专题七 圆周运动的临界问题
基础巩固
1.[2025·江苏南京一中模拟] 如图所示,在竖直平面内固定着光滑圆管道.一小球从管道内的
最低点以不同的初速度v0向右运动,球的直径略小于管的内径,不计空气阻力.用阴影表示小
球在运动过程中对内侧管壁有作用力的区域,虚线为过O 点的水平线,下列图示可能正确的
是
( )
A
B
C
D
2.[2025·四川德阳模拟] 三个质量均为m 的小物块,用三根长度为L、最大张力为mg(g 为重
力加速度大小)的轻绳连接,置于动摩擦因数为μ=
❑√3
3
的粗糙水平圆盘上面,初始时刻轻绳恰
好绷直,构成正三角形,正三角形的中心与圆盘的圆心重合.让圆盘绕过O 点垂直于圆盘的轴
缓慢转动起来,随着角速度的缓慢增加,在轻绳断裂的瞬间,圆盘的角速度大小为( )
A.2❑√
g
L
B.❑√
2g
L
C.❑√
g
L
D.❑√
g
2 L
3.[2025·山西太原模拟] 如图所示,三个小木块a、b、c(均可视为质点)放在水平圆盘上,a、b
质量均为m,c 质量为2m.a 与转轴OO'的距离为L,b、c 与转轴OO'的距离均为2L.木块a、b
与圆盘的最大静摩擦力均为木块所受重力的k 倍,木块c 与圆盘的最大静摩擦力为木块所受
重力的2k 倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω 表示转盘
转动的角速度,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是( )
A.木块a、b 和c 同时相对圆盘发生滑动
B.木块c 最先相对圆盘发生滑动
C.相对圆盘发生滑动的顺序依次是b、c、a
D.当0<ω≤❑√
kg
2 L
时,三个木块与圆盘保持相对静止
4.[2025·福建厦门一中模拟] 如图所示,小球(可视作质点)和a、b 两根细绳相连,两绳分别固
定在细杆上两点,其中a 绳长La=❑√2 m,小球随杆一起在水平面内匀速转动.当两绳都拉直
时,a、b 两绳和细杆的夹角θ1=45°、θ2=60°,g 取10 m/s2.若a、b 两绳始终张紧,则小球运动
的线速度大小可能是
( )
A.3 m/s B.4 m/s
C.5 m/s D.6 m/s
5.[2025·山东青岛模拟] 如图甲所示,汽车通过半径为r 的拱形桥,在最高点处速度达到v 时,
驾驶员对座椅的压力恰好为零;若把地球看成一个巨大的“拱形桥”,当另一辆汽车速度达到
某一值时,驾驶员对座椅的压力也恰好为零,如图乙所示.已知地球半径为R,则图乙中的汽车
速度大小为
( )
A. r
R v B.v❑√
R
r
C.R
r v
D.v❑√
r
R
6.(多选)[2025·广东广州模拟] 如图所示,A、B 两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上,一
个杯中装满水,另一个是空杯.餐桌对A、B 的动摩擦因数相同,A 离转轴的距离为r,B 离转轴
的距离为2r,转盘在电动机的带动下以周期T 匀速转动,A、B 两茶杯与转盘保持相对静止,均
可看作质点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.动摩擦因数至少为8 π
2r
gT
2
B.装满水的杯子受到的摩擦力一定较大
C.若增大转动的角速度,空杯一定先滑动
D.若增大转动的角速度,茶杯B 一定先滑动
综合提升
7.[2025·安徽亳州模拟] 如图所示,平台固定在转轴的顶端,可随转轴一起转动,A、B 两个小朋
友坐在平台两侧,A 的质量为m,B 的质量为2m.A 到转轴的距离是3l,B 到转轴的距离是l.两小
朋友腰间系一轻绳,轻绳通过转轴中心,处于刚好伸直且无张力的状态,小朋友与平台接触面
间的最大静摩擦力均为其重力的k 倍,重力加速度大小为g.若使小朋友与平台保持相对静止,
则平台转动的角速度不能超过
( )
A.❑√
3kg
l
B.❑√
kg
l
C.❑√
kg
3l
D.❑√
kg
6l
8.[2025·浙江杭州模拟] 如图所示,竖直平面内固定一半径为R=0.15 m 的光滑圆形管道,管道
内径远远小于管的半径R.现将一小球(直径略小于管道内径)从管道内最高点M 由静止释放,
运动到N 点时,恰好与管道无挤压.已知OM 与ON 的夹角为θ,P 为管道最低点,且cos θ=2
3
,
重力加速度g 取10 m/s2,下列说法错误的是( )
A.小球运动到N 点时的速度大小为1 m/s
B.小球在MN 段运动过程中,对管道外侧无作用力
C.小球在NP 段运动过程中,只对管道外侧有作用力
D.小球从M 运动到P 点的过程中向心加速度先减小后增大
9.如图所示,倾角为α=30°的转台上有两完全相同的均可视为质点的物体甲和乙,其质量均为
m=1 kg,两物体与转台间的动摩擦因数均为μ=
❑√3
2
,现让转台绕中心轴O1O2转动,当转台以恒
定的角速度ω0转动时,恰好没有物体与转台发生相对滑动,物体甲到转轴的距离为x 甲=0.05
m,物体乙到转轴的距离为x 乙=0.1 m,重力加速度g 取10 m/s2,假设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力.则下列说法正确的是( )
A.ω0=5 rad/s
B.物体甲、乙在最高点时所受的摩擦力之比为1∶2
C.物体甲、乙在最低点时所受的摩擦力之比为1∶2
D.物体甲在最低点和最高点所受的摩擦力大小相等
10.[2025·辽宁沈阳模拟] 如图所示,水平圆盘上放有可视为质点的A、B、C 三个物体,质量均
为m=1 kg,圆盘可绕过圆盘中心的竖直轴OO'转动.已知A、B、C 三个物体与圆盘间的动摩
擦因数均为μ=0.1,最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力.A、O、B、C 四点共
线,OA=OB=BC=r=0.1 m,现将三个物体用轻质细线相连,细线伸直且恰无张力.若圆盘从静止
开始转动,其角速度ω 极其缓慢地增大,重力加速度g 取10 m/s2.
(1)当ω=1 rad/s 时,求C 所受摩擦力的大小;
(2)当ω 增加至ω1时,B、C 间细线恰好出现张力,求ω1的大小;
(3)当ω 继续增加至ω2时,A、B、C 整体恰好要与圆盘发生相对滑动,求ω2的大小.
拓展挑战
11.(多选)[2025·北京四中模拟] 如图所示,半径为R 的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转
的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO'重合.甲、乙两个小物块(均可视为质
点)分别置于陶罐内的A、B 两处,OA、OB 与OO'间的夹角分别为α=30°、β=60°.转台静止
时,甲、乙均不会下滑.已知甲的质量是乙的两倍,重力加速度大小为g.当转台从静止开始缓
慢加速转动,直到其中一物块刚要滑动之前的过程中,下列说法正确的是( )
A.甲的线速度大小始终为乙的
❑√3
3
B.甲所受向心力的大小始终为乙的2 倍
C.甲所受向心力的大小始终为乙的2❑√3
3
D.当转台角速度为❑√
g
R
时,甲、乙在陶罐切线方向上均有向下运动的趋势
答案解析
1.C [解析] 在虚线以下的半圆,小球的重力分解成沿切线方向的分力和沿半径背离圆心的
分力,所以重力无法提供向心力,此时小球必受到外管对其指向圆心的弹力.在虚线上半圆,小
球的重力分解成沿切线方向的分力和沿半径指向圆心的分力,重力沿半径指向圆心的分力可
以提供向心力,根据速度的不同,既可以受到外管对其指向圆心的弹力也可以受到内管对其沿
半径背离圆心的弹力,故A、B、D 错误,C 正确.
2.A [解析] 当绳断裂瞬间,拉力为mg,对任意一个小物块,根据力的合成结合牛顿第二定律
有2mgcos 30°+μmg=m·
L
2cos30° ω2,解得ω=2❑√
g
L
,故选A.
3.D [解析] 对a、b 研究,根据kmg=ma 可知,最大向心加速度均为kg,对c 研究,根据
2k·2mg=2ma 可知,最大向心加速度为2kg,由a=rω2可知,b 先达到最大静摩擦力,故b 先滑动,
后a、c 同时滑动,故A、B、C 错误;根据以上分析可知,b 滑动时的最大向心加速度
a=rω2=kg,解得ω=❑√
kg
2 L
,当0<ω≤❑√
kg
2 L
时,三木块与圆盘保持相对静止,故D 正确.
4.B [解析] 根据题意,当两绳恰好拉直,但FTb=0 时,小球运动的线速度大小为v1,则有FTacos
θ1=mg,FTasin θ1=mv1
2
r
,r=Lasin θ1,联立解得v1=❑√10 m/s,当两绳恰好拉直,但FTa=0 时,小球运
动的线速度大小为v2,则有FTbcos θ2=mg,FTbsin θ2=mv2
2
r
,联立解得v2=❑√10 ❑√3
m/s,可知要
使两绳都拉紧,速度需满足❑√10 m/s≤v≤❑√10 ❑√3 m/s,故选B.
5.B [解析] 题图甲中,设汽车质量为m,汽车到达最高点时重力提供向心力,有mg=mv
2
r
,故重
力加速度为g=v
2
r
,在题图乙中的另一辆汽车绕着地球做匀速圆周运动,设质量为m',驾驶员对
座椅的压力也恰好为零,则重力提供向心力,有m'g=m'v '
2
R
,解得汽车的速度大小为v'=v❑√
R
r
,
故选B.
6.AD [解析] 由an=(
2π
T )
2R 可知,B 茶杯的向心加速度较大,对于B 茶杯,根据摩擦力提供向
心力有Ff=μmBg≥mB(
2π
T )
22r,可得动摩擦因数至少为8 π
2r
gT
2
,故A 正确;杯子受到的摩擦力等
于杯子做圆周运动所需的向心力,不清楚哪个杯子装满了水,无法比较两杯子的向心力大小,
故B 错误;杯子刚要滑动时,对茶杯A 有μmAg=mAω1
2r,对茶杯B 有μmBg=mBω2
2·2r,可得茶杯
A、B 发生滑动的最小角速度分别为ω1=❑√
μg
r
,ω2=❑√
μg
2r
,若增大转动的角速度,茶杯B 一定先
滑动,故C 错误,D 正确.
7.A [解析] 两小朋友与平台相对静止,具有相同角速度,刚开始由摩擦力提供向心力,根据
mrω2=kmg,分析可得,小朋友A 先达到临界态,随着角速度的增大,轻绳上开始产生张力,A 小朋
友转动过程中需要的向心力为FnA=3mlω2,B 小朋友转动过程中需要的向心力FnB=2mlω2,A 需
要的向心力由摩擦力和轻绳张力共同提供,设即将发生相对滑动对应的最大角速度为ωm,对
A 有kmg+FT=3mlωm
2;对B 有FT-2kmg=2mlωm
2,联立解得ωm=❑√
3kg
l
,故选A.
8.D [解析] 对在N 点的小球进行受力分析,有F 向=mgcos θ=mv
2
R
,代入数据可得v=1 m/s,
故A 正确;小球在MN 段运动过程中,到达N 点之前有mgcos θ'>mgcos θ=mv
2
R
>mv '
2
R
,即重
力沿半径方向的分力大于所需向心力,因此管道内侧对小球提供支持力,故B 正确;同理可知
小球在N 点之下开始挤压管道外侧,小球到下半圆更会挤压管道外侧,故C 正确;从M 到P 点,
小球运动速度一直增大,向心加速度一直增大,故D 错误.
9.A [解析] 由题图可知,当转台以恒定的角速度转动时,重力和静摩擦力的合力提供向心力,
则物体乙的向心力大于物体甲的向心力,且在最低点时的静摩擦力大于最高点的静摩擦力,因
此只需保证物体乙在最低点不发生滑动即可,此时有μmgcos α-mgsin α=mω0
2·x 乙,解得ω0=5
rad/s,选项A 正确;最低点时对物体甲有Ff 甲1-mgsin α=mω0
2x 甲,解得Ff 甲1=6.25 N,物体乙所
受的摩擦力为Ff 乙1=μmgcos α=7.5 N,物体甲、乙在最低点时所受的摩擦力之比为Ff 甲1∶Ff
乙1=5∶6,在最高点时,对物体甲有mgsin α-Ff 甲2=mω0
2x 甲,解得Ff 甲2=3.75 N,对物体乙有
mgsin α-Ff 乙2=mω0
2·x 乙,解得Ff 乙2=2.5 N,则在最高点时物体甲、乙所受的摩擦力之比为Ff 甲
2∶Ff 乙2=3∶2,物体甲在最低点和最高点所受的摩擦力之比为Ff 甲1∶Ff 甲2=5∶3,选项B、C、
D 错误.
10.(1)0.2 N (2)❑√5 rad/s
(3)❑√15 rad/s
[解析] (1)当ω=1 rad/s 时, C 物体做圆周运动所需要的向心力为F 向=m·2rω2=0.2 N
而C 物体所受的最大静摩擦力为Ffmax=μmg=1 N
由此可得C 物体在ω=1 rad/s 的转速下所需要的向心力小于最大静摩擦力,故C 物体由其所
受到的静摩擦力来提供向心力,即Ff 静=F 向=0.2 N
(2)B、C 间细线恰好出现张力,说明C 此时达到了最大静摩擦力,由最大静摩擦力提供向心力
有
μmg=m·2rω1
2
解得ω1=❑√5 rad/s
(3)当ω 继续增加至ω2时,A、B、C 整体相对于圆盘有向BC 侧滑动的趋势,故A、B、C 受到
的摩擦力在图中都向左,且恰好为最大静摩擦力,则有FfA=FfB=FfC=μmg
设AB 间细线拉力大小为FT1,BC 间细线拉力大小为FT2,对C 受力分析有FT2+μmg=m·2rω2
2
对B 受力分析有
FT1+μmg-FT2=mrω2
2
对A 受力分析有FT1-μmg=mrω2
2
代入数据联立可得ω2=❑√15 rad/s
11.ACD [解析] 甲、乙的角速度相等,根据v=ωr,可知甲、乙的线速度大小之比为v1
v2
=r1
r2
=
R sin30°
R sin 60°
=
❑√3
3
,即甲的线速度大小始终为乙的
❑√3
3
,故A 正确;根据F=mω2r,其中ω1=ω2,可得
甲、乙所受向心力大小之比为F1
F2
=m1r1
m2r2
=2❑√3
3
,即甲所受向心力的大小始终为乙的2❑√3
3
,故
B 错误,C 正确;假设当转台角速度为ω1时,陶罐对甲的摩擦力恰好为零,则此时有m1gtan
α=m1ω1
2Rsin α,解得ω1=❑√
g
R cosα
,假设当转台角速度为ω2时,陶罐对乙的摩擦力恰好为零,
则此时有m2gtan β=m2ω2
2Rsin β,解得ω2=❑√
g
R cos β
,因为α<β,所以❑√
g
R
<ω1<ω2,可知当转台
角速度为❑√
g
R
时,甲、乙所受支持力和重力的合力均大于所需要的向心力,所以甲、乙均有沿
陶罐切线方向向下运动的趋势,故D 正确.
