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山东省2022 年普通高中学业水平等级考试
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分．每小题只有一个选项符合题目要
求．
1．(2022·山东卷·1)碘125 衰变时产生γ 射线，医学上利用此特性可治疗某些疾病．碘125 的
半衰期为60 天，若将一定质量的碘125 植入患者病灶组织，经过180 天剩余碘125 的质量
为刚植入时的( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设刚植入时碘的质量为m0，经过180 天后的质量为m，根据m＝
，代入数
据解得m＝
＝m0()3＝m0，故选B.
2.(2022·山东卷·2)我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭．如图所
示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空．从火
箭开始运动到点火的过程中( )
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
答案 A
解析 火箭从发射仓发射出来，受竖直向下的重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高压
气体的推力作用，且推力大小不断减小，刚开始向上的时候高压气体的推力大于向下的重力
和空气阻力之和，故火箭向上做加速度减小的加速运动，当向上的高压气体的推力等于向下
的重力和空气阻力之和时，火箭的加速度为零，速度最大，接着向上的高压气体的推力小于
向下的重力和空气阻力之和时，火箭接着向上做加速度增大的减速运动，直至速度为零，故
当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故A 正确；根据能量守恒定律，可知高压
气体释放的能量转化为火箭的动能、火箭的重力势能和内能，故B 错误；根据动量定理，
可知合力冲量等于火箭动量的增加量，故C 错误；根据功能关系，可知高压气体的推力和
空气阻力对火箭做功之和等于火箭机械能的增加量，故D 错误．
3.(2022·山东卷·3)半径为R 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O 点，环上均匀分布着
电量为Q 的正电荷．点A、B、C 将圆环三等分，取走A、B 处两段弧长均为ΔL 的小圆弧上
的电荷．将一点电荷q 置于OC 延长线上距O 点为2R 的D 点，O 点的电场强度刚好为零．
圆环上剩余电荷分布不变，q 为( )
A．正电荷，q＝
B．正电荷，q＝
C．负电荷，q＝
D．负电荷，q＝
答案 C
解析 取走A、B 处两段弧长均为ΔL 的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O 点产
生的电场强度为与A 在同一直径上的A1和与B 在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，
如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强
度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O 点的合电
场强度为0，则放在D 点的点电荷带负电，在O 点产生的电场强度大小为E′＝E＝k，又
E′＝k，联立解得q＝，故选C.
4.(2022·山东卷·4)如图所示的变压器，输入电压为220 V，可输出12 V、18 V、30 V 电压，
匝数为n1的原线圈中电压随时间变化为u＝Umcos (100πt)．单匝线圈绕过铁芯连接交流电压
表，电压表的示数为0.1 V．将阻值为12 Ω 的电阻R 接在BC 两端时，功率为12 W．下列说
法正确的是( )
A．n1为1 100 匝，Um为220 V
B．BC 间线圈匝数为120 匝，流过R 的电流为1.4 A
C．若将R 接在AB 两端，R 两端的电压为18 V，频率为100 Hz
D．若将R 接在AC 两端，流过R 的电流为2.5 A，周期为0.02 s
答案 D
解析 变压器的输入电压为220 V，原线圈的交流电的电压与时间成余弦函数关系，故输入
交流电压的最大值为220 V，根据理想变压器原线圈与单匝线圈的匝数比为＝，解得原线圈
为2 200 匝，A 错误；根据题图可知，当原线圈输入电压为220 V 时，BC 间的电压为UBC＝
＝12 V，故BC 间的线圈与单匝线圈匝数关系有＝，则BC 间的线圈匝数为120 匝，流过R
的电流为IBC＝＝＝1 A，B 错误；若将R 接在AB 两端，根据题图可知，当原线圈输入电压
为220 V 时，AB 间的电压应该为18 V．根据交流电原线圈电压的表达式可知，交流电的角
速度为100π，故交流电的频率为f＝＝＝50 Hz，C 错误；若将R 接在AC 两端，根据题图可
知，当原线圈输入电压为220 V 时，AC 间的电压应该为30 V，根据欧姆定律可知，流过电
阻R 的电流为IAC＝＝ A＝2.5 A
交流电的周期为T＝＝0.02 s，D 正确．
5.(2022·山东卷·5)如图所示，内壁光滑的绝热气缸内用绝热活塞封闭一定质量的理想气体，
初始时气缸开口向上放置，活塞处于静止状态，将气缸缓慢转动90°过程中，缸内气体(
)
A．内能增加，外界对气体做正功
B．内能减小，所有分子热运动速率都减小
C．温度降低，速率大的分子数占总分子数比例减少
D．温度升高，速率大的分子数占总分子数比例增加
答案 C
解析 初始时气缸开口向上，活塞处于平衡状态，气缸内外气体对活塞的压力差与活塞的重
力平衡，则有(p1－p0)S＝mg，气缸在缓慢转动的过程中，气缸内外气体对活塞的压力差大于
重力沿气缸壁的分力，故气缸内气体缓慢地将活塞往外推，最后气缸水平，缸内气压等于大
气压．
气缸、活塞都是绝热的，故缸内气体与外界没有发生热传递，气缸内气体通过压强作用将活
塞往外推，气体对外做功，根据热力学第一定律ΔU＝Q＋W 可知，气体内能减小，故缸内
理想气体的温度降低，分子热运动的平均速率减小，并不是所有分子热运动的速率都减小，
A、B 错误；气体内能减小，缸内理想气体的温度降低，速率大的分子数占总分子数的比例
减小，C 正确，D 错误．
6.(2022·山东卷·6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围
绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿
相同方向经过地球表面A 点正上方，恰好绕地球运行n 圈．已知地球半径为R，自转周期为
T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A．
－R
B．
C．
－R
D．
答案 C
解析 地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律有＝mg，可得GM＝gR2，
根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝，
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有＝m′(R＋h)；
联立以上式子解得h＝－R，故选C.
7.(2022·山东卷·7)柱状光学器件横截面如图所示，OP 右侧是以O 为圆心、半径为R 的圆，
左侧是直角梯形，AP 长为R，AC 与CO 夹角45°，AC 中点为B.a、b 两种频率的细激光束，
垂直AB 面入射，器件介质对a、b 光的折射率分别为1.42、1.40.保持光的入射方向不变，入
射点从A 向B 移动过程中，能在PM 面全反射后，从OM 面出射的光是(不考虑三次反射以
后的光)( )
A．仅有a 光
B．仅有b 光
C．a、b 光都可以
D．a、b 光都不可以
答案 A
解析 当两种频率的细激光束从A 点垂直于AB 面入射时，由几何知识可知，激光沿直线传
播到O 点，经第一次反射沿半径方向直线传播出去，如图甲，
保持光的入射方向不变，入射点从A 向B 移动过程中，如图乙，可知激光沿直线传播到CO
面经反射，射向PM 面，入射点从A 向B 移动过程中，光线传播到PM 面的入射角逐渐增大．
当入射点为B 点时，如图丙所示，根据光的反射定律及几何关系可知，光线传播到PM 面的
P 点，此时光线在PM 面上的入射角最大，设为α，由几何关系得α＝45°，
根据全反射临界角公式得sin Ca＝＝<
sin Cb＝＝>
两种频率的细激光束的全反射的临界角关系为
Ca<45°<Cb，
故在入射光从A 向B 移动过程中，a 光能在PM 面全反射后，从OM 面射出，b 光不能在PM
面发生全反射，故A 正确，B、C、D 错误．
8.(2022·山东卷·8)无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3 m 的半圆弧BC 与长8
m 的直线路径AB 相切于B 点，与半径为4 m 的半圆弧CD 相切于C 点．小车以最大速度从
A 点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B 点，然后保持速率不变依次经过BC 和CD.为
保证安全，小车速率最大为4 m/s，在ABC 段的加速度最大为2 m/s2，CD 段的加速度最大为
1 m/s2.小车视为质点，小车从A 到D 所需最短时间t 及在AB 段做匀速直线运动的最长距离l
为( )
A．t＝ s，l＝8 m
B．t＝ s，l＝5 m
C．t＝ s，l＝5.5 m
D．t＝ s，l＝5.5 m
答案 B
解析 在BC 段的最大加速度为a1＝2 m/s2，则根据a1＝，可得在BC 段的最大速度为v1m＝
m/s，在CD 段的最大加速度为a2＝1 m/s2，则根据a2＝，可得在BC 段的最大速度为v2m＝2
m/s<v1m，可知在BCD 段运动时的速度为v＝2 m/s，在BCD 段运动的时间为t3＝＝ s，若小
车从A 到D 所需时间最短，则AB 段小车应先以vm匀速，再以a1减速至v，AB 段从最大速
度vm减速到v 的时间t1＝＝ s＝1 s，位移x2＝＝3 m，在AB 段匀速的最长距离为l＝8 m－3
m＝5 m，则匀速运动的时间t2＝＝ s，则从A 到D 最短时间为t＝t1＋t2＋t3＝(＋) s，故选B.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题4 分，共16 分．每小题有多个选项符合题目要求，
全部选对得4 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分．
9.(多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x 轴传播，平衡位置位于坐标原点O 的质点振动图
像如右图所示．当t＝7 s 时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
答案 AC
解析 由O 点的振动图像可知，周期为T＝12 s，振幅A＝20 cm 设原点处的质点的振动方程
为y＝Asin (t＋φ)
将(0,10)代入，有10＝20sin φ，解得φ＝
在t＝7 s 时刻
y7＝20sin (×7＋) cm＝－10 cm
≈－17.3 cm
因7 s＝T＋T
由题可知在t＝7 s 时刻质点在y 轴负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，
则波形为C 所示；若波向左传播，则波形如A 所示，故选A、C.
10．(多选)(2022·山东卷·10)某同学采用图甲所示的实验装置研究光的干涉与衍射现象，狭缝
S1、S2的宽度可调，狭缝到屏的距离为L.同一单色光垂直照射狭缝，实验中分别在屏上得到
了图乙、图丙所示图样．下列描述正确的是( )
A．图乙是光的双缝干涉图样，当光通过狭缝时，也发生了衍射
B．遮住一条狭缝，另一狭缝宽度增大，其他条件不变，图丙中亮条纹宽度增大
C．照射两条狭缝时，增加L，其他条件不变，图乙中相邻暗条纹的中心间距增大
D．照射两条狭缝时，若光从狭缝S1、S2到屏上P 点的路程差为半波长的奇数倍，P 点处一
定是暗条纹
答案 ACD
解析 题图乙中间部分为等间距条纹，所以题图乙是光的双缝干涉图样，当光通过狭缝时，
同时也发生衍射，故A 正确；狭缝越小，衍射范围越大，衍射条纹越宽，遮住一条狭缝，
另一狭缝宽度增大，则衍射现象减弱，题图丙中亮条纹宽度减小，故B 错误；根据条纹间
距公式Δx＝λ 可知照射两条狭缝时，增加L，其他条件不变，题图乙中相邻暗条纹的中心间
距增大，故C 正确；照射两条狭缝时，若光从狭缝S1、S2到屏上P 点的路程差为半波长的奇
数倍，P 点处一定是暗条纹，故D 正确．
11.(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m 的网球以13 m/s 的速度斜向上击
出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为
8.45 m 的P 点．网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75 倍．平行墙面
的速度分量不变．重力加速度g 取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v 和着地点到墙壁的距离
d 分别为( )
A．v＝5 m/s
B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m
D．d＝3.9 m
答案 BD
解析 设网球飞出时的速度为v0，竖直方向
v0 竖直
2＝2g(H－h)
代入数据得v0 竖直＝ m/s＝12 m/s
则v0 水平＝ m/s＝5 m/s
网球击出点到P 点水平方向的距离
x 水平＝v0 水平t＝v0 水平·＝6 m
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0 水平⊥＝v0 水平·＝4 m/s
平行墙面的速度分量v0 水平∥＝v0 水平·＝3 m/s
反弹后，垂直墙面的速度分量
v 水平⊥′＝0.75·v0 水平⊥＝3 m/s
则反弹后的网球速度大小为
v 水平＝＝3 m/s
网球落到地面的时间
t′＝＝ s＝1.3 s
着地点到墙壁的距离d＝v 水平⊥′t′＝3.9 m
故B、D 正确，A、C 错误．
12.(多选)(2022·山东卷·12)如图所示，xOy 平面的第一、三象限内以坐标原点O 为圆心、半
径为L 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场．边长为L 的正方形金属框绕其始终在
O 点的顶点、在xOy 平面内以角速度ω 顺时针匀速转动，t＝0 时刻，金属框开始进入第一
象限．不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势E 随时间t 变化规律的描述正确的是(
)
A．在t＝0 到t＝的过程中，E 一直增大
B．在t＝0 到t＝的过程中，E 先增大后减小
C．在t＝0 到t＝的过程中，E 的变化率一直增大
D．在t＝0 到t＝的过程中，E 的变化率一直减小
答案 BC
解析 如图所示，在t＝0 到t＝的过程中，金属框的有效切割长度先变大再变小，当t＝时，
有效切割长度最大，为L，此时，感应电动势最大，所以在t＝0 到t＝的过程中，E 先增大
后减小，故B 正确，A 错误；在t＝0 到t＝的过程中，设转过的角度为θ，由几何关系可得
θ＝ωt，在t＝0 到t＝的过程中，切割磁感线的有效长度d＝，则感应电动势为E＝Bd2ω＝，
可知在t＝0 到t＝的过程中，E 的变化率一直增大，故C 正确，D 错误．
三、非选择题：本题共6 小题，共60 分．
13．(2022·山东卷·13)在天宫课堂中、我国航天员演示了利用牛顿第二定律测量物体质量的
实验．受此启发．某同学利用气垫导轨、力传感器、无线加速度传感器、轻弹簧和待测物体
等器材设计了测量物体质量的实验，如图甲所示．主要步骤如下：
①将力传感器固定在气垫导轨左端支架上，加速度传感器固定在滑块上；
②接通气源，放上滑块．调平气垫导轨；
③将弹簧左端连接力传感器，右端连接滑块．弹簧处于原长时滑块左端位于O 点．A 点到O
点的距离为5.00 cm，拉动滑块使其左端处于A 点，由静止释放并开始计时；
④计算机采集获取数据，得到滑块所受弹力F、加速度a 随时间t 变化的图像，部分图像如
图乙所示．
回答以下问题(结果均保留两位有效数字)：
(1)弹簧的劲度系数为________ N/m.
(2)该同学从图乙中提取某些时刻F 与a 的数据，画出a—F 图像如图丙中Ⅰ所示，由此可得
滑块与加速度传感器的总质量为________ kg.
(3)该同学在滑块上增加待测物体，重复上述实验步骤，在图丙中画出新的a—F 图像Ⅱ，则
待测物体的质量为________ kg.
答案 (1)12 (2)0.20 (3)0.13
解析 (1)由题知，弹簧处于原长时滑块左端位于O 点，A 点到O 点的距离为5.00 cm.拉动滑
块使其左端处于A 点，由静止释放并开始计时．结合题图乙的F—t 图像有
Δx＝5.00 cm，F＝0.610 N
根据胡克定律k＝
可得k≈12 N/m
(2)根据牛顿第二定律有F＝ma
则a—F 图像的斜率表示滑块与加速度传感器的总质量的倒数，根据题图丙中Ⅰ，则有
＝ kg－1＝5 kg－1
则滑块与加速度传感器的总质量为m＝0.20 kg
(3)滑块上增加待测物体，同理，根据题图丙中Ⅱ，则有＝ kg－1＝3 kg－1
则滑块、待测物体与加速度传感器的总质量为
m′≈0.33 kg
则待测物体的质量为Δm＝m′－m＝0.13 kg.
14.(2022·山东卷·14)某同学利用实验室现有器材，设计了一个测量电阻阻值的实验．实验器
材：
干电池E(电动势1.5 V，内阻未知)；
电流表A1(量程10 mA，内阻为90 Ω)；
电流表A2(量程30 mA，内阻为30 Ω)；
定值电阻R0(阻值为150 Ω)；
滑动变阻器R(最大阻值为100 Ω)；
待测电阻Rx；
开关S，导线若干．
测量电路如图所示．
(1)断开开关，连接电路，将滑动变阻器R 的滑片调到阻值最大一端．将定值电阻R0接入电
路；闭合开关，调节滑片位置．使电流表指针指在满刻度的处．该同学选用的电流表为
________(选填“A1”或“A2”)；若不考虑电池内阻．此时滑动变阻器接入电路的电阻值应
为________ Ω.
(2)断开开关，保持滑片的位置不变．用Rx替换R0，闭合开关后，电流表指针指在满刻度的
处，则Rx的测量值为________ Ω.
(3)本实验中未考虑电池内阻，对Rx的测量值________(选填“有”或“无”)影响．
答案 (1)A1 60 (2)100 (3)无
解析 (1)若不考虑电池内阻，且在电池两端只接R0时，电路中的电流约为
I＝＝ A＝10 mA，
由题知，闭合开关，调节滑片位置，要使电流表指针指在满刻度的处，则该同学选用的电流
表应为A1；
当不考虑电池内阻，根据闭合电路的欧姆定律有
E＝(R＋R0＋RA1)，计算出R＝60 Ω.
(2)断开开关，保持滑片的位置不变，用Rx替换R0，闭合开关后，有E＝(R＋Rx＋RA1)
代入数据有Rx＝100 Ω.
(3)若考虑电池内阻，根据闭合电路的欧姆定律有E＝[(R＋r)＋R0＋RA1]
E＝[(R＋r)＋Rx＋RA1]
联立计算出的Rx不受电池内阻r 的影响．
15.(2022·山东卷·15)某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉．如图所示，鱼鳔结构可简
化为通过阀门相连的A、B 两个密闭气室，A 室壁厚、可认为体积恒定，B 室壁簿，体积可
变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换．质量为M 的鱼静止在水面下H 处．B
室内气体体积为V，质量为m；设B 室内气体压强与鱼体外压强相等、鱼体积的变化与B 室
气体体积的变化相等，鱼的质量不变，鱼鳔内气体温度不变．水的密度为ρ，重力加速度为
g.大气压强为p0，求：
(1)鱼通过增加B 室体积获得大小为a 的加速度，需从A 室充入B 室的气体质量Δm；
(2)鱼静止于水面下H1处时，B 室内气体质量m1.
答案 (1) (2)m
解析 (1)由题知开始时鱼静止在水面下H 处，设此时鱼的体积为V0，有Mg ＝ ρgV0
且此时B 室内气体体积为V，质量为m，则
m＝ρ 气V
鱼通过增加B 室体积获得大小为a 的加速度，则有ρg(V0＋ΔV)－Mg＝Ma
联立解得需从A 室充入B 室的气体质量
Δm＝ρ 气ΔV＝
(2)开始时鱼静止在水面下H 处时，B 室内气体体积为V，质量为m，且此时B 室内的压强为
p1＝ρgH＋p0
鱼静止于水面下H1处时，有p2＝ρgH1＋p0
此时体积也为V；设该部分气体在压强为p1时，体积为V2，
由于鱼鳔内气体温度不变，根据玻意耳定律有
p2V＝p1V2
解得V2＝V
则此时B 室内气体质量m1＝ρ 气V2＝m
16．(2022·山东卷·16)某粮库使用额定电压U＝380 V，内阻R＝0.25 Ω 的电动机运粮．如图
所示，配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度v＝2 m/s 沿斜
坡匀速上行，此时电流I＝40 A．关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程L 到达卸粮点时，
速度恰好为零．卸粮后，给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行．已知小车质
量m1＝100 kg，车上粮食质量m2＝1 200 kg，配重质量m0＝40 kg，取重力加速度g＝10
m/s2，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车上粮食总重力成正比，比例系数为k，配重始终
未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质量．求：
(1)比例系数k 值；
(2)上行路程L 值．
答案 (1)0.1 (2) m
解析 (1)设电动机的牵引绳张力为FT1，电动机连接小车的缆绳匀速上行，由能量守恒定律
有
UI＝I2R＋FT1v，解得FT1＝7 400 N
小车和配重一起匀速，设绳的张力为FT2，对配重有FT2＝m0g＝400 N
设斜面倾角为θ，对小车有
FT1＋FT2＝(m1＋m2)gsin θ＋k(m1＋m2)g
而卸粮后给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行，则有m1gsin θ＝m0g＋km1g
联立各式解得sin θ＝0.5，k＝0.1
(2)关闭发动机后小车和配重一起做匀减速直线运动，设加速度大小为a，对系统由牛顿第二
定律有(m1＋m2)gsin θ＋k(m1＋m2)g－m0g＝(m1＋m2＋m0)a，可得a＝ m/s2
由运动学公式可知v2＝2aL，解得L＝ m.
17.(2022·山东卷·17)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约
束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，0<z≤d 空间
内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；－3d≤z<0，y≥0 的空间内
充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy 平面，与x 轴正方向夹角为45°；
z<0，y≤0 的空间内充满沿y 轴负方向的匀强电场．质量为m、带电量为＋q 的离子甲，从
yOz 平面第三象限内距y 轴为L 的点A 以一定速度出射，速度方向与z 轴正方向夹角为β，
在yOz 平面内运动一段时间后，经坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力．
(1)当离子甲从A 点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；
(3)离子甲以的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy
平面的位置坐标(用d 表示)；
(4)当离子甲以的速度从O 点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q 的离子乙，也从O 点
沿z 轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一
个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)．
答案 (1) (2)
(3)(d，d,0) (4)(2＋2)
解析 (1)如图所示
将离子甲在A 点的出射速度v0分解到沿y 轴方向和z 轴方向，离子受到的电场力沿y 轴负方
向，可知离子沿z 轴方向做匀速直线运动，沿y 轴方向做匀减速直线运动，从A 到O 的过程，
有
L＝v0cos β·t，v0sin β＝at，a＝
联立解得E＝；
(2)如图所示
离子从坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝
离子经过磁场Ⅰ偏转后从y 轴进入磁场Ⅱ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv1·B＝，可得rⅡ
＝rⅠ
为了使离子在磁场中运动，需满足rⅠ≤d，rⅡ≤3d
则可得v1≤
故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
(3)离子甲以v＝的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，离子在磁场Ⅰ中
的轨迹半径为r1＝＝
离子在磁场Ⅱ中的轨迹半径为r2＝
离子从O 点第一次穿过到第四次穿过xOy 平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过xOy 平面的x 坐标为
x4＝2r2sin 45°＝d
离子第四次穿过xOy 平面的y 坐标为y4＝2r1＝d
故离子第四次穿过xOy 平面的位置坐标为(d，d,0)；
(4)设离子乙的速度为v′，根据离子甲、乙动能相同，可得mv2＝×4mv′2
可得v′＝＝
离子乙在磁场Ⅰ中的轨迹半径为
r1′＝＝d＝2r1
离子乙在磁场Ⅱ中的轨迹半径为
r2′＝＝d＝2r2
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示，
从O 点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有
t 甲＝T1＋T2＝＋＝(2＋2)
t 乙＝T1′＋T2′＝×＋×＝(4＋4)
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为Δt＝t 乙－t 甲＝(2＋2).
18．(2022·山东卷·18)如图所示，“L”型平板B 静置在地面上，小物块A 处于平板B 上的
O′点，O′点左侧粗糙，右侧光滑．用不可伸长的轻绳将质量为M 的小球悬挂在O′点正
上方的O 点，轻绳处于水平拉直状态．将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A 发生
碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5°)，A 以速度v0
沿平板滑动直至与B 右侧挡板发生弹性碰撞．一段时间后，A 返回到O 点的正下方时，相对
于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点．已知A 的质量mA＝0.1 kg，B 的
质量mB＝0.3 kg，A 与B 的动摩擦因数μ1＝0.4，B 与地面间的动摩擦因数μ2＝0.225，v0＝4
m/s，取重力加速度g＝10 m/s2.整个过程中A 始终在B 上，所有碰撞时间忽略不计，不计空
气阻力，求：
(1)A 与B 的挡板碰撞后，二者的速度大小vA与vB；
(2)B 光滑部分的长度d；
(3)运动过程中A 对B 的摩擦力所做的功Wf；
(4)实现上述运动过程，的取值范围(结果用cos 5°表示)．
答案 (1)2 m/s 2 m/s (2) m (3)－ J
(4)<<
解析 (1)设水平向右为正方向，因为O′点右侧光滑，由题意可知A 与B 发生弹性碰撞，
故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有
mAv0＝mAvA＋mBvB
mAv0
2＝mAvA
2＋mBvB
2
代入数据联立解得
vA＝－2 m/s，(方向水平向左)
vB＝2 m/s，(方向水平向右)
即A 和B 速度的大小分别为
|vA|＝2 m/s，vB＝2 m/s.
(2)A、B 碰后A 匀速运动过程中，此过程对B 有μ2(mA＋mB)g＝mBa1
x0＝vBt1－a1t1
2
故d＝|vA|t1＋x0
A 从碰后到返回到O 点正下方，
有d＝|vA|t1＋
μ1mAg＝mAaA
联立各式代入数据解得t1＝ s，t1′＝1 s(舍去)
d＝ m
(3)在A 刚开始减速时，B 的速度为
v2＝vB－a1t1＝1 m/s
在A 减速过程中，对B 分析根据牛顿运动定律可知μ1mAg＋μ2(mA＋mB)g＝mBa2
解得a2＝ m/s2
设B 停下来的时间为t3，则有0＝v2－a2t3
A 减速的时间t2＝＝0.5 s
解得t3＝ s<t2＝0.5 s
可知在A 减速过程中B 先停下来了，此过程中B 的位移大小为xB＝＝ m
所以A 对B 的摩擦力所做的功为
Wf＝－μ1mAgxB＝－ J
(4)小球和A 碰撞后，A 做匀速直线运动再和B 相碰，此过程有t0＝＝ s
由题意可知A 返回到O 点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐运动
的周期为T，摆长为L，则有T＝t0＋t1＋t2＝ s，即T＝ s
又单摆周期公式T＝2π，可得L＝
小球下摆过程根据动能定理有MgL＝Mv2
小球与A 碰撞过程根据动量守恒定律有
Mv＝Mv1＋mAv0
当碰后小球摆角恰为5°时，有
MgL(1－cos 5°)＝Mv1
2
联立可得＝
当碰后小球速度恰为0 时，碰撞过程有
Mv＝mAv0
则可得＝
故要实现题述过程的范围为
<<
