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微专题81 带电粒子在直线边界磁场中的运动
1．一般步骤：画轨迹，定圆心，求半径或圆心角，三个步骤顺序根据题目灵活选择。2.在
直线边界，粒子进出磁场具有对称性，出射角和入射角相等。3.对于平行边界，轨迹与边界
相切是出不出磁场的临界条件。
1. 如图所示，竖直线MN∥PQ，MN 与PQ 之间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，O 是MN 上一点，O 处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向
均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电的粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿
图中与MN 成θ＝60°角方向射入的粒子恰好垂直PQ 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长
时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系有a＝Rsin 30°，解得R＝
2a，设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运动的时间为t＝T，即
α 越大，粒子在磁场中运动的时间越长，α 最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，
如图乙所示，因R＝2a，此时圆心角αm为120°，即最长运动时间为，因T＝＝，所以粒子在
磁场中运动的最长时间为。故选C。
2．(2023·四川宜宾市模拟)如图所示，L1和L2为两条平行的磁场边界线，L1上方和L2下方都
是垂直纸面向里、范围足够大、且磁感应强度大小相等的匀强磁场，L1和L2之间无磁场；
A、B 两点是L2上相距一定距离的两点。一带电粒子从A 点以初速度v0与L2成30°角斜向右
上方射出，经过偏转后恰好过B 点，不计重力，下列说法正确的是( )
1
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A．该粒子一定是带正电
B．该粒子经过B 点时的速度一定跟在A 点时的速度相同
C．若只稍微增大该粒子在A 点的初速度，它将仍可能经过B 点
D．若只将该粒子在A 点的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方，它将不可能经过B 点
答案 C
解析 作出粒子的运动轨迹的部分可能情况如图所示
由此可知，粒子可能带正电也可能带负电，且粒子经过B 点时的速度一定跟在A 点时的速
度大小相等，而速度方向可能相同，也可能不同，故A、B 错误；
由轨迹图可知，若只稍微增大该粒子在A 点的初速度，但速度方向不变，粒子仍可能经过B
点，故C 正确；
设L1与L2之间的距离为d，初速度与L2的夹角为θ，则A 到B2的距离为x＝，假设θ 为30°
时，经n 个周期，粒子到B 点，将带电粒子在A 点时的初速度方向改为与L2成60°角斜向右
上方，则经过3n 周期后仍有可能经过B 点，故D 错误。
3．(多选)如图所示，等腰直角三角形区域内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2
m，O 为BC 的中点，磁感应强度B0＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg、电荷量q＝－
2×10－3 C 的带电粒子以速度v＝5×103 m/s 垂直于BO，从BO 之间射入磁场区域，不计带
电粒子重力及相互之间的作用，则( )
A．在AC 边界上有粒子射出的长度为(－1) m
B．C 点有粒子射出
C．在AB 边界上有粒子射出的长度为1 m
2
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D．在磁场中运动时间最长的粒子从底边距B 点(－1) m 处入射
答案 ACD
解析 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则|q|vB0＝m，解得R＝1 m，当其中一个
粒子从O1点入射，如图所示，其轨迹与AB 相切于D 点，根据几何关系可知，轨迹的圆心
在O 点，轨迹同时与AC 边相切于E 点，此粒子在磁场中运动的时间最长，O1到B 点的距离
BO1＝BO－OO1＝(－1) m，D 正确；由几何关系可知粒子不能从C 点射出，B 错误；当粒子
从BO1间入射，则粒子从BD 间射出，由几何知识得BD 的距离为1 m，C 正确；当入射点从
O1点向O 点移动时，则从AC 边的射出点先向A 点移动，当出射点F 到BC 边的距离为1 m
时，出射点F 离A 点的距离最小，然后出射点向E 点移动，所以在AC 边界上的EF 间有粒
子射出，由几何关系可知CF＝ m，CE＝1 m，解得 EF＝(－1)m，A 正确。
4. (2023·四川遂宁市模拟)如图所示，平面直角坐标系xOy 内，存在垂直纸面向里的匀强磁
场， 磁感应强度 B＝0.2 T，原点O 有一粒子源，能向纸面内各个方向释放出比荷为4×108
C/kg 的带正电粒子，粒子初速度 v0＝8×106 m/s，不计粒子重力及相互之间作用， 有一与
x 轴成 45°角倾斜放置的足够长挡板跨越第一、三、四象限，P 是挡板与 x 轴交点，OP＝
16 cm，则挡板上被粒子打中的区域长度为( )
A．24 cm B．16 cm C．20 cm D．32 cm
答案 C
解析 粒子源到挡板的距离h＝16sin 45° cm＝16 cm
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qv0B＝m
解得R＝10 cm<h＝16 cm
作出粒子打在挡板上的动态轨迹如图所示
3
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则有xAC＝＝12 cm，xBC＝＝8 cm
则挡板上被粒子打中的区域长度L＝xAC＋xBC＝20 cm。
5. (多选)(2023·四川达州市模拟)如图所示，一个棱长为l 的立方体空间被对角平面MNPQ 划
分成两个区域，平面MNPQ 左侧存在磁感应强度大小B1＝、方向沿z 轴负方向的匀强磁场，
右侧存在磁感应强度大小B2＝、方向沿z 轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的
带正电粒子(不计重力)从z 轴上的某点以速度v 垂直yOz 平面进入磁场，并穿过两个磁场区
域。则( )
A．粒子在磁场中运动的时间t＝
B．粒子在磁场中运动的时间t＝
C．粒子在磁场中的位移x＝(－1)l
D．粒子在磁场中的位移x＝l
答案 BD
解析 设粒子在左侧磁场区域做圆周运动的半径为r1，根据洛伦兹力提供向心力有qvB1＝m
解得r1＝l
同理可得粒子在右侧磁场区域做圆周运动的半径为r2＝(－1)l
所以从上往下看粒子在磁场中运动轨迹如图所示：
由公式T＝可得，粒子在左、右磁场中运动的周期分别为T1＝，T2＝
由轨迹图可知，粒子在磁场中运动的时间t＝＋＝
由几何关系可得，粒子在磁场中的位移x＝＝l，故选B、D。
6．(2023·河南信阳市质检)如图，平行的MN、PQ 与MP 间(含边界)有垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，边界MN 与MP 的夹角α＝30°，点P 处有一离子源，离子源能
够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP 的正、负离子，离子运动一段
时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界PQ 射出的离子中，离子速度为v0时射出点
与P 点距离最大为xm，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。
求：
4
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(1)射出点与P 点最大距离xm；
(2)从边界MP 射出的离子，速度的最大值。
答案 (1) (2)
解析 (1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ 射出的速度为v0的离子，设其运动半
径为R1，运动轨迹恰好与MN 相切，运动轨迹如图中2 所示
根据牛顿第二定律得qv0B＝m
根据几何关系得xm＝2R1cos α
解得xm＝
(2)从边界MP 射出的离子，速度最大时离子运动轨迹恰好与MN 相切，设其运动半径为R2，
运动轨迹如图中1 所示，根据牛顿第二定律得qvmB＝m
设MP 的长度为L，根据几何关系得Lsin α＝R1－R1sin α
L＝＋R2
解得vm＝。
5
