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专题01 直线与圆
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】直线的方程
【知能解读02】两条直线的位置关系
【知能解读03】圆的方程
【知能解读04】直线与圆、圆与圆的位置关系
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】与直线有关的最值问题
【重难点突破02】与圆有关的最值问题
【重难点突破03】隐圆问题及其应用
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】误解“截距”与“距离”的关系致错
【易混易错02】平行线间的距离公式使用不当致错
【易混易错03】忽略斜率不存在的情况致错
【易混易错04】遗漏方程表示圆的充要条件致错
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】直线的倾斜角与斜率范围的求法
【方法技巧02】求解直线方程的两种方法
【方法技巧03】由一般式方程确定两直线位置关系的方法
【方法技巧04】两条直线的交点问题
【方法技巧05】点与直线、平行线间的距离问题
【方法技巧06】点与直线、直线与直线的对称问题
【方法技巧07】圆的方程的两种求法
【方法技巧08】求与圆有关的轨迹问题的方法
【方法技巧09】直线与圆的位置关系的判断
【方法技巧10】根据直线与圆的位置关系求参数
【方法技巧11】与圆弦长有关的问题
1
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【方法技巧12】圆的切线方程问题
【方法技巧13】圆与圆的位置关系
【方法技巧14】两圆的公共弦问题
【方法技巧15】两圆的公切线问题
01 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l
的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tanα，
倾斜角是的直线没有斜率．
2
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（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
3、直线方程的五种形式
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x 轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x 轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
与x 轴、y 轴均不垂直的
直线
截距式
横截距a，纵截距b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原
点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内所有直
线
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【真题实战】（2025·陕西汉中·三模）若直线过点
，且其一个方向向量为
，则直线的方
程为 .
【答案】
【解析】由题意可知，直线的斜率为
.
而直线过点
，所以直线方程为
，即
.
02 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时，l1⊥l2．
2、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝．
3
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（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝．
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k 是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平
常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ 是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ 是参数)；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程是：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
【真题实战】（2025·山东·一模）若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．
C．1 或
D．
或4
【答案】D
【解析】若直线：
与直线
：
平行，
则
，整理可得
，解得
或
，
若
，直线：
与直线
：
平行，符合题意；
若
，直线：
与直线
：
平行，符合题意；
综上所述：
或
.故选：D.
03 圆的方程
1、圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：
半径：r＝
2、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内
3、二元二次方程与圆的关系
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F 的符号，只有大于0 时
4
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才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，则有：
（1）当F＝0 时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0 时，圆心在y 轴上；当D≠0，E＝0 时，圆心在x 轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0 时，圆与x 轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0 时，圆与y 轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．
【真题实战】（2025·四川·三模）若圆
与
轴相切，且圆心坐标为
，则圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得圆
的半径为2，故圆
的方程为
，
即
．故A 正确.故选：A.
04 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆位置关系的判断方法
①――――――――――――――――→
②――――――――――――→
（2）圆的切线与切线长
①过圆上一点的圆的切线
过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
②过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜
率k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0．
③切线长
从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ．
两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2 倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b
的积，即b＝．
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法
①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
②代数法：若直线y＝kx＋b 与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|．
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2、圆与圆的位置关系
（1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与
，
的关系
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
（2）两圆公切线的条数
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4 条
3 条
2 条
1 条
无公切线
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知圆
上到直线
的距离为1 的
点有且仅有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
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圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
01 与直线有关的最值问题
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短;
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
【典例1】（25-26 高三上·黑龙江·月考）函数
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以问题可转化为求动点
与点
，
的距离之差的最大值．
如图：
因为
，当且仅当
，
，
三点共线时等号成立，
所以
，此时
．
故答案为：
【典例2】（25-26 高三上·北京·调研模拟）若点
在直线
，则
的最小值为（ ）
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A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】设点
为直线
上的动点，
由
，
则其几何意义为
与
的距离和
与
的距离之和，
设点
，
则点
关于直线
的对称点为点
，
故
，且
，
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：B.
02 与圆有关的最值问题
求解与圆有关的最值问题步骤
第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型；
第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解；
第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．
【典例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：
，
是圆
：
上
的一动点，则点
到直线的距离
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直线：
，可化为
，
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由
，解得
，
，所以过定点
，
又因为点
在圆
上，且
，圆
的圆心为
，半径
，
所以当
，且
，
，
三点共线时，点
到直线的距离
最大，最大为
，
此时
，所以直线的斜率为1，即
，无解，
故直线不存在，所以
；
当直线与圆
相交或相切时，点
到直线的距离
最小，最小为0，
故点
到直线的距离
的取值范围为
．故选：B．
【典例2】（24-25 高三上·江西宜春·月考）若
分别为圆
，与圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】9
【解析】圆
的圆心
，半径
，
圆
的圆心
，半径
，
设点
关于直线
的对称点为
，连接
，如图：
则
，解得
，即
，
，则
，当且仅当
是
与直线
的交点，
且
分别是线段
与圆
的交点时取等号，
所以
的最小值为9.
9
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03 隐圆问题及其应用
1、隐圆问题的几大类型
（1）类型一：到定点的距离等于定长；
（2）类型二：到两定点距离的平方和为定值；
（3）类型三：到两定点的夹角为直角；
（4）类型四：对角互补、数量积定值；
（5）类型五：阿波罗尼斯圆
2、阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点
，
的距离之比为正数
的点
的轨迹是
为圆心，
为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
【典例1】（24-25 高三上·河南漯河·期末）已知
，若圆
上存
在点
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，设点
，
，点
满足
，
则有
，变形可得
，则
的轨迹方程为
，
若圆
上存在符合题意的点
，
则圆
与圆
有公共点，
又圆
的圆心为
，半径为2，
圆
的圆心为
，半径为3，
则有
，解得
，即
的取值范围是
．故选：C
【典例2】（2025·上海杨浦·三模）已知三角形
的
，则三角形
的面积的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】以
为坐标原点
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，设
，
.
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因为
，所以
，化简得
，
则点
的轨迹为以
为圆心，半径为
的圆（除去两点
）.
则点
到直线
的最大距离即为半径
，此时三角形
的面积
.
又点
到直线
的距离可趋近于
，所以三角形
的面积的取值范围为
.
01 误解“截距”与距离的关系致错
辨析：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是
非负数，对此考生应高度重视．
【典例1】（2025·湖南长沙·三模）过点
，且在
轴、
轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条．
【答案】3
【解析】因为在
轴、
轴上的截距的绝对值相等的直线，
故设直线为
或
或
，
若直线
过点
，则
，得直线为
；
若直线
过点
，则
，得直线为
；
若直线
过点
，则
，得直线为
；
所以满足条件的直线有3 条；
故答案为：3.
【典例2】（25-26 高三上·天津·月考）直线过点
，且在
轴上的截距是在
轴上截距的 2 倍，
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则该直线的斜率是
【答案】
或
【解析】若直线过坐标原点，则
，此时横纵截距都等于0,满足题意;
若直线不过坐标原点，设直线的方程为
,
因为直线过点
，所以
，解得
,
所以直线方程为
，此时
.
故直线的斜率为
或
.
02 平行线间的距离公式使用不当致错
辨析：在求解平行线间的距离时需先将
的系数先化为一致，再使用距离公式进行求解．
【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线
与直线
平行，则它们之间的
距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直线
即直线
，与直线
平行，则
，
故所求即为平行直线
与
之间的距离，
即所求为
.故选：B.
【典例2】（24-25 高三上·云南·月考）若两平行直线
与
之间的距离是，则
（ ）
A．
或11
B．
或16
C．1 或11
D．1 或16
【答案】C
【解析】因为直线
与
平行，
所以
，解得
，则直线
，即为
，
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又与
之间的距离是，所以
，解得
或
；
所以
或
.故选：C
03 平行垂直问题忽略斜率不存在的情况致错
辨析：(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导
致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同
时存在．
【典例1】（25-26 高三上·云南曲靖·月考）若直线：
与
：
互相垂直，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】直线的斜率
.当
时，直线
的斜率不存在，不满足
.
当
时，直线
的斜率
.
由
，得
，即
，解得
.故选：C
【典例2】（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线
与
垂直，则实数
的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，得
，此时与
不垂直；
当
时，若
，则
，解得
.故选：A.
04 遗漏方程表示圆的充要条件致错
辨析：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“
”是“方程
表示圆”的（ ）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由方程
，可得
，
若
时，可得
，此时方程
表示圆，即充分性成立；
反之：方程
表示圆时，
例如：当
时，方程可化为
也可以表示圆，所以必要性不成立，
所以“
”是“方程
表示圆”的充分不必要条件.故选：A
【典例2】（2025·浙江嘉兴·三模）“
”是“圆
不经过第三象限”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】圆
整理可得
，
可知圆心为
，半径
，且
，
若圆
不经过第三象限，
等价于原点
不在圆
内，则
，可得
，
且
是
的真子集，
所以“
”是“圆
不经过第三象限”的必要不充分条件.故选：B.
01 直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α 的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α 的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2 种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
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【典例1】（24-25 高三上·河南信阳·月考）若直线的方程为
，则的倾斜角的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，直线的倾斜角为
；
当
时，直线的斜率
，因为
，所以
或
，
根据正切函数的图像性质可知：倾斜角
或
；
综上：
.故选：D
【典例2】（25-26 高三上·贵州铜仁·月考）过点
作直线，若直线与连接
，
两点的
线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题得
，
，
因为直线与连接
，
两点的线段总有交点，
结合图象可知，
.故选：A.
02 求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)
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求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
【典例1】（25-26 高三上·浙江·月考）已知直线的一个方向向量为
，且过
，则直线
的方程为 ．
【答案】
【解析】由直线的方向向量为
，可得直线的斜率
，
因为直线过点
，所以直线的方程为
，即
.
【典例2】（25-26 高三上·北京·月考）过点
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为
，满足题意，
又因为直线过点
，所以直线的斜率为
，
所以直线方程为
，即
，
当直线不过原点时，设直线方程为
，
因为点
在直线上，
所以
，解得
，
所以直线方程为
，
故所求直线方程为
或
.故D 项正确.故选：D
03 由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
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l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
【典例1】（2025·辽宁·模拟预测）若直线
与直线
互相平行，则
实数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或-1
【答案】A
【解析】因为直线
与直线
互相平行，
所以有
且
，解得
，故选：A
【典例2】（2025·山西·三模）已知直线
与
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】由
，则
，解得
或
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A.
04 两条直线的交点问题
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也
可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
【典例1】（24-25 高三上·广东深圳·月考）过原点的直线的倾斜角是直线
的倾斜角的2 倍，
则直线与
的交点坐标为 ．
【答案】
【解析】设直线
的倾斜角为
，则
，
则直线的斜率
，
又直线过原点，所以的方程为
，
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联立
，解得
，即直线与
的交点坐标为
.
【典例2】（25-26 高三上·上海嘉定·月考）在直角坐标平面
内有一直角
，
，顶点
的坐
标为
，
所在直线方程为
，则顶点
的坐标为 .
【答案】
.
【解析】因为
，即
，且
所在直线方程为
，
可设
所在直线方程为
，
代入点
可得
，解得
，
即
所在直线方程为
，
联立方程组
，解得
，
所以顶点
的坐标为
.
05 点到直线、平行线间的距离问题
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y 的系数对应相等．
【典例1】（25-26 高三上·广东湛江·月考）在直角坐标系xOy 中，点
到直线
上动点的最
小距离为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】直线
上的点
到点
的距离的最小值为点
到直线
的距离
．故选：D
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【典例2】（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：
与直线
：
平行，则
这两条直线间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直线：
与直线
：
平行，
所以
，所以
，
所以直线
：
即
，
所以这两条直线间的距离为
.故选：B.
06 点与直线、直线与直线对称问题
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系
中，若从点
发出的光线经过点
，且
被
轴反射后将圆
平分，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】如下图所示：
点
关于
轴的对称点为
，
由对称性可知，点
、
、圆心
三点共线，
则
，即
，解得
.故选：A.
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【典例2】已知直线
与直线
关于点
对称，则实数
的值为 .
【答案】2
【解析】由于直线
与直线
关于点
对称，
所以两直线平行，故
，则
，
由于点
在直线
上，
关于点
的对称点为
，
故
在
上，代入可得
，
.
07 圆的方程的两种求法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r 的方程组，从而求出a，b，r 的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的
方程组，进而求出D，E，F 的值．
【典例1】（2025·北京海淀·二模）圆心为
且与
轴相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为圆心为
且与
轴相切，所以半径
，
则圆的方程为
.故选：D
【典例2】（24-25 高三上·宁夏银川·月考）已知圆
经过三个点分别是
，
，
，则圆
的方
程为 ．
【答案】
【解析】设圆
的方程为
，
因为圆过点是
，
，
三点，
所以
①，
②，
③，
由①②得到
④，由②③得到
⑤，
由④⑤解得
，代入①，得
，
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所以圆
的方程为
.
08 求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
【典例1】（2025·浙江·三模）若坐标原点O 关于动直线l：
的对称点为A，则点A
的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【解析】由
得
，所以直线l 过定点
，
又由对称性可知，
，
所以点A 到点B 的距离为
，所以点A 的轨迹为圆.故选：A．
【典例2】（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知长为2 的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴上滑
动，则线段
的中点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设线段
的中点
，
若
不与原点重合时，则
是直角三角形，且
为直角，
则
,即
的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，
方程为
，
若
有一个是原点，同样满足
，
故线段
的中点的轨迹方程是：
.
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09 直线与圆的位置关系判断
直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定
点的直线系．
【典例1】（25-26 高三上·四川成都·月考）设直线l 的方程为
，圆C 的方程为
，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
【答案】A
【解析】因为圆C 的方程为
，所以圆心为
半径为
，
则圆心到直线距离
，所以
，所以则直线l 与圆C 相交.故选：A.
【典例2】（25-26 高三上·广东·月考）直线
与圆
（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．位置关系不确定
【答案】C
【解析】由题意可得标准方程
，
其圆心M 的坐标为
，半径
，
直线
，即
.
联立
，解得
，即直线l 过定点
，
由于
，
所以
位于圆M 的内部，即直线l 与圆M 相交.故选:C.
10 根据直线与圆的位置关系求参数
解题步骤
第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式．
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第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法．
第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围．
（1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式；
（2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等
式解”与“隐含限制”的交集．
【典例1】（25-26 高三上·上海·月考）设
.若直线
与圆
始终
有交点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】直线
，即
，
当
时，方程恒成立，
所以直线过定点
，
又直线
与圆
始终有交点，
所以定点
在圆上或圆内，
则
，即
，
又
所以解得
，
则的取值范围是
.
【典例2】（24-25 高三上·重庆·模拟预测）若直线
与曲线
有两个不同的交点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
]
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】曲线
即为半圆：
，
其图象如图所示，
曲线与
轴的交点为
，而直线
为过
的动直线，
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当直线与半圆相切时，有
，解得
，
当直线过
时，有
，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故
，故选：A.
11 与圆的弦长有关的问题
1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系
式：|AB|＝2
2、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，
则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)．
特别地，当k＝0 时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|．
【典例1】（25-26 高二上·福建厦门·月考）若直线
被圆C
截得的弦长为
，则
（ ）
A．±2
B．
C．2
D．2
【答案】A
【解析】由题意可得圆的圆心为
，半径
，
则圆心到直线
的距离
，
又因为截得的弦长为
，
所以
，
化简得
，解得
.故选：A.
【典例2】（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知直线
，圆
，直线与圆
交于
两点，则弦长
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．2
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【答案】D
【解析】由题设
即
，
令
得
，所以直线过定点
，
而
即
，
所以
，即定点
在圆
内，且圆心为
，半径为3，
所以定点
与圆心
的距离
，
要使
最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时
.故选：D
12 圆的切线方程问题
1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的
距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得
到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．
【典例1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点
与圆
：
相切的直线方程为 .
【答案】
【解析】易知点
在圆
上，故所求切线与直线
垂直，
又
，所以所求切线斜率
，
故所求切线方程为
，即
.
【典例2】（25-26 高三上·山西长治·月考）从点
向圆
引切线，则切线长
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】圆
的圆心为
，半径
，
点
在直线
上，
则圆心
到直线
的距离
，
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可知直线
与圆
相离，
设其中一个切点为A，
则切线长
，
所以切线长的最小值为
.故选：C.
13 圆与圆的位置关系判断
可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系：
（1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断；
（2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．
【典例1】（2025·山东临沂·一模）圆
与圆
的位置关系是
（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】C
【解析】圆
的圆心
，半径
，
圆
，即
，圆心
，半径
，
则
，所以两圆外切.故选：C.
【典例2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆
与圆
有两个
交点，则r 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知：圆心
与圆心
，
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则圆心距
，
因为圆
与圆
有两个交点，
所以
，解得：
.故选：D
14 两圆的公共弦问题
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公
共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得
弦的一半，进而得到公共弦长．
【典例1】（2025·广东东莞·模拟预测）圆
与圆
的公共弦长为 .
【答案】
【解析】法1，两圆
与圆
均过点
，
，弦长为
.
法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程
，
圆
的圆心
到直线
的距离
，
故公共弦长为
.
故答案为：
.
【典例2】（2025·安徽安庆·二模）已知圆
与圆
相交于
两点
，则四边形
的面积等于 .
【答案】9
【解析】由已知，圆
，圆
，
圆心
，半径
，圆心
，半径
，
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法一：如图，准确画图，容易发现四边形
是边长为3 正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦
所在直线的方程为：
到
距离为
，所以
，即
，
又
，
所以，四边形
的面积
.
15 两圆的公切线问题
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为
，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，
两圆心到直线
的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于
和
的方程，解这个方程组得到
，
的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
【典例1】（24-25 高三下·江苏常州·月考）圆
，若两圆的公切线恰
有3 条，则
（ ）
A．4
B．6
C．16
D．36
【答案】C
【解析】因为
是圆，所以
，
因为两圆的公切线恰有3 条，所以两圆外切，
因为
，所以
，解得
，故选：C.
【典例2】（2025·河北·模拟预测）在平面内与点
距离为1，与点
距离为2 的直线共有
（ ）
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A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】D
【解析】∵在平面内与点
距离为1 的直线的是以
为圆心1 为半径的圆的切线，
同理可得与点
距离为2 的直线是以
为圆心2 为半径的圆的切线，
满足条件的直线为两圆的公切线，
，
两圆的位置关系为外离，公切线有4 条，
故满足条件的直线有4 条.故选：D
29
