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专题12 概率统计
1．（新课标全国Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩
产量（均在
之间，单位：kg）并部分整理下表
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
【答案】C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计
算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知,
,
所以亩产量的中位数不小于
, 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于
的频数为24+10=34
，
所以低于
的稻田占比为
，故B 错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为
，最小为
，故C 正确；
对于D，由频数分布表可得，亩产量在
的频数为
，
所以平均值为
，故D 错误.
故选；C.
1
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2．（新高考天津卷）下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由点的分布特征可直接判断
【详解】观察4 幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较
好，呈现明显的正相关，
值相比于其他3 图更接近1.
故选：A
3．（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有
种排法，丁就种，共
种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共
种；
于是甲排在排尾共
种方法，同理乙排在排尾共
种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是
，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为
.
故选：B
4．（新高考上海卷）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
2
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A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【答案】C
【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.
【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB 错误.
对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
故C 正确，D 错误.
故选：C.
5．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，
得到推动出口后亩收入的样本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入
服从正态分
布
，假设推动出口后的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分
布
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的
原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，
，所以
，
故
，C 正确，D 错误；
因为
，所以
，
因为
，所以
，
而
，B 正确，A 错误，
3
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故选：BC．
6．（新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字
1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己
持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，然后
各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2 的
概率为 .
【答案】
/0.5
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为
，四轮的总得分为
.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在
该轮获胜的概率
，所以
.
从而
.
记
.
如果甲得0 分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7 分别对应乙出2，4，6，8，所以
；
如果甲得3 分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7 分别对应乙出8，2，4，6，所以
.
而
的所有可能取值是0，1，2，3，故
，
.
所以
，
，两式相减即得
，故
.
所以甲的总得分不小于2 的概率为
.
4
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故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从
而避免繁琐的列举.
7．（全国甲卷数学（理））有6 个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3
次，每次取1 个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则
与
差的绝对值不超过
的概率是 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为
，第三个球的号码为，则
，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6 个不同的球中不放回地抽取3 次，共有
种，
设前两个球的号码为
，第三个球的号码为，则
，
故
，故
，
故
，
若
，则
，则
为：
，故有2 种，
若
，则
，则
为：
，
，故有10 种，
当
，则
，则
为：
，
，
故有16 种，
当
，则
，同理有16 种，
当
，则
，同理有10 种，
当
，则
，同理有2 种，
5
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共
与
的差的绝对值不超过
时不同的抽取方法总数为
，
故所求概率为
.
故答案为：
8．（新高考天津卷）
五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到
的概率为
；已知乙选了
活动，他再选择
活动的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到
的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选
了
活动，他再选择
活动的概率.
【详解】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10 种情况，
其中甲选到
有6 种可能性：
，
则甲选到
得概率为：
；
乙选
活动有6 种可能性：
，
其中再选则
有3 种可能性：
，
故乙选了
活动，他再选择
活动的概率为
.
解法二：
设甲、乙选到
为事件
，乙选到
为事件
，
则甲选到
的概率为
；
乙选了
活动，他再选择
活动的概率为
6
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故答案为：
；
9．（新高考上海卷）某校举办科学竞技比赛，有
3 种题库，
题库有5000 道题，
题库有4000
道题，
题库有3000 道题．小申已完成所有题，他
题库的正确率是0.92，
题库的正确率是0.86，
题
库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，
题库的比例为：
，
各占比分别为
，
则根据全概率公式知所求正确率
．
故答案为：0.85．
10．（新课标全国Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第
一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0 分；若至少投中一
次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3 次，每次投中得5 分，未投中得0 分.该队的比赛成
绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概
率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出
，
，再作差因式分解即可判断；(ii)首先
得到
和
的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分，则甲第一阶段至少投中1 次，乙第二阶段也至少投中
1 次，
7
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比赛成绩不少于5 分的概率
.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为
，则
，
，
则
，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大
8
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小关系，最后得到结论.
11．（全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间
的产品中随机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能否认为生
产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
9
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【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算
，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得
，根据题意计算
，结合题意分析判断.
【详解】（1）根据题意可得列联表：
优级品
非优级品
甲车
间
26
24
乙车
间
70
30
可得
，
因为
，
所以有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有
的把握认为甲，乙两车间产品的
优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为
，
用频率估计概率可得
，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率
，
则
，
可知
，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
12．（新高考北京卷）已知某险种的保费为
万元，前3 次出险每次赔付
万元，第4 次赔付
万元
赔偿次
数
0
1
2
3
4
单数
在总体中抽样100 单，以频率估计概率：
(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2 次的概率；
10
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(2)（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为
，估计
的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降
，已赔偿过的增加
．估计保单下一保险期毛利润
的数学期望．
【答案】(1)
(2)(i)0.122 万元 (ii)
万元
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2 的概率;
（2）（ⅰ）设
为赔付金额，则
可取
，用频率估计概率后可求
的分布列及数学期望，
从而可求
.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求
.
【详解】（1）设
为“随机抽取一单，赔偿不少于2 次”，
由题设中的统计数据可得
.
（2）（ⅰ）设
为赔付金额，则
可取
，
由题设中的统计数据可得
，
，
，
，
故
故
（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为
，
故
（万元）
13．（新高考上海卷）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 名学生中抽
取580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
11
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时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有
的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
（附：
其中
，
．）
【答案】(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.
【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1 小时的人数为占比
，
则估计该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时的人数为
．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9 小时.
（3）由题列联表如下：
其他
合计
优秀
45
50
95
不优
秀
177
308
485
合计
222
358
580
12
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提出零假设
：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1 小时但少于2 小时无关．
其中
．
．
则零假设不成立，
即有
的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关．
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，
，12，14，21，若该组数据的中
位数是极差的
，则该组数据的第45 百分位数是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】D
【分析】利用对极差及中位数的概念理解，就可解得.
【详解】由已知可得极差是：
，而中位数是极差的
，即中位数是
，
根据六个数的中位数是：
，解得
，
故选：D.
2．（2024·福建泉州·二模）己知线性回归方程
相应于点
的残差为
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．2.4
D．2.5
【答案】D
【分析】根据线性回归方程估计
，再根据残差定义列方程，解得结果即可.
【详解】因为相应于点
的残差为
，所以
，
所以
，解得
.
故选：D.
3．（2024·陕西·三模）2024 年1 月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共
13
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3 小题，每小题6 分，满分18 分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6 分，有
选错的得0 分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3 分；若某小题正
确选项为三个，漏选一个正确选项得4 分，漏选两个正确选项得2 分）．已知在某次新结构数学试题的考
试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了
一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】先对各题得分情况分别进行统计，再对总得分情况分析排序，根据中位数规定即可求得.
【详解】由题意得小明同学第一题得6 分：
第二题选了2 个选项，可能得分情况有3 种，分别是得0 分、4 分和6 分；
第三题选了1 个选项，可能得分情况有3 种，分别是得0 分、2 分和3 分；
由于相同总分只记录一次，因此小明的总得分情况有：
6 分、8 分、9 分、10 分、12 分、13 分、14 分、15 分共8 种情况，所以中位数为
.
故选：C.
4．（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据
的散点图可知，
与
的关系
可以用模型
拟合，设
，利用最小二乘法求得
关于 的回归方程
.
已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】利用已知数据可求得样本中心点
，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出
.
【详解】由
可得：
，
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由
可得：
，
由回归方程
必过样本中心点
，即过点
，
所以
，解得
，
故选：C.
5．（2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办
了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000 名师生的竞赛成绩（满分100 分，成绩取整数）整理成
如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85 百分位数为（ ）分
A．84
B．85
C．86
D．87
【答案】C
【分析】根据百分位数定义，结合数据求解即可.
【详解】由
，解得：
，
所以前4 组频率之和为
，前5 组频率之和为
，
设这组数据的第85 百分位数为
，则
，解得：
，
故选：C
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100 天
每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得
出了下列结论，其中正确的是（ ）
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A．估计该学生每日完成作业的时间在2 小时至2.5 小时的有50 天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3 小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625 小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3 小时
【答案】C
【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解.
【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2 小时至2.5 小时的天数为：
天，故A 错
误；
对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3 小时的概率为
，故B 错误；
对于C，
的频率为
，
的频率为
，
则该学生每日完成作业时间的中位数为
，故C 正确；
对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为
，故D 错误；
故选：C
7．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设
，若
，
，则
C．线性回归直线
一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100 个大小相同的球，其中有40 个黄球、60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球
作为样本，用随机变量X 表示样本中黄球的个数，则X 服从二项分布，且
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【答案】D
【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的定义依次判断选
项即可.
【详解】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A 正确；
B：由
，得
，解得
，故B 正确；
C：线性回归直线
一定经过样本点的中心
，故C 正确；
D：由于是不放回地随机摸出20 个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知
服从超几何分布，得
，故D 错误；
故选：D
8．（2024·湖北荆州·三模）根据变量
和
的成对样本数据，由一元线性回归模型
得
到经验回归模型
，求得如图所示的残差图.模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的
的假设
C．不满足一元线性回归模型的
假设
D．不满足一元线性回归模型的
和
的假设
【答案】D
【分析】根据一元线性回归模型
的有关概念即可判断.
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【详解】用一元线性回归模型
得到经验回归模型
，
根据对应的残差图，残差的均值
不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状
区域上，
说明残差与坐标轴变量有二次关系，
不满足一元线性回归模型，
故选：D.
9．（2024·黑龙江·二模）根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得
，依据
的独立性
检验，结论为（ ）参考值：
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
A．x 与y 不独立
B．x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C． x 与y 独立
D．x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.
【详解】零假设
为：x 与y 独立，
由
，依据
的独立性检验，可得
成立，
故可以认为x 与y 独立.
故选：C.
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）袋子中有9 个除颜色外完全相同的小球，其中5 个红球，4 个黄球．若从
袋子中任取3 个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2 红1 黄的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】记摸到的球颜色不同为事件
，摸到2 红1 黄为事件
，由条件概率公式计算可得.
【详解】记摸到的球颜色不同为事件
，摸到2 红1 黄为事件
，
18
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则
，
，
所以
.
故选：B
11．（2024·河南·三模）已知
0.9973.某体育器材
厂生产一批篮球，单个篮球的质量
（单位：克）服从正态分布
，从这一批篮球中随机抽检300
个，则被抽检的篮球的质量不小于596 克的个数约为（ ）
A．286
B．293
C．252
D．246
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出
的概率，即可得解.
【详解】由题意得
，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596 克的个数约为293.
故选：B.
12．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分
别为
，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件
，三人中恰有两人命中为事件
，结合相互独
19
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立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件
，
每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件
，
则
，
，则
.
故选：D．
13．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可
【详解】根据正态曲线的对称性，由
，得
，
因为
，
所以
.
故选：A
二、多选题
14．（2024·河北·三模）根据中国报告大厅对2023 年3 月~10 月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能
发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：
月份
3
4
5
6
发电量/亿千瓦时
242.94
230.87
240.59
259.33
月份
7
8
9
10
发电量/亿千瓦时
258.9
269.19
246.06
244.31
关于2023 年3 月~10 月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）
20
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A．中位数是259.115
B．极差是38.32
C．第85 百分位数是259.33
D．第25 百分位数是240.59
【答案】BC
【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】将数据从小到大排序可得
，共8 个数据，
所以中位数是
，故A 错误；
极差是
，故B 正确；
因为
，所以第85 百分位数是第7 个数，即
，故C 正确；
因为
，所以第25 百分位数是
，故D 错误；
故选:BC
15．（2024·江西南昌·二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机
抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
喜爱足球运
动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
甲校样本
喜爱足球运
动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
乙校样本
（参考公式及数据:
）.
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
21
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则下列判断中正确的是（ ）
A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C．根据甲校样本有
的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D．根据乙校样本有
的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
【答案】AD
【分析】对AB，根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可；对CD，根据独立性检验的性
质判断即可.
【详解】对A，甲校男学生喜爱足球运动的比例
，乙校男学生喜爱足球运动的比例
，
即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A 正确；
对B，甲校女学生喜爱足球运动的比例
，乙校女学生喜爱足球运动的比例
，
即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B 错误；
对C，甲校中
，
所以根据甲校样本没有
的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C 错误；
对D，乙校中
，
所以根据乙校样本有
的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D 正确；
故选：AD
16．（2024·湖南长沙·三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1 名体育
生组成甲组，3 名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3
次，乙组的同学每人各投球1 次.若甲组同学和乙组3 名同学的命中率依次分别为
，则（ ）
A．乙组同学恰好命中2 次的概率为
B．甲组同学恰好命中2 次的概率小于乙组同学恰好命中2 次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
22
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D．乙组同学命中次数的数学期望为
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A 错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定
B 正确，结合二项分布的方差，可判定C 中，由乙组同学命中次数为随机变量
的所有可能取值为
，
求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，设“乙组同学恰好命中2 次”为事件
，则
，所以A 错误；
对于B 中，设“甲组同学恰好命中2 次”为事件
，则
，因为
，所以B 正
确；
对于C 中，因为甲组同学每次命中的概率都为
，设甲组同学命中次数为
，则
，可得
，所以C 正确；
对于D 中，设乙组同学命中次数为随机变量
，则
的所有可能取值为
，
所以
，
，
，
故
，所以D 正确.
故选：BCD.
17．（2024·全国·二模）甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装
有3 个红球和4 个绿球；乙袋中装有5 个红球和2 个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从
23
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乙袋中随机获出一个小球，记
表示事件“从甲袋摸出的是红球”，
表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，
记
表示事件“从乙袋摸出的是红球”，
表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是
（ ）
A．
，
是对立事件
B．
，
是独立事件
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据对立事件的定义即可判断A；根据独立事件的定义即可判断B，利用条件概率即可判断CD.
【详解】A：由题意知，每次只摸出一个球，
，
，
则
，所以
对立，故A 正确；
B：
，
，
则
，所以
不相互独立，故B 错误；
C：
，故C 错误；
D：
，
，
所以
，故D 正确.
故选：AD
18．（2024·河南·二模）现有编号分别为
的三个盒子，其中
盒中共20 个小球，其中红球6 个，
盒中共20 个小球，其中红球5 个，
盒中共30 个小球，其中红球6 个.现从所有球中随机抽取一个，记
事件
：“该球为红球”，事件
：“该球出自编号为
的盒中”，则下列说法正确的是
24
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（ ）
A．
B．
C．
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自
盒的概率最小
【答案】ACD
【分析】由古典概率先计算
，再由条件概率计算得到A 正确；由全概率计算得到B 错误；由条件概
率得到C 正确；由古典概率得到D 正确.
【详解】A：由题
，
，故A 正确；
B：由选项A 可得
，故
B 错误；
C：因为
，所以
，
所以
，故C 正确；
D：由题该球来自
的概率为
，该球来自
的概率为
，该球来自
的概率为
，
所以该球来自
的概率最小，故D 正确.
故选：ACD.
25
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【点睛】关键点点睛：本题A，C 关键在于应用条件概率公式即
.
19．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件
，“乙正
面向上”为事件
，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件
，则下列判断正确的是（ ）
A．
与
相互独立
B．
与
互斥
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据独立事件及条件概率的概率公式
判断C、D.
【详解】对于A，依题意
，
，
，
所以事件
与事件
相互独立，故A 正确；
对于B，由题意可知，事件
与事件
有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件
与事件
不是互斥事件，故B 错误；
对于C、D，
，因为
，所以
，
所以
，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
20．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3 个红球和2 个白球，乙袋中有2 个白球和2 个红球.现从甲袋
中任取2 个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2 个球.下列选项正确的是（ ）
A．从甲袋中任取2 个球是1 个红球1 个白球的概率为
B．从甲、乙两袋中取出的2 个球均为红球的概率为
C．从乙袋中取出的2 个球是红球的概率为
D．已知从乙袋中取出的是2 个红球，则从甲袋中取出的也是2 个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解.
26
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【详解】从甲袋中取出
个球有个红球的事件为
，从乙袋中取出
个球红球的事件为
，
，
，
，
，
，
，
对于A，从甲袋中任取2 个球是1 个红球1 个白球的概率为
，A 正确；
对于B，从甲、乙两袋中取出的2 个球均为红球的概率为
，B 错误；
对于C，从乙袋中取出的2 个球是红球的概率
，C 正
确；
对于D，从乙袋中取出的是2 个红球，则从甲袋中取出的也是2 个红球的概率
，D 正确.
故选：ACD
三、填空题
21．（2024·上海·三模）已知A 工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，
正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为
【答案】0.92
【分析】根据题意利用全概率公式直接求解即可.
【详解】因为A 工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为
95％，
所以从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为
，
故答案为：0.92
22．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，
4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的
球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2 号球的概率为
27
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．
【答案】
【分析】设事件“甲获胜”为事件
，事件“乙摸到2 号球”为事件
，由古典概率公式求出
，再由条件概率求解即可.
【详解】设事件“甲获胜”为事件
，事件“乙摸到2 号球”为事件
，
则
，
，
所以
，
故答案为：
．
23．（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10 个大小相同的球，其中红球7 个，黑球3 个.每次从袋中随机
摸出1 个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3 次都摸到红球的概率为
；在第1，2 次都摸到红球的条件
下，第3 次摸到红球的概率为
.求
.
【答案】
【分析】利用古典概率公式求出
，利用条件概率公式求出
即可.
【详解】由题意可得
，
设事件
表示“在第1,2 次都摸到红球”，事件
表示“第3 次摸到红球”，
则
，
所以
，
28
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所以
，
故答案为：
.
24．（2024·福建厦门·模拟预测）在n 维空间中（
，
），以单位长度为边长的“立方体”的顶点
坐标可表示为n 维坐标
，其中
.则5 维“立方体”的顶点个数是 ；
定义：在n 维空间中两点
与
的曼哈顿距离为
.在5 维
“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则
.
【答案】 32
【分析】第一空由题意根据分步乘法原理，求解即可；第二空先确定样本点总数，再得到
的可能取值，
求出概率
，列出分布列，求出期望.
【详解】（1）
的可能值为0，1（
，
）.故五维立方体的顶点有
个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为
，M，N 为五维立方体的顶点
样本点总数：
当
时，有k 个第i 维坐标值不同，有
个第i 维坐标值相同.
满足
的样本点
个数为
.
所以
.
故分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
29
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.
故答案为：32；
.
【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于确定当
时，有k 个第i 维坐标值不同，有
个第i 维坐
标值相同，再由
求出概率.
25．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔
等可
能地向左或向右移动一个单位，共移动5 次.该质点在有且仅有一次经过
位置的条件下，共经过两次1 位
置的概率为 .
【答案】
/
【分析】设事件
“有且仅有一次经过
”，事件
“共经过两次位置1”，分1 步到位为事件
，3
步到位为事件
和5 步到位为事件
，三种情况讨论，结合独立事件的概率乘法公式，求得
，再利
用列举法求得
，利用条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设事件
“有且仅有一次经过
”，事件
“共经过两次位置1”，
按到
位置需要1 步，3 步，5 步分类讨论.记
向左，
向右，
①若1 步到位为事件
，则满足要求的是
，
（第5 步无关），
，
（第5 步无
关），所以
；
②若3 步到位为事件
，则满足要求的是
，
30
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所以
；
③若5 步到位为事件
，则满足要求的是
，
所以
，
所以
满足
的情况有：
，
，
，
，
,所以
所以
.
故答案为：
26．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为
的四个外观相同的空箱子中随机
选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某
个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择
以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用
表示号箱有奖品（
），用
表示主持人打
开号箱子（
），则
，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【答案】
/0.375
【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定
；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，
根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.
【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开
号箱，则
；
若奖品在号箱，其概率为
，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为；
若奖品不在号箱，其概率为
，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个，
31
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若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为
；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号
码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.
四、解答题
27．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4 的四个外观相同的空箱子中
随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人
请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2 号
箱，在打开2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开
甲选择之外的一个空箱子，记为X 号箱．
(1)求
的概率；
(2)求X 的方差；
(3)若
，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2 号箱，还是改选3 号或4 号箱？
【答案】(1)
(2)
(3)甲应该改选4 号或3 号箱．
【分析】（1）利用全概率公式计算；
（2）由X 可能的取值，求出相应的概率，得分布列，公式法求方差；
（3）计算各箱里有奖品的概率，由结果进行选择.
【详解】（1）设
分别表示1，2，3，4 号箱子里有奖品，
设
分别表示主持人打开1，2，3，4 号箱子，
则
，且
两两互斥．
32
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由题意可知，事件
的概率都是
，
，
．
由全概率公式，得
．
（2）依题意可得
，同理可得
，
故X 的分布列为：
X
1
3
4
P
（3）在主持人打开1 号箱的条件下，4 号箱、2 号箱、3 号箱里有奖品的概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选4 号或3 号箱．
28．（2024·陕西·三模）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023 年火
爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024 年1 月6 日，万众瞩目的2024 年“村超”新赛季在“村味”十足
的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，为了解不同年龄的游
客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35 周岁和年龄不超过35 周岁各
200 人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．设事件
“游客对“村
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超”满意”，事件
“游客年龄不超过35 周岁”，据统计，
．
(1)根据已知条件，填写下列
列联表并说明理由；
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35 周岁
年龄超过35 周岁
合计
(2)由（1）中
列联表数据，分析是否有
的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？附：
．
参考数据：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析
(2)没有关联
【分析】（1）根据题意可求出不超过35 岁的人中，对“村超”满意的有160 人，对“村超”满意的人中
超过35 岁的有140 人，从而可完成列联表；
（2）根据列联表中的数据结合公式计算
，再与临界值比较即可.
【详解】（1）因为
，
所以游客年龄不超过35 周岁且对“村超”满意的有
人，
因为
，
所以对“村超”满意的游客人数为
，
所以对“村超”满意的人中超过35 岁的有
人，
34
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所以列联表如下：
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35 周岁
160
40
200
年龄超过35 周岁
140
60
200
合计
300
100
400
（2）因为
，
所以没有
的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联.
29．（2024·浙江杭州·二模）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景
点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App 平台10 天预订票销售情况：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量
（万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得：
.
(1)因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App 平台在第10 天时系统异常，现剔除第10 天数据，
求
关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；
(2)该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中
张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），
的分布列如下：
2
3
4
今从某份团体票中随机抽取2 张，恰有1 张为有奖门票，求该份团体票中共有3 张有奖门票的概率.
附：对于一组数据
，其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
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【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由全概率公式可得恰有1 张为有奖门票的概率，再结合条件概率公式代入计算，即可求解.
【详解】（1）设
关于的线性回归方程：
，
则
，
，
所以
，
所以
关于的线性回归方程是
.
（2）记“从某份团体票中随机抽取2 张，恰有1 张为有奖门票”为事件A，
“该份团体票中共有张有奖门票”为事件
，则
，
，所以
，
，所以
，
.
所以
.
则所求概率是
.
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30．（2024·湖南长沙·三模）如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔
向左或向右
移动一个单位，向右移动的概率为
，共移动
，设随机变量
为移动
后质点的坐标.
(1)求移动
后质点的坐标为正数的概率；
(2)求随机变量
的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意明确质点坐标的可能结果即可求解.
（2）求出质点所有可能结果对应的概率即可求出分布列，再根据数学期望公式求解数学期望即可.
【详解】（1）设4 次移动后坐标为正为事件
，由题
，
则
，
由题
，
，
所以
.
（2）
的可能取值为
，
由（1）
，
，
又
，
，
，
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∴分布列为
4
2
0
∴
.
31．（2024·北京·三模）某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有
两个指标．从两条产
品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：
甲生产
线
产品序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
指标
0.98
0.96
1.07
1.02
1.00
0.93
0.92
0.96
1.11
1.02
指标
2.01
1.97
1.96
2.03
2.03
1.98
1.95
1.99
2.07
2.02
乙生产线
产品序号
1
2
3
4
5
6
7
8
指标
1.02
0.97
0.95
0.94
1.13
0.98
0.97
1.01
指标
2.01
2.03
2.15
1.93
2.01
2.02
2.19
2.04
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其
指标大于1 且
指标大于2 的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X 表示
指标大于2 的产品数，估计X 的数学期望；
(3)已知产品
指标之和与3 的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生
产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)甲.
【分析】（1）根据给定数表，利用列举法求出古典概率即得.
（2）分别求出甲、乙的
指标大于2 的产品的概率，再求出
的可能值及对应的概率，进而求出期望.
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（3）分别求出甲乙产品
指标之和与3 的差的绝对值地平均值，比较大小即得.
【详解】（1）记事件C 为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其A 指标大于1 且B 指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10 件产品中，A 指标大于1 且B 指标大于2 的产品为4 号、9 号、10 号，共3 个，
因此
可估计为
.
（2）记事件
为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其B 指标大于2”，
记事件
为“从乙生产线上随机抽取一件产品，其B 指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10 件产品中，B 指标大于2 的产品为1 号、4 号、9 号、10 号，共4 个，
因此
可估计为
；
乙生产线抽取的8 件产品中，B 指标大于2 的产品为1 号、2 号、3 号、5 号、6 号、7 号、8 号，共7 个，
因此
可估计为
，因此
的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以
的期望为
.
（3）甲生产线产品
指标之和与3 的差的绝对值依次为：
，其平均值为
；
乙生产线产品
指标之和与3 的差的绝对值依次为：
，其平均值为
，
显然
，所以甲生产线产品更好的概率估计值最大.
32．（2024·湖南衡阳·三模）现有A，B 两个不透明盒子，都装有m 个红球和m 个白球，这些球的大小、
形状、质地完全相同．
(1)若
，甲、乙、丙依次从A 盒中不放回的摸出一球，设X 表示三人摸出的白球个数之和，求X 的分
布列与数学期望；
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(2)若
，从A、B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，
次这样的操作后，记A
盒子中红球的个数为
，求：
（i）
的概率；
（ii）
的分布列．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）
；（ii）答案见解析
【分析】（1）解法一：X 的可能取值有0，1，2，3，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，
从而可求出X 的分布列与数学期望；解法二：X 的可能取值有0，1，2，3，然后利用古典概型的概率公式
结合独立事件的概率公式求出相应的概率，从而可求出X 的分布列与数学期望；
（2）（i）利用全概率公式求解即可，（ii）设
，
，
，则由题意
可得
是以1 为首项的常数列，
是以
为首项，
为公比的等比数列，从而求出
，进而可求出
的分布列.
【详解】（1）法一：X 的可能取值有0，1，2，3，
，
;
;
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
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数学期望
法二：X 的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
数学期望
（2）（i）
，
，
，
,
,
,
所以
;
（ii）设
，
，
，则
，所以
，
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所以
，
因为
，
所以
是以1 为首项的常数列，
是以
为首项，
为公比的等比数列
所以
，
所以
，
，
所以，X 的分布列为：
X
0
1
2
P
【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查全概率公的应用，第（2）问解的
关键是
，
，
，根据题意得
，化简变形构造
等比数列，从而可求出
，考查理解能力和计算能力，属于难题.
33．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1 格，第2 格，
，第25 格，棋子开始在
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第1 格．盒中有5 个大小相同的小球，其中3 个红球，2 个白球（5 个球除颜色外其他都相同）．每次甲在
盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1 格；若两球颜色不同，棋子向
前跳2 格，直到棋子跳到第24 格或第25 格时，游戏结束．记棋子跳到第
格的概率为
．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为
，求
的分布列和期望；
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据超几何分布求出概率，写出分布列，根据期望计算公式求出期望即可；
（2）当
时，棋子跳到第
格有两种可能：第一种，棋子先跳到第
格，再摸出两球颜色不同；
第二种，棋子先跳到第
格，再摸出两球颜色相同；结合概率求得
，变形
为
，利用等比数列定义证明，并结合等比数列前n 项和公式，利用累加法求得
的通项公式.
【详解】（1）根据题意可知，
的所有可能取值为0，1，2，
则
，
，
，
可得
的分布列如下：
0
1
2
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期望值为
；
（2）依题意，当
时，棋子跳到第
格有两种可能：
第一种，棋子先跳到第
格，再摸出两球颜色不同，
第二种，棋子先跳到第
格，再摸出两球颜色相同，
又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为
，
摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为
，
因此可得
，
，
所以
，
因此可得
，且
，
，
，
即数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
，
所以
，
由题意
，
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综上，
.
34．（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有
个红球和2 个白球，乙口袋有
个红球和2 个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口
袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球.
(1)当
时，
（i）求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
（ii）设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为
，求
的数学期望；
(2)当
时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸出红球的概率为
，则当
为何值时，
最大？
【答案】(1)（i）
；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，
然后求出小明4 次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）
的所有可能取值为
，求出相应的概率，从而可求出
的数学期望；
（2）由
，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4 次，相当于4 次独立重复试验，则
，然后利用导数可求得其最大值.
【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为
，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为
.
（i）设“小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球”为事件
，则“小明4 次摸球中，摸出的都是红球”为事
件
，且
，
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所以
.
（ii）
的所有可能取值为
，
由（i），得
，
，
，
，
，
所以
.
（2）由
，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4 次，相当于4 次独立重复试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为
，则
.
因为
，
所以当
时，
；当
1 时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当
时，
最大，
此时
，解得
，
故当
时，
最大.
【点睛】关键点点睛：此题考查对立事件的概率公式的应用，考查离散型随机变量的期望，考查独立重复
试验的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据独立重复试验的概率公式表示出
，然后
利用导数可求出其结果，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
35．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难
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的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保
学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行
简单随机抽样，获得数据如表:
男
女
支持方案
一
24
16
支持方案
二
25
35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1 人，设
为抽出两人中女生的个数，求
的分布
列与数学期望;
(2)在(1)中
表示抽出两人中男生的个数，试判断方差
与
的大小.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
.
【分析】（1）记从方案一中抽取到女生为事件
，从方案二中抽取到女生为事件
，根据已知条件求出
，
的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得
的分布列与数学期望;
（2）根据方差的性质判断即可.
【详解】（1）记从方案一中抽取到女生为事件
，从方案二中抽取到女生为事件
.
则
，
则
的可能取值为
.
所以
，
，
，
所以
的分布列为:
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0
1
2
所以
.
（2）依题意可得
，
所以
,
即
.
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