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2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集
，集合
，
或
，则
（ ）
A．
B．
C．（－3，3]
D．（2，3]
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱
B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个
D．直棱柱的侧面是矩形
3．记等差数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．120
B．140
C．160
D．180
4．已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，且
，则实
数
的值是（ ）
A．
和
B．
C．
D．
5．点
到双曲线
的一条渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知数列
是公比为
的等比数列，
是数列
的前
项和，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
7．已知平行六面体
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为
和
，这两组数据间的闵氏距离定义为
，其中q 表示阶数.现有下列四个
命题：
①若
，则
；
②若
，其中
，则
；
③若
，其中
，则
；
④若
，其中
，则
的最小值为
.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5 场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7 场，
得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ）
A．得分的中位数甲比乙要小
B．两人的平均数相同
C．两人得分的极差相同
D．得分的方差甲比乙小
10．已知函数
的定义域为
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
11．已知圆
，圆
分别是圆
与圆
上的点，则（ ）
A．若圆
与圆
无公共点，则
B．当
时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当
时，则
斜率的最大值为
D．当
时，过
点作圆
两条切线，切点分别为
，则
不可能等于
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．在
的展开式中，
的系数为 ．
13．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为
，
，且
，则它的内切球的体积为 .
14．椭圆
的左､右顶点分别为
，点
在椭圆上第一象限内，记
，存在圆
经过点
，且
，则椭圆
的离心率为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）如图，四面体
中，
是
的中点，
，
(1)求异面直线AB 与CD 所成角余弦值的大小；
(2)求点E 到平面ACD 的距离.
1
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16．（15 分）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的最小值．
17．（15 分）11 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1 分，先得11
分且至少领先2 分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10 后，每球交换发球权，领先2 分者胜，该
局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地
均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为
，乙发球时甲得分的概率为
，各球的比赛结
果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．
(1)若每局比赛甲获胜的概率
，求该场比赛甲获胜的概率.
(2)已知第一局目前比分为10∶10，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分
的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率
；
18．（17 分）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，
再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板
上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时
笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，
，
.设直尺边沿所在直线为a，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的
垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C 的方程；
(2)斜率为k 的直线过点
，且与曲线C 交于不同的两点M，N，已知k 的取值范围为(0,2)，若
，求
的范围.
19．（17 分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等
人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如
的数称为复数，其中
称为实部，
称为虚部，
i 称为虚数单位，
.当
时，
为实数；当
且时，
为纯虚数.其中
，叫做复数
的
模.设
，
，
，
，，
，
如图，点
，复数
可用点
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴.显然，
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平
面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一
个复数
都可以表示成
的形式，即
，其中为复数
的模，
叫做复数
的辐角，我们规定
范围内的辐角
的值为辐角的主值，记作
.
叫做复数
的三角形式.
(1)设复数
，
，求
、
的三角形式；
(2)设复数
，
，其中
，求
；
(3)在
中，已知
、
、为三个内角
的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相
关内容，证明：
①
；
②
，
，
.
注意：使用复数以外的方法证明不给分
2
