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压轴15 截面与翻折问题的4 大核心题型
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、
正方体等），得到的平面图形，研究截面的形状及内含的数量关系，首先要确定交线.截面与交线问题是深
层次考查学生直观想象及数学建模等核心素养的题型，它渗透了线、面等元素.求截面与交线问题，一是可
用平面几何图形的性质，如解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用坐标法或向
量运算求解.
题型01 截面问题
1.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，点E 是线段
1
BB 上靠近
1
B 的三等分点，点F 是线段
1
1
D C 上靠近
1
D 的三等
分点，则平面AEF 截正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
形成的截面图形为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
2.（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥P
ABCD
-
的所有棱长都等于3，点G 是PAC
V
的重心，过点G 作平
面a ，若平面
/ /
a
平面PCD，则平面a 截正四棱锥P
ABCD
-
的截面面积为（ ）
A．5 3
4
B．5 15
8
C．2 3
D．2 15
题型02 交线问题
【例2】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1 为球心, 5为半径的
球面与侧面BCC1B1 的交线长为 .
4.（2026·南通二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，BC＝3，E 为线段BC 上一动点，现将△ABE 沿AE
折起得到△AB'E，点B'在平面ABC 上的投影为K，当点E 从B 运动到C 时，若二面角B'-AE-D 的平面角恒
为120°，则点K 所形成轨迹的长度为
技法指导
找交线的方法
(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点.
(2)面面交线法：各棱面与截平面的交线.
题型03 与截面有关的最值问题
5.直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
4
AB
AC
AA
=
=
=
，AC
AB
^
，过
1
AC 作该直三棱柱外接球的截面，所得截
面的面积的最小值为 ．
6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E，F 两点，且四面体ABEF
的体积为四面体ABCD 体积的1
3 ，则
AEF
S
=
V
，EF 的最小值为 .
题型04 翻折问题
7.（2025 全国Ⅱ卷T17）如图，在四边形ABCD 中，
/ /
,
90
AB
CD
DAB
Ð
=
° ，F 为CD 的中点，点E 在AB
上，
/ /
EF
AD，
3
,
2
AB
AD CD
AD
=
=
，将四边形EFDA沿EF 翻折至四边形EFD A
¢ ¢ ，使得面EFD A
¢ ¢ 与面
EFCB 所成的二面角为60°．
技法指导
解决截面最值范围问题的策略：
（1）通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）；
（2）通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解；
（3）通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算．
技法指导
(1)证明:
/ /
A B
¢
平面CD F
¢ ；
(2)求面BCD¢与面EFD A
¢ ¢ 所成的二面角的正弦值．
8.（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为2 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为线段BC 、AD 的中点，现
将四边形CDFE 折起至MNFE ，得到三棱柱
-
AFN
BEM ，如图2 所示，记二面角M
EF
A
-
-
的平面角为q ．
(1)若
π
2
q =
时，求三棱柱
-
AFN
BEM 的体积；
(2)若P 为线段EF 上一点，满足AP
BP
^
，求直线AP 与平面NBE 所成角的正弦值的取值范围．
1．已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，点E 、F 满足
1
1
1
2
,
2
BE
EB C F
FD
=
=
uuur
uuur uuuur
uuuur
，则平面AEF 截正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
形成的截面图形为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
2.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，长为2 的线段MN 的一个端点M 在棱DD1 上运动，
另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点轨迹的面积为（ ）
A.4π
B.2π
C.π
D.
π
2
3．（2025·浙江嘉兴模拟）已知边长为6 的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为
一个面积为16π 的圆，则该球的表面积为（ ）
A．96π
B．100π
C．125π
D．204π
4．（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是边长为6 的正方形，PD ^ 平面ABCD ，
点M 是平面ABCD 内的动点，且满足线段MC 的长度是点M 到PD 的距离的2 倍，则点M 的轨迹的长度为
（ ）
A．2π
B．4π
C．6π
D．8π
5.在三棱锥P-ABC 中，AB+2PC=9，E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，过E 作平行于AB，PC 的平面，
则该平面截三棱锥P-ABC 所得截面的周长为( )
A.5
B.6
C.8
D.9
6．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥P
ABC
-
的所有顶点都在球O 的球面上，
4 3
PA =
，
6
AB =
，过
棱AB 作球O 的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A．
9π,12π
B．
9π,16π
C．
12π,16π
D．
12π,36π
7．（多选）已知在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
4
AB =
，点P ，Q ，T 分别在棱
1
BB ，
1
CC 和AB 上，且
1
3
B P =
，
1
1
C Q = ，
3
BT =
，记平面PQT 与侧面
1
1
ADD A ，底面ABCD 的交线分别为m ，n ，则（ ）
A．m 的长度为5 5
3
B．m 的长度为4 5
3
C．n 的长度为2 3
3
D．n 的长度为13
3
8．(多选）（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，已知底面为矩形的四棱锥P
ABCD
-
的顶点P 的位置不确定，
点M 在棱CD 上，且AM
BM
^
，平面PAM ^平面ABCD ，则下列结论正确的是（ ）
A．PA
BM
^
B．平面PAM ^平面PBM
C．若
3,
1
AD
MD
=
= ，则直线CM 与平面PAM 所成角为π
3
D．存在某个位置，使平面PAM 与平面PBC 的交线与底面ABCD 平行
9．已知正四棱锥P
ABCD
-
的底面边长为4，侧棱长为8，用平行于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与
底面的面积之比为1∶4，则剩余几何体的体积为
.
10．（2025·山东滨州·二模）在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^平面
,
2,
2 2
ABC PA
AB
AC
BC
=
=
=
=
，点D 为PAB
V
内（包含边界）一点，且BD
CD
^
，则点D 的轨迹的长度为 ．
11．（2025·山东临沂·期中）如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为直角梯形，
/ /
AD
BC ，
1
,
AD
CD AA
^
^ 平面
1
,
2
2,
ABCD DA
DC
DD
BC
E
=
=
=
=
为
1
1
C D 的中点.
(1)设平面BCE 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
的交线为l ，求证：
/ /
BC
l ；
(2)求平面
1
1
ABB A 与平面BCE 夹角的余弦值.
12．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥V
ABC
-
中，
2
VA
VB
AB
AC
BC
=
=
=
=
=
，
1
VC = ．
(1)求证：AB
VC
^
；
(2)求直线VB 与平面AVC 所成角的正弦值；
(3)若
/ /
AB
a ，
/ /
VC
a ，用平面α 将三棱锥V
ABC
-
分为两部分，求截面面积的最大值．
13.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
8
AB =
，
3
CD =
，
5 3
AD =
，
90
ADC
°
Ð
=
，
30
BAD
°
Ð
=
，点E，F 满足
2
5
AE
AD
=
uuur
uuur
，
1
2
AF
AB
=
uuur
uuur
，将
AEF
△
沿EF 翻折至
PEF
!
，使得
4 3
PC =
．
(1)证明：EF
PD
^
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
14．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥V
ABC
-
中，
2
VA
VB
AB
AC
BC
=
=
=
=
=
，
1
VC = ．
(1)求证：AB
VC
^
；
(2)求直线VB 与平面AVC 所成角的正弦值；
(3)若
/ /
AB
a ，
/ /
VC
a ，用平面α 将三棱锥V
ABC
-
分为两部分，求截面面积的最大值．
15.（2026·山西大同·一模）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
AC
=
= ，
90
CAB
Ð
=
o ，D，E，F 分别
为棱
1
AA ，
1
BB ，
1
1
C B 的中点.
(1)证明：平面EFD ^ 平面
1
1
ACC A ；
(2)过
1
C 作平面EFD 的平行平面a ，平面a 将直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
截成两部分，其中较大部分体积为2
3 ，
求直线
1AC 与平面EFD 所成角的正弦值.
16.（2025·山西临汾·三模）等腰梯形ABCD 中，
//
BC AD ，
1
2
BC
AD
=
，
60
A
Ð
=
°，点E 为AD 中点（如图
1）．将ABE
V
沿BE 折起到
1A BE
V
的位置，点O，F 分别为
,
BE DE 的中点（如图2）．
(1)求证：平面BCDE ^ 平面
1AOC ；
(2)如果
2
BC =
，平面
1A BE ^ 平面BCDE ，那么侧棱
1AC 上是否存在点P，使得
//
BP
平面
1AOF ？若存在，
求平面PBE 与平面
1AOF 夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．
