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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某市物价部门对某商品在5家商场的售价 （元）及其一天的销售量 （件）进行调查，得到五对数据
（ ），经过分析、计算，得 ， ， ， 之间的经验回归方程是：
，则相应于点 的残差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以样本点的中心为 ，
又因为经验回归直线 过样本点的中心，所以 ，所以 ，所以经验回归方程
是： ，
当 时， ，
所以残差为 .
故选：A.
2．在平面四边形 中， ， 分别为 ， 的中点.若 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ， ，如图，可知 .由 ，即 ，可得 .
从而， ，所以 .
故选：B.
3．已知各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 ＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【解析】由题意得 ，由等比中项性质得 ，
故 .
故选：C
4．已知 表示两条直线， 表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若 ，且 ，则 ；
②若 相交且都在平面 外， ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，且 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】对于①，若 ，且 ，则 或相交，故①错误；
对于③和④， 与 也可能相交，均错误；
对于②，设 相交确定平面 ，根据线面平行的判定定理知 ，根据平行平面的传递性得知
．
故选：A．
5．城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第
26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.
若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A．110 B．144 C．132 D．156
【答案】C【解析】添加节目后，共有12个节目，
因为保持原来10个节目的相对顺序不变，
则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，
所以，不同的排法种数为 .
故选：C.
6．若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设切点为 ，因为 ，所以 ．
又因为切点 在直线 上，
所以 ，解得 ，所以 ．
令 ，则 ，
所以 在区间 上 ， 单调递减，
在区间 上 单调递增，
所以 ，故 的取值范围为 ．
故选：C
7．已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ．
两边除以 ，得 ．
故选：D．
8．古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长
乘积的 倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆 的面积为 ，离心率为 ， ， 是椭圆
的两个焦点， 为椭圆 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆 的标准方程可以为 ②若 ，则
③存在点 ，使得 ④ 的最小值为
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①：由 ，解得 ，
则椭圆 的标准方程为 ，故①正确；
对于②：由定义可知 ，
由余弦定理可得：
，整理得 ，
则 ，故②错误；
对于③：设 ，，
，由于 ，
，
则不存在点 ，使得 ，故③错误；
对于④： ，当
且仅当 ，
即 时，等号成立，故④正确；
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．曲线 的对称轴为
C． 在区间 单调递增
D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】，
即 ，
对于A， ，易知为偶函数，所以A正确；
对于B， 对称轴为 ，故B错误；
对于C， ， 单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D， ，则 ，所以 ，故D错误；
故选：AC
10．已知 是 的共轭复数，则（ ）
A．若 ，则
B．若 为纯虚数，则
C．若 ，则
D．若 ，则集合 所构成区域的面积为
【答案】AB
【解析】 ，所以 ，故A正确；
由 为纯虚数，可设 ，
所以 ，因为 且 ，
所以 ，故B正确；
由 ，得 ，因为 与 均为虚数，
所以二者之间不能比较大小，故C错误；
设复数 ，所以
由 得 ，
所以集合 所构成区域是以 为圆心 为半径的圆，
所以面积为 ，故D错误.
故选：AB.
11．已知函数 的定义域为R，满足 ，且 ，则（ ）
A．
B． 为奇函数
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对A：令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对B：令 得： ，结合 可得 ，
所以 为偶函数，故B错误；
对C：令 可得： ，因为 ，
所以 ，
进一步可得： ，又 ， ，故 ，
故 ，依次有 ,
所以 ，故C正确；
对D：令 可得： ;
用 代替 ， 得： ，
结合C的结果，可得： ，故D正确.
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ， ，若 ，则实数 ．
【答案】1
【解析】由题知 ,
若 ,则 或 ,
当 时,方程无解;
当 时, ,
解得: ,
此时, ,符合题意,所以 .
故答案为：1.
13．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点， ，，平面 平面 ，则四面体ABMN的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，取BN的中点 ，连接CD，
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABN，又 平面ABN，所以 ，
依题意 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又BN， 平面 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
连接 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 与 共斜边 ，所以四面体ABMN的外接球的球心为 的中点，且外接球半径 ，
所以该球的表面积 ．
14．下列有关命题的说法正确的是 （请填写所有正确的命题序号）．
①命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”；
②命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；
③条件 ，条件 ，则 是 的充分不必要条件；
④已知 时， ，若 是锐角三角形，则 .
【答案】②④
【解析】对于①，命题“若 ，则 ”的否命题是：“若 ，则 ”，故错误；
对于②，命题“若 ，则 ”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；
对于③，条件 ，即为 或 ；条件 ，即为 ；则 是 的充分不必要条件，
故错误；
对于④， 时， ，当 时， ，
则 在 上是增函数；当 是锐角三角形， ，即 ，
所以 ，则 ，故正确.
故答案为②④.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线；
(2)讨论 的单调性；
【解析】（1）当 时，函数 ，则 ，切点坐标为 ，
，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，所求切线方程为 ，即 .
（2） ，函数定义域为R，
，
① ， 解得 或 ， 解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
② ， 解得 或 ， 解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
③ ， 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增.
16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，
3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸
出的球中有 个红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【解析】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以 .
（2）由题意可知 的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，，
可得 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
17．（15分）如图所示，在梯形 中， ， ， .四边形 为
矩形，且 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与 所成角的正切值为 ，点 在线段 上运动，当点 在什么位置时，平面 与
平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【解析】（1）因为四边形 为梯形， ， ， ，
所以 ， ，则 ，即
又因为 平面 ， 面ABCD，所以 .
因为 、 都在平面 内， ，
所以 面 .
（2）取 中点 ，连结 ， ，由 ，知 ，
由（1）知 ， 共面且不共线，所以 ，
故直线 与 所成角为 .
由 平面 ， 面ABCD，所以 ，又 ，在面 内，且 ，故 面 ，
所以 面 ， 面 ，则 ，
在 中， ， ，所以 ，
在 ，易得 ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,如图所示，
则 ， ， ，
， ，
设 为平面 的法向量，则
，即 ，取 ，则 .
所以
由题可知， 是平面 的一个法向量，
所以 .
因为 ，解得 或 （舍去）.
当点 为线段 的靠近 的三等分点时，平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
18．（17分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 和点 .点 在 上，且.
(1)求 的方程；
(2)若过点 作两条直线 与 ， 与 相交于 ， 两点， 与 相交于 ， 两点，线段 和 中点
的连线的斜率为 ，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，证明： ，
且 为定值.
【解析】（1）设点 ，则 ，因为 ， ，
所以 ， ，所以点 ，
代入方程 中，得 ，所以 的方程为 .
（2）设点 ， ， ， ，
则直线 的斜率 ，
同理得直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以 ，
，从而得 .
由 消去 得 ，
所以 ，
由 ，得 或 .
设 和 的中点分别为 ， ，
则 ， ，
同理 ， ，
所以 ，即 ，
所以得 .
19．（17分）将有穷数列 中部分项按原顺序构成的新数列 称为 的一个“子列”，剩余项按原
顺序构成“子列” .若{bn}各项的和与 各项的和相等，则称 和 为数列 的一对“完美互
补子列”.
(1)若数列 为 ，请问 是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列 为递减数列，且 ，公比为q.若 存在“完美互补子列”，求证：
；(3)数列 满足 .设 共有 对“完美互补子列”，求证：当 和
时， 都存在“完美互补子列”且 .
【解析】（1）解：由题得数列 各项的和为
由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为 是一个小数，
由于数列 各项为整数，所以“子列”的和不可能为 ，
所以 不存在“完美互补子列”.
（2）解：假设 ，
由题得数列 的前100项和为 ,
所以不管 在哪一个“子列”，都不可能，
所以假设不成立，所以 .
（3）解： 时，
，
不妨设 中项为 中项为
则 中所有项与 中所有的项的和均为 ，
所以 时，数列 存在完美互补子数列.
时，只需将 中， 中 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，
则此时， 中的的和均在原来的基础上增加了 ，所以 时，数列 存在完美互补子
数列.下面证明 .
当 时，数列 共有 对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中，
（1）假设 在 中，则将 放入 中，将 中的 移到 中，再将 放入 中，
此时 中的的和均在原来的基础上增加了 ，仍然相等.
（2）同理，假设 在 中，则将 放入 中，将 放入 中，再将 放入 中，
此时 中的的和均在原来的基础上增加了 ，仍然相等.
（3）同理，假设 在 中，则将 放入 中，将 放入 中，再将 放入
中，此时 中的的和均在原来的基础上增加了 ，仍然相等.
故对于 时， 中每一对完美互补子列，都至少有3种情况，
