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吉林省 2025 年初中学业水平考试
数学试题
数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域
内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无
效．
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分）
1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点 ，则点 表示的数为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ）
A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦
3. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的
中心旋转角 后，能够与它本身重合，则角 的大小可以为（ ）
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A. B. C. D.
6. 如图，在 中， ．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当
长为半径画弧，分别交边 于点M，N；（2）以点C为圆心， 长为半径画弧，交边 于点
；再以点 为圆心， 长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M；
（3）过点M画射线 交边 于点D．下列结论错误的为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 因式分解： ______．
8. 计算： __．
9. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：
有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而
步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________．
10. 如图，正五边形 的边 的延长线交于点F，则 的大小为________度．
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11. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于A，B两点，分别以点
A，点B为圆心，画半径为1的 和 ．当 ， 分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连
接 ， ，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留 ）
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12. 先化简，再求值： ，其中 ．
13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．
由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分
组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率．
14. 吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品
出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230
元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
在
15. 如图， 矩形 中，点E，F在边 上，连接 ， ．
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（1）求证： ．
（2）当 ， 时，求 的长．
16. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点 内接于⊙O，且点A，B，
C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
在
（1） 图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出 ，使 ．
（2）在图②中找一个格点E，画出 ，使 ．
17. 端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽
子比赛，规定：粽子质量为 克时，其质量等级为合格；粽子质量为 克时，其质量等级
为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子．质检员小李从
甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息：
被抽检粽子的质量（单位：克）分布
甲 15
144 146 147 148 150 152 152 154 155
组 2
乙 15
146 147 147 150 150 153 154 155
组 1
被抽检粽子质量 的平均数和众数（单位：克）统计
平均
参赛小组 众数
数
甲组 150 152
乙组 150 147
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是
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否为优秀？
（2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两
个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由．
18. 综合与实践：确定建筑物的 打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的 打
印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的 打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制
作 打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
活动目
测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其 打印模型的高度
项 标
目
分
测量工
析 测角仪、皮尺
具
以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．
1．测出测角仪的高 ．
2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角 ．
3．测出测角仪 底端D处到展览馆 底端B处之间的距离
．
任务一
项 测量数
目 据
实
施
任务二
根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆 的高度．（结果精确
计算实
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到1m）（参考数据： ， ，
际高度
）
任务三
将该城市规划展览馆 的高度按 等比例缩小，得到其 打印
换算模
模型的高度约为________ ．（结果精确到 ）
型高度
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的 打印模型提供数据
请结合上表中 的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
19. 如图，在 中， ， ， ．动点P从点A出发，沿边 以每秒1
个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以 为边作正方形 ，使点D和点B始终在
边 同侧．设点P的运动时间为 ，正方形 与 重叠部分图形的面积为y（平方
单位）．
（1） 的长为_______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形 的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
20. 【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两
个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到
甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不
计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的
密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时， ；
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当小铝块浸入液面后， ．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数 与小铝块各自
下降的高度 之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当 时，求弹簧测力计A的示数 关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 ，若使乙液体中
的小铝块所受的浮力也为 ，则乙液体中小铝块浸入的深度为 ，直接写出m，n的值．
21. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠
问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在平行四边形 中， ， ，E为边 的中点，点F在边
上，且 ，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点D的对称点为点G．小组成员发
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现四边形 是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
的
【探究证明】取图①中 边 的中点M，点N在边 上，且 ，连接 ，将 沿
翻折得到 ，点B的对称点为点H．连接 ， ，如图②．求证：四边形 是平行
四边形．
【探究提升】在图②中，四边形 能否成为轴对称图形．如果能，直接写出 的值；如果不能，
说明理由．
22. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 经过点 ．点 在此抛物线
上，其横坐标为 ，连接 并延长至点 ，使 ．当点 不在坐标轴上时，过点 作 轴的垂
线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线交于点 ．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2） 被 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变
化，说明理由．
（3）当 的边 经过此抛物线的最低点时，求点 的坐标．
（4）当此抛物线在 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围．
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