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压轴14 空间角与距离的4 大核心题型
以空间几何体为载体考查空间角，空间距离是高考命题的重点，空间向量是将空间几何问题坐标化的
工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角及空间距离是高考的热点，考查题型既有选择题、填空
题，也有解答题，难度中等.
题型01 求解直线与平面所成角的方法
1.（2025 北京卷T17）四棱锥P
ABCD
-
中，ACD
V
与
ABC
V
为等腰直角三角形，
90
90
ADC
BAC
Ð
=
°
Ð
=
°
，
，E 为BC 的中点．
(1)F 为PD 的中点，G 为PE 的中点，证明：
/ /
FG
面PAB；
(2)若PA ^面ABCD，PA
AC
=
，求AB 与面PCD 所成角的正弦值．
2.如图1 所示，四边形ABCD 是圆柱下底面的内接四边形，AC 是圆柱底面的直径，PC 是圆柱的一条母线，
AB
AD
=
，
60
BAD
Ð
=
° ，点F 在线段AP 上，
3
PA
PF
=
．
技法指导
图1
（1）求证：平面PAB ^ 平面PBC．
（2）若
3
CP =
，
4
CA =
，求直线AC 与平面FCD 所成角的正弦值．
题型02 求解二面角（平面与平面所成角）的方法
3.（2024·全国甲卷T19）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF
均为等腰梯形，
/ /
,
/ /
EF
AD BC
AD ，
4,
2
AD
AB
BC
EF
=
=
=
=
，
10,
2 3
ED
FB
=
=
，M 为AD 的中点．
(1)证明：
/ /
BM
平面CDE ；
(2)求二面角F
BM
E
-
-
的正弦值．
4.已知三棱锥P
ABC
-
中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，且PB
AC
^
，
2 2
PA
PB
=
=
，E ，F 分别
为棱PB ，PC 的中点．
技法指导
(1)求证：PA
BC
^
；
(2)求平面AEF 与平面ABC 的夹角的正弦值．
题型03 求解空间中距离的方法
5.（2024·天津卷T17）如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1A A ^ 平面ABCD ，
,
/ /
AB
AD AB
DC
^
，
1
2,
1
AB
AA
AD
DC
=
=
=
= ．
,
M N 分别为
1
1
1
,
DD B C 的中点，
(1)求证：
1
//
D N
平面
1
CB M ；
(2)求平面
1
CB M 与平面
1
1
BB C C 夹角余弦值；
(3)求点B 到平面
1
CB M 的距离．
6.如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，
2
AB =
，
60
ABC
Ð
=
° ，
/ /
AC
平面BGH ，点G ，H
分别在棱PA ，PC 上，且GH
PD
^
．
技法指导
(1)求证：PA
PC
=
；
(2)若
=
PB
PD ，PB 与平面PAC 所成的角为60°，点A 关于平面PCD的对称点为M ，求点M 到平面PAB 的
距离．
题型04 向量法解决探索性问题
7.（2025·陕西西安二模）如图，在以
, ,
,
,
,
A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为
等腰祶形，
/ /
,
/ /
,
AB
CD CD
EF
2,
AB
DE
EF
CF
=
=
=
=
4,
10,
2 3
CD
AD
BC
AE
=
=
=
=
，M 为CD 的中点．
(1)证明：平面ABCD ^ 平面CDEF ；
(2)设点N 是
ADM
△
内一动点，
0
ND NM
×
=
uuur uuuur
，当线段AN 的长最小时，求直线EN 与直线BF 所成角的余弦
值．
8.（2025·湖北襄阳二模）在三棱锥P-ABC 中，若已知PA
BC
^
，PB
AC
^
，点P 在底面ABC 的射影为点
H，则
技法指导
1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是
否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
2.对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
(1)证明：PC
AB
^
(2)设
2
PH
HA
HB
HC
=
=
=
=
，则在线段PC 上是否存在一点M，使得BM 与平面PAB 所成角的余弦值为
4
5 ，若存在，设CM
CP
l
=
，求出l 的值，若不存在，请说明理由.
1．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，AB
AC
=
，D 为BC 的中点，P 在底面的投影O 落
在线段AD 上.
(1)证明：
^
AP
BC ；
(2)若
8
BC = ，
4
PO =
，
3
AO =
，
2
OD =
，M 在线段AP 上，且满足平面AMC ^ 平面BMC ，求直线BM 与直
线CP 夹角的余弦值.
2．（2025·湖南常德三模）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2
2
AA
AB
AD
=
=
，点E 是棱
1
CC 的中点．
(1)求证：
1//
AC
平面BDE；
(2)求直线
1
BC 与平面BDE 所成角的正弦值．
3.（2025·山东泰安·二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，PA ^平面
,
ABCD PA∥
QD ，
2
2
2,
60
BC
AB
PA
ABC
Ð
=
=
=
=
o .
(1)证明：平面PCD ^ 平面PAC ；
(2)若
2 2
PQ =
，求平面PCQ与平面DCQ 夹角的余弦值.
4.（2025·重庆·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，上顶点为A ，直线
1
AF
的斜率为1 且与C 的另一个交点为B ，
2
ABF
△
的周长为8．
(1)求C 的方程及AB 的值；
(2)如图，将C 沿x 轴折起，使得折叠后平面
1
2
AF F ^平面
1
2
BF F ，求
2F 到平面
1
ABF 的距离．
5．（2025·四川攀枝花·一模）如图，几何体ABCDEF 中，E，F 不在平面ABCD 内，
/ /
,
/ /
CF
AE BF
平面ADE．
(1)求证：
/ /
AD
BC ；
(2)若AE ^ 平面ABCD，
,
2,
4
AD
AB AB
AD
AE
BC
^
=
=
=
=
，且直线DF与平面ABCD所成角的正切值为
2
2 ，
求点F 到平面BDE 的距离．
6.（2025·河南周口·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
2
2
2
4 2
PC
PA
AD
PD
=
=
=
=
，
π
3
CPD
Ð
=
，四
边形ABCD 为矩形，E 在PC 上，且DE
PC
^
，F 为PA 的中点，平面DEF 交PB 于点M ．
(1)求证：DM
PB
^
；
(2)在线段AB 上是否存在点N （异于点
,
A B ），使得平面PCN 与平面PFN 的夹角为π
4 ？若存在，求出AN
NB
的值；若不存在，说明理由．
7.（2025·天津河西·一模）如图所示，在几何体ABCDEF 中，AE ^ 底面ABCD ，
/ /
CF
AE ，
/ /
AD
BC ，AB
AD
^
，
1
AB
AD
=
= ，
2
AE
BC
=
=
．
(1)求证：
//
BF
平面ADE ；
(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
(3)若平面BDE 与平面BDF 所成角的余弦值为1
3 ，求线段CF 的长．
8．（2025·广西南宁·三模）等腰梯形ABCD 中，
//
BC AD ，
1
2
BC
AD
=
，
60
A
Ð
=
°，点E 为AD 中点（如图
1）．将ABE
V
沿BE 折起到
1A BE
V
的位置，点O，F 分别为
,
BE DE 的中点（如图2）．
(1)求证：平面BCDE ^ 平面
1AOC ；
(2)如果
2
BC =
，平面
1A BE ^ 平面BCDE ，那么侧棱
1AC 上是否存在点P，使得
//
BP
平面
1AOF ？若存在，
求平面PBE 与平面
1AOF 夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为CD，PA
的中点.
(1)证明：
/ /
EF
平面PBC；
(2)若平面PAB ^平面ABCD，PA
PB
=
，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
° ，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦值为
4 31
31
，求点F 到平面PBC 的距离.
10．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为直角梯形，点
1A 、
1B 、
1
C 、
1
D 在底面的垂足分别为A、B、C、D，
/ /
AD
BC ，AB
AD
^
，
1
1
CC = ，
1
2
=
=
BC
BB
，
1
AD
AB
AA
=
=
=
1
4
DD =
，E 为
1
1
C D 的中点，F 在
1
AA 上且
1
3
AF
FA
=
.
(1)求BE 与平面
1
1
ADD A 所成角的正弦值；
(2)求平面FBC 与平面
1A BC 的夹角的余弦值；
(3)边
1
DD 上是否存在点M，使
1B 、E、M、F 四点共面，若存在，求出DM 的长度，若不存在，则说明理由.
11．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形ABCD 是棱长为3 的正方形．PA ^平面
,
/ /
ABCD PA
QC ，且
3
3
PA
CQ
=
=
．
(1)求证：
^
BC
平面PAB ；
(2)求平面PQB 与平面ABCD 夹角的余弦值；
(3)线段PA 上是否存在点M，使得平面MQB Ç平面ABCD
l
= ，且满足/ /
l
平面PAC ?若存在，试确定点M
的位置；若不存在，请说明理由．
12．（2026·广东佛山·二模）如图，PB 是圆柱
1
OO 的母线，四边形ABCD 是底面内接正方形．点
,
E F 是棱
,
BC CD 上的动点（
,
E F 不与端点重合），且CE
DF
=
．
(1)证明：AE ^ 平面PBF ；
(2)已知圆柱
1
OO 的体积为π ，
2
PB =
，点A 到直线PF 的距离是1．
（i）求CE 的长度；
（ii）求直线CD 与平面PAE 所成角的正弦值．
13．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是正方形，平面PAB ^平面
ABCD ，PAB
V
是边长为2 的等边三角形，E 为侧棱PB 的中点，F 为线段BC 上一点.
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)若
//
EF
平面PCD，求直线PF 与平面PAD 所成角的正弦值；
(3)设点G 为三棱锥E
ABF
-
的外接球的球心，试判断三棱锥G
PAD
-
的体积是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由.
