知部分和比重，求总体，用除法。10/20%=50。
（二）利润率
在资料分析中，利润率= 利润/ 收入。在数量关系中，利润率= 利润/ 成本。分开记忆
即可，可以理解为数量关系中，研究的是小卖部、小超市等，对于成本的计算，资料分析统
计的是地区、全国，是非常宏观的数据，因此按照收入计算。
（三）增长贡献率
也是比重的一种，是部分增长量占总体增长量的比重。
公式：增长贡献率= 部分的增长量/ 总体的增长量。
◆例：2019 年、2018 年张三总收入分别为50 万、30 万，其中工资收入分别为10 万、
6 万，问：2019 年张三工资收入对总收入的增长贡献率为多少？
※ 答：问增长贡献率，需要找部分的增长量和总体的增长量，增长贡献率= 部分的增长
量/ 总体的增长量=4 万/20 万=1/5=20%。
随笔练习
【例1】（2018 国考）2017 年1—2 月，全国完工出口船907 万载重吨，同比增长
127%；承接出口船订单191 万载重吨，同比增长122%。2 月末，手持出口船订单8406 万
载重吨，同比下降25.9%。
2017 年1—2 月，重点企业完工出口船886 万载重吨，同比增长138%；承接出口船
订单171 万载重吨，同比增长109%。2 月末，手持出口船订单8129 万载重吨，同比下降
26.6%。
2017 年1—2 月，非重点企业出口船完工量约占全国出口船完工量的( )
A.2% B.5% C.95% D.98%
※【答案】A。解析：看到“占”，想到是“比重问题”，给2017 年问2017 年，求现在的比
重。比重= 占前/ 占后= 非重点企业出口船完工量/ 全国出口船完工量，题目中没有“非重点”，
非重点= 全部- 重点=907-886，因此占比=（907-886）/907=21/907，首位商2，对应A 项。
【例2】（2017 联考）2016 年（全年366 天），全国年轻人人均月收入为6726 元。同时，
存款额度也在增加，2016 年年轻人的人均月存款为2340 元。在旅游方面，人均年度交通支
出达4985 元。
2016 年，全国年轻人的人均旅游交通支出占个人全年支出的比重为( )
A.113.65% B.17.75% C.9.47% D.6.18%
13
※【答案】C。解析：出现“占”，是比重问题，时间2016 年是现期，判定为现期比重问题。
比重= 旅游交通支出/ 全年支出。已知“人均年度交通支出达4985 元”，全年支出没有给，题
目中给了收入、存款，赚的钱- 存的钱= 支出，比如一年赚100 万，存了10 万，相当于今年
花了90万，资料分析中的关系是比较简单的。比重=4985/（收入-存款）=4985/（6726-2340），
问的是全年，此时分母求的是月均，还需要乘以12 个月，因此比重=4985/[（6726-2340）
*12]。选项差距大，保留两位计算，看作50/（44*12）=25/（22*12）=25/264，首位不能商1，
排除A、B 项，还剩C、D 项，直接看首位商6 还是9，可以直接看出来是9，对应C 项。故
选C。
★【提示】
1. 选项差距大，截两位计算，通过约分大致计算结果。有的同学计算4985/[（6726-
2340）*12]，观察选项差距大，截两位，且可以进行微调，变为50/（44*12）=25/（22*12）
≈2/22=1/11 ≈9%，对应C 项。进行估算的时候，选项差距大，可以浪一些。
2. 本题是乘除混合运算，属于多步除法，分子分母都截。
【例3】（2018 国考）
2015-2016 年中国生活服务电商市场交易规模统计表
单位：亿元
2015 年
2016 年
在线餐饮外卖市场
530.6
1761.5
移动出行市场
999.0
2038.0
在线旅游市场
4487.2
6138.0
以下哪项最能准确描述2016 年生活服务电商市场中，三个不同细分市场交易规模同比
增量的比例关系？( )
※【答案】C。解析：问增量的比例关系，不能直接看表格中的三个数，要先求增量，
在线餐饮外卖市场=1761.5-530.6=1200+；移动出行市场=2038-1000=1000+；在线旅游市
场=6138-4487.2=1600+。再将增量放在饼形图中，不需要分别算出比重，饼形图考查观察
和分析的能力。12 点开始顺时针，第一个是线餐饮外卖市场，第二个是移动出行市场，第三
个是在线旅游市场，第三个最大，排除D 项，中间最小，排除B 项，还剩A、C 项需要看之
间的比例关系，最大1600+ 和最小1000+ 之间没有2 倍的关系，A 项接近3 倍关系，可以
排除A 项。故选C。
14
★【提示】饼形图：
1. 十二点钟方向，顺时针依次排布。比如第一个数据在第一个，第二个数据在第二个……，
是基本的、默认的构图顺序。
2. 先看大小、再看比例。
（1）先看大小：找最大和最小，先排除。
（2）如果不能得到唯一答案，再看两两之间的比例关系。
【例4】（2019 山东）2017 年末，全国医疗卫生机构床位794.0 万张，其中：医院
612.0 万张（占77.1%），基层医疗卫生机构152.9 万张（占19.3%）。医院中，公立医院
床位占75.7%，民营医院占床位24.3%。与上年比较，床位增加53.0 万张，其中：医院床
位增加43.1 万张，基层医疗卫生机构床位增加8.7 万张。每千人口医疗卫生机构床位数由
2016 年5.37 张增加到2017 年5.72 张。
2017 年末公立医院床位数占全国医疗卫生机构床位数的比重为（）
A.75.7% B.77.1% C.58.4% D.56.2%
※【答案】C。解析：出现“占”，考查比重，时间2017 年是现期，考查现期比重。
比重= 公立医院床位数/ 全国医疗卫生机构床位数。已知“ 公立医院床
位占75.7%”“ 医院612.0 万张”，因此公立医院床位数=612*75.7%，比重
=612*75.7%/794。数据比较大，计算比较麻烦，不要急着算，题目中已知“医院612.0 万
张（占77.1%）”，说明612/794=77.1%，因此所求=77.1%*75.7%，可以排除A、B 项，
C、D 项选项差距小，需要精确计算，757*77，结果是58 开头，对应C 项。故选C。
★【注意】题目中有多个层次的比重，比如已知班级男生占全班人数的50%，全班占
全校人数的10%，问男生占全校的多少？可以直接用两个比重相乘，50%*10%=5%。本
题同理，“医院612.0 万张（占77.1%）”“公立医院床位占75.7%”，因此可以直接用
75.7%*77.1%，得到C 项。
▲基期比重
（一）识别
过去+ 占。
（二）公式
基期比重=A/B*（1+b）/（1+a），注意A 和a、B 和b 之间是交叉对应的。
A：部分的现期量；B：总体的现期量。
a：部分的增长率；b：总体的增长率。
◆例：2017 年张三总收入10 万元，同比增长10%，2017 年张三稿酬所得1 万，同比
增长5%。求：2016 年张三稿酬占总收入的比重。
※ 答：看到“占”，考查比重，时间2016 年是基期，求基期比重。代入公式基期比重
=A/B*（1+b）/（1+a）=1/10*（1+10%）/（1+5%）。
（三）公式推导
15
比重= 部分/ 总体，上年的比重= 基期部分/ 基期总体=A/（1+a）÷[B/（1+b）]=A/
（1+a）×[（1+b）/B]=A/B×（1+b）/（1+a）。推导过程了解即可，没必要掌握。
（四）速算
①先截位直除A/B，选项差距大，截两位计算，选项差距小，截三位计算。计算之前需
要看题目中是否已知A/B 的占比，有则直接用，没有再计算。
②再看（1+b）/（1+a）与1 的关系（＞，＜，=），结合选项选答案。
注：①当做一步除法，只截分母；
②看看材料有没有已经给出现期比重的值。
练：50/100*（1+20%）/（1+5%）=（）
A.45% B.47% C.50% D.57%
※ 答：先算50/100=50%，后面（1+20%）/（1+5%），分子大，分母小，则（1+20%）
/（1+5%）＞1，可知结果＞50%，对应D 项。
练：20/100*（1+15%）/（1+30%）=（）
A.18% B.21% C.24% D.27%
※ 答：20%×（小于1 的数）＜20%，对应A 项。
随堂练习
【例5】（2019 山东）
2018 年社会消费品零售总额主要数据
12 月
1-12 月
绝对量（亿
元）
同比增
长（%）
绝对量（亿
元）
同比增长
（%）
社会消费品零售总额
35893
8.2
380987
9.0
其中：限额以上单位消费品零售额
15084
2.4
145311
5.7
其中：实物商品网上零售额
70198
25.4
按经营地分
城镇
30329
8.0
325637
8.8
乡村
5565
9.3
55350
6.4
按消费类型分
餐饮收入
4422
9.0
42716
9.5
其中：限额以上单位餐饮收入
909
5.5
9236
6.4
商品零售
31472
8.0
338271
8.9
其中：限额以上单位商品零售
14175
2.2
136075
5.7
粮油、食品类
1403
11.3
13776
10.2
16
饮料类
187
9.2
2040
9.0
烟酒类
394
8.4
3873
7.4
服装鞋帽、针纺织品
1541
7.4
13707
8.0
化妆品类
247
1.9
2619
9.6
金银珠宝类
276
2.3
2758
7.4
日用品类
545
16.8
5392
13.7
家用电器和音像器材类
936
13.9
8863
8.9
中西药品类
574
10.6
5593
9.4
文化办公用品类
386
-4.0
3264
3.0
家具类
251
12.7
2250
10.1
通讯器材类
406
-0.9
4371
7.1
石油及制品类
1736
5.8
19541
13.3
汽车类
4268
-8.5
38948
-2.4
建筑及装潢材料类
280
8.6
2498
8.1
注：1. 此表格均为未扣除价格因素的名义增速。
2. 此表中部分数据因四舍五入的原因，存在总计与分项合计不等的情况。
2017 年12 月，乡村消费品零售额占社会消费品零售总额的比重约是（）
A.13.4% B.15.3% C.15.5% D.17.8%
※【答案】B。解析：看到“占”，想到比重问题。给2018 年，问2017 年，基期比重问题。
定位表格找数据，基期比重=A/B*（1+b）/（1+a）=5565/35893*（1+8.2%）/（1+9.3%），
先计算5565/35893，选项差距小，分母截三位计算，截后为5565/359，首位商1、次位商5，
结果约为15.5%，再看（1+8.2%）/（1+9.3%），分子大、分母小，故（1+8.2%）/（1+9.3%）＜1，
故15.5%* 一个小于1 的数＜15.5%，排除C、D 项。由于（1+8.2%）/（1+9.3%）略小于1，
故基期比重略小于15.5%，对应B 项。故选B
★【注意】
1. 出题老师在考查基期比重时，可能会给出现期比重的混淆选项。
2. 资料分析考查的是分析能力，并不是计算能力。如果算出是小于，选项只会给出略小
于的选项和一般小于的选项，不用过分纠结。
【例6】（2018 辽宁）2018 年1 ～7 月份，社会消费品零售总额210752 亿元，同比
增长9.3%。其中，限额以上单位消费品零售额81125 亿元，同比增长7.3%。
2017 年1 ～7 月，限额以上单位消费品零售额占社会消费品零售总额比重约为（）
A.33.4% B.37.6% C.38.5% D.39.2%
※【答案】D。解析：看到“占”，想到比重问题。问2017 年，给2018 年，基期时间，
为基期比重问题。定位材料找数据，A=81125、a=7.3%、B=210752、b=9.3%，代入公
17
式：基期比重=A/B*（1+b）/（1+a）=81125/210752×（1+9.3%）/（1+7.3%），先计算
81125/210752，首位商3，次位商8，算出是38 开头可能是C 项，因为出题人有可能会设置
一个现期陷阱，故81125/210752 ≈38.5%。（1+9.3%）/（1+7.3%）＞1，故原式=38.5%*
一个大于1 的数＞38.5%，对应D 项。故选D。
▲两期比重比较
（一）识别
……占……比重，比上年上升/ 下降。比如：问2017 年比上年的比重是上升还是下降。
（二）方法
两期比重比较，看a（部分增速）和b（总体增速）大小。
①a ＞b，今年比重上升。
②a ＜b，今年比重下降。
③a=b，今年比重不变。
◆例：2017 年张三总收入10 万元，同比增长10%，2017 年张三稿酬所得1 万，同比
增长5%。判断：2017 年张三稿酬占总收入的比重比上年上升还是下降？
※ 答：比重= 修家电（a）/ 总收入（b），a=5%，b=10%，a ＜b，故比重下降。
如果题目改为“2017 年张三总收入10 万元，同比下降10%，2017 年张三稿酬所得1 万，
同比增长5%”，此时a=5%，b=-10%，a ＞b，比重上升。
（三）公式推导
1.A：部分的现期量；B：总体的现期量；a：部分的增长率：b：总体的增长率。
2. 现期比重=A/B；基期比重=A/B*（1+b）/（1+a）。若a ＞b，（1+b）/（1+a）
小于1，即基期比重＜现期比重，现期比重大→比重上升；若a ＜b，（1+b）/（1+a）大于1，
即基期比重＞现期比重，现期比重小→比重下降。公式推导过程了解即可。
随笔练习
【例7】（2018 四川）2018 年1 ～3 月，国内手机市场出货量8737.0 万部，同比下降
26.1%；4G 手机出货量8195.6 万部，同比下降27.1%；国产品牌手机出货量7586.4 万部，
同比下降27.8%；智能手机出货量8187.0 万部，同比下降27.0%。
在①国内4G 手机出货量、②国产品牌手机出货量、③智能手机出货量中，2018 年1 ～3
月出货量占全国手机出货量比重高于上年水平的有几类？（）
A.0 B.1 C.2 D.3
※【答案】A。解析：看到“占”，想到比重问题；看到“高于上年”，判断为两期比重比较
问题。要求高于上年，即a ＞b。定位材料找数据，部分量的增长率分别为：国内4G 手机
出货量增长率a1=-27.1%、国产品牌手机出货量增长率a2=-27.8%、智能手机出货量增长率
a3=-27%，均小于国内手机市场出货量增长率b=-26.1%，故三类均低于上年水平，对应A 项。
故选A。
18
▲两期比重计算
本质是比重差的计算。
（一）识别
……占……比重，比上年上升/ 下降+ 百分点。百分点是由两个百分数相加减得到。
（二）公式
比重差= 现期比重- 基期比重=A/B-A/B*（1+b）/（1+a）=A/B*（a-b）/（1+a）
◆例：2018 年一季度，张三炒股所得占总收入的比重比上年同期：
A. 上升了0.1 个百分点 B. 上升了3.1 个百分点
C. 下降了0.1 个百分点 D. 下降了3.1 个百分点
※ 答：看到“占”，想到比重问题；看到“上升/ 下降+ 百分点”，想到两期比重差值计算问题。
（三）速算
①判方向：a ＞b，上升；a ＜b，下降。
②定大小：小于|a-b|。
（四）公式推导
现期比重-基期比重=A/B-A/B×（1+b）/（1+a）=A/B×[1-（1+b）/（1+a）]=A/B×（a-b）
/（1+a）=A/B×[1/（1+a）]×（a-b），其中A/B 为比重，一般都是小于1 的数。若a ＞0，
则1/（1+a）小于1，因此A/B×1/（1+a）×（a-b）＜|a-b|；若a ＜0，一般在资料分析
中会出现一些经济指标小于0 的情况，但是不会小特别多，一般不超过10%，则1/（1+a）
≈1，因此A/B×1/（1+a）×（a-b）＜|a-b|。
随笔练习
【例8】（2017 重庆）2015 年，纺织行业规模以上企业累计实现主营业务收入70713 亿元，
同比增长5.0%；实现利润总额3860 亿元，同比增长5.4%；企业亏损面（亏损企业占所有
企业比重）11.4%，比上年低0.1 个百分点。
2015 年，纺织行业规模以上企业主营业务利润率（利润总额/ 主营业务收入）比上年约（）
A. 上升0.02 个百分点 B. 上升0.4 个百分点
C. 下降0.02 个百分点 D. 下降0.4 个百分点
※【答案】A。解析：判断题型，利润率是比重，比重上升/ 下降+ 百分点，两期比重
计算问题。两步走：（1）根据增长率来判断是增长还是下降，利润率= 利润（a）/ 收入（b），
a=5.4%，b=5.0%，a ＞b，比重上升，排除C、D 项。（2）小于|a-b|，即小于|5.4%-
5%| →小于0.4 个百分点，对应A 项。故选A。
【例9】（2017 广东）2016 年，广东民营经济增加值突破四万亿元。经初步核算，全
年实现民营经济增加值42578.76 亿元，按可比价计算，比上年同期增长7.8%，增幅高于同
期GDP 增幅0.3 个百分点，其中第二产业增幅比同期GDP 第二产业增幅高3 个百分点。民
营经济占GDP 的比重为53.6%，比2010 年提高3.9 个百分点，占比逐年提高；对GDP 增
长的贡献率为55.5%，同比提高1.3 个百分点，拉动GDP 增速达4.2 个百分点，民营经济
19
的作用不断提升，是广东经济增长的主力军。
2016 年广东民营经济各产业增加值
类型
增加值（亿元）
增速（%）
第一产业
3631.01
3.0
第二产业
17306.17
9.2
第三产业
21641.58
7.6
2016 年广东民营经济中第三产业所占的比重相比2015 年大约（）
A. 提高了0.1 个百分点 B. 降低了0.1 个百分点
C. 提高了0.2 个百分点 D. 降低了0.2 个百分点
※【答案】B。解析：看到“占”，比重问题；看到“比上年上升/ 下降+ 百分点”，两期比
重计算问题。定位表格，第三产业增速a=7.6%。定位材料，民营经济增速b=7.8%。（1）
判升降，a ＜b，故比重下降，排除A、C 项。（2）小于|a-b|，小于|7.6%-7.8%| →小于0.2
个百分点，对应B 项。故选B。
★【提示】在近几年的考题中，判断上升/ 下降后，直接选最小值，正确率可以达
到95% 以上。在2017 年广东考题中，有一题例外，因为这道题考查的年份中有间隔（问
2018 年比2016 年），而一般相邻两年之间（问2016 年比2015 年）的题目先判断后选小
即可。
【例10】（2016 联考）2015 年3 月末，国有企业资产总额1054875.4 亿元，同比增
长12%；负债总额685766.3 亿元，同比增长11.9%；所有者权益合计369109.1 亿元，
同比增长12.2%。其中，中央企业资产总额554658.3 亿元，同比增长10.5%；负债总额
363304 亿元，同比增长10.4%；所有者权益为191354.4 亿元，同比增长10.7%。地方
国有企业资产总额500217.1 亿元，同比增长13.8%；负债总额322462.3 亿元，同比增长
13.7%；所有者权益为177754.7 亿元，同比增长13.9%。
2015 年3 月末，中央企业所有者权益占国有企业总体比重比上年同期约（）
A. 下降了0.7 个百分点 B. 下降了1.5 个百分点
C. 上升了0.7 个百分点 D. 上升了1.5 个百分点
※【答案】A。解析：出现“占”，比重问题；出现“比上年上升/ 下降+ 百分点”，判定为
两期比重计算问题。定位材料找数据，a=10.7%（中央企业所有者权益），b=12.2%（国有企业）。
a ＜b，比重下降，排除C、D 项。再选最小的选项即可，对应A 项。故选A。
★【提示】选项的表述问题：
1. 第一组：比重比上年约：
A. 上升0.02 个百分点 B. 上升0.4 个百分点
C. 下降0.02 个百分点 D. 下降0.4 个百分点
※ 答：比重计算考的就是比重差，两个百分数之间做减法得到的一定是百分点，
20
这是最正统的选项表述。
2. 第二组：比重比上年约：
A. 上升0.02 个百分点 B. 上升0.4 个百分点
C. 上升0.02% D. 上升0.4%
※ 答：注意不能选择C、D 项，因为百分数相减得到的是百分点。
3. 第三组：比重比上年约：
A. 上升0.02% B. 上升0.4% C. 下降0.02% D. 下降0.4%
※ 答：选项都是百分数，说明没有将百分数和百分点的概念进行区分。同样先判升降，
后选最小。
▲比重总结
看到“占”，就先写出A/B，再看时间。
（1）如果是现期比重，则考查三量关系，部分量= 比重* 总体量，总体量= 部分量/ 比重。
（2）如果是基期比重，对应公式A/B*（1+b）/（1+a），先算A/B，再判断（1+b）/
（1+a）与1 的大小关系。
（3）如果是两期比重，判断上升/ 下降，即找到A 对应的增长率a，B 对应的增长率b，
若a ＞b，则比重上升；若a ＜b，则比重下降；
（4）如果是两期比重，判断上升/ 下降+ 百分点，即先判升降，再选择最小的选项即可。
21
四、平均数
▲平均数考情分析
（一）识别
平均、每、单位……。
（二）题型分类
①现期平均（必考）
②基期平均（考的少）
③两期平均（考的少）
▲现期平均数
（一）识别
现在+ 平均/ 每/ 单位。
（二）公式
列式方法：后/ 前。
①平均数= 总和/ 个数。
②人均收入= 收入/ 人数。
③亩产量= 产量/ 亩数。
④单位面积产量= 产量/ 面积。
随笔练习
【例1】（2019 吉林）2018 年全国房地产开发投资12.03 万亿元，比上年增长9.5%。
全国商品房销售面积17.17 亿平方米，增长1.3%，其中住宅销售面积增长2.2%。全国商品
房销售额约15 万亿元，增长12.2%，其中住宅销售额增长14.7%。
2018 年我国商品房销售均价约为（）
A.8700 元/ 平方米 B.9700 元/ 平方米
C.6700 元/ 平方米 D.5700 元/ 平方米
※【答案】A。解析：看到“均价”，想到平均数问题。均价= 总钱数/ 总面积，定位材
料找数据，“2018 年全国商品房销售面积为17.17 亿平方米，销售额约15 万亿元”，则均价
=15/17.17，首位商8，对应A 项。故选A。
【例2】（2019 吉林）2017 年我国渔业产值中，海洋捕捞产值1987.65 亿元，海水养
殖产值3307.40 亿元，淡水捕捞产值461.75 亿元，淡水养殖产值5876.25 亿元，水产苗种
产值680.80 亿元。
2017 年，全国水产品总产量6445.33 万吨，比上年增长1.03%。其中，养殖产量
4905.99 万吨，同比增长2.35%；捕捞产量1539.34 万吨，同比降低2.96%；养殖产品与捕
捞产品的产量比例为76.1：23.9，海水产品产量3321.74 万吨，同比增长0.62%；淡水产
品产量3123.59 万吨，同比增长1.47%；海水产品与淡水产品的产量比例为51.5：48.5。
22
2017 年捕捞水产的单位产值约为：
A.1.59 万元/ 吨 B.1.88 万元/ 吨
C.1.29 万元/ 吨 D.0.30 万元/ 吨
※【答案】A。解析：出现“单位产值”，给2017 年，问2017 年，现期平均数问题。单位
产值= 钱数/ 吨数=（1988+462）/1539=2450/1539，选项差距大，分母保留两位计算，原
式转化为2450/15，首位商1、次位商6，A 项最接近。故选A。
【例 3】（2019 上海）
2016 年我国城市天然气用气人口中，平均每人每月使用天然气约多少立方米？（ ）
A.32 B.65 C.167 D.380
※【答案】A。解析：出现“平均”，确定为平均数问题；方法：“后”/“前”；本题所求平均
数= 天然气/ 人数。注意“每人每月”，列式：所求平均数≈1171/30855÷12；观察选项，出现
10 倍差距，要注意位数和单位；原式≈1171 万万/3.0855 万万÷12，选项差距大，可以截2
位计算，原式≈1200/（3.1*12）=100/3.1=30+，对应A 项。故选A。
★【提示】本题可以通过以“坑”治“坑”，可能有的考生会忘记除以12，从而跳坑；
发现A、D 项刚好大概有12 倍的关系，可以猜测A 项为正确选项。这是一种行测的思维，
不是所有题目都适用。
23
【例4】（2018 联考）
2012 ～2016 年期间，我国固定互联网宽带接入用户的平均数是：（）
A.18425 万户 B.22425 万户
C.25425 万户 D.27425 万户
※【答案】B。解析：方法一：平均数问题，若直接用公式计算的话，计算量会比较大，
此时考虑削峰填谷。为方便处理数据，可以将题目中的5 位数截取为3 位数：175、189、
200、259、297；再选取200 为基准，各数字与200 做差得：-25、-11、0、+59、+97；用
峰填谷得59+97-（25+11）=120，平均多了120/5=24，则所求平均数=200+24=224，与
B 项最为接近。
方法二：直接看。5 个数字，只有1 个小于18400、只有1 个大于27400，
可以优先排除A、D 项；若选C 项，可以发现峰是不够填谷的，可以排除C 项，对应B
项。故选B。
★【提示】削峰填谷：
1. 环境：用于平均数的计算或比较。
2. 方法：
（1）第一步，划线，找峰找谷（划线：找一个相对居中好算的数）。
（2）第二步，计算，用峰填谷。
▲基期平均数：
与基期比重异曲同工。
（一）识别
过去+ 平均/ 每/ 单位。
24
（二）公式
基期平均=A/B×[（1+b）/（1+a）]
a：分子的增长率；b：分母的增长率。
（三）速算
1. 先截位直除A/B。
2. 再看（1+b）/（1+a）与1 的关系（＞，＜，=），结合选项选答案。
随笔练习
【例5】（2019 北京）
某区2014 年限额以上第三产业单位按门类划分收入构成情况
单位数
（家）
2014 年收入
（亿元）
2014 年收入同
比增速（%）
2014 年上半年
收入同比增速
（%）
合计
674
1059.1
4.5
11.4
批发和零售业
291
893.4
8.8
16.1
交通运输、仓储和邮政业
38
13.5
-3.6
-3.3
住宿和餐饮业
50
4.9
-16.8
-18.4
信息传输、软件和信息技术服务业
7
4.7
-7.2
1.9
金融业
22
5.2
44.2
30.7
房地产业
35
31.6
-51.1
-41.4
租赁和商务服务业
63
21.1
-7.7
-10.2
科学研究和技术服务业
26
8.1
3.0
17.8
水利、环境和公共设施管理业
23
8.6
0.4
-9.0
居民服务、修理和其他服务业
7
1.9
3.6
-10.1
教育
69
23.3
16.5
2.3
卫生和社会工作
26
38.6
14.9
14.6
文化、体育和娱乐业
17
4.2
8.1
-2.8
如2013 年该区限额以上金融业单位数量与2014 年一样，则该区2013 年平均每家限
额以上金融业单位实现收入约多少亿元？
A.0.16 B.0.24 C.0.39 D.0.65
※【答案】A。解析：题目时间在材料之前，且出现“平均”，确定为基期平均数问题；公
25
式：基期平均数=A/B*[（1+b）/（1+a）]。根据“如2013 年该区限额以上金融业单位数量与
2014 年一样”，说明单位数量的增长率为零，代入数据得，所求平均数=5.2/22*[（1+0%）/
（1+44.2%）]=5.2/[22*（1+44.2%）]，计算前观察选项，选项首位有效数字不同，选项差距大，
可以截2 位计算，原式转化为5.2/（22*1.4），约分后转化为26/154，首位商1，对应A 项。
故选A。
▲两期平均数比较
与两期比重异曲同工。
（一）识别
平均数，比上年上升/ 下降。
（二）方法
两期比重比较，看a（分子增速）和b（分母增速）大小。
①a ＞b，今年平均上升。
②a ＜b，今年平均下降。
③a=b，今年平均不变。
▲两期平均数计算
（一）识别
平均数，比上年上升/ 下降+ 百分数。
（二）公式
平均数的增长率=（a-b）/（1+b）。a、b 分别代表分子、分母的增长率。
◆例：2018 年一季度，平均每人次修脚所得比上年：
A. 上升了1% B. 上升了3.1% C. 下降了1% D. 下降了3.1%
本题出现“平均”+ 百分数，确定为平均数增长率问题。
（三）公式推导
现期平均：A/B，基期平均=A/B*[（1+b）/（1+a）]，r= 现期/ 基期-1=A/B÷A/
B*[（1+b）/（1+a）]-1=（1+a）/（1+b）-1=（a-b）/（1+b）。
26
随笔练习
【例6】（2019 国考）2017 年，A 省完成客运总量148339 万人次，同比增长5.4%，
增幅比前三季度提高0.2 个百分点，比上年提高0.5 个百分点；完成旅客周转总量4143.84
亿人公里，增长7.7%，增幅比前三季度提高0.7 个百分点，比上年提高1.8 个百分点。
2017 年前三季度，A 省平均每人次客运旅客运输距离（旅客周转量÷ 客运总量）同比：（）
A. 下降了不到 2% B. 下降了 2% 以上
C. 上升了不到 2% D. 上升了 2% 以上
※【答案】C。解析：出现“平均”+ 选项出现上升/ 下降+ 百分数，确定为平均数增长率
问题；公式：r=（a-b）/（1+b）。平均数=“后”/“前”= 周转量/ 客运量，根据“增长7.7%，
增幅比前三季度提高0.7 个百分点”“同比增长5.4%，增幅比前三季度提高0.2 个百分点”，可
得周转量增长率为a=7.7%-0.7%=7%、客运量增长率为b=5.4%-0.2%=5.2%；代入数据得：
r=（a-b）/（1+b）=（7%-5.2%）/（1+5.2%）=1.8%/（1+5.2%），结果为正，排除A、B 项；
27
分母大于1，则结果应小于1.8%，对应C 项。故选C。
★【提示】切记：先判断后选最小只适用于两期比重的计算，不适用于平均数增长率的计算。
五、倍数与比值
▲倍数与比值
倍数用来表示二者的相对关系；比值用来表示二者之间的比例关系。
A 与B 的比值，即A：B ＝A/B。
（一）识别
时间+ 倍数。
（二）公式
1. 现期倍数=A/B。
◆例：2018 年，张三收入10 万，李四收入2 万，则张三的收入是李四的多少倍？
※ 答：10/2=5 倍。
2. 基期倍数=A/B*[（1+b）/（1+a）]；（先截位直除A/B，再看（1+b）/（1+a）
与1 的关系）。
（三）倍数的 3 种问法
①A 是B 的几倍：A/B。
②A 比B 增长（多）几倍：（A-B）/B=A/B-1。
③A 超过B 的N 倍→A ＞B×N。
随笔练习
【例1】（2017 辽宁）2016 年末金融机构境内住户人民币消费贷款余额250472 亿元，
增加60998 亿元。其中，短期消费贷款余额49313 亿元，增加8347 亿元；中长期消费贷
款余额201159 亿元，增加52651 亿元。
2015 年末金融机构境内住户人民币中长期消费贷款余额比短期消费贷款余额约多多少
倍？（）
A.3.8 B.3.6 C.2.6 D.2.2
※【答案】C。解析：出现“倍”，确定为倍数问题；问的“多几倍”，应除后减1；题目时
28
间在材料之前，基期倍数问题。代入数据得：基期倍数=（201159-52651）/（49313-8347），
虽然A、B 项差距较小，但若截3 位计算的话，计算量会非常大，此时考虑大胆截2 位计算，
原式≈150000/41000，转化为15/41，首位商3、次位商6，多的倍数= 基期倍数-1 ≈3.6-1=2.6，
对应C 项。故选C。
★【注意】本题可能会把“多几倍”看成“是几倍”，忘记减1，发现B、C 项刚好差1，
猜测C 项为正确选项。
【例2】（2018 国考）
2016 年“一带一路”沿线国家情况
人口（万人）
GDP（亿美元）进口额（亿美元）出口额（亿美元）
蒙古
301.4
116.5
38.7
45.0
东南亚11 国
63852.5
25802.2
11267.2
11798.6
南亚8 国
174499.0
29146.6
4724.1
3308.5
中亚5 国
6946.7
2254.7
422.7
590.7
西亚、北非19 国
43504.6
36467.5
9675.5
8850.7
东欧20 国
32161.9
26352.1
9775.5
11388.4
2016 年“一带一路”沿线国家中，东欧20 国的人均GDP 约是中亚5 国的多少倍？（）
A.2.5 B.3.6 C.5.3 D.11.7
※【答案】A。解析：出现“倍”，确定为倍数问题；问的是“是几倍”，直接除即可。但要
注意问的是平均数的倍数问题，需先算平均数，再计算倍数；列式：所求倍数=（26352/32161）
÷（2254/6946）；选项差距大，可以截2 位计算，原式转化为26/32*69/22，结果首位为2
开头，对应A 项。故选A。
★【注意】读题时要仔细，本题若没看到“人均”，会错选D 项。
29
数量关系三色笔记
一、解题思想
▲代入排除思想
（1）使用范围
1. 看题型：多位数、年龄、余数、不定方程。
2. 看选项：
3. 选项信息充分；选项为一组数。（问法：分别/ 各）
4. 剩两项：只代其中一个。
（2）使用方法
1. 先排除：奇偶、倍数、尾数。
2. 再代入：
（1）从简原则：方便计算的数，整十、整百的数。
（2）最值原则：问最大，从最大开始代入；问最小，从最小开始代入。对于生活中的问题，
注意用生活思维。
随笔练习
1. 一群学生分小组在户外活动，如3 人一组还多2 人，5 人一组还多3 人，7 人一组还
多4 人，则该群学生的最少人数是（ ）。
A.23
B.53
C.88
D.158
※【答案】B。解析：题干正面计算复杂，使用代入排除法。求的最少从最小的开始代入。
代入A 项：当学生人数为23 时，23-4=19，不是7 的倍数，不满足题意，排除。代入B 项：
当学生人数为53 时，53-2=51，可以被3 整除；53-3=50，可以被5 整除；53-4=49，可以
被7 整除，满足题干所有条件，当选。故本题选B。
2.两件快递的重量之比是3：2，去除包装之后的重量之比是9：5。若包装重量都是120克，
则两件快递的重量分别是（ ）。
A.390 克、260 克
B.480 克、320 克
C.540 克、360 克
D.630 克、420 克
※【答案】B。解析题干条件清晰，使用代入排除法。
代入A 项：390 120
27
260 120
14
−
=
−
；不符合题干，排除；
代入B 项：480 120
9
320 120
5
−
=
−
；符合题干，当选。故本题选B。
30
▲倍数特性思想
（1）整除型
如果A=B×C（B、C 均为整数），那么A 能被B 整除，且A 能被C 整除。
使用范围：平均分配物品、平均数。
三量关系（A=B×C）：行程问题、工程问题、经济利润问题。
（2）余数型
若总数=ax ＋b，则（总数-b）一定能被a 整除。（a，x 均为整数）
（3）比例型
若a
m
b
n
=
（m、n 互质），则a 是m 的倍数，b 是n 的倍数；
若
m
a
b
n
=
（m、n 互质），则a 是m 的倍数，b 是n 的倍数；
若
m
a
b
n
=
（m、n 互质），则
m
a
a
b
m
n
=
+
+ （
）。
比例型适用于：
题干特征：分数、百分数、比例、倍数。
对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。如人、车、年龄等。
31
随笔练习
1. 如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的6 个整数，且每个相对面上的两个数的
和都相等，则这6 个整数的和为（ ）。
A.53
B.52
C.51
D.50
※【答案】C。解析：相对面数字和相等，六面体共有三个相对面，所以加和一定是3的倍数，
每组相对面的和相等，设其为n，则总和为3n，即为3 的倍数；或者6 个连续的整数之和为
3 的倍数。只有C 符合。
2. 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7 男5 女搭配分组，则只剩下
8 名男员工；如果按9 男5 女搭配分组，则只剩下40 名女员工。该公司员工总数为（ ）名。
A.446
B.488
C.508
D.576
※【答案】B。解析：假设两次分组的组数分别为X 和Y，总人数为T 则：T=12X+8，
T=14X+40，虽然三个未知数两个方程没法解，不过根据倍数特性，我们只要求的总人数，T-8
后是12 的倍数，T-40 后是14 的倍数，只有B 选项满足条件。
32
▲余数特性思想
同余问题核心口诀“最小公倍数作周期，余同加余，和同加同，差同减差”
余同加余：“一个数除以4 余1，除以5 余1，除以6 余1”，这个数是60n+1；
和同加和：“一个数除以4 余3，除以5 余2，除以6 余1”，这个数是60n+7；
差同减差：“一个数除以4 余3，除以5 余4，除以6 余5”，这个数是60n-1.
在这里，60 为（4、5、6 的最小公倍数），n 的取值范围为整数，可以为正数也可以是
取负数。
在题干中看到“某物按x 个分组还余y 个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典
型的余数特性题目。
随笔练习
1. 一群学生分小组在户外活动，如3 人一组还多2 人，5 人一组还多3 人，7 人一组还
多4 人，则该群学生的最少人数是（ ）
A.23
B.53
C.88
D.158
※【答案】B。解析：即该数需满足减2 为3 的倍数，减3 为5 的倍数，减4 为7 的倍数。
A 项：23-4=19，不能被7 整除排除；B 项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被3，5，
7 整除，符合题干要求的是B 选项。故正确答案为B。
2. 一个盒子里有乒乓球100 多个，如果每次取5 个出来最后剩4 个，如果每次取4 个
最后剩3 个，如果每次取3 个最后剩2 个，那么如果每次取12 个最后剩多少个？（ ）
A.11
B.10
C.9
D.8
※【答案】A。解析：由题干条件“每次取5 个最后剩4 个”可知乒乓球的总数加1 是5 的倍数，
同理，乒乓球的总数加1 是4 的倍数，乒乓球的总数加1 是3 的倍数，即乒乓球的总数加1
应同时是5、4、3 的倍数，因此乒乓球的总数=60n-1。由于乒乓球有100 多个，即100 ＜60n-1
＜200，所以解得n=2 或3。当n=2 时，乒乓球的数量=60×2-1=119，每次取12 个最后会
剩余11 个；当n=3 时，乒乓球的数量=60×3-1=179，每次取12 个最后也会剩余11 个。故
本题选A。
3. 学生在操场上列队做操，只知人数在90-110 之间。如果排成5 排则少2 人；排成7
33
排则少4 人；则学生人数是多少?（ ）
A 102
B 98
C 104
D 108
※【答案】D。解析：人数除以5 余3，除以7 余3，利用“最小公倍数作周期，同余加余”，
5×7=35，这个数为35n+3，n=3 时人数为35×3+3=108 人，故本题选D。
▲奇偶特性思想
（1）在乘法中
若因子中存在偶数，则结果为偶数；无偶数则结果为奇数。
①奇数× 奇数= 奇数
②偶数× 偶数= 偶数
③奇数× 偶数= 偶数
若几个整数的和（或差）为奇（或偶）数，则这几个整数的差（或和）为奇（或偶）数。
（2）在加减法中
两个因子奇偶性相同，则结果为偶数。两个因子奇偶性不同，则结果为奇数。
①奇数± 奇数= 偶数
②偶数± 偶数= 偶数
③奇数± 偶数= 奇数
随笔练习
1.20 人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000 元。每张机票的全价票单价为2000 元，
除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格
之外，还包括170 元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比为：（ ）
A. 两者一样多
B. 买九折票的多1 人
C. 买全价票的多2 人
D. 买九折票的多4 人
※【答案】A。解析：设购买全价票、九折票、五折票的人数分别为a、b、c，由题
意得2000a+0.9×2000b+0.5×2000c+20×170=27000 ①；a+b+c=20 ②；解方程组可得
5a+4b=18。此时只能分析式子，因为4b，18 为偶数，则由奇偶特性可知，a 为偶数，只有
a=2，b=2 时满足上式，所以购买全价票与九折票的人数一样多。故本题选A。
34
2. 某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5 排座位，甲
教室每排可坐10 人，乙教室每排可坐9 人。两教室当月共举办该培训27 次，每次培训均座
无虚席，当月共培训1290 人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训（ ）
A.8
B.10
C.12
D.15
※【答案】D。解析：根据题干意思，我们可以设甲教室举办x 次，乙教室举办y 次，
根据题意我们可以得到二元一次方程：①50x+45y=1290，②x+y=27，同样根据数的奇偶性，
在①式中50x 为偶数，1290 也为偶数，那么45y 也必须为偶数，则y 必然为偶数，再根据②
式我们知道x 必然为奇数，仅有D 选项为奇数。故正确答案为D。
▲赋值思想
工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、
经济利润问题都常用到“赋值思想”。
当题目所给信息中未涉及到某个具体数量的大小，通常出现“倍数”“分数”“百分数”“比
例”，并且该数量的大小不影响最终所求结果，可赋值。观察题目所给的数值（分数、百分比、
比例），赋值数多为这些数的公倍数。
随笔练习
1. 要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45 分钟完成。
若两人一起折，需要多少分钟完成？（ ）
A.10
B.15
C.16
D.18
※【答案】D。解析：此题不知道总工程量的值，赋总工程量为30 和45 的最小公倍数
为90，则甲效率为3，乙效率为2。则合作效率为5，一共需90÷5=18 分钟完成。
2. 师徒两人3 天加工的零件总数分别为240 个和150 个，已知师徒二人每天加工的零
35
件个数为整数且彼此不相等。其中师傅加工零件数最少的那天比徒弟加工零件数最多的那天
多了10 个。问师傅加工最多的一天至多比徒弟加工最少的一天多多少？（ ）
A.42
B.54
C.68
D.72
※【答案】C。解析：由题目可知，师徒二人平均每天的加工量分别为80，50。师傅最
多那天比徒弟最少那天多加工了10 个，则取中间值分别为70，60。求师傅至多一天比徒弟
最少一天多多少，则师傅前两天生产70、71 个，徒弟前两天生产60、59 个。差值=240-
70-71-（150-60-59）=68 个。故正确答案为C。
3. 某人银行账户今年底余额减去1500 元后，正好比去年底余额减少了25%，去年底余
额比前年底余额的120% 少2000 元。则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额( )
A. 少10%
B. 多10%
C. 少1000 元 D. 多1000 元
※【答案】A。解析：假设前年底余额为5000 元，则去年底余额为5000×120%-
2000=4000( 元)，今年底余额则为4000×75%+1500=4500( 元)，因此今年底余额比前面底
余额少(5000-4500)÷5000=10%。
▲极限思想
出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时，我们
要有“极值思想”。
“极值思想”是分析题目条件后，构造出满足题意的最极端情况，是极值在构造法中的
运用形式。
题目提问中有“至少……才能保证……”那么“保证”后面的情况是必然发生的情况。即：
最不利情况数+1。
随笔练习
1. 在一个不透明的布袋里有若干条四种不同颜色的围巾，其中白色3 条，红色5 条，蓝
色8 条，彩色4 条。如果每次取出一条，至少要取（ ）次才能保证取得白色围巾。
A.20
B.18
C.16
D.13
※【答案】B。解析：由题干的问法可知，本题需要考虑最不利情况，最不利情况为所
有其他颜色都取完了，剩下的全为白色的，再取一次即可，故所求为5+8+4+1=18 次。本题
选择B 选项。
2. 某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名
了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证
36
样本中有4 名会员报的兴趣班完全相同？（ ）
A.93
B.94
C.96
D.97
※【答案】B。解析：题目中出现“至少…保证…”，构造最不利情况。老年协会的会
员在五个兴趣班中报名至少一项，则报名不同的情况数为
1
5
C
+
2
5
C
+
3
5
C
+
4
5
C
+
5
5
C
=5+10+10+5+1=31。考虑最不利原则，有4 名会员报兴趣班相同，最不利值为3，则至少要
调查31×3+1=94 人才能保证有4 名会员报的兴趣班完全相同。故正确答案为B。
3. 用18 厘米长的警戒线围成各种长方形，要求场和宽的长度都是厘米数，则围成的长
方形的面积最大是多少？
A.18 平方厘米
B.20 平方厘米 C.25 平方厘米 D.40 平方厘米
※【答案】B。解析：由题意可知长+ 宽=9，要使得面积最大、长和宽尽可能接近，长
=5、宽=4，面积=5×4=20，选B。
▲逆向推理思想
①逆向推导：将过程颠倒，形成与之相反的运算过程从后往前获得所求值。
②正反互补：当所求情况过多、计算复杂时，可以考虑用整体减去与之相反的情况来求解，
简化计算过程。
随笔练习
1. 某数加上5 再乘以5 再减去5 再除以5，最终结果还是5，这个数是多少？（ ）
A.0
B.1
C.-1
D.5
※【答案】B。解析：典型的逆推法题目。题干已经给出了正面运算的步骤，我们将步
骤倒推即可得出原数。即（5×5+5）÷5-5=1，所以这个数是1。故正确答案为B。
2. 某市公安局从辖区2 个派出所分别抽调2 名警察，将他们随机安排到3 个专案组工作，
则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是？（ ）
A. 2
3
B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
※【答案】A。解析：首先算出总的情况数，从4 人中选2 人，即
2
4
C
=6。随机安排到
三个工作组，必然是2、1、1 的分组形式，则
3
3A =6，总情况数=6×6=36 种。由于和自己
来自同派出所的仅一人，不同派出所的有两人，所以同派出所在一组的情况更少，我们可以
用1 减掉在同一组概率求解。则P=1-
1
2
C ×
3
3A ÷36= 2
3
。故正确答案为A。
37
▲整除思想
在含有类似于“倍数”、“分数”、“百分数”、“比例”的题目中也可以很好的利用
整除的思想。
1. 特殊数字整除判定
2（5）整除：观察数字的末位数字能否被2（5）整除。
4（25）整除：观察数字的末两位数能否被4（25）整除。
8（125）整除：观察数字的末三位数能否被8（125）整除。
3（9）整除：观察各位数字之和能否被3（9）整除。
2. 普通数字整除判定
普通数字的整除判定，一般采用分解因式的方法进行快速判断。例如：判断一个数字能
否被6 整除，6=2×3，则只需要判定该数能否被2 和3 整除；判定531 能否被47 整除，可
以将531 分解为（470+61）进行判断。
随笔练习
1. 车间领到一批电影票和球票发放给车间工人，电影票数是球票数的2 倍。如果每个工
人发3 张球票，则富余2 张，如果每个工人发7 张电影票，则缺6 张，问车间领到多少张球
票（ ）
A.32
B.30
C.64
D.60
※【答案】A。解析：球票总数减去2 能被3 整除，结合选项代入验证只有32 满足。故
正确答案为A。
2. 某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数62.5%。现又有2 名职工评上中级职
称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数7
11
。则该单位原来有多少名职称在中级
以下的职工？（ ）
A.68
B.66
C.64
D.60
※【答案】B。解析：正面计算比较繁琐。题干出现百分数和比例关系，考虑整除思想，
中级及以上开始时是62.5% 即5
8
，则中级以下占3
8
，所以中级以下的人数为3 的倍数。观察
选项排除A、C。当2 人被评上中级职称后，中级以下占4
11
，原来中级以下人数减2 为4 的
倍数。故选B 项。
38
▲十字交叉
十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。若有两种质量分别为A 与
B 的溶液，其浓度分 别为a 与b，混合后浓度为r，则由溶质质量不变可列出下式
Aa+Bb=(A+B)r，对上式进行变形可得A/B=r-b/a-r，在解题过程中一般将此式转换成如下
形式：
①用来解决两者之间的比例关系问题。
②得出的比例关系是基数的比例关系。
③总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
除了典型的溶液混合问题，还能应用在两部分混合增长率问题、平均分数、平均年龄等
问题。比值可以是“平均数”“比重”“浓度”“利润率”“折扣”等。
随笔练习
1. 学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80 元和100 元。由
于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20% 的折扣，结果共少付了22%。问购买
的足球和篮球的数量之比是多少？（ ）
A.4：5
B.5：6
C.6：5
D.5：4
※【答案】B。解析：典型A，B 的混合题型，因此采用十字交叉法如下：
即足球价格总额与篮球价格总额之比为2：3。设足球共买了x 个，篮球共买了y 个，
则可列式为80x：100y=2：3，解得x：y=5：6。故本题选B。
2. 某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30％，且
音乐系男女生人数之比为1：3，美术系男女生人数之比为2：3，问音乐系和美术系的总人
数之比为多少？
A.5：2
B.5：1
C.3：1
D.2：1
※【答案】D。解析：音乐系男女人数之比为1：3，可得男生人数占比为25%，美术系
男女人数之比为2：3 可得男生人数占比40，则有：
39
显然音乐系和美术系男生人数之比为2：1，故本题选D。
3. 某商店花10000 进了一批商品，按期望获得相当于进价25% 的利润来定价。结果只
销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，
亏本1000 元。问商店是按定价打几折销售的?( )
A. 九折
B. 七五折
C. 六折
D. 四八折
※【答案】B。解析：10000 元是总成本，前面30% 数量的产品利润率是25%，总的产
品利润率是-1000/10000=-10%，假设70% 数量的产品利润率是X，根据十字交叉法画图：
列式得10
x
3
= 7
−
−
35
，解得x=-25，所以后面70% 的产品是以-25% 的利润率出售的，
结合利润率的公式：
=
−
定价
成本
利润率
成本
，可得，定价=75% 成本，即75 折销售，本题
答案选B。
▲方程思想
（一）基本方程
掌握基本的设元方法，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。
（二）不定方程
除了基本方程外，在我们的解题过程中，经常会遇到含有1 个未知数的方程，也可能遇
到含有2 个未知数2 个方程的方程组，或者3 个未知数3 个方程的方程组，这些方程或者方
程组一般都有确定的解。
解不定方程问题常用的解法：综合利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、
尾数法、余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。
（三）不等式
在设元求解的过程中，根据题意所得方程可能是等式方程，也可能是不等式方程。即所
求的值是一个数量区间，而非一个定值。相较于等式方程能求出精确值，不等式方程还需要
我们对取值区间做出判断。
随笔练习
1. 某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加5 亩，农民可得
到2000 元奖金，且超出5 亩后每增加1 亩可额外获得x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，
从下一自然年起每亩每年可获得y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植10
亩，获奖金3500 元；第二年种植面积扩大16 亩；第三年种植面积又扩大15 亩，年收入比
40
第一年的16 倍多1000 元。则以下哪个不等式能准确描述x 与y 的关系（ ）（注：年收入
= 奖金+ 果树收入）
A.x ＜0.2y
B.0.2y ≤x ＜0.5y
C.0.5y ≤x ＜y
D.x ≥y
※【答案】A。解析：根据第一年的奖金情况可列式3500-2000=5x，解
得x=300，即超出5 亩后每亩可额外获得300 元奖金。由此可知第三年总收
入=2000+10×300+10y+16y →5000+26y，比第一年收入的16 倍多1000，则
3500×16+1000=5000+16y，解得y=2000。代入A 项验证，300 ＜2000×0.2。故正确答案为A。
2. 甲车间的生产效率是乙车间的1.5 倍，分别生产1200 件相同的产品，甲车间所需时
间比乙车间少10 天。问甲、乙两个车间合作生产3000 件相同的产品需要多少天？（ ）
A.20
B.25
C.30
D.35
※【答案】C。解析：设甲车间的生产效率为3x，乙车间的生产效率为2x，由题意可
知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得x=20。即甲车间每天生产3×20=60 件，乙车间每天生产
2×20=40 件。故题干所求为3000÷（60+40）=30 天。故本题选C。
3. 小张从甲地出发匀速前往乙地，同时小李和小王从乙地出发匀速前往甲地，小张和小
李在途中的丙地相遇，小张和小王在途中的丁地相遇。已知小张的速度比小李快一半，小王
的速度比小李慢一半，则丙、丁两地之间的距离与甲、乙两地之间的距离之比为：（ ）
A.2：15
B.1：4
C.3：20
D.1：15
※【答案】C。解析：设甲、乙两地的距离为s，小张、小李、小王的速度分别为3x、2x、x，
由下图可知，小张和小李相遇时用时t1=s÷（3x+2x）= s
5x
，小张和小王相遇时用时t2=s÷
（3x+x）= s
4x
，则小张经过丙、丁两地路程用时t2-t1= s
4x
- s
5x
，所以丙、丁两地之间的
路程S 丙丁=3x×（s
4x
- s
5x
）= 3s
20
，故题干所求为3s
20
：s=3：20。故本题选C。
4.某工厂生产过程中需要用到A、B、C三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为1：
2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是3：2：4，工厂每天使用
的三种零件数量相同，当A 零件用完的时候，B 零件还剩下10 个，C 零件还剩下170 个，
请问工厂仓库中原有A、B、C 零件各多少个？（ ）
A.40，80，120
B.50，100，150
C.60，120，180
D.70，140，210
※【答案】C。解析：设原有三种零件的数量分别为x、2x、3x，再次购买的数量分别为
3y、2y、4y，由于每天使用的三种零件数量相同，所以A、B、C 三种零件使用的总量相同。
当A 零件用完时，一共用了x+3y，则B、C 两种零件也用了x+3y。由题意可得方程组：
（2x+2y）-（x+3y）=10，
①
（3x+4y）-（x+3y）=170，
②
41
解得x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为60、120、180。选C。
二、核心题型解题方法
▲工程问题
（1）基础知识
1. 工作量= 工作效率× 工作时间
2. 工作效率= 工作量÷ 工作时间
（2）解题思路：
1. 条件只给岀时间的具体值：通过给总量赋值，一般将总量设为时间的公倍数，从而计
算出给出条件的效率。
2. 条件中不仅有时间，而且有关于效率的比例关系，通常给效率赋值，通过公式计算出
工作总量。
3. 题目中有效率、时间、总量三个中的任意两个的具体值，则代入公式计算出第三个即可。
随笔练习
1.(2017 广东) 现有一批零件，甲师傅单独加工需要4 小时，乙师傅单独加工需要6 小时。
两人一起加工这批零件的50% 需要多少个小时?（ ）
A.0.6
B.1
C.1.2
D.1.5
※【答案】C。解析：题中给出4 和6 两个完工时间，因此赋值工程总量为4 和6 的最
小公倍数12，甲的效率为：12÷4=3，乙的效率为：12÷6=2，一起合作加工零件的50% 需
要的时间为：12×50%÷(3+2)=1.2 小时。故正确答案为C。
2.(2016 国考) 某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的25 倍。
灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18 天。小李6 月1 日0：00
灌满水箱后，7 月1 日0：00 正好用完。问6 月有多少个阴雨天?
A.10
B.16
C.18
D.20
※【答案】D。解析：由题目所给出的晴天浇水量与阴雨天浇水量之比，可假设晴天浇
水量为5，阴雨天浇水量为2，则可得水箱总容量为5×18=90。已知6 月整月共有30 天，
设阴雨天数为a，晴天数为(30-a)，则5(30-a)+2a=90，解得a=20。故正确答案为D。
▲行程问题
（一）基础知识：
基本公式：路程= 速度× 时间
相遇问题：路程和=( 大速度+ 小速度)× 时间
追及问题：路程差=( 大速度－小速度)× 时间
顺水行船：路程=( 船速+ 水速)× 时间
逆水行船：路程=( 船速- 水速)× 时间
42
火车过桥（隧道）：路程= 火车车身长度+ 桥长（隧道长度）= 火车速度× 过桥速度（过
隧道速度）
（2）解题思路：
根据题干先判断出题型，尽量能画出简易图，根据各个量之间的关系代入上述对应的公
式即可。
（三）补充知识：
①时间一定，路程和速度成正比；
②路程一定，速度和时间成反比；
③速度一定，路程和时间成正比。
④当行程中某一个量为定值，且出现比例时，可以考虑用比例求解。
随笔练习
1.(2018 国考) 一辆汽车第一天行驶了5 个小时，第二天行驶了600 公里，第三天比第
一天少行驶200 公里，三天共行驶了18 个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均
速度相同，问三天共行驶了多少公里?（ ）
A.800
B.900
C.1000
D.1100
※【答案】B。解析：本题属于基本行程问题，利用基本公式。设第一天的平均速度为
ν，第一天路程为5v，第三天路程为5v-200。由全程平均速度与第一天相同，可得方程：
5v+600+5y-200=18ν，解得v=50，则三天共行驶18×50=900 公里。故正确答案为B。
2.(2018联考)甲、乙、丙、丁四人同时同地出发，绕一椭圆形环湖栈道行走。甲顺时针行走，
其余三人逆时针行走。已知乙的行走速度为60 米/ 分钟，丙的速度为48 米/ 分钟。甲在出发6、
7、8 分钟时分别与乙、丙、丁三人相遇，求丁的行走速度是多少?（ ）
A.31 米/ 分钟
B.36 米/ 分钟
C.39 米/ 分钟
D.42 米/ 分钟
※【答案】C。解析：由题意可知，甲与乙相遇，甲与丙相遇均为两人合走完一个环湖的全程。
根据总路程相等，可得方程(v 甲+60)×6=(v 甲+48)×7，解方程得v 甲=24 米/ 分钟。同理，
甲与乙相遇，甲与丁相遇时的路程也相等，(24+60)×6=(24+V 丁)×8，解得v 丁39 米/ 分钟。
故正确答案为C。
3.(2017 山东) 有A、B 两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B
港口出发前往两地中间的C 港口。C 港与A 厂的距离比其与B 厂的距离远10 公里。乙船出
发后经过4 小时到达C 港，甲船在乙船出发后1 小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船
在静水中的速度都是32 公里/ 小时，问河水流速是多少公里/ 小时?（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
※【答案】C。解析：由题意可得，甲船比乙船多行驶10 公里，甲船用时4-1=3 小时。
设河水流速为ν 公里/ 小时，则有3×(32+v)-4×(32-v)=10，解得v=6。故正确答案为C。
43
▲经济利润问题
（一）基础知识
1. 利润= 售价- 进价
2. 利润率= 利润÷ 进价=( 售价- 进价)÷ 进价
3. 售价= 进价×(1+ 利润率)
（二）解题思路
根据上述公式列方程。若题干中未出现具体单位，可以利用赋值法求解。在解题中，可
以利用数字特性快速求解。
随笔练习
1.(2018 江西) 小李四年前投资的一套商品房价格上涨了50%，由于担心房
价下跌，将该商品房按市价的9 折出售，扣除成交价5% 的相关交易费用后，比买进时
赚了56.5 万元。那么，小李买进该商品房时花了多少万元?（ ）
A.200
B.250
C.300
D.350
※【答案】A。解析：设买进该商品房时成本为x 万元，则现在市价为1.5x 万元，实际
售价为1.5x×0.9=1.35x 万元。利润：(1-5%)×135x-x=56.5，解得x=200。故正确答案为A。
2.(2018 国考) 枣园每年产枣2500 公斤，每公斤固定盈利18 元。为了提高土地利用率，
现决定明年在枣树下种植紫薯( 产量最大为10000 公斤)，每公斤固定盈利3 元。当紫薯产
量大于400 公斤时，其产量每增加n 公斤将导致枣的产量下降0.2n 公斤。问该枣园明年最
多可能盈利多少元?（ ）
A.46176
B.46200
C.46260
D.46380
※【答案】B。解析：当紫薯产量大于400 公斤时，每增加n 公斤将导致枣的产量下降
0.2n 公斤。假设紫薯的产量为(400+n) 公斤，则此时枣的产量为(2500-0.2n) 公斤。则总盈
利为18×(2500-0.2n)+3×(400+n)=(46200-0.6n) 元，要让总盈利最大，则n 取0，此时总盈
利为46200 元。故正确答案为B。
▲几何问题
（一）基础知识
1. 基本公式
平面图形
周长公式
面积公式
长方形
（长+ 宽）×2
长× 宽
正方形
边长×4
边长× 边长
三角形
—
底× 高÷2
44
平行四边形
—
底× 高
梯形
—
（上底+ 下底）× 高÷2
圆
π·直径=2π·半径
π·半径2
扇形
—
（弧长× 半径）÷2
立体图形
表面积公式
体积公式
长方体
（长× 宽+ 长× 高+ 宽× 高）×2
长× 宽× 高
正方体
棱长× 棱长×6
棱长× 棱长棱长
圆柱体
上、下底面积+ 侧面积
底面积× 高
圆锥体
—
底面积× 高÷3
球
4π·半径2
（4π·半径3）÷3
2. 常用三角函数
30°
45°
60°
sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3
3. 三角形常用知识点
（1）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）三角形内角和为180°。
（3）勾股定理：
2
2
2
a
b
c
+
=
（常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13）
（二）解题思路
1. 规则图形，按照相对应的公式列方程或直接计算；
2. 不规则图形，通过割、补、平移等方法转化成规则图形，再按照相对应的公式列方程
或直接计算。
随笔练习
1.(2015 国考) 某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上
下叠加而成，边长分别为1 米和2 米，问需要粉刷的面积为：（ ）
A.30 平方米
B.29 平方米
45
C.26 平方米
D.24 平方米
※【答案】D。解析：小正方体每个面的面积为12=1m2，大正方体每个面的面积为
22=4m2，两个正方体的总面积为6×1+6×4=30m2，其中重合部分为两个小正方体的面，
面积为2×1=2m2，而大正方体作为旗台，其底面不用粉刷，故需要粉刷的面积为30-2-
4=24m2。故正确答案为D。
2.(2015 国考) 现要在一块长25 公里、宽8 公里的长方形区域内设置哨塔，
每个哨塔的监视半径为5 公里。如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少
需要设置多少个哨塔?（ ）
A.7
B.6
C.5
D.4
※【答案】C。解析：如下图所示：
根据直角三角形勾股定理有52-42=32，则每个圆形可覆盖一个宽为3×2=6 公里的长方
形。要达到完全覆盖，故需要25
6
≈4.17 个，至少5 个。故正确答案为C。
3.(2018 国考) 一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向
左转30°后，立即以15 节(1 节=1 海里/ 小时) 的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀
速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执
法船的距离相同，问执法船的速度为多少节?
A.20
B.30
C. 10 3
D. 15 3
※【答案】D。解析：
46
根据题意可知，非法渔船和执法船的行驶路线为上图所示，非法渔船在A 点被追
上。由于非法渔船的逃跑距离和发现执法船时其与执法船的距离相同，假设距离为a，
即OA=OB=a；渔船左转30 °，即∠AOB=120 °。又因为△AOB 为等腰三角形，故
∠OBA= ∠OAB=30 °。过点O 作OC 垂直AB 于点C，根据△OCB 为直角三角形，且
∠OBA=30°可得CB=
3
2
OB=
3
2
a，因此AB=2×CB=2×
3
2
a=
3 a。渔船从O 到A，
执法船从B 到A，行驶时间相同，假设执法船速度为ν 节，则有
=
a
3a
15
v
解得v= 15 3 。
故正确答案为D。
▲排列组合及概率问题
（一）基础知识
加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
排列：与顺序有关
组合：与顺序无关
排列公式：
=
=
−
−
−
+
−
m
n
n!
A
n( n 1) ( n
2) . . . ( n
m 1)
( n
m) !
组合公式：
!
(
1)(
2)...(
1)
(
)! !
(
1)(
2)...2*1
m
n m
n
n
n
n n
n
n
m
C
C
n
m m
m m
m
−
−
−
−
+
=
=
=
−
−
−
概率公式：概率= 满足要求的情况数
总的情况数
（不要硬算，上下约分巧算）
（二）特殊方法
当题目中要求某些主体必须排在一起时，考虑捆绑法。
当题目中要求某些主体不能相邻时，考虑插空法。
相同的物品分给多个主体时，要求每个主体至少分N 个，就可以考虑插板法。先给每个
主体少分一个( 即N-1 个)，剩下的物品必须给每个主体至少再分1 个才能满足要求，此时
将剩下的物品插板分堆即可，插板数量= 主体个数-1。
当题目中要求不能一一对应时，比如：N 把钥匙对应N 个锁，要求每个锁和一把不能打
47
开它的钥匙放进一个信封，这就是错位排列。错位排列用D，表示，Dn 就表示N 个数字的
错位排列。
D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。
（三）解题思路
当题干中有特殊要求时，按照对应的特殊方法求解。没有特殊要求的，按照基础知识列
式求解即可。
随笔练习
1.(2014 国考) 一次会议某单位邀请了10 名专家，该单位预定了10 个房间，其中一层
5 间、二层5 间。已知邀请专家中4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余3 人住任一层均可，
那么要满足他们的住房要求且每人1 间，有多少种不同的安排方案?（ ）
A.43200
B.7200
C.450
D.75
※【答案】A。解析：先安排有要求的专家，再安排没有要求的专家，即分步进行安排即可。
首先安排需要住二层的人，从5 间二层房间中选出4 间，安排4 名专家的方法有
4
5A 种；
再安排需要住一层的人，从5 间一层房间中选出3 间，安排3 名专家的方法有
3
5A 种；最后
安排剩下的3 人，无任何要求，安排方法有
3
3A 种。分步用乘法，安排方法共有
4
3
3
5
5
3
A
A
A
×
×
=43200 种。故正确答案为A。
2.(2017 国考) 某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培训，
培训后再将5 人随机分配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5 个参加培训的
人中，有且仅有1 人在培训后返回原分公司的概率：（ ）
A. 低于20%
B. 在20%~30% 之间
C. 在30%~35% 之间
D. 大于35%
※【答案】D。解析：5 个人任意分配到5 个分公司的总情况数为
5
5A
=5×4×3×2×1=120；满足只有1 人培训后返回原分公司的情况数为：5×D4=45( 先在5 人中
任选1 人返回原分公司，共有
1
5
C =5 种选择；再将剩下4 人错位排列，D4=9)。则所求概率
= 满足要求的情况数
总的情况数
= 45
3
120
8
=
=37.5%>35%，故正确答案为D。
3.(2016 国考) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门
分别派出3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参
赛顺序的种数在以下哪个范围之内?（ ）
A. 小于1000
B.1000 ～5000
C.5001 ～20000
D. 大于20000
※【答案】B。解析：3 个部门分别派出3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的
参赛选手比赛顺序必须相连。可先对每个部门内部的选手进行全排列，然后将3 个部门的
顺序进行全排列。则总共的排列顺序有：
3
2
4
3
3
2
4
3
A
A
A
A
+
+
+
=6×2×24×6=1728 种，属于
1000 ～5000 的范围。故正确答案为B。
48
▲溶液问题
（一）基本公式
=
100%
×
溶质的质量
浓度溶液的质量
= 溶质的质量
溶液的质量
浓度
溶质的质量= 溶液的质量× 浓度
（二）溶液混合问题——十字交叉法
1. 溶液混合问题，指两种不同浓度、不同质量的溶液混合在一起，形成新的浓度。这是
溶液问题中基本题型，常用解法为十字交叉法。
步骤为：
①写两个部分量的浓度；
②写整体浓度；
③十字交叉作差（大数－小数）；
④写差值最简比；
⑤最简比对应两部分溶液的质量之比。
2. 十字相乘法使用时要注意几点：
①用来解决两者之间的比例关系问题。
②得出的比例关系是基数的比例关系。
③总均值放中央，对角线，大数减小数，结果放对角线上。
（三）十字交叉模型
部分比值
总体比值
交叉作差
最简比
实际量
a
r-b
r-b
A
r
b
a-r
a-r
B
注：a ＞r ＞b
1. 三组计算关系：
第一列和第二列交叉作差得到第三列（大数减小数）。
第三列、第四列和第五列的比值相等。
第一列的差等于第三列的和。
2. 最简比（实际量之比）为比值的分母之比。
49
随笔练习
1. 要将浓度分别为20% 和5% 的A、B 两种食盐水混合配成浓度为15% 的食盐水900 克。
问5% 的食盐水需要多少克？（ ）
A.250 B.285
C.300 D.325
※【答案】C。解析：
方法一：方程法
A 食盐水的记为A 溶液B 食盐水记为B 溶液
则
20%
5% =15%
A
B
A
B
×
+
×
+
溶质的质量
溶液的质量
溶质的质量
溶质的质量
，化简得：A. 溶液的质量×5%=B.
溶液的质量×10%。设A、B 两种溶液的质量分别为900-x、x 克，根据等量关系可得方程5%
（900-x）=10%x，解得x=300。
方法二：十字交叉法
将相应数据填入括号内
可知A、B 溶液的质量比为2 ∶1，混合后溶液的质量对应3 份，为900 克，则需要B
溶液的质量为1×900=300
3
克。
2. 甲容器中有浓度4% 的盐水150 克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，若从乙容器中
取出450 克盐水放入甲中混合成浓度为10% 的盐水，问乙容器中盐水的浓度是多少？（ ）
A.11% B.12%
C.14% D.16%
※【答案】B。解析：此题为溶液混合问题，设乙容器中盐水的浓度为x%，应用十字交
叉法如下：
甲：4% x%-10% 150
↘ ↙
10%
↙ ↘
乙：x% 10%-4% 450
因此，有x% 10%
150
10%
4%
450
−
=
−
，解得x%=12%，故正确答案为B。
50
▲和定最值问题
（一）基础知识
如何来判断一个题目是否属于和定最值问题，我们需要按以下两个条件去排除：
1. 几个数的和一定；
2. 问题是求其中某个量的最大值或者最小值。
（二）题型特点
题干或问法中出现“最大或最小、最多或最少、至多或至少。”等，我们首先要考虑是
和定值问题。和定最值：多个数的和一定，求其中某个量的最大或最小值的问题。
（三）解题原则
1. 求某个量的最大值，让其余量尽可能小，从最小开始分析 。
2. 求某个量的最小值，让其余量尽可能大，从最大开始分析。
随笔练习
1. 要把21 棵桃树栽到街心公园里5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树
且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？ （ ）
A.7 B.8
C.10 D.11
※【答案】D。解析：存在“和”。“和”为21。所求为最大量的最大值。要使面积最大的草
坪栽种的桃树最多，则其他草坪栽种的桃树应尽可能的少。设面积最大的草坪栽了x 棵，其
他四个草坪栽种的桃树棵数分别为1、2、3、4，则x+4+3+2+1=21 棵，解得x=11。
2. 期末考试中前六名学生成绩的平均分是92.5 分，且6 人的成绩是互不相同的整数，
最高分是99 分，则第三名至少得多少分？
A.91 B.93
C.96 D.97
※【答案】A。解析：存在“和”。“和”为 92.5×6=555。所求为第三名的最小值。要使第
三名的分数尽可能低，则其他人分数应尽量高。第一、二名最高可为99、98 分，设第三名
为x 分，则第四、第五、第六依次为x-1、x-2、x-3 分，99+98+x+x-1+x-2+x-3=555，解得
x=91 分。
3.6 名同学参加一次百分制考试，已知6 人的分数是互不相同的整数。若6 名同学的总
分是513 分，求分数最低的最多得了多少分？（ ）
A.83 B.84
C.85 D.86
※【答案】A。解析：存在“和”。“和”为513。所求为最小量的最大值。要想分数最低的
同学得分最多，则其他同学的得分应尽可能的少。设分数最低的同学得了x 分，其他5 个同
学的得分分别为x+1、x+2、x+3、x+4、x+5，则x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5=513 分，解
得x=83。
51
▲容斥问题
（一）两者容斥
如果被计数的事物有A、B 两类，那么，先把A、B 两个集合的元素个数相加，发现即
是A 类又是B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。
【记忆口诀】总数= 两集合之和+ 两集合之外数- 两集合公共数
（二）三者容斥
三集合标准型公式：A+B+C-A ∩B-A ∩C-B ∩C+A ∩B ∩C= 总数－都不满足
三集合非标准型公式：A+B+C －满足两项－2× 满足三项= 总数－都不满足
解题步骤分三步走：①画文氏图；②弄清楚图形中没一部分所代表的含义；③代入公式
（A+B+C-A ∩B-A ∩C-B ∩C+A ∩B ∩C）进行求解
（三）容斥极值
公式：(A ∩B)min=A+B-1
推广：(A ∩B ∩C)min=A+B+C-21
随笔练习
1. 某公司组织歌舞比赛，共68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有12 人，参加歌唱比
赛的有18 人，45 人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？ （ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
※【答案】A。解析：总人数= 参加舞蹈比赛人数+ 参加歌唱比赛人数- 两项比赛都参
加人数+ 两项比赛都未参加人数。所以两项比赛都参加的人数为 12+18-（68-45）=7 人。
2. 某市对52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8 种产品的低温柔度不合格，
10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7 种，
有1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？ （ ）
A.34 B.35
C.36 D.37
52
※【答案】A。解析：在将低温柔度不合格、可溶物含量不达标、接缝剪切性能不合格
的产品数相加时，两项同时不合格的产品数被计算了两次，需减掉一次；三项同时不合格的
产品数被计算了三次，需减掉两次。设三项全合格的建筑防水卷材产品有x 种，根据容斥原
理可得，8+10+9-7-2×1+x=52，解得x=34。
3. 阅览室有100 本杂志。小赵借阅过其中75 本，小王借阅过70 本，小刘借阅过60 本，
则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？（ ）
A.5 B.10
C.15 D.30
※【答案】A。解析：本题出现了三个概念，分别是小赵借阅、小刘借阅、小王借阅，
概念间存在交叉关系。根据三个集合交集最小值的公式，三人都借阅的至少有 75+70+60-
2×100=5 本。
▲计算问题
（一）等差数列
1. 基础知识
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，
7，9……。数列的第一项叫做首项a1 表示，数列的最后一项叫做末项用an 表示。
相邻两项的差值叫做共差d 表示。前项和用Sn 表示。
2. 基本公式
（1）通项公式
(
)
(
)
1
a
a
n
1 d
a
n
m d
n
m
=
+
+
=
+
−
（2）求和公式
(
)
(
)
n
n
1
a
a
n
n n
1
na
d
2
2
sn
+
×
−
=
=
+
n
n(n
S =
n(n
2
×
×
中间项
为基数）
中间两项和
为偶数）
（二）周期循环
解题关键：寻找最小循环周期。
（1）找周期：找准周期的起点和终点，确定总数
（2）算余数：总数÷ 每个周期的个数= 周期数量……余数（n）
（3）做等价：余数n 就等价于该周期的第n 项（余几数几）
（三）整除
1. 核心
53
通过题干中所给的信息，判断结果应具备的整除特性，从而排除错误选项
2. 应用环境
题干文字描述中出现“整除、每、平均、倍数”等字眼时能用利用整除解题题干中出现分数、
百分数、比例等数据时能够利用整除解题
随笔练习
1. 某剧院共25 排座位，后一排均比前一排多2 个座位，已知最后一排有80 个座位，
问这个剧院一共有多少个座位？（ ）
A.1200
B.1300
C.1400
D.1500
※【答案】C。解析：第一排座位数为32，剧院共有1400 个座位。因
25
a
80
=
，根据
25
1
a
a
25 1
2
−
×
= +（
）
，得
1a =32，再根据
1
(
)
2
a a
S
n
n
n
+
=
× ，可得
25
32
80
25
1400
20
S
+
=
×
=
。
2. 书架的某一层上有136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书、
3 本小说、4 本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（ ）
A. 小说
B. 教材
C. 工具书
D. 科技书
※【答案】A。解析：一个完整的循环是“3 本小说+4 本教材+5 本工具书+7 本科技书”
共19 本书，所以最小循环周期为19。136÷19=7……3，所以有7 个完整的循环周期。还多3 本，
正好多3 本小说，最后一本为小说。
3. 学校有足球和篮球的数量比为8 ∶7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的比变为
3 ∶2，接着又买进一些篮球，这时足球与篮球数量比为7 ∶6。已知买进的足球比买进的篮
球多3 个，原来有足球多少个？（ ）
A.48
B.42
C.36
D.30
※【答案】A。解析：由题意可知，原来足球的个数能被8 整除。只有A 项能够被 8 整除。
