文档文本内容
第1页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
2026 年内蒙古自治区初中学业水平考试
数学
注意事项：1．本试卷共6 页，满分100 分．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共8 小题，每小题3 分，共24 分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1. 下列由字母A 与B 的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
2. 小明买了
袋标准质量为
克的食品，他对这
袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正
数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：
第一袋
第二袋
第三袋
第四袋
其中最重的是（ ）
A. 第一袋
B. 第二袋
C. 第三袋
D. 第四袋
【答案】A
【解析】
【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，
检测结果越大则实际质量越重．
第2页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：
四袋食品标准质量均为
克，实际质量
检测结果，
检测结果越大，实际质量越重。
比较各袋检测结果可得
，
第一袋检测结果最大，实际质量最重．
3. 如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点
在格点上，若将该图形向上
平移3 个单位长度，则该图形上点
的对应点
的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系确定点
的坐标，再根据点的平移规律“上加下减”进行计算即可．
【详解】解：由图可知，点
的坐标为
，
将该图形向上平移3 个单位长度，
点
的横坐标不变，纵坐标加3，
对应点
的坐标为
，
即
．
4. 如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点
和其中一端点
分别在两条平行直线
和
上，若
，则
的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
第3页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【解析】
【详解】解：如图，设曲尺左侧边与直线
的夹角为
，
，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
曲尺的直角顶点为
，
，
．
5. 二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，则线段
的长是（ ）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题先利用
轴上点的纵坐标为
的性质，求出二次函数与
轴的两个交点坐标，再计算两点间
的距离即可得到结果．
【详解】解：
二次函数图象与
轴交点的纵坐标为
令
，得方程
解得
，
，
两点的坐标为
和
线段
的长为
6. 已知压力
（单位：
）一定时，压强
（单位：
）与受力面积
（单位：
）之间的函数关系
式为
．当
时，
，则压强
关于受力面积
的函数图象正确的是（）
第4页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意确定
与
的函数关系为反比例函数，求出常数
的值，再根据反比例函数图象的性质
及图象上点的坐标进行判断即可．
【详解】
，且
为定值
是
的反比例函数，且
，图象位于第一象限
排除选项A、B
将
，
代入
得
函数解析式为
对于C 选项，当
时，
，图象经过点
，符合题意
对于D 选项，当
时，
，不符合题意．
7. 阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024 年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭
（一种防风固沙植物）
万亩，成活率已经达到
．下列说法正确的是（ ）
第5页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
A. 种植10 棵梭梭，一定有9 棵成活
B. 种植9 棵梭梭，一定有1 棵成活
C. 种植1 棵梭梭，一定不能成活
D. 种植1 棵梭梭，不一定能成活
【答案】D
【解析】
【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率
意味着成活
的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的．
【详解】解：
成活率
表示在大量重复试验中，成活的可能性为
，属于随机事件，并非必然事
件或不可能事件
．
种植
棵梭梭，不一定有
棵成活，故A 错误；
种植
棵梭梭，成活数量不确定，故B 错误；
种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C 错误，D 正确．
8. 矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3
组图形和3 个代数恒等式：
其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（ ）
A. 3 个
B. 2 个
C. 1 个
D. 0 个
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算三个图形中不同部分的面积，利用面积相等建立等式，即可判断对应的代数恒等式是否成
立．
【详解】解：对于第1 组图形：大矩形的长为
，宽为
，面积为
；它由三个小矩形
第6页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
组成，面积分别为
、
、
；
，故第1 个恒等式正确；
对于第2 组图形：左上角正方形的边长为
，面积为
；大正方形的面积为
，减去两个长为
、宽为
的矩形面积
，由于右下角边长为
的小正方形被减了两次，需加回
；
，故第2 个恒等式正确；
对于第3 组图形：大正方形面积为
，左下角小正方形面积为
，剩余部分面积为
；剩余部分可
分割为两个矩形，一个长为
、宽为
，另一个长为
、宽为
，面积和为
；
，故第3 个恒等式正确；
综上所述，能正确说明代数恒等式的有3 个．
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，共12 分）
9. 化简：
____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同分母分式的化简，利用同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，再约分即可得到结
果．
【详解】解∶原式
．
10. 如图，等边三角形纸片
的边长为10，点
，
分别为
，
边上的点．将
沿
折
叠，若点
恰好落在该纸片
边的中点
处，则四边形
的周长是____________．
【答案】
【解析】
第7页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【分析】连接
交
于点O，由三线合一得
，
． 由折叠的性质可
知，
，
，
，
，可得
，由平行线分线段成比例求出
，再根据三角形中位线的性质求出
即
可求解．
【详解】解：如图，连接
交
于点O，
是等边三角形，边长为
，
点
是
边的中点
，
．
由折叠的性质可知，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
的周长
．
11. 对于一次函数
（
是常数，且
），下列结论：
①点
在此函数图象上；
②当
且
时，
；
③当
时，
随
的增大而减小．
第8页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】
【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入
的值得
到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论．
【详解】解：对于①，将
代入
，得
，所以点
在此函数图象上，故①正确．
对于②，当
时，函数解析式为
，当
时，得不等式
，移项得
，系数化为得
，故②正确．
对于③，一次函数
的增减性由一次项系数
决定，当
时，若
，则
，此时
随
的增大而增大，只有当
即
时，
才随
的增大而减小，故③错误．
故正确的结论是：①②．
12. 如图，在矩形
中，
，
，
是它的一条对角线，以点
为圆心，
长为半径
画弧，交
于点
（异于点
），分别以点
和点
为圆心，大于
长为半径，在直线
的右上
方画弧（两弧半径相等），两弧交于点
，连接
，与
交于点
，则
的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题干构造图形，连接
，由作图可知
垂直平分
，根据矩形的性质得到
，根据勾股定理求出
，根据等面积法计算即可．
【详解】解：如图，连接
第9页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
由作图可知
，
即
垂直平分
，
∵矩形
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
．
三、解答题（共6 小题，共64 分）
13. 计算下列各题：
（1）对实数
，
定义一种新运算“
”：
，其中
，等式右边是实数运算．计
算：
．
（2）已知多项式
，
，求
．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【小问1 详解】
解：∵
，
∴
第10页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
；
【小问2 详解】
解：将
，
代入
得：
．
14. AI 技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B 两款AI 产品中选择一款进
行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个
维度分别评分（每个维度满分100 分）．
其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为：
A 款产品：73，70，70，75，77；
B 款产品：70，69，70，75，76．
对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表：
产品
维度及得分
信息处理速度
信息识别准确度
功能丰富程度
A
78
73
86
B
82
72
85
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请写出五位专家对A，B 两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品
的信息识别准确度更高；
（2）如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按
的比
例计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理
由．
【答案】（1）A 款评分的众数为
，中位数为
；B 款评分的众数为
，中位数为
；A 款产品的信息
识别准确度更高；
（2）建议公司选择B 款产品．
【解析】
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）先对A、B 两款产品的评分从小到大排序，根据众数和中位数的定义得到对应结果，再比较
即可判断哪款产品的信息识别准确度更高；
（2）根据给定的权重比计算两款产品的加权平均分，比较得分大小后即可给出合理的选择建议．
【小问1 详解】
解：将A 款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：
，
，
，
，
，
因为数据中
出现次数最多，
因此A 款评分的众数为
，
共
个数据，排在中间的是第
个数据，为
，
因此A 款评分的中位数为
；
将B 款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：
，
，
，
，
，
因为数据中
出现次数最多，
因此B 款评分的众数为
，
共
个数据，排在中间的是第
个数据，为
，
因此B 款评分的中位数为
；
所以两款的众数相同，A 款评分的中位数和高于B 款，
因此A 款产品的信息识别准确度更高；
【小问2 详解】
解：根据权重比
计算两款产品的最终得分：
A 产品最终得分：
，
B 产品最终得分：
，
∵
，B 产品的最终得分更高，
∴建议公司选择B 款产品．
15. 某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000 千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两
位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75 千克和65 千克．（不考虑空间因
素）
第12页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（1）现有一批货物质量共3000 千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；
（2）若该超市购进大量A，B 两种货物，A 种货物每箱的质量为100 千克，B 种货物每箱的质量为80 千
克．为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？
【答案】（1）至少需要4 次，理由如下：
设至少需要
次，由题意得：
，
解得
，
∵
为正整数，
∴
取
，
答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4 次；
（2）共有2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物3 箱，B 种货物7 箱；方案二：A 种货物7 箱，B 种货物2
箱
【解析】
【分析】（1）设至少需要
次，根据“
次搬运的货物总质量大于等于货物总质量” 建立不等式求解即可；
（2）设搬运A 种货物
箱，B 种货物
箱，（
为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其非
负整数解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：设搬运A 种货物
箱，B 种货物
箱，（
为非负整数）
由题意得，
，
化简得：
，
∵
为非负整数，
第13页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
∴解得
或
，
因此共有2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物3 箱，B 种货物7 箱；方案二：A 种货物7 箱，B 种货物2
箱．
16. 已知
是
的内接三角形，半径
与
边相交于点
．
（1）如图1，连接
，若
，
，求
的度数；
（2）如图2，点
是线段
延长线上一点，连接
．
①若
，求证：
；
②在①的条件下，若
，试判断线段
与线段
的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
；
（2）①证明：连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
第14页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
即
；
②
，理由如下：
∵
，
∴
，
设
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
（2）①连接
，利用圆周角定理结合等边对等角，得到
，再证明
，
可推出
，即可得到
；
②设
，求得
，即可得到
．
【小问1 详解】
解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
；
【小问2 详解】
①略
②略
17. 综合与探究
问题情境：有一张边长为15 的正方形纸片
，将一张腰长为9 的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶
点A 重合放置，记该三角形为
．顶点E，F 分别在正方形的
，
边上，如图1．现将
绕
点A 按逆时针方向旋转
角，其中
，得到
，连接
，
，如图2．
第15页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（1）初步探究：猜想线段
与线段
的数量关系，并说明理由；
（2）深入探究：在
绕点A 按逆时针方向旋转过程中，当
与
互相垂直时，
交
边于
点M，
交
边于点N，如图3．
①求证
；
②求
与
面积的比值．
【答案】（1）
，理由如下：
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
∴由旋转可得，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）①证明：∵
，
∴
，
由（1）可得，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
第16页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
∴
；
②
【解析】
【分析】（1）证明
即可；
（2）①证明
，再由平行线分线段成比例定理求解即可；
②过点
作
交
的延长线于点
，先求出
，然后证明
，求出
，再由
，得到
，再由共高三角形
面积比等于底之比求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：①略
②过点
作
交
的延长线于点
，
由题意得，
，
∵
，
∴
，
∵正方形
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
第17页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
与
面积的比值为
．
18. 综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目
名称
为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
问题
情境
如图是某学校操场上坐南朝北的主
席台，由地台（长方体）、四根立
柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳
棚由两条抛物线形线条组成，从正
面看，上方有一矩形，其一边与地
台的长度相同．项目式学习小组想
为该矩形四周设置灯带，测量了地
台的长度，在测量矩形另一边的长
度时遇到了困难，需要解决．
第18页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
收集
信息
查找图纸：立柱
，
，
两根立柱
与
之间的距离
．点
是过点
，
的抛物
线的最高点，地台高
，立柱
到地台前边缘的距离
．
查阅资料：小组通过查阅资料知道本地
春分日正午太阳光线与地面夹角的度数
为
．
实地测量：在太阳光下遮阳棚顶
点
的影子落在操场上的
点处，测得影长
．
抽象
模型
说明：①测量时间为春分日正午；
②点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在同一竖直平面内；点
，
，
，
在同一竖直方向上，
点
，
，
在同一水平线上；
③各组选取不同的点作为坐标原点建立
平面直角坐标系解决问题．如图为“智
慧”小组以点
为原点，
所在直线
为
轴，
所在直线为
轴建立的平
面直角坐标系．
…
…
（1）任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点
，
，
的抛物线的函数表达
式；
（2）任务二：请你求出矩形另一边
的长度．
（参考数据：
，
，
）
第19页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）连接
，可得
，然后求出
，再解
即可．
【小问1 详解】
解：由题意得，顶点
，
，
∴设过点
，
，
的抛物线的表达式为
，
代入点
得，
，解得
，
∴过点
，
，
的抛物线的表达式为
；
【小问2 详解】
解：连接
，由题意可得
，
，
，
共线，
∵
，
，
∵
，
∴
，
∴将
代入
，则
，
∴
，
在
中，
，
，
第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
∴
∴
．
答：矩形另一边
的长度为
．
