文档文本内容
第27 讲 机械振动
目录
.....1
.....3
考点一 简谐运动的规律........................................................................................................................................................3
考向1：简谐运动的基本物理量分析.......................................................................................................................4
考向2：简谐运动的周期性与对称性.......................................................................................................................5
考点二 简谐运动的表达式和图像.....................................................................................................................................8
考向1：简谐运动的表达式.........................................................................................................................................8
考向2：简谐运动的图像信息应用........................................................................................................................... 9
考向3：简谐运动图像的选取....................................................................................................................................9
考点三 单摆及其周期公式.................................................................................................................................................13
考点四 受迫振动和共振..................................................................................................................................................... 14
考向1：受迫振动.........................................................................................................................................................15
考向2：共振..................................................................................................................................................................16
. .18
基础巩固练.............................................................................................................................................................................. 18
综合提升练.............................................................................................................................................................................. 26
核心考点
1.简谐运动的基本特征与描述：
回复力、位移x、加速度a、速度v 的关系。
2.简谐运动的表达式与图像：
表达式的书写与图像的读图与分析。
3. 单摆及其周期公式。
考情透析
1.题型与难度：主要以选择题为主，偶尔在计算题中作为多过程问题的一部分出现。难
度基础→中档。
2.命题规律：
高频考查：简谐运动的图像分析（x-t 图）、单摆周期公式的应用、受迫振动与共振的
现象及应用。
常规考法：直接考查对简谐运动基本物理量（位移、回复力、速度、加速度等）变化
规律的理解。
创新考法：常结合生活实际（如摆钟、弹簧振子、共振筛、地震仪）命题；或与波动
图像结合，在机械波部分考查振动与波动的关联。
3.考查方向：侧重x-t 图像的读图与分析能力、单摆周期公式的灵活运用、回复力的理
解、受迫振动频率的决定因素及共振条件的判断、阻尼振动中能量的变化规律。
素养对接
1.模型建构：将“摆钟”、“地震”、“弹簧振子”等实际情境抽象为理想化的“单
摆”或“弹簧振子”模型，忽略空气阻力、摆线质量等次要因素。
2.图像分析素养：能从x-t、v-t、F-t、a-t 等图像中提取信息，分析振动过程中物理量随
时间的变化规律，培养数形结合和从图像中获取物理信息的能力。
3.周期性与对称性思维：理解简谐运动具有周期性的往复特征和运动过程的对称性
（如：关于平衡位置对称的两个点，速度大小相等、加速度大小相等），并利用这些性质
解题。
4.守恒思想：理解在简谐运动过程中，系统（如弹簧振子、单摆与地球）的总机械能守
恒，培养学生的能量守恒观念。
学习目标
1.知识目标：
能准确表述简谐运动的定义，并说出回复力的来源。
能写出简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)并指出各物理量的含义。
能写出单摆的周期公式T=2π√(l/g)，并知道其适用条件（摆角很小）。
能说出受迫振动的振动频率由驱动力频率决定，以及共振发生的条件。
2.能力目标：
图像分析能力：能识别x-t 图像的物理意义，并从图像中读出振幅A、周期T，判断某
时刻速度v 的方向和大小变化。
规律应用能力：能判断物体是否做简谐运动；能应用单摆周期公式进行定量计算（如
求重力加速度、周期变化）。
对称性分析能力：能利用简谐运动的对称性（如时间对称、速度对称、加速度对称）
简化问题求解。
模型识别能力：能判断一个物体或系统（如弹簧振子、单摆、浮在水面上的木块）是
否在近似做简谐运动。
备考建议
1.熟悉“弹簧振子”和“单摆”两个基本模型：
弹簧振子：重点理解回复力的本质特征。能分析振子在“平衡位置→最大位移”和
“最大位移→平衡位置”两个过程中，v、a、F、Ek、Ep的变化规律。特别注意：位移x 总
是从平衡位置指向振子所在位置。
单摆：周期公式T=2π√(l/g)是核心。要掌握影响周期的因素（摆长l、重力加速度g），
并知道摆长是悬点到摆球重心的距离。理解单摆在什么条件下做简谐运动（θ<5°）。
2.用好“对称性”解决复杂问题：
对称关系：
关于平衡位置对称的两点，回复力、加速度大小相等，速度大小相等但方向不一定相
同。
从平衡位置到最大位移处的时间等于T/4；从最大位移处到另一个最大位移处的时间等
于T/2；任意两点之间的运动时间可用对称性快速判断。
3.重视“受迫振动与共振”的生活实例：
原理：驱动力频率f_驱等于系统固有频率f 固时，振幅最大。
经典实例：共振筛、音箱、微波炉、军队过桥便步走、歌唱家震碎酒杯、共振在工程
中的危害与利用。
4.强化易错点训练：
易错点一：混淆“速度方向”与“位移方向”。在x-t 图像中，速度方向看斜率正负，
位移方向看纵坐标正负（相对于平衡位置）。
易错点二：忽视单摆周期公式的适用条件。θ<5°是单摆视为简谐运动的近似条件，若摆
角过大，周期公式不准确。
易错点三：混淆“振动的位移”与“运动的位移”。振动物体的“位移”特指从平衡
位置指向振子所在位置的有向线段，不是物体运动的路程或一般意义的位移。
易错点四：在受迫振动中忘记振动的频率等于驱动力的频率。无论系统固有频率如
何，稳定后的受迫振动频率只与驱动力有关。
考点一 简谐运动的规律
【必备知识回顾】
1．简谐运动
①定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位
置，物体的运动就是简谐运动。
②平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
③回复力
a．定义：使物体返回到平衡位置的力。
b．方向：总是指向平衡位置。
c．来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运动条件
①弹簧质量可忽略；
②无摩擦等阻力；
③在弹簧弹性限度内
①摆线为不可伸缩的轻细
线；
②忽略空气的阻力；
③摆角小于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向
(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量转化
弹性势能与动能的相互转
化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转
化，机械能守恒
3．描述简谐运动的物理量
物理量
定义
意义
振幅
振动质点离开平衡位置的最大距
离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需时
间
描述振动的快慢，两者互为倒
数：T＝
频率
振动物体单位时间内完成全振动
的次数
相位
ωt＋φ
描述质点在各个时刻所处的不同
状态
【重难模型精讲】
考向1：简谐运动的基本物理量分析
【典例1】(2026·内蒙古自治区·月考试卷)如图所示，轻弹簧上端固定，下端挂一小球。现将小球向下
拉动距离x后由静止释放，并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为T，下列说法正确的是
A.0∼T
4 过程中，小球的速度一直变小
B.0∼T
4 过程中，小球的振幅逐渐变小
C.T
8 时刻，小球的位移大小为x
2
D.T
4 ∼T
2 过程中，小球的加速度一直变大
【答案】D
【解析】A.小球在平衡位置时速度最大。在0- T
4 过程中，小球从最低点向上运动到平衡位置的过程，
小球做加速运动，故A 错误；
B.简谐运动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，小球做简谐运动时振幅不变，故B 错误；
C.小球做简谐运动的位移-时间关系为y = A cos(ωt +φ)，其中A = x，ω= 2π
T ，取向上做正方向，初
始
时
刻
t =0，
y =- x，
则
φ = π，
即
y = x cos( 2π
T t + π )。
当
t = T
8 时
，
y = x cos( 2π
T × T
8 + π )= x cos( π
4 + π )=-
❑√2
2 x，可知位移大小不等于x
2，故C 错误；
D.小球做简谐运动，加速度与位移大小成正比，在T
4 ∼T
2 过程中，小球从平衡位置向上运动到最高点，
位移一直增大，所以加速度一直变大，故D 正确。
考向2：简谐运动的周期性与对称性
【典例2】(2026·重庆市市辖区·其他类型)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，t =0时振子
的位移为x =-0.1m，t = 4
3 s时振子位移第一次为x =0.1m，t = 4 s时振子位移第二次为x =0.1m，该振子
的周期可能为()
A.8
3 s
B.8 s
C.16
3 s
D.16 s
【答案】AB
【解析】如果振幅等于0.1m，则T = 4 s- 4
3 s= 8
3 s，即振子的周期为8
3 s；如果振幅大于0.1m，则周
期T ' = 4
3 ×2s+(4 - 4
3)×2s=8 s，故A、B 正确．
【变式训练与拓展】
【变式1】(2026·江西省赣州市·其他类型)如图所示，并列悬挂两个相同的弹簧振子(互不影响)。把两
个小球拉到相同的位置，先释放A球，当A球第一次到达平衡位置时再释放B球，在接下来的运动过程中，
两小球不可能在同一时刻具有
A.相同的速度与相同的动能
B.相同速度与相同位移
C.相同的位移与相同的加速度
D.相同的位移与相同的动能
【答案】B
【解析】当A球第一次到达平衡位置时再释放B球，则两球振动的相位始终相差90°，根据简谐振动
的特点：
AD .在同一时刻，可能具有相同的位移和相同的速度，由Ek = 1
2 mv
2可知，可能相同的动能，故AD
不合题意；
B.在同一时刻，由于两球振动的相位始终相差90°，不可能相同速度与相同位移，故B 符合题意；
C.在同一时刻，可能具有相同的位移，根据a=- k
m x可知，可能相同的加速度，故C 不合题意。
【变式2】(2026·江苏省扬州市·其他类型)如图所示，光滑斜面体固定在地面上。先后用原长相同、劲
度系数不同的轻质弹簧将小球与斜面顶端的挡板相连接，让小球从弹簧原长处自由释放。整个过程弹簧均
在弹性限度内，则
A.弹簧劲度系数越大，小球运动到最低点的时间越长
B.弹簧劲度系数越大，小球运动过程中最大速度越大
C.弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能越大
D.弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点时的重力势能越大
【答案】C
【解析】A、小球与弹簧组成一个弹簧振子，整个运动过程为一个简谐运动，其周期T =2π ❑√
m
k
，故
弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点的时间越长，A 错误；
B、小球运动过程中，速度最大时有：mgsinθ =kx，解得x = mgsinθ
k
为速度最大时弹簧的形变量，
由动能定理可知1
2 m vm
2=mgsinθ·x - 1
2 k x
2= (mgsinθ)
2
2k
，故弹簧劲度系数越大，最大速度越小，B 错误；
C、根据简谐运动的对称性可知，小球运动到最低点时，弹簧的形变量为2 x = 2mgsinθ
k
，弹簧的弹
性势能E p= 1
2 k(2 x)
2=2k x
2= 2(mgsinθ)
2
k
，故劲度系数越小，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能越大，
C 正确；
D、根据能量守恒定律可知，弹性势能越大，重力势能越小，故D 错误；
故选C。
【变式3】(2024·山东省济宁市·期末考试)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置位于坐标原点O，简谐
运动的振幅为A =0.2m。t =0时刻振子的位移为x1=-0.2m，t =1s时刻振子的位移为x2=0m，则振子做
简谐运动的周期可能为()
A.1
3 s
B.4
5 s
C.1s
D.3
2 s
【答案】B
【解析】由题意可知t =0时刻振子位于负向最大位移处，t =1s时刻振子位于平衡位置处，设振子做简
谐运动的周期为T，则有(2n+1) T
4 =1s(n=0，1，2⋯)
可得T =
4
2n+1 s(n=0，1，2⋯)
当n=0时，可得T 1= 4 s
当n=1时，可得T 2= 4
3 s
当n=2时，可得T 3= 4
5 s
当n=3时，可得T 4= 4
7 s
当n= 4时，可得T 5= 4
9 s
当n=5时，可得T 6= 4
11 s
当n=6时，可得T 7= 4
13 s< 1
3 s
故选B。
【方法规律】
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧
的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比，而方向相反，为变
加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT(n 为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征：
(1)相隔T
2 或(2n+1)T
2
(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度
大小相等、方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度大小、动能、势能相
等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统
的机械能守恒。
考点二 简谐运动的表达式和图像
【必备知识回顾】
1 表达式
①动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A 代表振幅，ω＝2πf 代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代
表简谐运动的相位，φ0叫作初相位。
2 图像
①从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图像如图乙所示。
【重难模型精讲】
考向1：简谐运动的表达式
【典例3】(2026·陕西省·单元测试)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘
的转轴A和钉子B在左侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建x坐标系，t =0时，影子到O
的距离PO = 1
2 R，并从图示位置沿顺时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为()
A.x =2 Rsin(ωt + π
6 )
B.x = Rsin(ωt + π
6 )
C.x = Rcos(ωt + π
6 )
D.x = Rsinωt
【答案】B
【解析】解：当t =0时，PO = 1
2 R，即1
2 R = R sin φ0
可得φ0= π
6
t时刻转动角度为ωt，总角度为ωt + π
6 ，
所以P做简谐运动的表达式为x = Rsin(ωt + π
6 )，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
考向2：简谐运动的图像信息应用
【典例4】(2026·黑龙江省·期末考试)某质点做简谐运动的振动图像如图所示。关于该简谐振动，下列
选项正确的是()
A.振幅为10cm
B.周期为2s
C.t =1s时，质点的速度为负的最大值
D.t =3 s时，质点的加速度为正的最大值
【答案】D
【解析】解：A .由小球振动图像可知，质点做简谐振动的振幅为5cm，故A错误；
B.由小球振动图像可知，质点做简谐振动的周期为4 s，故B错误；
C .由小球振动图像可知，t =1s时，质点在正向位移最大处，则速度为零，故C错误；
D .由小球振动图像可知，t =3 s时，小球在负向位移最大处，根据a=- kx
m 可知，加速度为正向最大值，
故D正确。
故选：D。
考向3：简谐运动图像的选取
【典例5】(2025·江苏省无锡市·期中考试)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下
圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t =0时从图
示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，则P运动的速度v随时间t变化的图像可能是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】影子P的运动周期与圆盘转动的周期相同，由ω= 2π
T 知，故影子P的运动周期为T = 2π
ω
由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为
x = Rsin(ωt +φ)
由图可知，当t =0时，P的位移为R，代入振动方程解得
φ= π
2
则P做简谐运动的表达式为
x = Rsin(ωt + π
2 )
P运动的速度v随时间t变化规律为
v = Rωcos(ωt + π
2 )
选项D 正确
【变式训练与拓展】
【变式4】(2026·广东省·月考试卷)如图所示是某水平弹簧振子做简谐运动的x -t图像，M、P、N是
图像上的3个点，分别对应t1、t2、t3时刻。下列说法正确的是()
A.该振子的周期是0.2s，振幅是8cm
B.在t2时刻振子的速度方向就是图像上P点的切线方向
C.在t1到t2过程振子的速度先增大后减小
D.在t2到t3过程振子的加速度逐渐减小
【答案】D
【解析】A.由图可知，振子的振动周期为T =0.2s，振幅为A = 4 cm，故A 错误;
B.根据图像可知，t2时刻，振子向负方向运动，故B 错误;
C.t1∽t2，振子的位移先增大后减小，速度先减小后增大，故C 错误;
D.t2∽t3，振子的位移逐渐减小，加速度逐渐减小，故D 正确。
【变式5】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑
料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动。取竖直向上为正方向，
一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（ ）
A．振动的振幅为0.4 cm
B．振动的频率为2.5 Hz
C．在0.55 s时距平衡位置-0.1cm
D．在0.4 s时加速度方向竖直向下
【答案】BD
【解析】A．由图可知砂粒振动的振幅为0.2cm，故A 错误；
B．由图可知砂粒振动的周期为0.4s，则频率f = 1
T =2.5 Hz，故B 正确；
C．由图可得砂粒的振动方程为y =0.2cos( 2π
0.4 t )cm
当t =0.55 s时，y =-
❑√2
10 cm，即在0.55 s时距平衡位置-
❑√2
10 cm，故C 错误；
D．由图可知，在0.4s时位移竖直向上且最大，根据牛顿第二定律可得a=- kx
m 可知此时加速度方向
竖直向下，故D 正确。
故选BD。
【变式6】(2026·山东省·模拟题)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧上端固定，下端用细线连接质量均
为m的物体A和B，系统处于静止状态，重力加速度为g，不计空气阻力。t =0时刻烧断细线，t =t0时刻A
第一次上升到最高点。取向下为正方向，A的振动表达式为()
A.y = mg
k cos π
t0
t B.y = 2mg
k
cos 2π
t0
t
C.y = mg
k sin π
t0
t
D.y = 2mg
k
sin 2π
t0
t
【答案】A
【解析】烧断细线前，系统静止，对A、B整体分析，根据平衡条件，弹簧的弹力F =2mg，由胡克
定律F =k x1，可得弹簧的伸长量x1= 2mg
k
，烧断细线后，物体A做简谐振动，当A的合力为零时，处于平
衡位置，此时弹簧的弹力F ' =mg，由胡克定律F ' =k x2，可得弹簧的伸长量x2= mg
k ，所以，物体A振动
的振幅A = x1- x2= 2mg
k
- mg
k = mg
k ，t =0时刻烧断细线，此时物体A在最大位移处，烧断细线后，A将
从此时的位置开始向上运动，到达最高点时t =t0，而从最大位移处到最高点的时间为T
2 ，所以周期T =2t0，
所以角频率ω= 2π
T = π
t0
，取向下为正方向，初始时A在最大位移处，所以A的振动表达式为
y = mg
k cos π
t0
t。
故选A。
【方法规律】
图像信息：
图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
(1)得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)确定某时刻质点速度的方向。
(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)比较不同时刻系统的动能、势能的大小。
考点三 单摆及其周期公式
【必备知识回顾】
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，如图所示，故F回= F =-mgsinθ =- mg
l x =-kx，负
号表示回复力F 回与位移x 的方向相反。
(2) 向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，如图所示，故
F向= FT -mgcosθ。
(3)两个特殊位置
①摆球在最高点：F向= m v
2
l
=0，FT =mgcosθ。
②摆球在最低点：F 向＝m，F 向最大，FT＝mg＋m。
2．周期公式T =2π ❑√
l
g
的两点说明
(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g 为当地的重力加速度。
【重难模型精讲】
【典例6】(2026·福建省·月考试卷)如图所示，小球M用细线悬于定点O，小球N位于O点，将小球M
拉离平衡位置P少许，同时将两球由静止释放，不计空气阻力。则()
A.球M先到达P点B.两球同时到达P点
C.经过P点时球N的速度较大
D.经过P点时球M加速度为零
【答案】C
【解析】
M
做单摆运动，第一次到达
P
点的时间为
，
N
做自由落体运动，运
动到P点的时间为t2= ❑√
2 L
g ，显然t1>t2，即N球先到达P点，AB 错误；
根据机械能守恒，球N经过P点时的速度较大，C 正确；
小球M做圆周运动，经过P点时有向心加速度，D 错误。
【变式训练与拓展】
【变式7】(2026·广东省·单元测试)如图是两个单摆的振动图像，以下说法正确的是()
A.甲、乙两个摆的振幅之比为2∶1
B.甲、乙两个摆的频率之比为1∶2
C.甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2
D.以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t =0起，乙第一次到达右方最大位移时，
甲振动到了平衡位置，且向左运动
【答案】AD
【解析】由振动图像知A甲=2cm，A乙=1cm，所以甲、乙两个摆的振幅之比为A甲∶A乙=2∶1，
故A 正确；由振动图像知T 甲= 4 s，T 乙=8 s，又因为f = 1
T ，所以甲、乙两个摆的频率之比为
f 甲∶f 乙=T 乙∶T 甲=2∶1，故B 错误；由T =2π ❑√
l
g
得，甲、乙两个摆的摆长之比为
l甲∶l乙=T 甲
2 ∶T 乙
2 =1∶4，故C 错误；由振动图像知，t =2s时，乙第一次到达右方最大位移处，此时
x甲=0，且向左运动，故D 正确。
故选AD。
考点四 受迫振动和共振
【必备知识回顾】
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期
(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，
这就是共振现象。共振曲线如图所示。
【重难模型精讲】
考向1：受迫振动
【典例7】(2026·河南省周口市·联考题)如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一
铁支架MN上焊有固有频率依次为100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的四个钢片a、b、c、d，将M端与正
在转动的电动机接触，发现b钢片振幅很大，其余钢片振幅很小。则()
A.钢片a的振动频率约为100 Hz
B.钢片b的振动频率约为90 Hz
C.钢片c的振动频率约为80 Hz
D.电动机的转速约为90r /min
【答案】B
【解析】钢片a、b、c、d在电动机转动下做受迫振动，则钢片a、b、c、d的振动频率相同等于电动
机转动的频率。由于b钢片振幅很大，说明b钢片的振动频率接近电动机转动的频率，可见钢片a、b、c、
d的频率约为90 Hz，电动机转动的频率也约为90 Hz，则电动机转动的转速n= f =90 Hz =90r / s。故B
正确，ACD 错误。
考向2：共振
【典例8】（2026·山东枣庄·阶段检测）如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个
电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。
已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮
的转速是72r/min。下列说法正确的是（ ）
A．此时，共振筛的振动频率为0.8Hz
B．若使筛子的振幅增大，可以减小筛子质量
C．若使筛子的振幅增大，可以增大电压
D．此时，筛子振动的周期为1.2s
【答案】B
【解析】A．筛子做受迫振动，则筛子振动的频率等于偏心轮转动的频率，大小为f = 72
60 =1.2 Hz，故
A 错误；
B．根据题意可知，减小筛子的质量，筛子的固有周期随之减小，固有频率增大，则固有频率和驱动
力频率的差值变小，可以使筛子振幅增大，故B 正确；
C．仅增大偏心轮的电压，提高偏心轮的转速，偏心轮的频率增大，则固有频率和驱动力频率的差值
变大，筛子振幅减小，故C 错误；
D．由于筛子振动的频率为1.2Hz，则筛子振动的周期为T = 1
f =0.83 s，故D 错误。
故选B。
【变式训练与拓展】
【变式8】(2026·湖北省·单元测试)如图所示，铁架横梁上挂着两个摆长不同的单摆。其中A摆的摆长
为l，B摆的摆长为2l，使A摆偏离平衡位置后释放，A摆在振动中通过横梁对B摆施加周期性的驱动力，
则振动稳定后B摆的振动频率为()(重力加速度为g)
A. 1
2π
❑√
g
2l
B. 1
2π
❑√
2 g
l
C. 1
2π
❑√
2g
3l
D. 1
2π
❑√
g
l
【答案】D
【解析】A摆在振动中通过横梁对B摆施加周期性的驱动力，则振动稳定后B摆的振动频率与A摆的频
率相同，而A摆的周期T =2π ❑√
l
g
所以A摆和B摆的振动频率为f = 1
T = 1
2π
❑√
g
l 。
故选D。
【变式9】(2026·天津市·月考试卷)甲、乙两单摆在不同的驱动力作用下振幅A随驱动力频率f 变化的
图像如图所示，则()
A.单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B.若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4:1
C.若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4:1
D.周期为2s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2m
【答案】B
【解析】做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，当驱动力的频率
等于物体的固有频率时，物体的振幅最大，发生共振，故A 错误；由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频
率之比为1:2，由T = 1
f =2π ❑√
l
g 可得l =
g
4 π
2f
2，若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为
4:1，若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1:4，故B 正确，
C 错误；周期为2s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为l = gT
2
4 π
2 ≈1m，故D 错误。故选B。
【变式10】(2026·山东省济南市·月考试卷)如图为我国最高建筑——上海中心大厦配备的“上海慧
眼”阻尼器简化图，它使用我国独创的电涡流阻尼技术。该阻尼器由铁制配重块、吊索、电磁阻尼系统(包
括固定在大厦的铜板及镶嵌在铜板上的强磁铁)、艺术雕塑、主体结构保护系统组成。当大厦由于剧烈台风
发生振动时，配重块发生相应摆动，减弱大厦振动的幅度，增强大厦的舒适度。下列说法正确的是()
A.要达到最好的减震效果，配重块的摆动频率需与大厦振动频率相等，且步调相同
B.要达到最好的减震效果，配重块的摆动频率需与大厦振动频率相等，且步调相反
C.该阻尼器将机械能转化为内能
D.将铁制配重块换成水泥块，不会影响阻尼器的阻尼效果
【答案】BC
【解析】AB.大厦受到的力应与振动总是方向相反，才能利于减弱其振动幅度，故配重块的摆动频率
需与大楼的固有频率相等，且步调相反，故A 错误，B 正确；
C.该阻尼器将机械能转化为内能，最后将能量分散掉，故C 正确；
D.水泥配重块不能被强磁铁磁化，不能使铜板产生涡流，故D 错误。
故选BC。
【方法规律】
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
受回复
力作用
受驱动
力作用
受驱动
力作用
振动周期或频
率
由系统本身性质
决定，即固有周期T0
或固有频率f0
由驱动力的周期
或频率决定，即T＝
T 驱或f＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f0
振动能量
振动物体的机械
能不变
由产生驱动力的
物体提供
振动物体获得的
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°)
机械工作时底座
发生的振动
共振筛、声音的
共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某
固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与f0越接近，振幅A 越大；当f＝f0时，振幅A
最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
基础巩固练
1.(2025·云南省曲靖市·期中考试)如图所示，一轻质弹簧一端固定，另一端与物块相连，物块在光滑水
平面上做简谐运动。取平衡位置为坐标原点，水平向右为正方向。物块经过平衡位置时()
A.速度最大，加速度最大
B.速度最大，加速度为零
C.速度为零，加速度最大
D.速度为零，加速度为零
【答案】B
【解析】物体在光滑水平面上做简谐运动，在平衡位置合力为0，故加速度为零，速度达到最大值。
故选B。
2.(2026·湖北省·单元测试)如图所示，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一
光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、导热性良好。现将小球向下按压距离A
后由静止释放，并开始计时，忽略空气阻力，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T，则经T
8 时间，小球
从最低点向上运动的距离为()
A.1
2 A
B.
❑√2
2 A
C.
❑√2-1
2
A
D.2- ❑√2
2
A
【答案】D
【解析】规定竖直向下为正方向，则该简谐运动的位移公式为y = A cos 2π
T t，当t = T
8 时有
y = A cos( 2π
T × T
8 )=
❑√2
2 A，所以小球从最低点向上运动的距离d = A -
❑√2
2 A = 2- ❑√2
2
A，D 正确。
3.(2026·新疆维吾尔自治区·期末考试)弹簧振子做简谐运动，振子的位移x随时间t的变化如图所示，下
列说法正确的是()
A.弹簧振子的周期为1.6 s，振幅是12m
B.t =0.6 s时，振子的速度方向沿+ x方向
C.t =0.4 s到t =0.8 s的时间内，弹簧的弹性势能逐渐减小
D.t =1.2s到t =1.6 s的时间内，振子的动能逐渐增大
【答案】D
【解析】由题图可知，弹簧振子的周期为1.6 s，振幅是12cm，故A 错误；
t =0.6 s时，振子在x轴正半轴且速度方向沿- x方向，故B 错误；
t =0.4 s到t =0.8 s的时间内，振子由正向最大位移处运动到平衡位置，但弹簧振子不一定水平放置，
所以弹簧的弹性势能不一定逐渐减小，故C 错误；
t =1.2s到t =1.6 s的时间内，振子由负向最大位移处运动到平衡位置，振子的动能逐渐增大，故D 正
确。
4.(2026·安徽省合肥市·月考试卷)如图所示，物块A放置在物块B上，物块B与弹簧相连，它们一起在
光滑固定斜面上做简谐运动，振动过程中物块A和物块B之间始终无相对运动，下列说法正确的是()
A.振动过程中，物块A、物块B组成的系统机械能守恒
B.振动过程中，物块A的机械能不守恒
C.振动过程中，物块A一直克服摩擦力做功
D.研究物块B的运动，弹簧弹力提供了物块B做简谐运动的回复力
【答案】B
【解析】A振动过程中，物块A、B组成的系统机械能与弹簧的弹性势能互相转化，A错;
B.物块A受到的静摩擦力在做功，物块A的机械能不守恒，B对;
C.物块A从最低点向上运动是摩擦力做正功，C错;
D.研究物块B的运动，弹簧弹力、重力沿斜面方向的分力及静摩擦力的合力充当了物块B做简谐运动
的回复力，D错。
5.(2025·江苏省南通市·期中考试)如图所示是单摆做阻尼振动的位移-时间图像，下列说法正确的是()
A.P点动能小于N点动能
B.P点动能等于N点动能
C.P点势能小于N点势能
D.P点势能等于N点势能
【答案】D
【解析】根据图像可知P点与N点位移大小相同，说明高度相同，则重力势能相等，而单摆做阻尼振
动，机械能不断减少，所以P点机械能大于N点机械能，所以P点动能大于N点动能，故ABC 错误，D 正
确。
6.(2024·安徽省·模拟题)如图1所示，质量为m=1kg的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为
M =2kg的物体A连接。现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的
作用力刚好为零。从某时刻开始计时，取竖直向上为位移正方向，物体A的位移随时间的变化规律如图2
所示，已知重力加速度g=10m/ s
2，不计空气阻力。下列说法正确的是
A.物体A在任意一个1.25 s内通过的路程均为50cm
B.2
3 s∼11
12 s这段时间内，物体A的速度方向与加速度方向相反
C.物体A的振动方程为y =0.1sin(2πt + π
4)m
D.弹簧的劲度系数k =300 N /m
【答案】D
【解析】A.物体A由特殊位置(平衡位置或最大位移处)开始计时，在任意一个1.25 s= 5
4 T内，质点通
过的路程等于振幅的5倍，除此外在1.25 s的时间内通过的路程不等于振幅的5倍，故A 错误;
C.由题图2可知振幅为A =10cm，周期为T =1.0 s，角速度为ω= 2π
T =2πrad / s，规定向上为正方向，
t =0时刻位移为0.05m，表示振子由平衡位置上方0.05m处开始运动，所以初相为φ0= π
6 ，则振子的振动
方程为y = A sin(ωt +φ0)=0.1sin(2πt + π
6 )m，故C 错误;
B.t1= 1
2 T - 1
12 T = 5
12 s，所以2
3 s∼11
12 s时间内，物体A由最低点回到平衡位置，其速度方向与加速
度方向相同，故B 错误;
D.由物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，可知此时弹簧的拉力为k x2=mg，物
体A简谐运动的平衡位置弹簧向上的弹力为k x1= Mg，由图像知物体A运动的振幅为10cm，且
x1+ x2=10cm，解得k =300 N /m，故D 正确。
7.(2025·安徽省合肥市·月考试卷)已知弹簧振子的周期公式为T =2π ❑√
m
k
，其中k为弹簧的劲度系数、
m为振子的质量。现将质量为0.05kg的物块P通过劲度系数为20 N /m的轻质弹簧悬挂在铁架台上组成一
个弹簧振子，如图所示。用手托起物块P使弹簧处于原长状态，然后将物块P由静止释放并开始计时，不
计振动过程中机械能的损耗，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/ s
2，取竖直向上为正方向，
则该弹簧振子位移y与时间t的关系方程为()
A.y =0.05sin(
π
10 t + π
2)m
B.y =0.05sin(20t - π
2)m
C.y =0.025sin(20t + π
2)m
D.y =0.025sin(
π
10 t - π
2)m
【答案】C
【解析】弹簧振子的周期T =2π ❑√
m
k =2π ❑√
0.05
20 s= π
10 s，所以其做简谐运动的圆频率为
ω= 2π
T =20 s
-1，弹簧振子在平衡位置时，弹簧的形变量为△x = mg
k =0.025m，从原长位置由静止释放，
可知弹簧振子的振幅为A =0.025m，在t =0 s时刻，振子在最高点，即最大正向位移处，则弹簧振子的初
相位为φ= π
2 ，故该弹簧振子的位移y与时间t的关系方程为y =0.025sin(20t + π
2 )m，故C 正确，ABD 错
误。
8.(2026·广西壮族自治区·单元测试)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离
平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示。不计空气阻
力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是()
A.t =0.5 s时，摆球所受回复力最大，方向向右
B.t =1s时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右
C.从t =0.5 s到t =1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D.该单摆摆长约为2m
【答案】A
【解析】A、由乙图可知在t =0.5 s时，摆球的位移在负的最大位置处，根据F =-kx可知，此时摆球
所受的回复力最大，方向向右，故A 正确；
B、t =1s时，摆球的位移为0，此时在平衡位置，摆球的速度最大，故B 错误；
C、从t =0.5 s到t =1.0 s的过程中，摆球的位移逐渐减小为零，则摆球的位置不断降低，摆球的重力势
能减小，动能增大，故C 错误；
D、由乙图可知摆球的周期T =2s，根据T =2π ❑√
L
g
可得，该单摆的摆长为L=1m，故D 错误。
故选：A。
9.（多选）(2025·河南省南阳市·期中考试)质点的位移与时间关系遵从正弦函数规律，这样的运动叫简
谐运动。根据图像可以判断出物体可能做简谐运动的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像( x -t图像)是一条正弦曲线，
这样的振动叫简谐运动，故选ABC。
10.(2025·广西壮族自治区南宁市·期末考试)一弹簧振子的振动方程是x =5sin(
π
6 t)cm,下列说法正确
的是()
A.0∼3 s时间内，回复力正在变大
B.t =3 s时，振子的位移是5cm
C.在一个周期内，振子运动的路程是10cm
D.振子的速度最大时，加速度最大
【答案】AB
【解析】AB.由振动方程可知，t =3 s时，振子的位移x =5sin(
π
6 ×3)cm=5cm，
则0∼3 s时间内，振子从平衡位置运动到最大位移处，回复力正在变大，故AB 正确；
C.由振动方程可知，振幅为A =5cm，则在一个周期内，振子运动的路程为s= 4 A =20cm，
故C 错误；
D.振子处于平衡位置时，速度最大，加速度为0，故D 错误。
故选AB。
11.（多选）(2026·山西省太原市·月考试卷)物理实验室研究物体在弹簧弹力作用下的运动规律。如图
甲所示，弹簧竖直放置，下端固定在地面上，当弹簧处于自然长度时，将一盒子无初速度地放在与弹簧上
端相连的薄板上，测出物体的速度v与弹簧长度l的关系如图乙，图线与横轴交点坐标为l1、l2。已知薄板与
弹簧的质量可忽略，盒子的质量为m，弹簧一直处在弹性限度内，重力加速度大小为g，空气阻力不计，
则()
A.盒子做匀变速直线运动
B.当弹簧长度为l1时，盒子的加速度大小等于g
C.弹簧的劲度系数为2mg
l2-l1
D.盒子的最大速度为❑√
g(l2-l1)
2
【答案】BCD
【解析】A.盒子在运动过程中受到重力和弹簧的弹力，弹簧的弹力不断变化，其合力不断变化，加速
度不断变化，所以盒子做的是非匀变速直线运动，故A 错误；
BCD.根据题意可知，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，盒子将做简谐运动，开始
弹簧处于自然长度，弹簧的弹力为0，只受重力，则盒子的加速度大小等于g，之后盒子开始压缩弹簧，盒
子速度先增大，当弹力等于重力时，盒子的速度最大，之后开始减速，运动到最低点时，速度为0，弹簧
长度最短，结合图像可知，弹簧原长为l2，当弹簧长度为l1时，盒子运动到最低点，由对称性可知，此时
盒子的加速度大小等于g，方向向上，由牛顿第二定律有
k(l2-l1)-mg=mg
解得k = 2mg
l2-l1
当盒子速度最大时，弹簧弹力等于重力，此时弹簧的形变量为Δx = mg
k = l2-l1
2
由能量守恒定律有mgΔx = 1
2 k( Δx)
2+ 1
2 mv
2
解得v =
❑√
g(l2-l1)
2
，故BCD 正确。
故选BCD。
12.（多选）(2026·北京市市辖区·期中考试)如图所示，一水平弹簧振子在M、N间做简谐运动，振幅
为A，取平衡位置O处为原点，向右为正，认为振子向右经过平衡位置时为t =0时刻，下列加速度-时间
(a-t )图像、动量-时间( p-t )图像、动能-位移图像( Ek - x)、速度位移图像(v - x)中可能正确的是()(已
知弹簧弹性势能的表达式为：E p= 1
2 k x
2，默认原长为零势能点，x为形变量)
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】A.由题可知a=- kx
m ，其中x = A sin ωt，则有a=- kA sin ωt
m
，因此a- x不是线性关系，故A
错误；
B. 根据简谐振动位移与时间的关系x = A sin ωt，则其速度v = dx
dt = Aωcos ωt，结合动量
p=mv =mAωcosωt，即p-t图像为一余弦函数，故B 正确；
C. 根据机械能守恒定律可知，振子的动能和势能之和为定值，即Ek + E p= E，则有
Ek = E - E p= E - 1
2 k x
2，其中E为定值，则Ek - x应为开口向下的抛物线，故C 错误；
D.设平衡位置O处振子速度为v0，振子运动过程中，振子和弹簧组成的系统机械能守恒，则有
1
2 m v0
2= 1
2 k x
2+ 1
2 m v
2，整理可得v
2
k + x
2
m = v0
2
k
，则v - x的图像是椭圆，故D 正确。
故选BD。
13.(2026·云南省·单元测试)如图甲所示，质量为m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的
物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚
好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求：
(1)物体A的振动方程；(2)物体B对地面的最大压力大小。
【答案】解：(1)由图乙可知振幅为A =10cm，周期为T =1.0 s
圆频率为ω= 2π
T =2πrad / s
规定向上为正方向，t =0时刻位移为0.05m，表示振子由平衡位置上方0.05m处开始运动，所以初相
为φ0= π
6
则振子的振动方程为y = A sin(ωt +φ0)=10sin(2πt + π
6 )cm
(2)物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为F =mg
对于物体A有2mg+ F =2ma
解得a=1.5 g
当物体A运动到最低点时，物体B对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性可知，物体A在最低点
时加速度向上，且大小等于1.5 g，由牛顿第二定律得F ' -2mg=2ma
解得F ' =5mg
由物体B的受力可知，物体B受水平面的最大支持力为F N = F ' +mg=6mg
由牛顿第三定律得物体B对地面的最大压力F 压= F N =6mg
综合提升练
1．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6m，A、C 点的速度相同
D．摆长为2.5m，A、B 点的速度相同
【答案】C
【解析】由单摆的振动图像可知振动周期为T =0.8 πs，由单摆的周期公式T =2π ❑√
l
g 得摆长为
l = gT
2
4 π
2 =1.6m，x-t 图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C 点的速度相同，A、B 点的速度
大小相同，方向不同。
综上所述，可知C 正确，故选C。
2．（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手
机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲
线，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．t =0时，弹簧弹力为0
B．t =0.2s时，手机位于平衡位置上方
C．从t =0至t =0.2s，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为a= 4 sin(2.5 πt )m/s
2
【答案】D
【解析】A．由题图乙知，t =0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为
F =mg
A 错误；
B．由题图乙知，t =0.2s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B 错误；
C．由题图乙知，从t =0至t =0.2s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减
小，动能减小，C 错误；
D．由题图乙知
T =0.8 s
则角频率
ω= 2π
T =2.5 π rad/s
则a 随t 变化的关系式为
a= 4 sin(2.5 πt )m/ s
2
D 正确。
故选D。
3．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg 的小铁球，两端A、B
悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A 端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方
向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB 交点的单摆，重力加速度g=10m/ s
2，则（
）
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2s
C．小球平衡时，A 端拉力为
N
D．小球平衡时，A 端拉力小于B 端拉力
【答案】B
【解析】A．根据单摆的周期公式T =2π ❑√
L
g
可知周期与摆角无关，故A 错误；
CD．同一根绳中，A 端拉力等于B 端拉力，平衡时对小球受力分析如图
可得
2 F Acos30° =mg
解得
F A = FB=
mg
2cos30° =
❑√3
3 N
故CD 错误；
B．根据几何知识可知摆长为
L= 1.5m×tan30°
cos30°
=1m
故周期为
T =2π ❑√
L
g ≈2s
故B 正确。
故选B。
4．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置
一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不
与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（）
A．释放瞬间，物块加速度为零
B．物块和木箱最终仍有相对运动
C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零
D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变
【答案】D
【解析】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可
知释放时物块加速度不为0，故A 错误；
B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力
满足以下分析的F：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为f ，物块质量为m，对物块根据牛顿第二定律
f =ma
设木箱质量为M，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律F =(m+ M )a
可得F =(m+ M ) f
m
即弹簧的最大弹力减小到F =(m+ M ) f
m后，二者一起做简谐运动，故B 错误；
C．根据AB 选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，
物块速度不为零，故C 错误；
D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，
共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D 正确。
故选D。
5．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，
从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静
止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2 个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧
最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（）
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3:4
D．小球丙、丁的摆长之比为1:2
【答案】C
【解析】根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
可知T 丁>T 丙>T 乙>T 甲
CD．设甲的周期为T 甲，根据题意可得2T 甲= 3T 乙
2
=T 丙= T 丁
2
可得T 丙=2T 甲，T 乙= 4
3 T 甲，T 丁= 4T 甲
可得T 甲:T 乙=3:4，T 丙:T 丁=1:2
根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
结合T 丙:T 丁=1:2
可得小球丙、丁的摆长之比L丙: L丁=1:4
故C 正确，D 错误；
A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过T 甲（T 丙
2 ）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为
零，位移最大，根据a=- kx
m 可知此时加速度最大，故A 错误；
B．根据上述分析可得T 乙= 1
3 T 丁
小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为T 丁
4 （即3T 乙
4
）可知此时小球乙经过平衡位置，
此时速度最大，动能最大，故B 错误。
故选C。
6．（2024·贵州·高考真题）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光
滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏
离平衡位置，在
时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则
小球在t =1.5T时刻（ ）
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
【答案】AC
【解析】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t =0时由静止释放，可知此时小球位于最低点，
且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在t =1.5T时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向
上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下（负方向）；此时小
球的速度为0。
故选AC。
7．（2025·湖北·高考真题）质量均为m 的小球a 和b 由劲度系数为k 的轻质弹簧连接，小球a 由不可
伸长的细线悬挂在O 点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b 竖直下拉长度l 后由静止释放。重力加
速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b 后（ ）
A．小球a 可能会运动
B．若小球b 做简谐运动，则其振幅为l
2
C．当且仅当l≤mg
k 时，小球b 才能始终做简谐运动
D．当且仅当l≤2mg
k
时，小球b 才能始终做简谐运动
【答案】AD
【解析】B．如果a 球不动而B 球单独振动则B 球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即b
球初始时刻位置，则可知b 的振幅为l，B 错误；
ACD．a 球发生运动的临界条件为弹簧对a 球向上的弹力大于a 球的重力，则此时对a 球有k x0=mg
对b 球有此时加速度k x0+mg=ma
由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为a，则有kl =ma
解得l = 2mg
k
即l≤2mg
k
，否则a 球会发生运动，AD 正确，C 错误。
故选AD。
