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09 静电场及其应用
[-考点-12-] 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场
中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的
“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”．
2.
3．举例
典例1 (重力场与电场在一条直线上)(多选)如图所示，长为L 的细线拴一个带电荷量为＋
q、质量为m 小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球
恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则( )
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A．小球在最高点的速度大小为
B．当小球运动到最高点时电势能最小
C．小球运动到最低点时，机械能最大
D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L
典例2 (重力场与电场成一定夹角)(多选)(2023·重庆市八中高三检测)如图甲所示，空间有一
水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝1×104 V/m，其中有一个半径为R＝2 m 的竖直
光滑圆环轨道，环内有两根光滑的弦轨道AB 和AC，A 点所在的半径与竖直直径BC 成37°
角．质量为m＝0.08 kg、电荷量为q＝＋6×10－5 C 的带电小环(视为质点)穿在弦轨道上，
从A 点由静止释放，可分别沿AB 和AC 到达圆周上的B、C 点．现去掉弦轨道AB 和AC，
如图乙所示，让小环穿在圆环轨道上且恰好能做完整的圆周运动．不考虑小环运动过程中
电荷量的变化．下列说法正确的是(cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2)( )
A．小环在弦轨道AB 和AC 上运动时间之比为1∶1
B．小环做圆周运动过程中经过C 点时动能最大
C．小环做圆周运动过程中动能最小值是1 J
D．小环做圆周运动过程中对圆环轨道的最大压力是5 N
1.(多选)(2023·福建省福州第十五中学质检)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬
挂在O 点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力
最大．已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，小球质量
为m、带电荷量为q，细线长为l，重力加速度为g，则( )
A．小球带正电
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B．静电力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大
D．小球运动过程最小速度至少为v＝
2.(多选)如图所示，可视为质点的质量为m 且电荷量为q 的带电小球，用一绝缘轻质细绳悬
挂于O 点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E＝，小球
初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动
忽略空气阻力，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中机械能不守恒
C．小球在运动过程中的最小速度至少为
D．小球在运动过程中的最大速度至少为
3.如图所示，虚线MN 下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场．AB 为绝缘光滑
且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O 为圆心，B 位于O 点正下方．一质量为
m、电荷量为q 的带正电小球，以初速度vA竖直向下从A 点沿切线进入四分之一圆弧轨道
内侧，沿轨道运动到B 处以速度vB射出．已知重力加速度为g，电场强度大小为E＝，sin
37°＝0.6，空气阻力不计，下列说法正确的是( )
A．从A 到B 过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A 到B 过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B 两点的速度大小满足vA>vB
D．从B 点抛出后，小球速度的最小值为
4.(多选)(2021·四川乐山调研)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场
中有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球.小球
静止时细线与竖直方向成θ 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时
针方向做圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
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A.匀强电场的电场强度E＝
B.小球动能的最小值为Ek＝
C.小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D.小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
5.如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内壁光滑，A、B
两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为
m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C 点时速度最大，O、
C 连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受的静电力大小；
(2)求小球在A 点的速度v0为多大时，小球经过B 点时对圆轨道的压力最小．
6.如图所示，一半径为R 的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B 点与一条水平轨道相
连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E 的匀强电场，从水平轨道上的
A 点由静止释放一质量为m 带正电的小球，设A、B 间的距离为s.已知小球受到的静电力大
小等于小球重力的倍，C 点为圆形轨道上与圆心O 的等高点．(重力加速度为g)
(1)若s＝2R，求小球运动到C 点时对轨道的压力大小；
(2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s 的值．
7.(2021·吉林“五地六校”联考)如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用
一根长度为L＝0.4 m 的绝缘细线把质量为m＝0.20 kg，带有q＝6.0×10－4 C 正电荷的金属
小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°.已知A、C 两点分别
为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，求：(g 取10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37°＝0.8)
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(1)A、B 两点间的电势差UAB；
(2)将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，小球通过最低点C 时细线对小球的拉力F
的大小；
(3)如果要使小球能绕O 点做完整的圆周运动，则小球在A 点时沿垂直于OA 方向运动的初
速度v0的大小.
8.如图所示，现有一个小物块质量为m＝80 g、带正电荷 q＝2×10－4 C，与水平轨道之间
的动摩擦因数 μ＝0.2，在水平轨道的末端N 处连接一个光滑竖直的半圆形轨道，半径为R
＝40 cm.整个轨道处在一个方向水平向左、电场强度大小E＝4×103 V/m 的匀强电场中，
取g＝10 m/s2.
(1)若小物块恰能运动到轨道的最高点L，那么小物块应从距N 点多远处的A 点释放？
(2) 如果小物块在(1)中的位置A 释放，当它运动到P 点(轨道中点)时轨道对它的支持力等于
多少？
(3)如果小物块在(1)中的位置A 释放，当它运动到NP 间什么位置时动能最大，最大动能是
多少？(结果保留两位有效数字)
9.(2023·江西南昌市名校联考)如图所示，空间中存在水平向右、电场强度大小为E＝5×103
N/C 的匀强电场，水平传送带BC 的左端与水平面AB 在B 点平滑连接，右端与一个半径为
R 的光滑圆弧轨道CD 水平相切于C 点．xAB＝xBC＝R＝1 m，传送带顺时针转动，速率恒为
v＝5 m/s，现将一质量为m＝0.5 kg、带正电且电荷量为q＝1×10－3 C 的小滑块，从A 点由
静止释放，小滑块与AB 段和BC 段间的动摩擦因数均为μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求：
(1)小滑块运动到水平面右端B 点时的速度大小；
(2)小滑块运动到圆弧轨道底端C 点时所受的支持力大小；
(3)小滑块对圆弧轨道CD 压力的最大值．(取1.4)
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10.(多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q 的小球，
系在一根长为L 的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动．AB 为圆周的水平
直径，CD 为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到B 点时的机械能最大
C．若将小球在A 点由静止开始释放，它将在ACBD 圆弧上往复运动
D．若将小球在A 点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B 点
11.如图所示，空间中有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E＝1.0×104 V/m.该空
间有一个半径为R＝2 m 的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C 点，A
点所在的半径与竖直直径BC 成37°角．质量为m＝0.04 kg、电荷量为q＝＋6×10－5 C 的
带电小球2(可视为质点)静止于C 点．轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位
于P 点．质量也为m＝0.04 kg 的不带电小球1 挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右
端到P 点左侧某点后释放．小球1 沿光滑水平面运动到C 点与小球2 发生碰撞，碰撞时间
极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A 点．P、C 两点间距离较远，重力加速度
g 取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)黏合体在A 点的速度大小；
(2)弹簧的弹性势能；
(3)小球黏合体由A 点到水平面运动的时间．
12.(多选)如图所示，竖直平面内有固定的半径为R 的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向
平行于轨道平面水平向左，P、Q 分别为轨道上的最高点、最低点，M、N 是轨道上与圆心
O 等高的点．质量为m、电荷量为q 的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加
速度为g，电场强度E＝，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是(
)
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A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M 点
C．小球过Q、P 点时所受轨道弹力大小的差值为6mg
D．小球过Q、P 点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg
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