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专题12 概率统计
1．（新课标全国Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩
产量（均在
之间，单位：kg）并部分整理下表
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
2．（新高考天津卷）下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
1
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4．（新高考上海卷）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
5．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，
得到推动出口后亩收入的样本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入
服从正态分
布
，假设推动出口后的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分
布
，
）
A．
B．
C．
D．
6．（新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字
1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己
持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，然后
各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2 的
概率为 .
7．（全国甲卷数学（理））有6 个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3
次，每次取1 个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则
与
差的绝对值不超过
的概率是 ．
8．（新高考天津卷）
五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到
的概率为
；已知乙选了
活动，他再选择
活动的概率为 ．
9．（新高考上海卷）某校举办科学竞技比赛，有
3 种题库，
题库有5000 道题，
题库有4000
道题，
题库有3000 道题．小申已完成所有题，他
题库的正确率是0.92，
题库的正确率是0.86，
题
库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
2
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10．（新课标全国Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第
一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0 分；若至少投中一
次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3 次，每次投中得5 分，未投中得0 分.该队的比赛成
绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概
率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
11．（全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间
的产品中随机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能否认为生
产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
3
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附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
12．（新高考北京卷）已知某险种的保费为
万元，前3 次出险每次赔付
万元，第4 次赔付
万元
赔偿次
数
0
1
2
3
4
单数
在总体中抽样100 单，以频率估计概率：
(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2 次的概率；
(2)（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为
，估计
的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降
，已赔偿过的增加
．估计保单下一保险期毛利润
的数学期望．
13．（新高考上海卷）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 名学生中抽
取580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有
的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
（附：
其中
，
．）
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，
，12，14，21，若该组数据的中
4
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位数是极差的
，则该组数据的第45 百分位数是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
2．（2024·福建泉州·二模）己知线性回归方程
相应于点
的残差为
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．2.4
D．2.5
3．（2024·陕西·三模）2024 年1 月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共
3 小题，每小题6 分，满分18 分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6 分，有
选错的得0 分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3 分；若某小题正
确选项为三个，漏选一个正确选项得4 分，漏选两个正确选项得2 分）．已知在某次新结构数学试题的考
试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了
一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据
的散点图可知，
与
的关系
可以用模型
拟合，设
，利用最小二乘法求得
关于 的回归方程
.
已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办
了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000 名师生的竞赛成绩（满分100 分，成绩取整数）整理成
如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85 百分位数为（ ）分
5
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A．84
B．85
C．86
D．87
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100 天
每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得
出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．估计该学生每日完成作业的时间在2 小时至2.5 小时的有50 天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3 小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625 小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3 小时
7．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设
，若
，
，则
C．线性回归直线
一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100 个大小相同的球，其中有40 个黄球、60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球
作为样本，用随机变量X 表示样本中黄球的个数，则X 服从二项分布，且
8．（2024·湖北荆州·三模）根据变量
和
的成对样本数据，由一元线性回归模型
得
6
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到经验回归模型
，求得如图所示的残差图.模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的
的假设
C．不满足一元线性回归模型的
假设
D．不满足一元线性回归模型的
和
的假设
9．（2024·黑龙江·二模）根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得
，依据
的独立性
检验，结论为（ ）参考值：
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
A．x 与y 不独立
B．x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C． x 与y 独立
D．x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）袋子中有9 个除颜色外完全相同的小球，其中5 个红球，4 个黄球．若从
袋子中任取3 个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2 红1 黄的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河南·三模）已知
0.9973.某体育器材
厂生产一批篮球，单个篮球的质量
（单位：克）服从正态分布
，从这一批篮球中随机抽检300
个，则被抽检的篮球的质量不小于596 克的个数约为（ ）
7
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A．286
B．293
C．252
D．246
12．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分
别为
，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
二、多选题
14．（2024·河北·三模）根据中国报告大厅对2023 年3 月~10 月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能
发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：
月份
3
4
5
6
发电量/亿千瓦时
242.94
230.87
240.59
259.33
月份
7
8
9
10
发电量/亿千瓦时
258.9
269.19
246.06
244.31
关于2023 年3 月~10 月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）
A．中位数是259.115
B．极差是38.32
C．第85 百分位数是259.33
D．第25 百分位数是240.59
15．（2024·江西南昌·二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机
抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
喜爱足球运
动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
甲校样本
8
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喜爱足球运
动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
乙校样本
（参考公式及数据:
）.
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
则下列判断中正确的是（ ）
A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C．根据甲校样本有
的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D．根据乙校样本有
的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
16．（2024·湖南长沙·三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1 名体育
生组成甲组，3 名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3
次，乙组的同学每人各投球1 次.若甲组同学和乙组3 名同学的命中率依次分别为
，则（ ）
A．乙组同学恰好命中2 次的概率为
B．甲组同学恰好命中2 次的概率小于乙组同学恰好命中2 次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
17．（2024·全国·二模）甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装
有3 个红球和4 个绿球；乙袋中装有5 个红球和2 个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从
乙袋中随机获出一个小球，记
表示事件“从甲袋摸出的是红球”，
表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，
9
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记
表示事件“从乙袋摸出的是红球”，
表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是
（ ）
A．
，
是对立事件
B．
，
是独立事件
C．
D．
18．（2024·河南·二模）现有编号分别为
的三个盒子，其中
盒中共20 个小球，其中红球6 个，
盒中共20 个小球，其中红球5 个，
盒中共30 个小球，其中红球6 个.现从所有球中随机抽取一个，记
事件
：“该球为红球”，事件
：“该球出自编号为
的盒中”，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自
盒的概率最小
19．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件
，“乙正
面向上”为事件
，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件
，则下列判断正确的是（ ）
A．
与
相互独立
B．
与
互斥
C．
D．
20．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3 个红球和2 个白球，乙袋中有2 个白球和2 个红球.现从甲袋
中任取2 个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2 个球.下列选项正确的是（ ）
A．从甲袋中任取2 个球是1 个红球1 个白球的概率为
B．从甲、乙两袋中取出的2 个球均为红球的概率为
C．从乙袋中取出的2 个球是红球的概率为
10
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D．已知从乙袋中取出的是2 个红球，则从甲袋中取出的也是2 个红球的概率为
三、填空题
21．（2024·上海·三模）已知A 工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，
正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为
22．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，
4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的
球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2 号球的概率为
．
23．（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10 个大小相同的球，其中红球7 个，黑球3 个.每次从袋中随机
摸出1 个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3 次都摸到红球的概率为
；在第1，2 次都摸到红球的条件
下，第3 次摸到红球的概率为
.求
.
24．（2024·福建厦门·模拟预测）在n 维空间中（
，
），以单位长度为边长的“立方体”的顶点
坐标可表示为n 维坐标
，其中
.则5 维“立方体”的顶点个数是 ；
定义：在n 维空间中两点
与
的曼哈顿距离为
.在5 维
“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则
.
25．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔
等可
能地向左或向右移动一个单位，共移动5 次.该质点在有且仅有一次经过
位置的条件下，共经过两次1 位
置的概率为 .
26．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为
的四个外观相同的空箱子中随机
选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某
个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择
11
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以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用
表示号箱有奖品（
），用
表示主持人打
开号箱子（
），则
，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
四、解答题
27．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4 的四个外观相同的空箱子中
随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人
请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2 号
箱，在打开2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开
甲选择之外的一个空箱子，记为X 号箱．
(1)求
的概率；
(2)求X 的方差；
(3)若
，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2 号箱，还是改选3 号或4 号箱？
28．（2024·陕西·三模）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023 年火
爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024 年1 月6 日，万众瞩目的2024 年“村超”新赛季在“村味”十足
的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，为了解不同年龄的游
客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35 周岁和年龄不超过35 周岁各
200 人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．设事件
“游客对“村
超”满意”，事件
“游客年龄不超过35 周岁”，据统计，
．
(1)根据已知条件，填写下列
列联表并说明理由；
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35 周岁
年龄超过35 周岁
合计
(2)由（1）中
列联表数据，分析是否有
的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？附：
．
参考数据：
12
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0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
29．（2024·浙江杭州·二模）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景
点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App 平台10 天预订票销售情况：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量
（万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得：
.
(1)因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App 平台在第10 天时系统异常，现剔除第10 天数据，
求
关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；
(2)该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中
张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），
的分布列如下：
2
3
4
今从某份团体票中随机抽取2 张，恰有1 张为有奖门票，求该份团体票中共有3 张有奖门票的概率.
附：对于一组数据
，其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
30．（2024·湖南长沙·三模）如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔
向左或向右
移动一个单位，向右移动的概率为
，共移动
，设随机变量
为移动
后质点的坐标.
(1)求移动
后质点的坐标为正数的概率；
(2)求随机变量
的分布列及数学期望.
13
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31．（2024·北京·三模）某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有
两个指标．从两条产
品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：
甲生产
线
产品序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
指标
0.98
0.96
1.07
1.02
1.00
0.93
0.92
0.96
1.11
1.02
指标
2.01
1.97
1.96
2.03
2.03
1.98
1.95
1.99
2.07
2.02
乙生产线
产品序号
1
2
3
4
5
6
7
8
指标
1.02
0.97
0.95
0.94
1.13
0.98
0.97
1.01
指标
2.01
2.03
2.15
1.93
2.01
2.02
2.19
2.04
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其
指标大于1 且
指标大于2 的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X 表示
指标大于2 的产品数，估计X 的数学期望；
(3)已知产品
指标之和与3 的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生
产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
32．（2024·湖南衡阳·三模）现有A，B 两个不透明盒子，都装有m 个红球和m 个白球，这些球的大小、
形状、质地完全相同．
(1)若
，甲、乙、丙依次从A 盒中不放回的摸出一球，设X 表示三人摸出的白球个数之和，求X 的分
布列与数学期望；
(2)若
，从A、B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，
次这样的操作后，记A
盒子中红球的个数为
，求：
（i）
的概率；
（ii）
的分布列．
33．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1 格，第2 格，
，第25 格，棋子开始在
第1 格．盒中有5 个大小相同的小球，其中3 个红球，2 个白球（5 个球除颜色外其他都相同）．每次甲在
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盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1 格；若两球颜色不同，棋子向
前跳2 格，直到棋子跳到第24 格或第25 格时，游戏结束．记棋子跳到第
格的概率为
．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为
，求
的分布列和期望；
(2)求
的通项公式．
34．（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有
个红球和2 个白球，乙口袋有
个红球和2 个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口
袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球.
(1)当
时，
（i）求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
（ii）设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为
，求
的数学期望；
(2)当
时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸出红球的概率为
，则当
为何值时，
最大？
35．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难
的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保
学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行
简单随机抽样，获得数据如表:
男
女
支持方案
一
24
16
支持方案
二
25
35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1 人，设
为抽出两人中女生的个数，求
的分布
列与数学期望;
(2)在(1)中
表示抽出两人中男生的个数，试判断方差
与
的大小.
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