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2025-2026 学年江苏省南通市海门区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2
B．a8÷a2＝a4
C．a3•a2＝a6
D．（a4）2＝a8
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，5）
B．（﹣3，﹣5）
C．（﹣3，5）
D．（﹣5，3）
4．（3 分）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2
D．a2﹣4+3a＝（a+2）（a﹣2）+3a
5．（3 分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN 的是（ ）
A．∠M＝∠N
B．AM∥CN
C．AB＝CD
D．AM＝CN
6．（3 分）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
7．（3 分）如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD，△ABD 与△ACD 的面积比是5：4，AB＝
10，AC＝8，∠BAC＝50°，则∠BAD 的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
2
8．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D 在AB 上，BC＝BD，DE⊥AB 交AC 于点E，△ABC 的
周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．（3 分）如图，点D 是∠FAB 内的定点且AD＝2，若点C、E 分别是射线AF、AB 上异于点A 的动点，
且△CDE 周长的最小值是2 时，∠FAB 的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
10．（3 分）如图，已知等边△ABC，AB＝2，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD＝CF，
DE⊥BC 于E，FG⊥BC 于G，DF 交BC 于点P，则下列结论：
①BE＝CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP＝60°；④EP＝1 中，
一定正确的个数是（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共8 小题，11～12 每小题3 分，13～18 每小题3 分，共30 分）
11．（3 分）若（x+1）0＝1，则x 应满足条件 ．
12．（3 分）因式分解：1
4 a
2−2ab+ 4 b
2= ．
13．（4 分）已知：2m＝a，2n＝b，m，n 为正整数，则22m+3n＝ ．
14．（4 分）若x−1
x =5，则( x + 1
x )
2= ．
15．（4 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，已知EH＝
3
EB＝3，AE＝5，则CH 的长为 ．
16．（4 分）如图，△ABC 中，点D 是BC 边上一点，连结AD，把△ABD 沿着AD 翻折，得到△AED，
DE 与AC 交于点F．若点F 是DE 的中点，AD＝8，△AEF 的面积为10，则点B，E 之间的距离为
．
17．（4 分）如图，AE 是∠CAM 的角平分线，点B 在射线AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交AE 于E，
EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝ ．
18．（4 分）如图，△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF 的三个顶点分别落在AC，AB，
BC 上，若CD＝5，BE＝8，则AB 的长为 ．
三、解答题（本大题共8 小题，共90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
19．（12 分）计算：
（1）（a﹣2b+c）2；
4
（2）（a+b﹣2c）（a﹣b﹣2c）；
（3）（x﹣2y）2（x+2y）2．
20．（8 分）先化简，再求值：[（3x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x，其中x =−1
4
，y = 2
3
．
21．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣
4），C（﹣1，﹣3）．
（1）画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC 关于y 轴对称；
（2）求△A′B′C′的面积；
（3）在y 轴上作一点P，使得PA+PC 最短；
22．（10 分）如图，在△ABC 和△CED 中，AB＝CE，∠B＝∠E，BC＝ED．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AB＝5，AE＝2，求CD 的长．
23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠A＝2∠B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB 的垂直平分线，与△ABC 的边BC 交于点D，在AB 上截取
AE＝AC，连接EC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接AD，求证：AD 垂直平分EC．
5
24．（12 分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024 年1 月份的日历．我们
任意选择其中所示的2×2 的方框部分，将每个方框部分中4 个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：
9×15﹣8×16＝7，19×25﹣18×26＝7，不难发现，结果都是7．
（1）将每个方框的左上角数字设为n．请用含n 的式子表示你发现的规律：
；
（2）请利用整式的运算对以上规律进行证明．
25．（14 分）如图，∠B＝∠C＝90°，E 是BC 的中点，连接DE，AE．
（1）若AE 平分∠DAB，求证：DE 是∠ADC 的平分线；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，AB＝2，直接写出AD 的长为 ；
（3）若AE⊥DE，求证：DE 是∠ADC 的平分线．
26．（14 分）在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D 是平面内一点，AD＝AC，点D 关于直线BC
6
的对称点为E，连接AE，DE．
（1）如图1，当D 在边AB 上时，直接写出∠BAE 的度数为 °；
（2）如图2，D 为△ABC 内一点，且∠CAD＝30°，连接BD，取AB 的中点F，连接DF．依题意补全
图2，并求证AE＝BD；
（3）在（2）的条件下，作射线DG⊥AD 交AB 于G，在射线DG 上有一点H，满足DH＝BC，延长
GD 交BC 于K，连接AH，AK，若AC＝2，求△AHK 的面积．
7
2025-2026 学年江苏省南通市海门区八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
D
D
B
A
A
C
11.x≠﹣1 12.1
4 （a﹣4b）2 13.a2b3 14.29 15.2 16.10 17.39° 18.14
选择题、填空题解法提示
10．解：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵∠GCF＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠GCF，
∵DE⊥BC 于E，FG⊥BC 于G，
∴∠DEB＝∠FGC＝90°，
在△BDE 和△CFG 中，
{
∠DEB =∠FGC
∠B =∠GCF
BD =CF
，
∴△BDE≌△CFG（AAS），
∴BE＝CG；所以①正确；
DE＝FG，
在△EDP 和△GFP 中，
{
∠DPE =∠FPG
∠DEP =∠FGP
DE = FG
，
∴△EDP≌△GFP（AAS），所以②正确；
∵∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
∴只有当PD⊥AB 时，∠PDE＝60°，所以③错误；
∵△EDP≌△GFP，
∴PE＝PG，
∵BE＝CG，
∴EG＝EC+CG＝EP+BE＝BC＝2，
8
∴EP= 1
2
EG＝1，所以④正确．
故选：C．
17．解：连接CE，过E 作ER⊥AC 于R，交CD 于Q，AE 交BC 于O，
∵DE 是线段BC 的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠CBE，
∵∠CBE＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝26°，
∴∠QED＝26°，
∵AE 平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC 和Rt△EFB 中，
{
CE = BE
ER = EF，
9
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE 平分∠CAM，
∴∠CAE= 1
2 ∠CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，
故答案为：39°．
18．解：过点D 作DH⊥AB 于点H，如图所示：
则∠DHE＝∠C＝90°，
在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC，
∴∠2+∠ADE＝120°，
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠1+∠ADE＝120°，
∴∠2＝∠1，
在△DHE 和△FCD 中，
{
∠DEH =∠C =90°
∠2=∠1
DE = DF
，
∴△DHE≌△FCD（AAS），
10
∴HE＝CD＝5，
∴HB＝HE+BE＝5+8＝13，
∴AB＝BH+AH＝13+AH，
在Rt△ADH 中，∠A＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AD＝2AH，
∴AC＝CD+AD＝5+2AH，
∵AB＝2AC，
∴13+AH＝2（5+2AH），
∴AH＝1，
∴AB＝13+AH＝14．
故答案为：14．
解答题参考答案
19．解：（1）（a﹣2b+c）2
＝[（a+c）﹣2b]2
＝（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2
＝a2+2ac+c2﹣4ab﹣4bc+4b2；
（2）（a+b﹣2c）（a﹣b﹣2c）
＝[（a﹣2c）+b][（a﹣2c）﹣b]
＝（a﹣2c）2﹣b2
＝a2﹣4ac+4c2﹣b2；
（3）（x﹣2y）2（x+2y）2
＝[（x﹣2y）（x+2y）]2＝（x2﹣4y2）2
＝x4﹣8x2y2+16y4．
20．解：原式＝[9x2+6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2]÷2x
＝（8x2+6xy）÷2x
＝4x+3y；
当x =−1
4
、y = 2
3
时，
原式= 4 x +3 y = 4×(−1
4 )+3× 2
3 =−1+2=1．
21．解：（1）如图所示；△A'B'C'即为所求；
11
（2）△A′B′C′的面积＝4×3−1
2 ×4×1−1
2 ×2×3−1
2 ×3×1= 11
2
；
（3）连接CA′交y 轴于P，点P 即为所求．
22．（1）证明：在△CED 和△ABC 中，
{
AB =CE
∠B =∠E
BC = ED
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠DCE＝∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）解：∵△ABC≌△CED，
∴CE＝AB＝5，CD＝AC，
∵AE＝2，
∴CD＝AC＝CE﹣AE＝5﹣2＝3．
23．（1）解：如图：即为所求．
（2）证明：如图，连接AD，ED，
∵FG 是AB 的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
12
又∵∠BAC＝2∠B，
∴∠DAB＝∠DAC，
在△DAE 和△DAC 中，
{
AE = AC
∠DAB =∠B
AD = AD
，
∴△DAE≌△DAC（SAS），
∴CD＝DE，即点D 在EC 的垂直平分线上，
∵AE＝AC，
∴点A 在EC 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分EC．
24．解：（1）由题知，
因为9×15﹣8×16＝7，19×25﹣18×26＝7，
所以当方框的左上角数字为n 时，
右上角数字为n+1，左下角数字为n+7，右下角数字为n+8，
所以发现的规律为：（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7．
故答案为：（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7；
（2）左边＝n2+7n+n+7﹣n2﹣8n＝7＝右边，
所以此等式成立．
25．（1）证明：如图：过E 作EF⊥AD，
∵AE 平分∠DAB，∠B＝90°，EF⊥AD，
∴EF＝BE，
∵E 是BC 的中点，
∴CE＝BE，
∴CE＝EF，
∵∠C＝90°，EF⊥AD，
13
∴DE 是∠ADC 的平分线．
（2）解：∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴∠EFE＝∠C＝90°，
在Rt△EDC 与Rt△EDF 中，
{
CE = EF
DE = DE，
∴Rt△EDC≌Rt△EDF（HL），
∴DF＝CD＝3；
同理可得：AF＝AB＝2，
∴AD＝FD+AF＝3+2＝5．
故答案为：5．
（3）证明：如图：延长DC，EF 交于点N，
∵∠B＝∠DCB＝90°，
∴∠B＝∠ECN＝90°，
∵CE＝BE，∠AEB＝∠CEN，
∴△AEB≌△NEC（ASA），
∴AE＝EN，
∵AE⊥DE，
∴DE 是线段AN 的垂直平分线，
∴AD＝DN，
∵AE⊥DE，
∴DE 是∠ADC 的平分线（三线合一）．
26．（1）解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠BAC＝60°，
连接CD，CE，
14
∵AD＝AC，
∴△ACD 是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
由轴对称性质得CE＝CD，∠ECB＝∠BCD＝30°，
∴∠DCE＝60°，△DCE 也是等边三角形，
∴DE＝EC，又AD＝AC，
∴AE 垂直平分CD，
∴∠BAE = 1
2 ∠BAC =30°，
故答案为：30；
（2）证明：补全图形，如图所示，连接CD，
∵∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴AC = 1
2 AB，
∵F 是AB 的中点，
∴BF＝AF＝2AB，
∴AC＝BF＝AF，
又∵AD＝AC，
∴AD＝AF＝AC，
又∵∠BAD＝∠DAC＝30°，
15
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴DF＝DC，
由轴对称可得CD＝CE，∠BCD＝∠BCE，
∴FD＝CE，
∵∠DAC＝30°，AD＝AC，
∴∠ACD = 180°−30°
2
=75°，
∴∠BCD＝90°﹣75°＝15°，
∵∠BCE＝∠BCD＝15°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝105°，
∵∠BAD＝30°，AF＝AD，
∴∠AFD = 180°−30°
2
=75°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝105°
∴∠ACE＝∠BFD，
又∵AC＝BF，CE＝FD，
∴△ACE≌△BFD（SAS），
∴AE＝BD；
（3）解：如图，
∵DG⊥AD，
∴∠ADH＝∠ACB＝90°，
∵DH＝BC，AD＝AC，
∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠HAD＝∠BAC＝60°，AH＝AB，
∵∠BAD＝30°，
∴∠HAB＝∠HAD﹣∠BAD＝30°，
∴∠HAB＝∠ABC＝30°，
∴AH∥BC，
16
∵∠ACB＝90°，
∴CA⊥AH，
在Rt△ABC 中，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴AH＝4，
∴△AHK 的面积= 1
2 ⋅AH ⋅AC = 1
2 ×4×2= 4．
