模块五 找规律 9. 8 【解析】由题知 , 这列数中有 1 个 1,2 个 2,3 个 3,4 个 16. 11 2 +60 2 =61 2 【解析】第一个数 :3=2×1+1,5=2×2+1,7 =1000000。
所以这列数中的数n有n个 则第 个数是 第 规律 第n个数为 n 所以下一个 25. a4 a3b a2b2 ab3 b4 【解析】 杨辉三角 的系数规
4,…, , 1 1, 2、3 =2×3+1,9=2×4+1, : 2 +1, +4 +6 +4 + “ ”
专题 数字、式、表找规律 个数是 第 个数是 第 个数是 第 个 数为 第二个数 2 2 律 展开式中的系数按a的次数从大到小排列之后 每行
2, 4-6 3, 7-10 4, 11-15 2×5+1=11; :4=2×1 +2×1,12=2×2 +2× : ,
28
数是 第 个数是 第 个数是 第 个 2 2 规律 第n个数为 n2 中两边的系数都是 中间的系数是由上一行在这个系数
类型一 数列规律 5, 16-21 6, 22-28 7, 29-36 2,24=2×3 +2×3,40=2×4 +2×4, : 2× +2× 1,
数是 所以第 个数是 n 所以下一个数为 2 第三个数为第二个数 上方相邻两个系数的和得到的 杨辉三角 的字母规
8,…, 35 8。 , 2×5 +2×5=60; 。 “ ”
1. 109 【解析】观察数列可知 , 分母是 2 的分数有 1 个 , 分母 10. (-1) n ( n +1) 2a2 n 【解析】因为 -4 a2 =(-1)×(1+1) 2a2×1 , +1, 所以第 5 组式子为 :11 2 +60 2 =61 2 。 律 :( a + b ) n 的展开式中的第一项中含 an , 第二项中含
126 a4 2 2a2×2 a6 3 2a2×3 an -1b 第三项中含an -2b2 第n项中含 bn 由图可知
是 的分数有 个 分母是 的分数有 个 根据 9 =(-1) ×(2+1) ,-16 =(-1) ×(3+1) ,…, 17. 【解析】C5 9×8×7×6×5 , ,…, 。 :
4 2 , 6 即数 3 列中 , 第 1+2 项 +3 的 + 由此规律可得第n个单项式是 (-1) n ( n +1) 2a2 n 。 126 9= 1×2×3×4×5 =126。 第 5 行的数字应是 1,4,6,4,1, 所以 ( a + b ) 4 = a4 +4 a3b +
… 分母 +6 是 2= 2 1 × 9 6 5 3 3, = 1 1 + 2 2 6 + ,2 3 0 + 0 … 8- + 1 6 9 3 5 = 3 2 = 0 5 1 5 6 , , 所以该项的分 2 子 008 为 55× 11. 2 2 0 0 1 1 2 1 【解析】根据题意可得规律 :2,(2- 2 1 )= 2 3 ,(2- 18. 109 【解析】根据分析可知 :10+ a b =10 2 × a b , 则a =10 2 - 26. 解 6 a : 2b2 +4 下 ab3 n + b 行 4 。 从左向右第 n 个数 即最右数 为
(1) ( +1) ( )
2-1=109,
所以数列中第
2008
项是109
。 2 4 3 5 4 6 由此可得第n个 1,
b
=10。
a
=10
2
-1=100-1=99,
a
+
b
=99+10=109。 n 2 故下 行从左向右第 个数为 所以下 行从
2. ( n +2) 2 【解析】观察所给数据 1 9 26 16 25 36 得知 3 )= n 3 ,(2- 4 )= 4 ,(2- 5 )= 5 ,…, 19. 4 10 -1 【解析】 4 9 +4 8 +4 7 +…+4 2 +5=1+4+4 2 +4 3 +…+4 7 + ( 左向 +1 右 ) 第 , 5 个 5 数为 37; 6 36, 5
分 ( n 子 +2) 是 2 - ( 4 n +2) 2 , 分母比分子小 5 , 4, 12 则 , 2 第 1 , 3 n 2 , 个 …, 数据 12. 数 30 是 【 + n 解 1 , 析 所 】 以 观 第 察 2 发 01 现 1 个 输 数 入 是 数 2 2 0 0 字 1 1 2 1 。 n时 输出的 4 8 3 +4 9 = (4-1)×(1+4+ 3 4 2 +…+4 8 +4 9 ) = 4 10 3 -1 。 ( 上 2) 6 上 行 n 最 行 左 从 边 左 的 向 数 右 为 第 42 1 ; 个数 ( 即最左数 ) 为n ( n +1); 故
n 2 , 1、2、3、… , 上 行从左向右第 个数为 故
是 ( +2) 901 类型三 数表规律 (3) 44 1 44×45=1980, 2013
( n +2) 2 -4 。 结果为分数 且分子为 n 分母为 为上 行从左向右数的第 个
, 1、2、3、…、 , 2=1×1+1、5= 44 2013-1980+1=34( )。
3. 【解析】分母为 到 的分数的总个数是 20. 【解析】设星期三的日历号数为x 则星期一为 x
111 1 10 1+3+5+7+ n n 所以输入的数据是 B , ( -2), 27. 【解析】根据表一可得规律 第 n 行和第 n
2×2+1、10=3×3+1、…、 × +1。 30 18 30 28 ,
个 分母为 的分数 按顺序 星期二为 x 星期四为 x 星期五为 x 根据
9+11+13+15+17+19=100( ), 11 , ( -1), ( +1), ( +2), 列都是n为首项 n为公差的等差数列 表二截取的是其
时 输出数据为 30 30 , 。
, = 。 题意可得x x x x x 解得x 则星期
11是第 个 从左数第 个 分数是11 30×30+1 901 -2+ -1+ + +1+ +2=70, =14, 中的一列 上下两个数字的差相等 所以a
11 , 100+11=111( ) 。 , , =15+(15-12)=
4.
11
【解析】因为 是等差数列
11
首项为
13. 2380 32800 【解析】a 1=1, a 2= a 1+3×2-2=5, 则a 2- a 1= 六的日历号数为 14+3=17。
18;
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字
,
右边一列
606
公
8
差为 所以第
2,5,8
个
,1
数
1,
是
14,…, , 3×2-2; a 3= a 2+3×3-2=12, 则a 3- a 2=3×3-2;…; 以此类 21. 二 【解析】a + a +1+ a +8+ a +9=82, 解得a =16, 即星期二 。 相邻两个数字的差应比左边一列相邻两数字的差大
1,
所
5. 2 . , 【解析 3, 】设从 2 层 02 到 3 层用时 2+ 为 (2 x 0 秒 23- 则 1) 从 ×3= 层 60 到 68。 层 推 , a n- a n -1=3 n -2。 将所有等式相加可以得到 ( a 2- a 1)+ 22. 二 【解析】一周有 7 天 , 所以周期是 7,2 月份有四个星 以b =24+(25-20+1)=30; 表四截取的是三行两列中的 6
8 用 5 时 x 秒 从 1 层到 2 层用时 x , 秒 从 2 层到 3 ( a 3- a 2)+…+( a n- a n -1)=(3×2-2)+(3×3-2)+…+(3 n - 期二 , 五个星期三 , 那么月末的最后一天是星期三 。 3 月 个数字 ,18 和 32 应该分别是两个相邻数字的倍数 , 因为
层用 ( 时 + x 2) , 3 秒 从 4 层到 ( 层 + 用 2+ 时 2) x , 4 5 2), 整理得到 a n- a 1 = 3×(2+3+…+ n )-2( n -1)= 有 31 天 ,4 月有 30 天 ,5 月 1 日 1 天 , 共 31+30+1= 18=3×6,32=4×8, 所以 18 在第 3 列第 6 行 ,32 在第 4 列
秒 , 由题 ( 意 + 得 2+ x 2 + + x 2 + ) 2+ x , +2+ 5 2+ x +2+ 6 2+2+ x + ( 2+ + 2 2 + + 2 2 + + 2 2 = + 9 2 0 ) , ( n -1)(3 n +2) , 则 a n = ( n -1)(3 n +2) +1, 整理得 a n = 62( 天 天 ) 经 , 因 历 为 八个 62 周 ÷7= 剩 8 余 … 的 …6, 天 所 从 以 星 从 期 3 四 月 开 1 始 到 到 5 星 月 期 1 二 日的 结 第 8 行 , 则c =32-4=28。
解得x 从 层到 层用时 2 2 62 , , 6 28. 2 10 【解析】由表格可得规律 : 每列的第 1 个数就是列
=14, 17 18 14+(18-1-1)×2=46 n2 n 2 束 因此 月 日是星期二
(
秒
),
到
18
层需要
(14+46)×(18-1)÷2=510(
秒
),510
秒 3
2
- , a 40= 3×40
2
-40 =2380, 前 40 项之和a 1+ a 2+ a 3+…+
23.
,
【解
5
析】
1 。 的平方 :10 的平方是 100,99 在 100 下方第 1 个 , 所以 99
. 分钟 193 1+2+3+4+5+…+18+19=(1+19)×(19÷2) 排在第 行第 列
6.
8
=
9
8 5
【解析
。
】登上第
1
级
,1
种
;
登上第
2
级
,2
种
;
登上第
3
a
40=
3×1
2
2 -1
+
3×2
2
2 -2
+
3×3
2
2 -3
+…+
3×40
2
2 -40
=32800。
24.
=190,190+
【
3
解
=
析
19
】
3
通
,
因
过
此
观
第
察
2
我
0
们
行
可
的
以
第
发
3
现
个数
第
是
1
个
93
图
。
中数
29.
78
【解
2
析】A
+
1
B
0
+
C
+
。
D
+
E
+
F
=351-(11+12+13)= 315,
其
级 种 登上第 级 种 登上第 级 14. 【解析】由题意得 假设第一个数是m 奇数 则第二 1000000 : 1 中A B C依次减小 D E F依次增加 可得A D B
,1+2=3( ); 4 ,2+3=5( ); 5 ,3+ 43 , ( ), , , 1, , , 1, + = +
字是 第 个图中 数字之和可以分成 部分
种 登上第 级 种 登上第 级 m m 1; 2 , 2 :(1+2)+ E C F 即第二 三排的相对的两个座位之
5=8( ); 6 ,5+8=13( ); 7 ,8+13= 个数是 m 偶数 第三个数是 +1 若 +1是偶数 = + =315÷3=105, 、
21( 种 ); 登上第 8 级 ,13+21=34( 种 ); 登上第 9 级 ,21+34 ( +1)( ), 2 。 2 , (2+3)=3+5=8, 两部分的和相差 2, 所以第 2 个图中数字 和均相等 。 可得m +( m +1)= 105, 则 m =52。 截止到 52
之和可以写成
=55( 种 ); 登上第 10 级 ,34+55=89( 种 )。 则第四个数是 m +1 可得m 若 m +1是奇数 则第 (1+2)+(2+3)=(1+2)+(1+2)+1+1=(1+ 号 , 正好是两排座位 , 则一共有 52÷2×3=78( 个 ) 座位 。
=11, =43; , 第 个图中 数字之和可以分成三部分
7. 【解析】规律为 从三月份开始 每月存放的钱数是前 4 2 2)×2+1×2=8; 3 , : 30. 解: 平行四边形框内的九个数之和是
377 : , (1) 23+25+27+39+
m m 三部分的和之
两个月钱数的总和 所以 月份存钱 元 月 四个数是 +1 可得m 不符合 +1是奇数舍 (1+2+3)+(2+3+4)+(3+4+5)= 6+9+12, 它们的平均数是 即
, 6 :8+13=21( ),7 +1=11, =19, 41+43+55+57+59=369, 369÷9=41,
份存钱 元 月份存钱 元 月 2 2 间依次相差 3, 所以第 3 个图中的数字之和可以写成 (1+ 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的 倍
:21+13=34( ),8 :34+21=55( ),9 去 故m 即第一个数是 9 。
份存钱 :55+34=89( 元 ),10 月份存钱 :89+55=144( 元 ), , =43, 43。 2+3)×3+(1+2)×3=27; 第 4 个图中 , 数字之和可以分成 (2) 有这种规律 , 理由如下 : 设中间的数为x , 则其余八个
11 月份存钱 :144+89=233( 元 ),12 月份存钱 :233+144= 类型二 数式规律 四部分 :(1+2+3+4)+(2+3+4+5)+(3+4+5+6)+(4+5+6 数为x -18, x -16, x -14, x -2, x +2, x +14, x +16, x +18, 这九
377( 元 )。 15. 7 42 【解析】观察算式可知 , 从左到右有 3 个分数 , 前 +7)=10+14+18+22, 四部分的和之间依次相差 4, 所以第 个数的和是x -18+ x -16+ x -14+ x -2+ x + x +2+ x +14+ x +16+
8. 334 【解析】这串数是按照 “ 奇奇偶 ” 的顺序循环重复排列 两个分数的分母是连续的两个自然数 , 第三个分数的分 4 个图中的数字之和可以写成 (1+2+3+4)×4+(1+2+3)× x +18=9 x 。
的 即每过 个数循环一次 次 个 按此规律 第n个图中的数字之和就是
, 3 ,500÷3=166( )……2( ), 母为前两个分数的分母的积 所以 1 1 1 故 m 4=64,…, , (1+2+3 (3) 不能等于 1998,2005, 能等于 1017, 理由如下 :1998÷9
那么到第 个数一共循环了 次 还余下 个数 所以 , = + , =7, n n n n 所以第 个图中的
500 166 , 2 , 6 7 42 +…+ )× +(1+2+3+…+ -1)× , 100
不是奇数 不合题意 7 不是奇数
共有奇数 个 n 数字和是 =222, , ;2005÷9=222 , ,
166×2+2=334( )。 =42。 (1+2+3+…+100)×100+(1+2+3+…+99)×100 9
1不合题意 是奇数 符合题意 这九个数中 7. 暗 亮 【解析】根据前 秒灯光明暗变化的情况 发现 14. 【解析】由题意得 所放小石子组成以 为首项 为 专题 图形找规律
;1017÷9=113, , , 16 , 477 , 1 ,2
30
最小的是 其规律 第 秒亮 第 秒暗 第 秒暗 每 秒一循环 公差 末项为 的等差数列 设小明共放n次 则
113-18=95。 : 1 , 2 , 3 ,…, 6 。 , 35 , , 35=1+ 类型一 生长型
专题 尾数规律 周期规律 所以第 秒是暗的 第 秒是亮 n 解得n 小明所走路程是以 为首项 为
36÷6=6,52÷6=8……4, 36 , 52 2( -1), =18。 1 ,3
29 的 1. 【解析】第 个图形需要小木棒为 根 第 个图形需
文字描述找规律 编码问题 。 公差的等差数列 项数为 则小明共走了 18×17 C 1 3 , 2
8. C 【解析】因为两个菱形的边长都为
1 cm,
所以从A开始 , 18, 18×1+
2
要小木棒为
(3+4)
根
,
第
3
个图形需要小木棒为
(3+4×2)
类型一 尾数规律 移动 后回到点A 即移动 米 根 第n个图形需要小木棒为 n 根 所以
8 cm ,2018÷8=252……2, 2018 cm ×3=477( )。 ,…, 3+4( -1) , 3+
为第 个循环组的第 在点C处 15. 【解析】根据题意可知 第一次留下的同学的编号 n 解得n 故选
1. 【解析】除去数列中的 之外 从第三个数字开始 各 253 2 cm, 。 1024 , 4( -1)=103, =26。 C。
1 1,2 , , 9. 数字 和数字 【解析】第 位上的数字是 则第 为 均为 的倍数 第二次留下 2. 【解析】通过观察发现 分割 n次 分成正方形的个数
个数的个位数字 个数字一个循环 即按 8 6 100 7, 101 2、4、6、8、10、12、…、2006( 2 ), 61 , ,
8 , 4,5,0,1,2,3,6, 位上一定是 因为无论怎样循环 数字 是必然参与循环 的同学的编号为 均为 2 的倍数 第三 为 n 分割 次 分成了 个 正方形
循环 所以第 个数字的个 6, , 6 4、8、12、…、2004( 2 ), 3 +1。 20 , 3×20+1=61( ) 。
7 ,(2006-2)÷8=250……4, 2006 的 从小数点后第 个数字到第 个循环节结束一共有 次留下的同学的编号为 均为 3 的倍数 3. 【解析】第 个图形中面积为 的正方形有 个 第
位数字是 。 1 1 8、16、…、2000( 2 ), 27 ① 1 2 , ②
1。 个数字 后面 个数字就是多个完整的周 按此规律 第n次后留下的同学的编号为 n 的倍数 个图形中面积为 正方形有 个 第 个图形中面
2. 【解析】因为 1 2 3 4 5 10 ,101-10=91, 91 …, , 2 , 1 2+3=5( ), ③
6 2 =2,2 =4,2 =8,2 =16,2 =32,2020÷ 期 因为 周期的数字个数不能超过 个 所以 10 11 则最后留下的同学的编号为 积为 的正方形有 个 第 个图形中面积
所以 2020的个位数字是 因为 1 2 3 , 91=7×13, 10 , 2 =1024,2 =2048, 1024。 1 2+3+4=9( ),…, ⑥
4=505, 2 6, 3 =3,3 =9,3 =27, 每个周期共有 个数字 这两个循环点应该标在数字 和 16. 【解析】将一根绳子对折 次 从中间剪断 绳 为 的正方形有 个
4 5 所以 2021 的个位数字 7 , 8 (1)9 17 3 , , 1 2+3+4+5+6+7=27( )。
3 是 =81, 1 3 =24 2 3,2021 3 ÷4=505……1, 所 3 以 2022 的个位 数字 6 上 。 子变成 2 3 +1=9( 段 ); 对折 4 次 , 从中间剪断 , 绳子变成 2 4 + 4. 36 【解析】由题图可得三角形数构成的数列通项 a n =
3,4 =4,4 =16,4 =64,2022÷2=1011, 4 10. 【解析】如图所示 为黑珠子 段 n n
3. 是 以 6 6 【 , 20 解 5 24 1 析 的 =5 】 个 , 因 5 位 2 为 = 是 25 6 , 的 , 所 6 任 + 以 3 何 + 5 次 6 20 + 2 方 3 5+ 的 都 6 个 = 是 2 位 6。 是 所 5 以 ,6 1 8 = 的 6, 个 6 2 位 =3 是 6, 所 7 蟋 圈 蟀 珠 跳 子 过 看 的 作 珠 一 子 个 依 周 次 期 , 为 0 。 、9 4 7 、 2 、 1 - 1 0 4 4 、 0 、 1 2 = 9 1 、 2 、 2 , 2 0 2 8 、2 、 为 9 3 、 5 红 3 、 0 4 珠 、 2 3 、 子 9 49 。 、… 49 , - 把 40 一 = , ( 1 33 2 = ( ) 1 段 7 7 ( ) 【 ; ) 解 对 。 析 折 】对 6 次 折 , 5 从 次 中 , 从 间 中 剪 间 断 剪 , 绳 断 子 , 绳 变 子 成 变 2 成 6 + 2 1 5 + = 1 6 = 5 b n ( = 2 + n2 1) 可 , 排 同理 除 可 45 得 ,9 正 9, 方 由 形 n ( 数 n + 构 1) 成 = 的 10 数 0, 列 即 通 n 项 ( n b + n= 1) n2 = , 则 20 由 0,
4 1 1, 1 1。 为黑珠子 所以 这只蟋蟀至少要跳 次 才能又落 2
8 2 个位是 像这样每 9,9 。 , 7 , ( 段 ); 对折 7 次 , 从中间剪断 , 绳子变成 2 7 +1=129( 段 )。 n n
2 个 = 数 ( 一 2× 组 2× 的 2 分 ×2 组 )×( 可 2 以 ×2 更 ×2 快 ×2 得 ) 到 = 1 数 6 字 , 的 次 6 方 , 的尾数 如 4 在黑珠子上 。 (3)2 n +1 【解析】由以上规律可知 , 将一根绳子对折 n 无正整数解 , ( 2 +1) =36, 即n ( n +1)= 72, 因为 8×9=72,
, 8 ,
次 从中间剪断 绳子变成 n 段 所以既是三角形数又是正方形数的是
3 8 =(3×3×3×3)×(3×3×3×3)= 81 2 , 个位是 1。 4 8 的个位 , , (2 +1) 。 36。
17. 解:第 站 装 个 卸 个 货车装载 个
是 8 的个位是 8 的个位是 8 的个位是 8 的个 1 : 20 、 0 , 20 5. 25 【解析】第 步画的扇形半径是 厘米 第 步画的
6,5 5,6 6,7 1,8 第 站 装 个 卸 个 货车装载 个 π 1 1 , 2
位是 8 的个位是 8 的个位是 8 的个位是 第 题解图 2 : 19 、 1 , 19+20-1=38( ), 4
6,9 1,10 0,11 1。 1+ 10 扇形的半径是 厘米 第 步画的扇形的半径是
6+1+6+5+6+1+6+1+0+1=34, 因此 ,1 8 +2 8 +3 8 +4 8 +5 8 +6 8 + 11. 1 【解析】这一串数为 1、3、8、22、60、164、448、1224、 3 第 8=1 站 9×2 装 个 卸 个 货车装载 个 厘米 第 步 1 画的扇 , 形的 3 半径是 厘米 1 第 +1= 步 2
8 8 8 8 8 的个位数字是 从第一个数开始除以 得 3 : 18 、 2 、 18+38-2=54( ), ( ), 4 1+2=3( ), 5
7 +8 +9 +10 +11 4。 3344、9136、24960、68192、…, 9, 画的扇形的半径是 厘米 所以第 步所画新扇形
4. 【解析】求一个数的末两位数字 即求这个数除以 的 到余数分别是 余数重复出 54=18×3 2+3=5( ), 5
75 , 100
余数 , 而 100=2 2 ×25, 由于 2 2 +1=5,2 6 +1=65, 所以 (2 1 +1)× 现的一组有 9 1 个 、3 , 、 2 8 0 、 2 4 6 、 ÷ 6、 9 2 = 、7 2 、 2 0 5 、 ( 5、 组 1、 ) 3 … 、8 … … 1 , ( 个 ), 则第 第 4 站 : 装 17 个 、 卸 3 个 、 货车装载 17+54-3=68( 个 ), 面积为1 4 π×5 2 = 2 4 5 π( 平方厘米 )。
2 3 2011 能被 整除 而 n n 除 个数除以 的余数是 68=17×4
(2 +1)×(2 +1)×…×(2 +1) 25 , 2 +1( ≥2) 2026 9 1。 6. 81 【解析】第一次白三角形面积为整个的 3 所以四次
以 的余数是 因为 1 所以 1 2 3 …… ,
4
2011
1,
除以
2 +
的
1
余
=3
数
,
是
(
末
2 +
两
1
位
)×
从
(2 +1
到
)×(2
中
+ 12.
5
【解析】第一次输出的结果是
:
1
×3125=625,
第二次
根据上面的规律 , 货车装载的最大值为 :11×10=110( 个 )
256 4
1)×…×(2 +1) 4 3, 00 99 5 涂色后白三角形面积是整个的 3 3 3 3 81 因为
满足被 25 整除 、 被 4 除余 3 的数是 75, 所以 (2 1 +1)×(2 2 + 输出的结果是 1 第三次输出的结果是 1 或 10×11=110( 个 ) 4 × 4 × 4 × 4 = 256 ,
1)×(2 3 +1)×…×(2 2011 +1) 的末两位数是 75。 5 ×625=125, 5 × 答 : 在整个行程中 , 快递货车装载的货包数量最多是 正三角形白纸片面积为 1, 所以经过四次涂色后 , 仍是白色
个
类型二 周期规律 第四次输出的结果是 1 第五次输出的 110 。 的面积为81 81
125=25,
5
×25=5,
类型四 编码问题 256
×1=
256
。
5. 【解析】 代表插图 代表文字 由题意知 排列顺序 7. 【解析】n 时 共有小立方体的个数为 看不见的
B ○ ,□ , : 结果是1 第六次输出的结果是 第七次输 271 =1 , 1,
×5=1, 1+4=5, 18.
为 每 个图形为一组 即科技书是按 5 0605302 小立方体的个数为 个 看得见的小立方体的个数为
○○○□○○○□… 4 , 0 , 1-0
照 页插图 页文字的周期规律交替排列 即每 页就有 出的结果是1 所以从第五次开始奇数次输
19.
7,8,2 个 n 时 共有小立方体的个数为 个
3 、1 , 4 ×5=1,……, =1( ); =2 , 2×2×2=8( ),
3 页插图 、1 页文字 , 共 159 页 ,159÷4=39……3, 共有 39 组 出为 偶数次 5 输出为 所以第 次输出的结果是 20. 101 4 【解析】根据加密方法 : 将原有的每个 1 都变成 看不见的小立方体的个数为 (2-1)×(2-1)×(2-1)= 1
○○○□, 剩余 ○○○, 所以共有插图 39×3+3=120( 页 )。 1, 类型三 文 5, 字描述 202 找 4 规律 5。 10, 原 有 的 每 个 0 变 成 01, 因 为 数 字 串 A 2 为 ( 个 ), 看得见的小立方体的个数为 8-1=7( 个 ); n =3 时 ,
6. . 【解析】整数部分按 循环 小数部分按 所以数字串A 为 则数字串 A 为 共有小立方体的个数为 个 看不见的小立方
124 87 4、5、6 , 100101101001, 1 100110, 0 3×3×3=27( ),
. . 循环 即一个周期有 个数 一个周期整数部分 13. 【解析】第一次取出 个再放回 个 盒中有 个 因为数字串A 共有 个数字 经过两次加密得到新 体的个数为 个 看得见的小立
0 03、0 04 , 6 , D 1 5 , (4+5) 101; 0 4 , (3-1)×(3-1)×(3-1)=8( ),
和为 小数部分和为 . . . 小球 第二次取出 个再放回 个 盒中有 个小 的数字串A 有 个数字 所以 数字串A 中的每个数字 方体的个数为 个 n 时 共有小立方体
4+5+6+4+5+6=30, 0 03+0 04+0 03+ , 1 5 , (4×2+5) 2 16 , , 0 27-8=19( );…; =10 ,
. . . . 一个周期和为 . . 球 第三次取出 个再放回 个 盒中有 个小 对应着数字串A 中的 个数字 个数字中至少有一对 的个数为 个 看不见的小立方体的个
0 04+0 03+0 04=0 21, 30+0 21=30 21, , 1 5 , (4×3+5) 2 4 ,4 10×10×10=1000( ),
个 个 前 项的和是 . . 球 所以第n次取出 个再放回 个 盒中有 n 个小 相邻的数字相等 故数字串A 中相邻两个数字相等的数 数为 个 看得见的小立
25÷6=4( )……1( ), 25 4×30 21+4 03= , 1 5 , (4 +5) , 2 (10-1)×(10-1)×(10-1)= 729( ),
. 球 只有 满足 对至少有 对 方体的个数为 个
124 87。 , 2021 。 4 。 1000-729=271( )。
28. 【解析】第一个有 个实心点 第二个有 【解析】将a 代入b a 得b a 到 处 粒子运动了 秒 方向
298 1 , 1+1×3+1=5 (3)61 =20 =3 +1, =3 +1=3× (100,100) , 100×101=10100( ),
个 实心点 第三个有 个 实心点 向下
( ) , 1+1×3+1+2×3+1=12( ) , 20+1=61。 ,
第四个有 个 实心点 15. 解: 答 秒钟后粒子到
1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22( ) , (1)4 6 8 :10100 (100,100)。
第n个有 n 个内点时 有 个三角形 个内点时 有 到 处 粒子运动了 秒 方向向
……, 1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3( -1)+1 (2)1 , 4 ;2 , 4+2=6 (2) (44,44) , 44×45=1980( ),
n n 个 三角形 个内点时 有 个 三角形 个 下 故到 秒 须由 再向下运动
3 ( -1) n 个 实心点 则a a ( ) ;3 , 4+2×2=8( ) ;4 , 2006 , (44,44) 2006-1980=
=[
2
+ ]( ) , 100- 99=298。
内点时 有 个 三角形 n个内点时 有 秒 到达
, 4+3×2=10( ) ;…; , 4+ 26( ), (44,18)。
9. 123 【解析】由所给图形可知 第 幅图形中 的个数 n n 个三角形 当n 时 n 答 秒后粒子到达的位置是
, 1 “ ” 2( -1)=(2 +2) 。 =100 ,2 +2=2×100 :2006 (44,18)。
182 个 观察图形可知
为 第 幅图形中 的个数为 第 幅图 +2=202( )。 (3) :
:3=1×3; 2 “ ” :8=2×4; 3 答 正方形内有 个内点 能画出 个不重叠的三 a为奇数时 粒子先到A a b
形中 的个数为 第 幅图形中 的个数为 : 100 , 202 ① , ( , );
“ ” :15=3×5; 4 “ ” : 角形 a为偶数时 粒子先到B b a
所以第n幅图形中 的个数为n n 个 。 ② , ( , )。
24=4×6;…, “ ” ( +2) 。 16. 解:由图形可以看出 第n个图形中 长方形的长被分成 类型四 变换型
, ,
所以1 1 1 1 123 了n份 长方形的宽也被分成了n份 所以每个图形中有
a +a +a +…+a = 。 , , 21. 【解析】观察前三幅图 发现后一幅图都是由前一幅
1 2 3 12 182 n n个小长方形 每个长方形又分成了 个直角三角形 64 ,
10. 解: n2 n 2 n n n为正整数 × , 2 , 图逆时针旋转 °得到的 则第四幅图涂黑的数字有
(1) -( -1) = +( -1)( ); 所以第n个图形中有 n2 个直角三角形 则当n 时 90 , 1,
相邻两个自然数 除外 的平方差等于这两个自然数 2 , =100 , 即涂黑方格中所填数字之和是
之和 (0 ) 长方形 ABCD应分为直角三角形数量是 2×100 2 =20000 5,7,12,18,21, 1+5+7+
。 12+18+21=64。
个 图形中最外边的边有 n条 如果每个三角形边数
2 2 2 2 2 2 2 ( ); 4 , 22. 【解析】由题图可知a a a
(2)2025 -2024 +2023 -2022 +…+3 -2 +1
和再加上 n就将图形中边数加了两遍 所以图形中边数
11 3=12=3×4, 4=20=4×5, 5=
4 , a n n n n 解得n
=2025+2024+2023+2022+…+3+2+1 30=5×6,…, n= ( +1), ( +1)=132, =11。
n2 n
=(2025+1)×2025÷2
为
(
2 ×3+4
)
条
,
即
(3
n2
+2
n
)
条
,
当n
=100
时
,3
n2
+2
n
=
2
=2051325 2 条
3×100 +2×100=30200( )。
类型二 线、图相交与分割型
答 当n 时 长方形ABCD应分为 个直角三角
: =100 , 20000
11. 【解析】根据题意可知 在同一平面内 条直线相交 形 总计数出 条边
A , ,2 , 30200 。
最多有 个交点 条直线相交最多有 个 交点
类型三 蛇型
1 ,3 1+2=3( ) ,
条直线相交最多有 个 交点 所以 条
4 1+2+3=6( ) ,…, 11 17. 【解析】观察图形可知 开始是 拐弯处的数依次为
直线相交最多有 个 D , 1,
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55( )
每
交点 1+1=2,2+1=3,3+2=5,5+2=7,7+3=10,10+3=13,
。
次增加的数是从 开始的自然数 并且重复 次 按照此
12. 【解析】第一个正方形四个顶点数字的和为 1 , 2 ,
70 1+1+2+
规律可以推算出第 次拐弯处的数是
15 65。
3=7;
第二个正方形四个顶点数字的和为
1+
3
+
5
+2= 18. 【解析】由图可知 每 个数为一个循环组依次循环
2 2 Ⓓ , 4 ,
因为 是第 个数 所以 应位
第三个正方形四个顶点数字的和为 5 9 3 2023 2024 ,2024÷4=506, 2023
7; +2+ + =7; 于第 循环组的第 个数 在 位置上
4 4 2 506 4 , Ⓓ 。
所以前 个正方形各顶点的数字和为 19. 【解析】由题意可知 第n次转弯的数为
…。 10 7×10=70。 211 2025079 ,
n n n n
13. ( -3) 【解析】在边数大于 的n边形中 以一个顶点 n ( +1) 故第 次转弯的数为
3 , 1+(1+2+3+…+ )= +1, 20
2 2
为例 除了它自身以及左右与它相邻的两个顶点外 这一
, , 20×(20+1) 第 次 转 弯 的 数 为
顶点与其他各顶点都可画出对角线 即过 n 边形的一个 + 1 = 211, 2012
, 2
顶点可画出 n 条对角线 因为n边形共有n个顶点
( -3) , , 2012×(2012+1)
+1=2025079。
所以一共可画出n n 条对角线 由于每条对角线连 2
( -3) 。
20. 解: 粒子所在位置与运动的时间的情况如下
接两个顶点 故均算了两次 因此 n 边形的对角线有 (1) :
, ,
位置 运动了 秒 方向向左
n n (1,1): 2=1×2 , ;
( -3)条
。 位置 运动了 秒 方向向下
2 (2,2): 6=2×3 , ;
14. 位置 运动了 秒 方向向左
(1)7 10 (3,3): 12=3×4 , ;
b a 【解析】观察题图 如果剪切次数用a表示 位置 运动了 秒 方向向下
(2) =3 +1 , , (4,4): 20=4×5 , ;
分成的段数用b表示时 a和b的关系是 b a 到 n n 处 粒子运动了n n 秒钟 当n为奇数时方向
, : =3×( +1)-2 ( , ) , ( +1) ,
a 向左 当n为偶数时方向向下
=3 +1。 , 。
3
