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13 机械振动 机械波
[-考点-02-] 简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω 为圆频率，ω＝.
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负
分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的
变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方
向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
典例1 (简谐运动的表达式)(多选)(2022·广州六中月考)物体A 做简谐运动的振动位移xA＝
3sin(100t＋) m，物体B 做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m．以下说法正确的是(
)
A．物体A 的振幅是6 m，物体B 的振幅是10 m
B．物体A、B 的周期相等，为100 s
C．物体A 振动的频率fA等于物体B 振动的频率fB
D．物体A 的相位始终超前物体B 的相位
答案 CD
解析 物体A、B 的振幅分别是3 m、5 m，A 错误．物体A、B 的圆频率ω＝100 rad/s，周
期T＝＝ s，B 错误．因为TA＝TB，故fA＝fB，C 正确．Δφ＝φA0－φB0＝，故物体A 的相位始
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终超前物体B 的相位，D 正确．
典例2 (简谐运动的图像)(2023·山东青岛市调研)如图甲所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，
在光滑水平面上的A、B 两点之间做简谐运动，A、B 为分居O 点左右两侧的对称点．取水
平向右为正方向，物体的位移x 随时间t 变化的正弦曲线如图乙所示，下列说法正确的是(
)
A．t＝0.6 s 时，物体在O 点右侧6 cm 处
B．物体在t＝0.2 s 和t＝1.0 s 时的速度相同
C．t＝1.2 s 时，物体的加速度方向水平向右
D．t＝1.0 s 到t＝1.4 s 的时间内，物体的加速度和速度都逐渐增大
答案 C
解析 由题图可知，弹簧振子的振幅为 0.12 m，周期为1.6 s，所以ω＝＝1.25π rad/s，结
合振动图像得，振动方程为x＝0.12sin(1.25πt) m，在t＝0.6 s 时，物体的位移x1＝
0.12sin(1.25π×0.6) m＝6 cm，A 错误；由振动图像可知，t＝0.2 s 时，物体从平衡位置向
右运动，t＝1.0 s 时，物体从平衡位置向左运动，速度方向不同，B 错误；t＝1.2 s 时，物
体到达A 处，物体的加速度方向水平向右，C 正确；t＝1.0 s 到t＝1.2 s 的时间内，物体向
负向最大位移处运动，速度减小，加速度增大；t＝1.2 s 到t＝1.4 s 时间内，物体从负向最
大位移处向平衡位置运动，则速度增大，加速度减小，D 错误．
1.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它
的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
D．x＝8×10－3sin(t＋) m
答案 A
解析 由题可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方
向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×
10－3sin(4πt＋) m，A 正确．
2．(2022·临漳一中月考)如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动．以其平衡位置为坐
标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，小球的位移x 随时间t 的变化如图乙所示，下列说
法正确的是( )
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甲 乙
A．小球的振幅为4 cm
B．小球的振动周期为1 s
C．t＝1 s 时，小球的速度为正的最大值
D．t＝1 s 时，小球的加速度为正的最大值
答案 C
解析 由振动图像可知，小球的振幅为2 cm，周期为2 s，故A、B 错误；t＝1 s 时，小球
处于平衡位置，加速度为0，速度为正的最大值，故C 正确，D 错误．
3.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t＋) cm，则( )
A．质点的振幅为3 m
B．质点的振动周期为 s
C．t＝0.75 s 时，质点到达距平衡位置最远处
D．质点前2 s 内的位移为－4.5 cm
答案 D
解析 从关系式可知A＝3 cm，ω＝ rad/s，故周期为T＝＝3 s，A、B 错误；t＝0.75 s 时，
质点的位移为x＝3sin(×＋) cm＝0，质点在平衡位置处，C 错误；在t＝0 时刻质点的位移x
＝3 cm,2 s 时质点的位移x′＝3sin(×2＋) cm＝－1.5 cm，故前2 s 内质点的位移为－4.5
cm，D 正确．
4.(多选)如图所示，A、B 为两简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．A、B 之间的相位差是
B．A、B 之间的相位差是π
C．B 比A 超前
D．A 比B 超前
答案 AD
解析 由题图可知A 比B 超前，相位差为Δφ＝，选项A、D 正确．
5.(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x 轴在M、N 间做简谐运动，坐标原点O 为小球的平衡
位置，其振动方程为x＝5sin(10πt＋) cm.下列说法正确的是( )
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A．MN 间距离为5 cm
B．小球的运动周期是0.2 s
C．t＝0 时，小球位于N 点
D．t＝0.05 s 时，小球具有最大加速度
答案 BC
解析 MN 间距离为2A＝10 cm，故A 错误；因ω＝10π rad/s，可知小球的运动周期是T＝
＝ s＝0.2 s，故B 正确；由x＝5sin(10πt＋) cm 可知，t＝0 时，x1＝5 cm，即小球位于N 点，
故C 正确；由x＝5sin(10πt＋) cm 可知，t＝0.05 s 时，x2＝0，此时小球位于O 点，小球加
速度为零，故D 错误．
6.(2022·成都七中月考)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，可知( )
A．0～0.5 s 内振子甲的速度增大，加速度减小
B．两弹簧振子加速度最大值之比一定为a 甲∶a 乙＝2∶1
C．振子甲的速度为零时，振子乙的速度最大
D．两弹簧振子的振动周期之比为T 甲∶T 乙＝1∶2
答案 C
解析 在0～0.5 s 内振子甲向正向最大位移处振动，速度减小，加速度增大，故选项A 错
误；由振动图像可知两振子最大位移之比为x 甲∶x 乙＝2∶1，由于弹簧的劲度系数可能不同，
则甲、乙两弹簧振子加速度的最大值之比不一定等于2∶1，故选项B 错误；振子甲在最大
位移处时，振子乙在平衡位置，即振子甲的速度为零时，振子乙的速度最大，故选项C 正
确；由题图可知两弹簧振子的振动周期之比为T 甲∶T 乙＝2∶1，故选项D 错误．
7．(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，已知弹簧的劲度系数为20
N/cm，则( )
A．图中A 点对应时刻振动物体所受的回复力大小为5 N，方向指向x 轴的负方向
B．图中A 点对应时刻振动物体的速度方向指向x 轴的正方向
C．该振子的振幅等于0.5 cm
D．在0～4 s 内振动物体做了1.75 次全振动
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答案 ABC
解析 题图中A 点对应的时刻振动物体所受的回复力大小为F＝kx＝20 N/cm×0.25 cm＝5
N，方向指向x 轴的负方向，A 正确；题图中A 点对应的时刻振动物体正远离平衡位置，速
度方向指向x 轴的正方向，B 正确；由题图可知该振子的振幅等于0.5 cm，C 正确；弹簧振
子的振动周期为2 s，即每经过2 s 振动物体就完成一次全振动，则在0～4 s 内振动物体做
了2 次全振动，D 错误．
8．(2023·广东省执信中学高三检测)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在．
如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝1×10－3 s 时刻纸盆中心的位移最大
B．t＝2×10－3 s 时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～2×10－3 s 之间纸盆中心的速度方向不变
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4cos 50πt (m)
答案 A
解析 t＝1×10－3 s 时刻纸盆中心的位移最大，故A 正确；t＝2×10－3 s 时刻纸盆中心位
于平衡位置，加速度为零，故B 错误；在0～2×10－3 s 之间纸盆中心的速度方向先沿正方
向再沿负方向，故C 错误；纸盆中心做简谐运动的方程为x＝Asin＝1.0×10－4sin 500πt
(m)，故D 错误．
9.(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2
答案 CD
解析 从图像中可以看出，两弹簧振子周期之比T 甲∶T 乙＝2∶1，则频率之比f 甲∶f 乙＝
1∶2，选项D 正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧的劲度系数k 有关，周期不同，说明
两弹簧振子不同，选项A 错误；由于弹簧的劲度系数k 不一定相同，所以两振子所受回复
力(F＝－kx)的最大值之比F 甲∶F 乙不一定为2∶1，选项B 错误；从图像中可以看出，在振
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子甲到达最大位移处时，速度为零，此时振子乙恰好到达平衡位置，速度最大，选项C 正
确．
10.如图所示为A、B 两质点做简谐运动的位移－时间图像．试根据图像求：
(1)质点A、B 的振幅和周期；
(2)这两个质点简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在时间t＝0.05 s 时两质点的位移分别为多少．
答案 见解析
解析 (1)由题图知质点A 的振幅是0.5 cm，周期为0.4 s，质点B 的振幅是0.2 cm，周期为
0.8 s.
(2)由题图知，质点A 的初相φA＝π，
由TA＝0.4 s 得ωA＝＝5π rad/s，
则质点A 的位移表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π) cm，
质点B 的初相φB＝，
由TB＝0.8 s 得ωB＝＝2.5π rad/s，
则质点B 的位移表达式为xB＝0.2sin(2.5πt＋) cm.
(3)将t＝0.05 s 分别代入两个表达式得
xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm
＝－0.5× cm＝－ cm，
xB＝0.2sin(2.5π×0.05＋) cm＝0.2sin(π) cm.
11.(多选)一弹簧振子A 的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x 的单位为
m，时间t 的单位为s.则( )
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t＝0.2 s 时，振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B 的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋)，则A 滞后B
答案 CD
解析 由振动方程x＝0.1sin 2.5πt，可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝
s＝0.8 s，故A、B 错误；在t＝0.2 s 时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，
故C 正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B 超前A，或者说A 滞后
B，故D 正确.
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12.(2021·黄石二中期末)如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B、C 两点间做简谐运
动．在t＝0 时刻，振动物体从O、B 间的P 点以速度v 向B 点运动；在t＝0.2 s 时，振动物
体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振动物体的速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子的振动周期T.
(2)若B、C 之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s 内通过的路程．
(3)若B、C 之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移
表达式，并画出振动图像．
答案 见解析
解析 (1)根据弹簧振子简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间
为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s.
(2)若B、C 之间的距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振动物体4.0 s 内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm.
(3)根据弹簧振子做简谐运动的表达式x＝Asin ωt，
A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，得x＝12.5sin 2πt(cm)，振动图像如图所示．
13.如图所示，物体A 和B 用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，A 的质量为m，B 的质量为
M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B 的绳突然断开后，物体A 将在竖直方向上做简谐运动，
则A 振动的振幅为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 轻绳断开前，弹簧的伸长量为x1＝.若弹簧下只挂有A，则静止时弹簧的伸长量x2
＝，此位置为A 在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则A 振动的振幅为x1－x2＝－＝，
故A 正确.
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