目 录
01集合的概念及表示方法................................................................................................2
02集合和集合的关系与集合的基本运算.........................................................................11
03 常用逻辑关系...........................................................................................................24
04 一元二次函数的图象与性质......................................................................................32
05 一元二次方程根的分布.............................................................................................39
06 不等式的性质与一元二次不等式的解法....................................................................48
07 其他不等式的求解....................................................................................................58
08 基本不等式..............................................................................................................65
09 幂、指数与对数.......................................................................................................76
10 幂函数......................................................................................................................86
11 指数函数..................................................................................................................96
12 对数函数................................................................................................................107
1
01集合的概念及表示方法
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解集合的概念及其性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
理解集合的表示方法
目标3
★★★★☆☆ 识别
掌握集合与元素间的关系及符号表达
知识清单
2
知识点1——集合的概念与性质
考点1：集合的概念
知识笔记
集合的概念
(1)集合的概念：把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集，集合通常用大写字母ABC…等表示；集合所含的各
个对象叫做该集合的
.
应注意集合概念中的“确定的对象”与“全体”两个词.
典型例题
例1
请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .
①上海市2025年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点(0，0)的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x −10 < 0的所有正整数解.
变式1-1
下列各对象的全体，可以构成集合的是 （填序号）
①高一数学课本中的难题；
②与1非常接近的全体实数；
③高一年级视力比较好的同学； ④高一年级中身高超过1.70米的同学
考点2：集合的分类
知识笔记
集合的分类
元素个数：有限集、无限集；
不含有任何元素的集合称为空集∅；
元素类型：数集和
；
常用数集：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
3
典型例题
例2
下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)
小于10000的素数构成的集合；
(2)
一元二次方程x2 + x + 1 = 0的全体实根之集；
(3)
满足条件x + y = 1和xy > 1的所有实数组(x, y)之集；
(4)
满足条件x2 + y2 = 1和xy < 0的所有实数组(x, y)之集.
变式2-1
判断下列集合是有限集还是无限集．
（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合 ；
（2）所有正方形组成的集合 ；
（3）直线y = x −1上的所有点组合的集合 ；
（4）不大于9的所有非负整数组成的集合 .
考点3：集合的性质
知识笔记
集合的性质
集合中元素的性质：①确定性；②
；③无序性.
4
典型例题
例3
判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）某个单位里的年轻人组成一个集合；
（2）1，3
2 ，6
4 ，|−1
2 |，1
2 这些数组成的集合有5个元素；
（3）由a、b、c组成的集合与由b、a、c组成的集合是同一个集合.
变式3-1
由实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多含（
）
A. 3个元素
B. 2个元素
C. 4个元素
D. 5个元素
考点4：方程解与元素个数问题
典型例题
例4
已知A为方程ax2 + 2x + 1 = 0的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)
若A是空集，求a的范围；
(2)
若A是单元素集合，求a的范围：
(3)
若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
5
变式4-1
若关于x的方程ax2 −2x + 1 = 0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
知识点2——集合的表示方法
考点5：列举法表示集合
知识笔记
列举法
列举法：将集合中的元素一一列举出来.
适用范围：集合内元素较少，或者是无限集但是可以直观的看出集合内元素规律的集合，该方法优点在于简便、直
观.
典型例题
例5
用列举法表示下列集合：
（1）{x|x2 + 3x −18 = 0, x ∈R}；
（2）{x|x为不超过5的自然数}；
（3）{x| −3 < 2x −1 ≤3, x ∈Z}；
（4）{(x, y)|0 ≤x ≤2, 0 ≤y < 2, x, y ∈Z}．
6
变式5-1
已知集合A = {x |x (x −1) (x −2) = 0}，B = {x |x = a + b, a、b ∈A, a ≠b}，试用列举法表示集合B =
．
变式5-2
已知集合A = {1, 2, 5, 7, 13, 15, 16, 19}，设xi, xj ∈A，若方程xi −xj = k(k > 0)至少有三组不同的解，则实数k的所
有可能取值是
考点6：描述法表示集合
知识笔记
描述法
描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，其形式为{x |x满足的性质P}，其中x为元素的一般形式，P为
元素的
.
适用范围：常用于集合内元素是无限个，且这些元素具有共同特征（如果这些元素是有限个或者无限个，但是无法
找出其中的规律就不可用描述法了）.
典型例题
例6
用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：
；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：
；
（3）偶数集：
；
（4）抛物线y = x2 −3x + 2上的所有点组成的集合：
．
变式6-1
用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）
．
7
变式6-2
已知集合{x| (x −1) (x2 −x + a) = 0, x ∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为
．
考点7：区间法表示集合
知识笔记
区间法
当a，b ∈R且a < b时，规定：
满足不等式a ≤x ≤b的全体实数x组成的集合称为一个闭区间，记作[a, b]；
满足不等式a < x < b的全体实数x组成的集合称为一个开区间，记作(a, b)；
满足不等式a ≤x < b的全体实数x组成的集合为一个半开半闭区间，记作[a, b)；
满足不等式a < x ≤b的全体实数x组成的集合为一个半开半闭区间，记作(a, b];
满足不等式x < a(x ≤a)的全体实数x组成的集合，记作(−∞, a)((−∞, a]);
满足不等式x > a(x ≥a)的全体实数x组成的集合，记作(a, +∞)([a, +∞)).
典型例题
例7
集合A={x|x≥0}用区间表示 .
变式7-1
把不等式|x −1| < 2的解集用区间表示：
.
8
知识点3——集合与元素的关系
考点8：符号运用
知识笔记
集合的属于关系
集合常用大写字母A, B, C…表示，集合中的元素用小写字母a, b, c…表示.
(1)如果a是集合A的元素，就记作a ∈A，读作“a
A”；
(2)如果a不是集合A的元素，就记作a ∉A，读作“a
A”.
典型例题
例8
用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B是小于√11的所有实数的集合，则2√3
B，1＋√2
B；
（2）设集合C是满足方程x＝n ＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3
C，5
C；
（3）设集合D是满足方程y＝x 的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1
D，(－1，1)
D．
2
2
变式8-1
下列结论中，不正确的是（
）
A. 若a ∈N，则−a ∉N
B. 若a ∈Z，则a2 ∈Z
C. 若a ∈Q，则|a| ∈Q
D. 若a ∈R，则a3 ∈R
变式8-2
设Q是有理数，集合X = {x|x = a + b√2, a, b ∈Q, x ≠0}，在下列集合中；（1）{y|y = 2x, x ∈X}；（2）
{y|y =
x
√2
, x ∈X}；（3）{y|y = 1
x , x ∈X}；（4）{y|y = x2, x ∈X}；与X相同的集合有（
）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
9
考点9：元素与集合的关系问题
典型例题
例9
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A =
变式9-1
已知集合A = {2, a2 + 1, a2 −a}，B = {0,7，a2 −a −5，2 −a}，且5 ∈A，求集合B．
变式9-2
若x ∈A,则1
x ∈A,就称A是伙伴关系集合，集合M = {−1, 0, 1
4 , 1
3 , 1, 2, 3, 4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的
集合的个数为
A. 15
B. 16
C. 32
D. 256
10
02集合和集合的关系与集合的基本运算
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
理解子集和真子集的概念及集合间的关系
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握子集个数的计算方法及含参子集问题
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握“交”“并”“补”的概念及运算性质
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握文氏图在集合关系中的运用
知识清单
11
知识点1——子集、真子集的概念及集合间的关系
考点1：子集、真子集的概念
知识笔记
子集的概念
子集：对于两个集合A与B，若集合A中任何一个元素都属于集合B，则集合A叫做集合B的子集，记作A ⊆B(或
B ⊇A) ，读作A包含于B（或B包含A）.
(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A.
(2)集合A是其自身的子集，即A ⊆A .
(3)子集的传递性：若A ⊆B, B ⊆C, 则A ⊆C.
真子集
对于集合A和B，若A ⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则集合A叫做集合B的真子集，记作A ⊂B或B ⊃A，
读作“A真包含于B”.
(1)空集是任何非空集合的真子集；
(2)N ⊂Z ⊂Q ⊂R；
(3)连接元素与集合的符号有：∈和∉ ；
(4)连接集合与集合的符号有：⊆, ⊂, ≠, =等；
(5)若A ⊆B，则A ⊂B或A = B.
典型例题
例1
下列命题中正确的是（
）
A. 空集没有子集
B. 空集是任何一个集合的真子集
C. 任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D. 设集合B ⊆A，那么，若x ∉A，则x ∉B
变式1-1
已知集合A = {x|0 ≤x < 6, x ∈N}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则集合A，B间的关系为（
）
A. A ∈B
B. B ∈A
C. A = B
D. B ⊆A
12
变式1-2
已知集合A = {−1, 3, 2m −1}，集合B = {3, m2}.若B ⊆A，则实数m =
.
变式1-3
集合M = {x|x = 3k −2, k ∈Z}，P = {y|y = 3n + 1, n ∈Z}，S = {z|z = 6m + 1, m ∈Z}之间的关系是（
）
A. S真包含于P真包含于M
B. S = P真包含于M
C. S真包含于P = M
D. M = P真包含于S
考点2：符号运用
典型例题
例2
设集合T = {∅, {∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅} ∈T，④{∅} ⊆T中正确的是
（写出所有
正确命题对应的序号）.
变式2-1
下列六个关系式：①{a, b} ⊆{b, a}；②{a, b} = {b, a}；③{0} ≠∅；④0 ∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅⊆{0}，其中正
确的个数为（
）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
考点3：集合相等
知识笔记
相等的集合
对于两个集合A和B，若A ⊆B且B ⊆A，则叫做集合A与集合B 相等，记作A = B.相等的集合中的所含元素完全相
同.
典型例题
例3
含有三个实数的集合可表示为{a, b
a , 1}，也可以示为{a2, a + b, 0}，则a2013 + a2014的值为
.
13
变式3-1
设集合A = {0, a}, B = {a −2, 3a −4}，若B = A，则a =（
）
A. 2
B. 1
C. 4
3
D. −2
考点4：集合包含关系的运用
典型例题
例4
已知非空集合M满足：对任意x ∈M，总有x2 ∉M且√x ∉M，若M ⊆{0, 1, 2, 3, 4, 5}，则满足条件的M的个数是
.
变式4-1
已知一个有四个数字元素的集合S，S的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则S的元
素之和等于
.
知识点2——子集个数问题
考点5：子集个数的求算
知识笔记
集合的子集个数问题
思考：
1. 空集有多少个子集？1个
2. 集合{a, b, c}有多少个子集？集合{a, b, c, d}有多少个子集？8个、16个
3. 含n个元素的集合的子集个数为2n；非空子集个数为2n −1；真子集个数为2n −1；非空真子集个数为2n −2.
典型例题
例5
集合A = {x ∈N x = 16
n , n ∈N}的非空真子集个数为
.
∣
14
变式5-1
已知集合A = {x|
2
x −1 ∈Z, x ∈Z}，则集合A的真子集的个数为（
）
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
考点6：子集个数的应用
典型例题
例6
满足{1, 2} ⊆A ⊂{1, 2, 3, 4, 5}的集合A有
个．
变式6-1
集合A满足{a, b} ⊆A ⊆{a, b, c, d}的集合A有（
）个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
考点7：子集个数与参数求值
典型例题
例7
已知集合A = {x (m −1)x2 + 3x −2 = 0}有且仅有两个子集，则实数m =
.
∣
变式7-1
已知集合A = {x x2 + ax + 3 = 0}，且满足1 ∈A，则集合A的子集个数为
．
∣
15
知识点3——含参集合问题
考点8：集合关系中参数取值问题
典型例题
例8
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
变式8-1
已知集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}.
（1）若A⊂B，求实数a的取值范围；
（2）若B ⊆A，求实数a的取值范围.
16
知识点4——“交”“并”“补”集的概念
考点9：“交”“并”“补”集的定义
知识笔记
交集定义
定义：既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.交集的表示方法：
A ∩B = {x|x ∈A且x ∈B}；
并集定义
定义：由所有属于集合A和属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集.
(1)“交集”中的“且”有时可省略，而“并集”中的“或”不能省略；
(2)并集的表示方法：A ∪B = {x|x ∈A或x ∈B} ；
17
补集定义
设U为全集，规定全集含有我们所要研究问题的全部可能的元素，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成
的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作A，读作A补； 有时为了强调全集“U”，补集也可记作“∁UA”
(1)补集的表示方法：A = {x|x ∈U且x ∉A}；
(2)补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同.
–
–
典型例题
例9
已知集合M = {x|x < 6}，N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, , 7, 8, 9}，则M ⋂N=
A. {6, 7, 8, 9}
B. {7, 8, 9}
C. {1, 2, 3, 4, 5}
D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
–
变式9-1
已知集合A = {(x, y) |y = 2x + 1}，B = {(x, y) |y = x + 3}，则A ∩B =（
）
A. (2, 5)
B. {2, 5}
C. {(5, 2)}
D. {(2, 5)}
变式9-2
设全集U = R，A = {x| −5 < x < 5}，B = {x|0 ⩽x < 7}，则A ⋃B= ，A ⋃B ．
–
–
18
考点10：已知“交”“并”“补”集求参数取值问题
典型例题
例10
已知集合A = {x| −2 ≤x ≤4}，B = {x|x > a}．
（1）若A ∩B ≠∅，实数a的取值范围是
．
（2）若A ∩B ≠A，实数a的取值范围是
．
（3）若A ∪B = B，实数a的取值范围是
．
变式10-1
设集合A = {a2, a + 2, −3}，B = {a −3, 2a −1, a2 + 1}，A ∩B = {−3}，求a的值．
变式10-2
已知不等式x2 + ax + b ≥0的解集为A = {x |x ≤−2或x ≥3}，集合B = {x |t < x < t + 1}，
(1)
求实数a，b的值；
(2)
若A ∩B = ∅，求实数t的取值范围.
19
考点11：“交”“并”“补”集与二次方程的根
典型例题
例11
已知方程x2 −(p −1)x + q = 0的解集为A，方程x2 + (q −1)x + p = 0的解集为B，A ∩B = {−2}，则（
）
A. A ∪B = {−2, −1, 1}
B. A ⋂B={2}
C. A ⋂B=∅
D. A ⋂B={1}
–
–
变式11-1
已知U = R，集合A = {x|x2 + px + 12 = 0, x ∈R}，集合B = {x|x2 −5x + q = 0, x ∈R}，而且A ⋂B={2}，则
p + q的值等于 .
–
知识点5——“交”“并”“补”集的运算性质
知识笔记
交集的运算性质
交集的性质：①A ∩B = B ∩A；②A ∩A = A③A ∩∅= ∅；④A ∩B ⊆A；⑤A ∩B ⊆B.特别地，若
A ∩B = A, A ⊆B；若A ⊆B, A ∩B = A.
并集的运算性质
并集的性质：①A ∪B = A ∪B；②A ∪A = A；③A ∪∅= A；④A ⊆A ∪B；特别地，若A ∪B = B, A ⊆B；若
A ⊆B, A ∪B = B；
补集的运算性质
(1)补集的性质：①A ∩A = ∅ ② A ∪A = U③A = A；④若A ∪B = R ⇔B ⊆A
(2)摩根定理：①A ∩B = A ∪B② A ∪B = A ∩B.
–
–
–
–
–
–
–
–
20
考点12：交集的运算性质
典型例题
例12
已知集合A = {x ∣x2 + x −6 = 0}, B = {x ∣mx + 1 = 0}，若A ∩B = B，则实数m组成的集合为
．
变式12-1
已知集合A = {x|ax −2 = 0, a ∈R}，集合B = {x|x2 + x −2 = 0}，且A ⋂B = A，则实数a的所有可能取值组成
的集合为
.
考点13：并集的运算性质
典型例题
例13
已知A = {2, 5}，B = {x|x2 + px + q = 0}，A ∪B = A，A ⋂B = {5}，求p，q的值．
变式13-1
已知a为实常数，集合A = {a, a2}，集合B = {2a}，且A ∪B = A，则a的值为
.
21
考点14：补集的运算性质
典型例题
例14
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {1, 3, 4}, N = {2, 3, 4}，则集合(M ∩N) =
．
–
变式14-1
已知A = {x| −3 ≤x ≤3}，B = {x|x < 2a −1或x > 3a}．设U = R，若A ⋃B=A，求实数a的取值范围
．
–
变式14-2
已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {x|x2 −3x + 2 = 0}，B = {x|x = 2a, a ∈A}，则集合A ⋃B= ．
–
知识点6——文氏图在集合关系中的运用
考点15：利用文氏图解决交并补问题
经典例题
例15
将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为
.
22
变式15-1
如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A. (M ∩P) ∩S
B. (M ∩P) ∪S
C. (M ∩P) ∩¯S
D. (M ∩P) ∪¯S
变式15-2
全集U = {x |x是不大于20的素数}，若A ∩B = {3, 5}，A ∩B = {7, 19}，A ∪B = {2, 17}，则集合A =
.
–
–
–
考点16：文氏图的实际应用
经典例题
例16
某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队
而未参加合唱团的人数是
变式16-1
某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜欢篮球运动但不喜
爱乒乓球运动的人数为（
）
A. 5
B. 10
C. 12
D. 13
23
03 常用逻辑关系
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
识记命题的概念并能判断命题的真假
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解条件关系的概念、联系及证明
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握“反证法”的步骤及方法
知识清单
24
知识点1——命题的概念
考点1：命题的概念
知识笔记
命题
用自然语言、符号或式子表达，且可以
叫做命题，命题通常用陈述句表述，其含义判断为真
的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.
真假命题的判断方法：
判断真命题需证明，判断假命题，只要举一个满足命题条件而不满足命题结论的例子（反例）即可.
典型例题
例1
下列语句
①考数学开心吗？
②好好做作业，争取下次数学能及格
③2不是素数
④0是自然数
其中是命题的语句的序号有
.
变式1-1
给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2＞2；③sin π
2 ＝1；④x －4x＋4＝0.其中是命题的有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2
25
考点2：命题的判断
典型例题
例2
已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在x ∈P且x ∈M；④存在x ∈M且x ∉P；
这四个命题中，真命题的个数为（
）．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
变式2-1
若“不积跬步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（
）
A. 积跬步一定可以至千里
B. 不积跬步也可能至千里
C. 要想至千里一定要积跬步
D. 不想至千里就不用积跬步
变式2-2
已知两个命题，P：关于x的方程(a −1)x2 + 3x −2 = 0至多有一个实数根；Q：关于x的方程x2 −x + a = 0有两个
不相等实数根，如果P、Q有且仅有一个是真命题，则实数a的取值范围是 .
变式2-3
已知函数y = ax2 + bx + c(a ≠0)，给出下列四个判断：（1）a > 0；（2）2a + b = 0；（3）b2 −4ac > 0；（4）
a + b + c < 0；以其中三个判断为条件，余下一个为结论，可得四个命题，其中真命题的个数有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
26
考点3：命题与推出关系
知识笔记
推出关系
如果命题“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作 α ⇒β(或β ⇐α).
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性:
若α ⇒β, β ⇒γ则α ⇒γ.
典型例题
例3
将命题“面积相等的两个三角形全等”改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立．
变式3-1
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)
奇数不能被2整除；
(2)
当(a −1)2 + (b −1)2 = 0时，a = b = 1；
(3)
两个相似三角形是全等三角形．
27
知识点2——充分条件与必要条件
考点4：充分条件与必要条件
知识笔记
充分条件与必要条件
对于两个陈述句α与β，如果α ⇒β，就称α是β的充分条件，亦称β是α的必要条件.对于两个陈述句α与β，如果既有
α ⇒β，又有β ⇒α，就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作α ⇔β，读作“α与β 等 价 ”或“α成 立当且仅
当β成立”.
对于事件α,β，“条件”又可具体分为以下四种情况：
①α是β的
：α ⇒β且β推不出α ；
②α 是β 的
：β ⇒α且 α推不出β ；
③α是β的充要条件：α ⇒β且β ⇒α；
④α既不是β的充分条件又不是β的必要条件：α推不出β 且β推不出α .
典型例题
例4
给出下列各组条件：
①p：ab = 0，q：a2 + b2 = 0；②p：xy ⩾0，q：|x| + |y| = |x + y|；
③p：m > 0，q：方程x2 −x −m = 0有实根；④p：x > 2或x < −1，q：x < −1.
其中p是q的充要条件的有（
）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
变式4-1
陈老师说：“不努力是读不好书的”，陈老师的意思是“努力”是“读好书”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式4-2
命题“x ≠1”是命题“x2 + 2x −3 ≠0”的
条件．（可填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必
要）
28
变式4-3
（1）写出“ab = 0”的一个充分条件
（2）写出“x < 3”的一个必要条件
考点5：已知条件关系求参数取值
典型例题
例5
已知α：x ≥a，β：|x −1| < 1.若α是β的必要非充分条件，则实数a的取值范围是
A. a ≥0
B. a ≤0
C. a ≥2
D. a ≤2
变式5-1
“a ≤−2”是“函数f(x) = x2 + ax + 1(x ∈R)只有一个零点”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
变式5-2
已知α: x < 3m −1或x > −m，β: x < 2或x ≥4．
(1)
若α是β的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)
若α是β的必要条件，求实数m的取值范围．
29
知识点3——反证法
考点6：命题反设
知识笔记
反证法
反证法，是指通过
，进而证明结论成立的证明方法.
(1)运用反证法，首先要学会正确反设，即正确写出结论的否定形式.
(2)在反设后得出的条件，与命题的已知条件结合，正确推理，引出矛盾.矛盾的方式是多样的，可以与已知矛盾，
与定义矛盾，与定理、公理矛盾，也可以是引出的两个结论自相矛盾等.
典型例题
例6
用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为
．
变式6-1
用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若a ≠c，则a ≠b或b ≠c”时，提出的假设正确的是（
）
A. a ≠b且b ≠c
B. a = b或b = c
C. a = b = c
D. a = c
变式6-2
命题：“对任意的x ∈R，x3 −x2 + 1 ≤0”的否定是（
）
A. 不存在x ∈R，x3 −x2 + 1 ≤0
B. 存在x ∈R，x3 −x2 + 1 ≥0
C. 存在x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0
D. 对任意的x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0
变式6-3
已知a、b、c ∈R，则下列语句能成为“a、b、c都不小于1”的否定形式的个数是（
）
（1）a、b、c中至少有一个大于1；（2）a、b、c都小于1；（3）a < 1或b < 1或c < 1
A. 0个；
B. 1个；
C. 2个；
D. 3个.
30
考点7：反证法在证明中的应用
典型例题
例7
用反证法证明：若a, b, c ∈R，且x = a2 −2b + 1, y = b2 −2c + 1, z = c2 −2a + 1，则x, y, z中至少有一个不小于0.
变式7-1
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
变式7-2
已知a与b均为正有理数，且√a与√b均为无理数．证明：√a + √b也是无理数．
31
04 一元二次函数的图象与性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解二次函数的图像性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握运用一元二次函数函数图像求值域的方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握一元二次函数的含参数值域问题的求法
知识清单
32
知识点1——二次函数的图象性质
考点1：二次函数一般式中各参数的几何意义
知识笔记
二次函数一般式中各参数的几何意义
已知二次函数方程为：y = ax2 + bx + c(a ≠0)，其各参数几何意义如下：
①二次项系数𝑎——决定函数图像的开口方向与开口大小；
a值的正负————决定了
；
当𝑎 > 0时，二次函数图像开口向上；
当𝑎 < 0时，二次函数图像开口向下.
|a|的大小——开口大小：
|a|越大，二次函数图像开口越小；
|a|越小，二次函数图像开口越大.
②常数项c——函数图像与y轴交点纵坐标
即y = ax2 + bx + c(a ≠0)图像，无论a, b的值为多少，必然过定点(0, c) .
③一次项系数b——本身几何意义不明显，但与二次项系数a组合后将具有鲜明的几何意义：x = −b
2a 为
y = ax2 + bx + c(a ≠0)图像的对称轴.
④判别式Δ = b2 −4ac——由a, b, c共同构成，决定函数与x轴交点个数，
当Δ > 0时，二次函数图像与𝑥轴存在两个交点，当Δ = 0时，二次函数图像与x轴存在1个交点，当Δ < 0时，二次
函数图像与x轴没有交点.
注：高中阶段我们习惯用f(x)表示函数值，y = ax2 + bx + c(a ≠0)也可表达为f(x) = ax2 + bx + c(a ≠0)，例如
f(1)就可代表函数x = 1时的函数值f(1) = a + b + c.
33
典型例题
例1
已知抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点．
(1)求m的取值范围；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3,0)，求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．
2
2
变式1-1
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
变式1-2
若抛物线y = kx2 −2x −1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（
）
A. k > −1
B. k ≥−1
C. k > −1且k ≠0
D. k ≥−1且k ≠0
变式1-3
已知函数y = −x2 + 2ax + 3在区间(−∞, 4)上是y随x增大而增大，则实数a的取值范围是 .
34
变式1-4
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
①abc < 0；②b2 −4ac < 0；③2a > b；④a + c > b.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
知识点2——一元二次函数的最值与值域
考点2：定轴定区间值域问题
知识笔记
函数值域
一般地，设函数y = f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果存在x0,使得不等式y ≥f(x0)恒成立，那么f(x0)叫做函数
y = f(x)的最小值，同理，不等式y ≤f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函数y = f(x)的最大值；
函数y = f(x)的最小值记作f(x)min，最大值记作f(x)max，那么函数的值域就是[f(x)min, f(x)max].
二次函数值域
(1)二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠0)的定义域为R，
当a > 0时，值域是[ 4ac −b2
4a
, +∞)，
当a < 0时，值域是(−∞, 4ac −b2
4a
]；
(2)二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0)的定义域不为R时，定义域结合函数图像求最值.
35
典型例题
例2
已知函数y = −x2 + 3x + 4的x取值为[−2, 2]时，y的值域为 ．
变式2-1
设集合A = {x|1 ≤x ≤10, x ∈N}, B = {y|y = x2 −12x + 36, x ∈A}，则集合A ⋂B =
考点3：R上的恒成立值域问题
典型例题
例3
已知二次函数y = ax2 + ax + 1图像永远在横轴上方，则实数a的取值范围为
.
变式3-1
若不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对任意x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
知识点3——含参数二次函数值域问题
考点4：定轴动区间
知识笔记
定轴动区间
(1)给出一元二次函数在定义域R上的值域，求参数取值问题，结合开口方向和判别式进行求解（注意讨论含参二
次项系数）；
(2)定轴动区间：看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变
化，要注意开口方向及端点情况.
36
典型例题
例4
已知函数f (x) = −x2 + 2x + 5在区间[0, m]上有最大值6，最小值5.则实数m的取值范围是（
）
A. (0, 2]
B. [1, 2)
C. [1, 2]
D. (0, 1]
变式4-1
已知函数f(x) = −x2 + 4x + a(x ∈[0, 1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为
．
变式4-2
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3，x ∈[m, 0]的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是
．
变式4-3
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
考点5：动轴定区间
知识笔记
动轴定区间与动轴动区间
(1)动轴定区间：看作对称轴沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定
区间上变化的情况，要注意开口方向及端点问题.
(2)动轴动区间：看作对称轴沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动轴在动区间的左、右两侧及对称轴在区间
上变化的情况，要注意开口方向及端点问题；
(3) 当开口方向、对称轴、区间多项不定时，可考虑逆向思考，先假定最值位置，求参后验证的方法.
典型例题
例5
设常数a＞1，则f（x）=﹣x ﹣2ax+1在区间[﹣1，1]上的最大值为
．
2
37
变式5-1
已知函数f (x) = x2 + 4ax + a2 −1，
(1)
当a = 1时，求函数f (x)在x ∈(−∞, −5]上的最小值.
(2)
当−2 ≤x ≤1时，函数f (x)的最大值为12，求实数a的值.
变式5-2
已知函数y = x2 + 2ax(x ∈[0, 1])的最小值为-2，则实数a=
.
变式5-3
当x ∈[1, 2]时，函数f(x) = ax2 + 4(a + 1)x −3在x = 2时取得最大值，则实数a的取值范围是
.
考点6：动轴动区间
典型例题
例6
已知函数f (x) = x2 −2ax + 5 (a > 1)的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝
．
变式6-1
已知函数f(x) = x2 −2ax + 3， x ∈[3 −a, 5 −a]，求函数的值域．
38
05 一元二次方程根的分布
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解韦达定理与二次方程根的关系
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握解决二次方程根端点分布问题的方法
目标3
★★★★☆☆ 识别
掌握解决二次方程根区间分布问题的方法
知识清单
39
知识点1——根的零点分布问题
考点1：两根都大于零
知识笔记
根的零分布问题
方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根x1, x2，满足两根都大于零（x1, x2 > 0）、一根大于零一根小于零
（x1 < 0 < x2）或两根都小于零（x1, x2 < 0）的分布问题.
韦达定理法解决根的零分布问题
韦达定理可以在一定程度上限制根的分布，若在(−∞, +∞)内研究方程ax2 + bx + c = 0的零点分布问题，只需考察
函数y = ax2 + bx + c与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y = ax2 + bx + c的系数可
判断出Δ, x1 + x2, x1x2的符号，从而判断出实根的情况，具体如下表：
分布
x1 < 0, x2 < 0
x1 > 0, x2 > 0
x1 < 0 < x2
要求
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
x1 + x2 < 0
x1 ⋅x2 > 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
x1 + x2 > 0
x1 ⋅x2 > 0
{Δ > 0
x1 ⋅x2 < 0
零点存在定理法解决根的零分布问题
二次函数图像是连续的抛物线，若在区间上满足f(a) ⋅f(b) < 0，则一定存在x0 ∈(a, b)，使得f(x0) = 0，这就是二
次函数的零点存在定理.
结合二次函数的图像和零点存在定理，零分布问题除了前面的韦达定理法，还可以这样解决：
分布
x1 < 0, x2 < 0
x1 > 0, x2 > 0
x1 < 0 < x2
大致图象（a > 0）
结论
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < 0
f (0) > 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a > 0
f (0) > 0
f (0) < 0
40
大致图象(a < 0)
得出的结论
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < 0
f (0) < 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a > 0
f (0) < 0
f (0) > 0
综合结论(a)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < 0
a ⋅f (0) > 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a > 0
a ⋅f (0) > 0
a ⋅f (0) < 0
典型例题
例1
关于x的一元二次方程x2 + (m −2)x −2m = 0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（
）
A. (−∞, −2) ∪(−2, 0)
B. (−∞, 2)
C. (0, 2) ∪(2, +∞)
D. (−2, +∞)
变式1-1
已知一元二次方程mx2 −2x + m + 3 = 0有两个正实根，则实数m的取值范围是
.
考点2：一根大于零一根小于零
典型例题
例2
已知关于x的二次方程(2m + 1)x2 −2mx + m −1 = 0有一正数根和一负数根，则实数m的取值范围是
．
变式2-1
一元二次方程ax ＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（
）
A. a<0
B. a>0
C. a<－1
D. a=-1
2
41
考点3：两根都小于零
典型例题
例3
方程x ＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为
．
2
变式3-1
已知方程x2 + 2(a + 2)x + a2 −1 = 0．当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围
知识点2——根的k分布问题
考点4：两根都大于k
知识笔记
根的k分布问题
(1)根的k分布问题：方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根x1、x2，满足两根都大于k（x1, x2 > k）、一根大于k一
根小于k（x1 < k < x2）或两根都小于k（x1, x2 < k）的分布的问题.
韦达定理法解决根的k分布问题,具体如下：
韦达定理法解决k分布问题
韦达定理可以在一定程度上限制根的分布，若在(−∞, +∞)内研究方程ax2 + bx + c = 0的零点分布问题，只需考察
42
函数y = ax2 + bx + c与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y = ax2 + bx + c的系数可
判断出Δ, x1 + x2, x1x2的符号，从而判断出实根的情况，具体如下表：
分布
x1 < k, x2 < k
x1 > k, x2 > k
x1 < k < x2
要求
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
x1 + x2 < 2k
(x1 −k)(x2 −k) > 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
x1 + x2 > 2k
(x1 −k)(x2 −k) > 0
{Δ > 0
(x1 −k)(x2 −k) < 0
零点存在定理法解决k分布问题
二次函数图像是连续的抛物线，若在区间上满足f(a) ⋅f(b) < 0，则一定存在x0 ∈(a, b)，使得f(x0) = 0，这就是二
次函数的零点存在定理.
结合二次函数的图像和零点存在定理，零分布问题除了前面的韦达定理法，还可以这样解决：
分布
x1 < k, x2 < k
x1 > k, x2 > k
x1 < k < x2
大致图象（a > 0）
结论
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < k
f (k) > 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a > k
f (k) > 0
f (k) < 0
大致图象(a < 0)
得出的结论
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < k
f (k) < 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a > k
f (k) < 0
f (k) > 0
综合结论(a)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < k
a ⋅f (k) > 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a > k
a ⋅f (k) > 0
a ⋅f (k) < 0
43
典型例题
例4
已知方程x2 −4x + a = 0的两根都大于1，则a的取值范围是（
）
A. 3
B. 1
C. a > 1
D. a ≤4
变式4-1
已知方程x2 + (m −2)x + 5 −m = 0的两根都大于2，则实数m的取值范围是（
）
A. {m ∣−5 < m ≤−4或m ≥4}
B. {m ∣−5 < m ≤−4}
C. {m ∣m > −5}
D. {m ∣−4 ≤m ≤−2或m ≥4}
考点5：一根大于k 另一根小于k
典型例题
例5
关于x的一元二次方程x2 + (a2 −1)x + a −2 = 0有一个根小于−1，另一个根大于1，则a的取值范围是
.
变式5-1
已知关于x的方程x2 + (m −1)x −6 −m = 0的两根一个比2大，另一个比2小，则实数m的范围是
.
考点6：两根都小于k
典型例题
例6
设m为实数，若二次方程x2 −x + m = 0在区间(−∞，1)上有两个解，则m的取值范围是 .
变式6-1
已知关于x的方程2ax2 −x −1 = 0，当实数a为何值时，
(1)
方程在(0, 1)内有根；
(2)
方程的根都小于1.
44
知识点3——根的区间分布问题
考点7：两根在区间内
根的区间分布问题
知识笔记
根的区间分布即方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根x1、x2，
①满足两根x1、x2 ∈(m, n)（m < x1, x2 < n）；
②两根有且仅有一根在(m, n)内（m < x1 < n，图像有两种可能）；
③一根在(a, b)内，另一根在(p, q)内（m < x1 < n, p < x2 < q）等的分布，此类型韦达定理较难解决，主要采用零
点分布定理法.具体方法如下表：
分布
m < x1, x2 < n
m < x1 < n
m < x1 < n, p < x2 < q
大致图象（a > 0）
得出的结论
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f (n) > 0
m < −b
2a < n
Δ > 0
f (m) > 0
f (m) ⋅f (n) < 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f (m) > 0
f (n) < 0
f (p) < 0
f (q) > 0
大致图象（a < 0）
得出的结论
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f (n) < 0
m < −b
2a < n
Δ > 0
f (m) < 0
f (m) ⋅f (n) < 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f (m) < 0
f (n) > 0
f (p) > 0
f (q) < 0
45
综合结论（不讨论a）
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
af (n) > 0
m < −b
2a < n
Δ > 0
af (m) > 0
f (m) ⋅f (n) < 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f (m)f (n) < 0
f (p)f (q) < 0
典型例题
例7
已知方程x2 + 2mx + 2m + 1 = 0的两不等实数根均在区间(0, 1)内，则实数m的取值范围为
．
变式7-1
设x1, x2是a2x2 + bx + 1 = 0的两实根；x3, x4是ax2 + bx + 1 = 0的两实根．若x3 < x1 < x2 < x4，则实数a的取值范
围是
；
考点8：两根在两个区间（一端无穷）
典型例题
例8
设方程x2 −2ax −1 = 0的两根为x1､x2，且x1 < −2，0 < x2 < 1
2 ，则实数a的取值范围是
.
变式8-1
若关于x的方程x2 + 2ax + a2 −4 = 0的两根x1, x2，满足0 < x1 < 1 < x2，则实数a的取值范围是
.
46
考点9：有且仅有一根在区间内
例9
关于x的方程x2 + (m −2)x + 2m −1 = 0恰有一根属于(0, 1)，则实数m的取值范围是（
）
A. [ 1
2 , 2
3 ]
B. ( 1
2 , 2
3 ]
C. [ 1
2 , 2)
D. ( 1
2 , 2
3 ) ∪( 2
3 , 2)
变式9-1
方程x2 + ax −2 = 0在区间[1, 5]上有根，则实数a的取值范围为
A. (−23
5 , +∞)
B. (1, +∞)
C. [−23
5 , 1]
D. (−∞, 23
5 ]
考点10：两根在两个区间内
典型例题
例10
已知关于x的方程x2 −(m + 1)x + 4m2 = 0的两根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则实数m的取值范围为
．
变式10-1
关于x的方程x2 + (m −3)x + m = 0
(1)
若方程满足一个根在(−2, 0)内，另一个根在(0, 4)内，求m的取值范围；
(2)
若方程至少有一个非负实根，求m的取值范围.
47
06 不等式的性质与一元二次不等式的解法
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
实数大小的比较
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握不等式的应用
目标3
★★☆☆☆☆ 理解
理解一元一次、一元二次不等式的解法
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握含参一元二次不等式的解法
目标5
★★★☆☆☆ 操作
掌握含参不等式的讨论方法
知识清单
48
知识点1——两实数大小的比较
考点1：两实数比较大小
知识笔记
两个实数大小的比较
设a, b ∈R, 则a > b⇔a −b > 0;a < b⇔a −b < 0.
典型例题
例1
（1）已知x ∈R，比较2x2 + 3x −1与7x −3的大小；
（2）已知a > 0，b > 0，若a + b > 4，求证：
a
b + 2 和
b
a + 2 中至少有一个大于1
2 .
变式1-1
已知方程x2 + 4x + m = 0的两个实根为x1，x2，将A = x2
1 + x2
2与B = x1x2 (x1 + x2)表示为m的代数式，并比较A
与B的大小．
49
变式1-2
设x ∈R，比较
1
1 + x 与1 −x的大小.
知识点2——不等式的基本性质
考点2：不等式的基本性质
知识笔记
不等式的基本性质
性质1： a > b ⇔b < a （对称性）；
性质2： a > b, b > c ⇔a > c （传递性）；
性质3： a > b ⇒a + c > b + c （可加性）；
性质4： a > b, c > 0 ⇒ac > bc; a > b, c < 0 ⇒ac < bc（可乘性）；
性质5： a > b, c > d ⇒a + c > b + d （叠加性）；
性质6： a > b > 0, c > d > 0 ⇒ac > bd （叠乘性）；
性质7： a > b > 0, n ∈N ∗⇒an > bn (可乘方性)；
性质8: a > b, ab > 0 ⇒1
a < 1
b (可倒性,注意a, b要同号).
50
典型例题
例2
如果b < a < 0，那么下列不等式中错误的是（ ）
A. c + b < c + a
B. a2 < b2
C. bc2 < ac2
D. 1
a < 1
b
变式2-1
已知a，b ∈R，且满足a > b，则下列不等式中恒成立的是（
）
A.
b
a > 1
B. a3 > b3
C. ( 1
2 )
a
> ( 1
2 )
b
D. a2 > b2
考点3：叠加性的应用
典型例题
例3
已知x ∈(−1, 2)，y ∈(3, 4)，则x + y的范围是
.
变式3-1
已知−2 ≤a ≤3, 2 ≤b ≤7
2 ，则a −2b的取值范围为
.
变式3-2
已知−1 ≤a + b ≤4，2 ≤a −b ≤3，则3a −2b的取值范围为 .
51
考点4：不等式的综合应用
典型例题
例4
对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若a
b > c
d ，那么称点(a, b)是点(c, d)的“上位点”，同时点
(c, d)是点(a, b)的“下位点”；
(1)
写出点(2, 3)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)
设点(a, b)是点(c, d)的“上位点”，判断点P (a + c, b + d)是否既是点(a, b)的“下位点”，又是点(c, d)的上位点，
证明你的结论；
(3)
设正整数n满足以下条件：对集合{t |0 < t < 2024, t ∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点(n, k)既是
点(2024, m)的“下位点”，又是点(2025, m + 1)的“上位点”，求正整数n的最小值，并说明理由.
变式4-1
求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一
个“逆向”问题.例如，原来问题是“若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该直角三角形的面积”，求出面积6
后，它的一个“逆向”问题可以是“若直角三角形的面积为6，一条直角边长为3，求另一条直角边的长”.试给出问
题“已知c = a + b，若1 ≤a ≤2, −1 ≤b ≤3，求c的取值范围”的一个“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
52
知识点3——一元一次、一元二次不等式的解法
考点5：一元一次不等式的解法
知识笔记
一元一次不等式的解法
一元一次不等式
x为自变量，ax > b，讨论a > 0, x > b
a ；a < 0, x < b
a .
典型例题
例5
关于x的不等式ax + 1 < 0 (a > 0)的解集为
．
变式5-1
已知a ∈R，若关于x的不等式ax < x + 2的解集为R，则a =
.
考点6：一元二次不等式的解法
知识笔记
一元二次不等式的一般形式：ax2 + bx + c > 0 (a ≠0)或ax2 + bx + c < 0 (a ≠0) ； ax2 + bx + c ≥0 (a ≠0)或
ax2 + bx + c ≤0 (a ≠0)
一元二次不等式的基本解法：
一般地，设关于x的一元二次不等式为ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0 (a > 0)，其对应的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0的根的判别式是Δ = b2 −4ac, x1, x2 (x1 < x2)是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个实根.
(1)当Δ > 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为(−∞, −b −√Δ
2a
) ⋃( −b + √Δ
2a
, +∞)；
不等式ax2 + bx + c < 0的解集为( −b −√Δ
2a
, −b + √Δ
2a
)；
(2)当Δ < 0时,不等式ax2 + bx + c > 0的解集为R，不等式ax2 + bx + c < 0的解集为∅；
53
(3)当Δ = 0时,不等式ax2 + bx + c > 0的解集为x ≠−b
2a ，不等式ax2 + bx + c < 0的解集为∅.
典型例题
例6
已知集合A = {1, 2, 3}，B = {x ∣x2 < 8}，则A ∩B =
.
变式6-1
集合A = {x|(x + 3)(x −2) > 0}，B = {x|
x + 5
x2 + 2x + 3 < 1}，则A ∩B =
.
–
知识点4——含参一元二次不等式的解法
考点7：根据不等式的解集求参数
典型例题
例7
关于x的不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，则a + b =
．
变式7-1
若关于x的不等式 2kx2 + kx + 1
8 ≤0的解集为空集，则实数k的取值范围是 .
变式7-2
关于x的不等式x2 −(a + 1)x + a < 0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范围是
.
考点8：含参一元二次不等式的解法
知识笔记
解含参数一元二次不等式，通常都能够通过因式分解求解，若不能因式分解，可考虑用求根公式，涉及讨论思想
时，注意讨论顺序，先确认二次项系数是否为零，再讨论开口方向，最后讨论根的大小.
54
典型例题
例8
1
若0 < a < 1，则关于x的不等式(x −a) (x −1
a ) > 0的解集为
．
2
已知实数a < b，关于x的不等式x2 −(a + b)x + ab + 1 < 0的解集为(x1, x2)，则实数a、b、x1、x2从小到大的排列
是(
)
A. a < x1 < x2 < b
B. x1 < a < b < x2
C. a < x1 < b < x2
D. x1 < a < x2 < b
变式8-1
当0 < a < 1时，关于x的不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0的解集为（
）
A. (−∞, a −3
a −1 ) ∪(3, +∞)
B. (−∞, 3) ∪( a −3
a −1 , +∞)
C. (3, a −3
a −1 )
D. ( a −3
a −1 , 3)
变式8-2
若方程ax2 + bx + c = 0有唯一的实数根2，则不等式ax2 + bx + c ≥0的解集为
.
变式9-3
（1）若不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知实数m < 0，解关于x的不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1.
55
考点9：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
知识笔记
(1)若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题.一般地，对于二次函数
y = ax2 + bx + c(a ≠0, x ∈R),有
y > 0对x ∈R恒成立⇔ a > 0, Δ < 0
y < 0对x ∈R恒成立⇔ a < 0, Δ < 0
(2)将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
y > a恒成立⇔ a < ymin;
y < a恒成立⇔ a > ymax.
典型例题
例9
若关于x的不等式x2 −mx + 1 > 0的解集为R，则实数m的取值范围是
.
变式9-1
若关于x的不等式m(m −1)x2 + mx −2 < 0的解集为R，求实数m的取值范围.
变式9-2
已知m ∈R，关于x的不等式(m + 1)x2 −mx + m −1 > 0．
(1)
若不等式解集为∅，求实数m的取值范围；
(2)
若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
56
考点10：一元二次不等式在某区间上恒成立问题
知识笔记
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参
数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.
典型例题
例10
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
变式10-1
已知函数f(x) = x2 + 2ax −a + 2.
（1）若对于任意x ∈R, f(x) ≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若对于任意x ∈[−1, 1], f(x) ≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若对于任意a ∈[−1, 1], f(x) > 0成立，求实数x的取值范围.
变式10-2
已知关于x的不等式kx2 −2x + 6k < 0 (k > 0)．
(1)
若不等式的解集为A = (2, 3)，求实数k的值；
(2)
若不等式在x ∈(2, 3)时恒成立，求实数k的取值范围．
57
07 其他不等式的求解
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握分式不等式的解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握单绝对值不等式的解法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握双绝对值不等式的解法
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握高次不等式的解法
知识清单
58
知识点1——分式不等式的解法
考点1：不含参分式不等式的解法
知识笔记
分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路：先将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要.
解分式不等式的通法（以大于为例），
(1)标准化：右边化零，化成 f (x)
g (x) > 0（或f (x)
g (x) ≥0）形式；系数化正；
(2)将f (x)
g (x) > 0（或f (x)
g (x) ≥0）转化为整式不等式f (x) ⋅g (x) > 0（或f (x) ⋅g (x) ≥0且g (x) ≠0）；
注意: (1)标准化之前不要去分母；
(2)解不等式中的每一步要求“等价”即同解变形；
(3)结果用集合的形式表示.
典型例题
例1
已知集合M = {x x + 3
x −3 ≤0, x ∈Z}, N = {x |1 < x ≤4}，则M ∩N =（
）
A. {x |1 < x < 3}
B. {1, 2}
C. {2}
D. {2, 3, 4}
∣
变式1-1
不等式1 −
7
2x −1 ≤0的解集是
.
变式1-2
(1)
当 a = 1
2 时, 求 A 和 B;
(2)
已知 A ∪B = A, 求实数 a 的取值范围;
已知 a ∈R. 集合 A = {x
1 −x
x −3 ≤0}, B = {x ∣x2 + (2 −a)x −2a < 0}
∣
59
考点2：含参分式不等式的解法
知识笔记
解分式不等式的基本思路：先将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要.
典型例题
例2
已知全集U = R，集合M = {x 2x −3
x + a ≤1}.
(1)
当a = 1时，求集合M；
(2)
若−1 ∈M，求实数a的取值范围.
∣
–
变式2-1
已知不等式ax2 −3x + 2 > 0的解集为或{x|x < 1或x > b}．
(1)
求实数a，b的值；
(2)
解不等式3 + ax
bx + 1 > 2．
60
变式2-2
已知关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，若3 ∉M，则实数a的取值范围是
．
变式2-3
对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都
是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而B = {x| (x −10) (x −50)
(x −30) (x −70) < 0}，则A ∩B中有
个元素．
知识点2——绝对值不等式的解法
考点3：单绝对值不等式的解法
知识笔记
解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解，去绝对值具体方法
如下：
(1)设x ∈R, a ∈R则|x| < a ⇔−a < x < a；|x| > a ⇔x > a；
(2) |f (x)| < g (x)与−g (x) < f (x) < g (x)同解，|f (x)| > g (x)与f (x) > g (x)或f (x) < −g (x)同解.
典型例题
例3
不等式|x −1| < 3的解集为
．
变式3-1
设集合 A = {x|x2 −5x + 4 < 0}，B = {x||x −a| < 1}，则“a ∈(2, 3)”是“B ⊆A”的(
)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
61
考点4：双绝对值不等式的解法
知识笔记
解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解，去绝对值具体方法
如下：
(1) |ax + b| > |cx + d|与(ax + b)2 > (cx + d)2同解；
(2)含有两个或两个以上绝对值符号，并且形式是和或差的不等式，可用数轴法、函数图像法或分段讨论法进行
求解.
典型例题
例4
解下列不等式:
(1)
2x2 + 3x −7
x2 −x −2
≥1
(2)
x|x −1| ≤|x|
变式4-1
不等式 |2x −1| −|x −2| < 0 的解集为
．
变式4-2
不等式 |x −1| + |x −3| ≤2 的解集为 .
变式4-3
“|x| + |2x −1| = |3x −1|”是“x ≤0”的 条件.
62
考点5：含参绝对值不等式的解法
典型例题
例5
若关于x的不等式|x −2 |+|x −a| ⩾a在R上恒成立，则实数a的取值范围是
.
变式5-1
已知函数f(x) = |2x −1| + |x + m|(m ∈R)．
（1）若m = 1，解不等式f(x) ≤6；
（2）若关于x的不等式f(x) ≤|2x + 1|在[ 3
4 , 2]上恒成立，求实数m的取值范围．
变式5-2
完成下列试题
(1)
解不等式：|x −1| −|x −2| > 1
2 ；
(2)
设集合 P 表示不等式|x −1| + |x −2a| > 1 对任意 x ∈R 恒成立的 a 的集合，求集合 P；
(3)
设关于 x 的不等式 ax2 + 2|x −a| −20 < 0 的解集为 A，试探究是否存在 a ∈N ，使得不等式 x2 + x −2 < 0
与 |2x −1| < x + 2 的解都属于 A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的 a 的所有值．
63
知识点3——高次不等式的解法
考点6：穿针引线法解不等式
知识笔记
一元高次不等式是指次数大于或等于3的不等式.
常见的解法一一穿针引线。具体步骤如下：
1.移项，把不等式右边变为0且最高次项的系数为正；
2.把不等式左边分解因式，分解到不能再分为止；
3.把对应的方程的根在数轴上接从到大的顺序标出；
4.从右上方开始，遇到奇数次的根穿轴而过，遇到偶数次的根即回头；
5.按从小到大的顺序依次写出不等式的解(高中为解集，或用区间表示)；
6.位于数轴上方对应的x的范围为不等式>0的解；位于数轴下方对应的x的范围是不等式<0的解.
典型例题
例6
不等式
x2 + 1
x2 −2x −3 < 1的解集用区间表示为
．
变式6-1
不等式x2 −4x + 1
3x2 −7x + 2 ≤1的解集用区间表示为
.
64
08 基本不等式
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握平均值不等式并能求最值
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握三角不等式并能求最值
目标3
★★★★☆☆ 识别
掌握“1”的代换的灵活运用
目标4
★★★★☆☆ 识别
掌握基本不等式的实际应用
知识清单
65
知识点1——平均值不等式
考点1：积定和最小(积为定值时和有最小值)
知识笔记
平均值不等式
平均值不等式
对于正数a, b，称a + b
2
是a, b的算术平均值，并称√ab是a, b的几何平均值；
定理1（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于他们的几何平均值，即对与任意的正数a, b，有
a + b
2
≥√ab，且等号当且仅当a = b时成立；
定理2：对于任意的实数a, b，有( a + b
2
)
2
≥ab，且等号当且仅当a = b时成立.
注意：(1) a + b
2
≥√ab、( a + b
2
)
2
≥ab成立的条件是不同的，前者要求正数a, b，而后者要求实数a, b；
(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当a = b时等号成立”这句话要理解深刻.可从两个方面
来理解：第一，“当a = b时等号成立”，其含义就是a = b ⇒a + b
2
= √ab或a = b ⇒( a + b
2
)
2
= ab⇒a2 + b2 = 2ab
；第二，“仅当a = b时等号成立”，其含义就是( a + b
2
)
2
= ab ⇒a2 + b2 = 2ab ⇒a = b或a + b
2
= √ab ⇒a = b.综合
起来，其含义就是：a = b a + b
2
= √ab( a + b
2
)
2
= ab的充要条件；
即平均值不等式a + b
2
≥√ab，必须满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能使等号成立，取得最值.
典型例题
例1
1
设正实数x, y满足xy = 20，则x + 4y的最小值为
．
2
设实数x < 1，当代数式2x +
1
x −1 取最大值时，x的值为
．
66
变式1-1
（1）已知x > 0，则y = x + 1
x 的最小值为
.
（2）已知x < 0，则1 −x −4
x 的最小值是
.
考点2：一正二定三相等
典型例题
例2
若a、b ∈R，且ab > 0，则下列不等式恒成立的是（
）
A. a2 + b2 ≥a + b
B. a + b ≥2√ab
C.
b
a + a
b ≥1
D. ab + 1
ab > 2
变式2-1
1
若a、b ∈R，且ab > 0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. a2 + b2 ≥a + b
B. a + b ≥2√ab
C.
b
a + a
b ≥2
D. a2 + b2 ≥4ab
2
已知a、b ∈R，若ab ≠0，则下列不等式：
①a2 + b2
2
≥ab；②b
a + a
b
≥2；
③b
a + a
b ≥2；④a + b ≥2√ab．
其中恒成立的不等式序号是
A. ①、③
B. ①、②
C. ②、③
D. ②、④
∣∣
67
考点3：和定积最大(和为定值时积有最大值)
典型例题
例3
1
已知x + y = 2，则xy的最大值为
．
2
（1）已知a，b是实数.求证：a2 + b2 ≥2a −2b −2，并指出等号成立的条件；
（2）已知a，b是实数，若a + 2b = 1，求ab的最大值，并指出此时a，b的值.
变式3-1
1
设a > 0，b > 0，若2a + b = 8，则ab的最大值为
.
2
（1）已知0 < x < 1，则x (4 −3x)取得最大值时，x的值为
.
（2）已知x < 5
4 ，则y = 4x −2 +
1
4x −5 的最大值为
.
（3）已知x > 1，则x2 + 3
x −1 的最小值为
.
68
知识点2——三角不等式
考点4：三角不等式及其取等条件
知识笔记
三角不等式
定理：两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数a, b，有|a + b| ≤|a| + |b|，且等号当
且仅当ab ≥0时成立，该不等式也称三角不等式.
另，|a| = |a −b + b| ≤|a −b| + |b| ⇔|a| −|b| ≤|a −b|.
那么，如果a, b, c是实数，有|a −c| ≤|a −b| + |b −c|，且等号当且仅当(a −b)(b −c) ≥0时成立.
典型例题
例4
1
已知a > 0，b > 0，则下列不等式恒成立的是（
）
A. ab ≤(a + b)2
4
；
B. a + b
2
≥√ab；
C. |a + b| + |a −b| ≤2 |a|；
D. |a + b| −|a −b| ≥2 |b|.
2
若|x −2| + |x + 4| ≥6对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为
．
变式4-1
若|3x −4| + 3 |x −1| ≥1对所有实数x恒成立，则当等号成立时，x的取值范围是
.
考点5：三角不等式求最值
典型例题
例5
1
若对任意x ∈R，都有|x + 1| + |2 −x| ≥m，则实数m的最大值为 .
69
2
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a2 + a + 1对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
变式5-1
1
已知函数 y = f(x) 满足 f(x) = |x −a2| + |x −2a + 1|．
(1)
当 a = 2 时，求不等式 f(x) ⩾4 的解集；
(2)
若 f(x) ⩾4 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2
若关于x的不等式|x| + |x −a| ≤a的解集为[0, 2]，则实数a =
．
3
已知集合A = {a||x + 3| + |x −4| ≥a对任意x ∈R恒成立}，B = {x|
4x
x2 + x + 2 < 1}，则A ∩B =
．
4
不等式|2x −a| > |2a −1| −2|x|对一切x ∈R都成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−3, −1)
B. (1, 3)
C. ( 1
3 , 1)
D. (−1, −1
3 )
考点6：三角不等式的其他应用
典型例题
例6
（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2 + y2与x2 + xy的大小，并说明理由；
（2）求证：|2x −5| + |2x −9| ≥4对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．
70
变式6-1
若设M(a, n) = |ax −1| + |ax −2| + ⋯+ |ax −n|为曼哈顿扩张距离，它由n个绝对值之和组成，其中n为正整数.
(1)
若M(1, 2) ≤5，求x的取值范围；
(2)
若M(3, 2) ≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(3)
M(2, 6)是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时x的取值范围；若不存在，说明理由.
知识点3——“1”的妙用求最值
考点7：“1”的妙用求最值
知识笔记
“1“的代换
运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件，为了得到“定值”，往往需要对目标式进行恰当
的“配”“凑”，“1”的代换是一种常用的方法，可用来创造使用基本不等式的条件.
此类问题通常有如下特点：1.变量a, b是正实数，2.有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中
两个代数式一个是整式ma + nb,一个是分式p
a + q
b ，也有其它的变形形式，通过“1”的代换凑出可以使用基本不
等式的齐次式λb
a + μa
b .
71
典型例题
例7
1
设x, y ∈(0, +∞)，且x + 2y = 1，则1
x + 1
y 的最小值为（
）
A. 7
B. 6
C. 3 + 2√2
D. 3 + √2
2
已知正数x, y满足x + 2y −1 = 0，且不等式m ≤1
y + 1
x 对任意的正数x, y恒成立.则实数m的取值范围是
.
变式7-1
1
若正实数x，y. 且x + 2y = 1则2
y + 3
x 的最小值为（ ）
A. 2
B. 3 + 2√2
C. 5 + 2√6
D. 7 + 4√3
2
设非负实数x，y满足2x + y = 1，则下列说法正确的是（
）
A. xy的最大值是1
4
B.
1
2x + 1
y 的最小值是8
C. 4x2 + y2的最小值是1
2
D. y + x2的最小值是0
考点8：“1“的代换的变形
知识笔记
运用"1"的代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，配凑成齐次式λb
a + μa
b ；
(4)利用基本不等式求解最值解题过程中，要根据表达式的具体特点，选择“部分1的代换”或者"将1看成12"，并且
要注意基本不等式成立的前提条件.
72
典型例题
例8
1
已知x、y均为正实数，且x + y = 6，则
xy
9x + y 的最大值为
．
2
若a > −1，b > 0，且a + 1
b = 3，则式子
1
a + 1 + 2025b的最小值是 .
3
若x ∈(0, 2)，则1
x +
1
2 −x 的最小值是
.
变式8-1
1
已知实数x满足0 < x < 1
3 ，则1
x +
12
1 −3x 的最小值为
.
2
已知正实数a，b满足2a + b = 1，则6a + 2b
a2 + ab 的最小值为
.
3
问题:正实数a, b满足a + b = 1，求1
a + 2
b 的最小值.其中一种解法是:
1
a + 2
b = ( 1
a + 2
b ) (a + b) = 1 + b
a + 2a
b + 2 ≥3 + 2√2，当且仅当b
a = 2a
b 且a + b = 1时，即a = √2 −1且
b = 2 −√2时取等号.学习上述解法并解决下列问题:
(1)
若正实数x, y满足x + y = 1，求2
x + 1
y 的最小值
(2)
若实数a, b，正实数x, y满足x2
a2 −y2
b2 = 1，求证:a2 −b2 ≤(x −y)2
(3)
求代数式M = √2m −3 −√m −2的最小值，并求出使得M取最小值的m的值.
73
知识点4——基本不等式的实际应用
考点9：基本不等式的实际应用（填选）
知识笔记
利用基本不等式来解决一些实际问题
基本解题步骤：
①先理解题意，合理设置变量，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求函数的最大值或最小值；
④正确写出答案.
典型例题
例9
某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在
P1 + P2为定值的情况下，P的最大值为
（用P1､P1表示）
变式9-1
如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左
右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为45m2，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为0.1m，两个宣传栏之间
的空隙的宽度为0.2m，设海报纸的长和宽分别为xm, ym，为节约成本（即使用纸量最少），则长x =
m.
74
考点10：基本不等式的实际应用（解答）
典型例题
例10
2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣
赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，
浮动价格=
5
销售量（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售
价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总
利润=（售价-供货价格）×销售量；
(1)
当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
(2)
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？
变式10-1
现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用m（万元）和与仓库A、厂房B的距离x（千米）的关系为：
m =
k
3x + 2 （0 < x ≤8），若距离为1千米时，仓库A建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修
建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设f (x)为建造仓库A与修路费用之和．
(1)
求f (x)的表达式；
(2)
当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用f (x)最小？并求出最小值．
75
09 幂、指数与对数
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解实数指数幂的运算性质
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解对数的概念
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数的运算法则
知识清单
76
知识点1——幂与指数
考点1：幂指数的运算性质
知识笔记
1. 整数指数幂及其运算性质
如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称an = a × a × ⋯× a
na
为a的n次幂；
整数指数幂运算性质：对于任意给定的实数a, b及正整数s, t，有asat =as+t，(as)t =ast，(ab)t = atbt.
2. n次方根
定义：一般地，如果n为大于1的整数，且xn = a，那么x叫做a的n次方根.式子
n√a叫做a的n次根式，这里n叫做
根指数，a叫做被开方数．
注意：
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，即a的n次方根唯一存在；
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，他们互为相反数.其中，正的n次方根用
n√a表示，负的n次方根用−n√a
表示；
③负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作
n√0 = 0；
④当n为奇数时，
n√an = a；当n为偶数时，
n√an = |a|.
典型例题
例1
1
将a ⋅
4√a3化为有理数指数幂的形式为
.
2
当 x < 0 时，化简:
5√x5 +
4√x4 + |x| =
.
变式1-1
1
化简求值:(22−√3)
2+√3
=
.
77
2
下列运算中正确的是（
）
A. √(2 −π)2 = 2 −π
B. a√−1
a = √−a
C. (m
1
4 n−3
8 )
8
= m2
n3
D. (x3−√2)
3+√2
= x9
考点2：幂的基本不等式
知识笔记
对任意给定的正数a, b及实数s, t，有asat = as+t，(as)t = ast，(ab)t = atbt；
幂的基本不等式：当a > 1, s > 0时，as > 1.
典型例题
例2
（1）已知0 < a < 1，s > 0，求证：0 < as < 1；
（2）已知a > 1，s < 0，利用（1）求证：0 < as < 1．
变式2-1
已知a > 1，则“s > 0”是“as > 1”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
78
考点3：特殊分数指数幂的关系运用
知识笔记
a的1
n 次幂：
①当a > 0时，
满足xn = a的唯一正数x为a的1
n 次幂，即a
1
n =
n√a（a>0,n为大于1的整数）.
②当a < 0时，
n是正奇数时，存在唯一的实数x，使得xn = a < 0，此时a
1
n =
n√a可以被定义；
n是正偶数时，不存在实数x，使得xn = a < 0，此时a
1
n =
n√a不能被定义；
③当a = 0时，0
1
n = 0.
a的m
n 次幂：
一般地，在n为正整数，m为整数时，对所有使得
n√am有意义的实数a，都可以定义为a
m
n =
n√am.
有理数指数幂的运算性质：对于任意给定的实数a, b及有理数s, t，有asat = as+t，(as)t = ast，(ab)t = atbt.
典型例题
例3
若a2x = 3，且a > 0，则a3x + a−3x
ax + a−x 的值为
．
变式3-1
1
已知x
1
2 + x
−1
2 = 2,则x + x−1 =
.
2
设a2x = 2，a > 0，则a3x + a−3x
ax + a−x
+ log−x 2 × log2 (−x) + |x| +
6√x6 + 2
3√x3 + 100lg 2 =
.
79
知识点2——对数的概念及运算性质
考点4：对数的概念
知识笔记
1.对数的定义
在a > 0, a ≠1，且N > 0的条件下，唯一满足则ax = N的数x叫做以a为底N的对数，记作x = logaN.其中，a叫做
对数的底数，N称为真数；
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg N；
我们将以e(e ≈2.718)为底的对数叫做自然对数，并把logN
e 记作ln N.
2. 对数恒等式
loga1 = 0；logaa = 1；alogaN = N.
典型例题
例4
对数表达式logx−1(5 −x)中的x的取值范围是 .
变式4-1
1
在对数式y＝log
(4－x)中，实数x的取值范围是 .
(x－2)
2
我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步
率”都是1%的前提下，我们可以把(1 + 1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1 −1%)365看作是经过365天的“退步
值”，则大约经过
天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍.
考点5：指对数互化
典型例题
例5
已知3m = 6，用m表示log3 54为
．
80
变式5-1
已知a = log2 3，2b = 7，则2a−2b =
.
考点6：对数运算法则
知识笔记
对数的运算性质
a > 0且a ≠1，
当M > 0N > 0时，loga(MN) = logaM + logaN；
当M > 0N > 0时， loga
M
N = logaM −logaN；
当N > 0时，对于任意给定实数c，logaN c = clogaN.
典型例题
例6
1
已知 lg ab = 1 ，则 lg a2024 + lg b2024 = .
2
设a = log52，5b = 3，试用a, b表示log512.
3
log2
4√8
2
+ log5 50 + 3
−log3
2
5 −log5 10 =
．
81
变式6-1
1
化简与求值：
(1)
计算lg 4 + 2 lg 5 + ln √e −21+log23；
(2)
已知2a = 9, 3b = 16，求ab的值.
2
已知log3 7 = a，log7 2 = b，用a，b表示log7 42 =
．
知识点3——对数的换底公式
考点7：换底公式
知识笔记
对数的换底公式
当N > 0时，logaN = logbN
logba .
典型例题
例7
1
logx y ⋅logy z ⋅logz x的值是
.
82
2
农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查
蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则大约经过
（
）天能达到最初的1800倍.
A. 129
B. 150
C. 197
D. 199
变式7-1
1
已知lg 2 = a, lg 3 = b，则用a, b表示log6 25 =
.
2
已知log12 3 = a，则log36 16 =
(用a表示)
3
计算log2 3 ⋅log3 4 ⋅log4 5 ⋅… ⋅log1023 1024的结果为(
)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
考点8：常用结论
知识笔记
常用结论：logab = logbb
logba =
1
logba ，logacbc = c logab
logaac = logab，
logab ⋅logbc = logab ⋅logac
logab = logac.
典型例题
例8
1
已知4a = 5b = 10，则1
a + 2
b =
.
2
已知ab ≠1，loga m = 2，logb m = 5，则logab m =（
）
A.
1
10
B. 1
7
C.
7
10
D. 10
7
83
3
（1）计算以下对数的值：2log23 + log9 25 log5 27；
（2）已知lg 2 = a，lg 3 = b，用a、b来表示log12 25.
变式8-1
1
计算：log3 5 + log3
9
5 + eln 3 =
.
2
已知m > 0, n > 0，若k = log3 m = log9 n = log27(9m + 8n)，则k =（
）
A. −2
B. 2
C. −1
2
D. 1
2
3
若实数a > b > 1，且loga b + logb a = 5
2 ，则a
b2 =
.
84
4
对于任意实数c，d(c < d)，定义区间(c, d)，[c, d)，(c, d]，[c, d]的长度均为d −c.若集合I是若干个两两交集为空集
的区间的并集，则把这几个区间的长度的和称为I 的长度. 特别地，记正整数集A = {a1, a2, ⋯an} ，且
a1 < a2 < ⋯< an，若区间[ai, an]的端点ai, an满足1
ai
−1
an
≥n −i
25
(i = 1, 2, ⋯, n −1)，则称该集合为“称心
集”.
(1)
若|2x −5| < 3的解集为B，求集合B的区间长度；
(2)
若关于x的不等式组{
的解集构成的各区间长度之和为6，求实数t的取值范围；
(3)
求“称心集”A = {a1, a2, ⋯an}中元素个数的最大值，并说明理由.
x2 −5x −6 < 0
2 log4 x + log2 (tx + 3t) < 1
85
10 幂函数
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解幂函数的定义与图像
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握幂函数的性质
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握“耐克”、“飘带”函数的图像和性质
知识清单
86
知识点1——幂函数的定义与图像
考点1：幂函数的定义
知识笔记
幂函数的定义
(1)当指数a固定，等式y = xa(a ∈R)确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数；
(2)使得y = xa有意义的x的取值范围，称为此幂函数的定义域，y的取值范围称为幂函数的值域，幂函数的定义
域、值域可以是不同的，它取决于a的取值.
典型例题
例1
若幂函数f (x) = (m2 + m −5)xm2−2m−1的图象不经过原点，则m的值为
．
变式1-1
已知幂函数y = f (x)的图象过点(4, √2)，则f (81) =
.
87
考点2：幂函数的图像
知识笔记
幂函数的图象
五个常用幂函数y = x, y = x2, y = x3, y = x
1
2 , y = x−1的大致图像如上，从图像中可以看出，指数a不同，幂函数
定义域不同，图像形态也明显不同.
(1)五个幂函数定义域分别为：
y = x(x ∈R), y = x2(x ∈R), y = x3(x ∈R), y = x
1
2 (x ≥0), y = x−1(x ≠0)；
(2)值域分别为：
y = x(x ∈R), y = x2(x ∈R), y = x3(x ∈R), y = x
1
2 (x ≥0), y = x−1(x ≠0)；
(3)当x > 0时，y = xa（a ∈R）第一象限图像有规律如下：
通过幂函数关系式y = xa（a ∈R）易得：
1.幂函数恒过点(1, 1)；
2.幂函数图像不经过第四象限.
88
典型例题
例2
已知幂函数y1 = xa, y2 = xb, y3 = xc, y4 = xd 在第一象限的图象如图所示，则（
）
A. a > b > c > d
B. b > c > d > a
C. d > b > c > a
D. c > b > d > a
变式2-1
已知函数f(x) = (m2 + 5m + 7)xm(x ≠0)是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m =
．
考点3：幂函数的定义域和值域
典型例题
例3
若幂函数y = x−m2+2m（m为整数）的定义域为R，则m的值为
．
变式3-1
若集合A = {1, 2}, B =
y|y = x
1
2
，则a ∈A是a ∈B的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
89
知识点2——幂函数的性质
考点4：幂函数的单调性与对称性及其应用
知识笔记
1. 幂函数的单调性
通过对幂函数y = xa（a ∈R）图像的观察，会发现：
(1)a > 0时，在区间(0, +∞)上，幂函数的函数值y随着自变量x的（严格）增大而增大，此时称幂函数y = xa在
(0, +∞)是严格增函数；
(2)a < 0时，在区间(0, +∞)上，幂函数的函数值y随着自变量x的（严格）增大而减小；此时称幂函数y = xa在
(0, +∞)是严格减函数.
a
图像经过象限
对称性
a ∈Z
a = 2n
一、二
关于y轴对称
a = 2n + 1
一、三
关于原点中心对称
a = m
n , m, n
m = 2n, n = 2n + 1
一、二
关于 y轴对称
m = 2n + 1, n = 2n + 1
一、三
关于原点中心对称
m = 2n + 1, n = 2n
一
无
典型例题
例4
1
如图所示是函数y = x
m
n （m、n ∈N∗且互质）的图象，则（
）
A. m，n是奇数且m
n < 1
B. m是偶数，n是奇数，且m
n < 1
C. m是偶数，n是奇数，且m
n > 1
D. m，n是偶数，且m
n > 1
90
2
幂函数f (x) = xm2−2m−3 (m ∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(−∞, 0)上是严格增函数．
(1)
求f (x)的表达式；
(2)
求函数g (x) = x−4 −4x的单调区间（只写结果，不要证明）；
(3)
对任意实数x ∈[ 1
2 , 1]，不等式f (x) ≤t + 4x恒成立，求实数t的取值范围．
3
已知f(x) = x−k2+k+2, k ∈Z．
(1)
若函数y = f(x)的定义域为R，求k的值；
(2)
若f(−4) > f(−3)，且(a2 −1)f (x) + (a −1)√f(x) + 2 > 0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)
在（2）的条件下，若存在实数m，使得关于x的方程2f (x −1) −√f(x)f(x −1) + 2mx2 = 0．恰有4个不同
的正根，求实数m的取值范围．
91
变式4-1
1
已知k ∈{−1, −1
3 , 1
2 , 1
3 , 2, 3}，若幂函数y = xk在区间(0, +∞)上是严格增函数，且函数图象关于原点中心对称，
则k的所有可能的值为
.
2
已知函数f (x) = (2m2 −m)x2m+3是幂函数，且函数f (x)的图象关于y轴对称.
(1)
求实数m的值；
(2)
若不等式(a −1)m < (2a −3)m成立，求实数a的取值范围.
3
记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若f (x) = [ x2
70 ] + [√70x]，则f (1) + f (2) + f (3) + ⋯+ f (69) + f (70)的
值为（
）
A. 4898
B. 4899
C. 4900
D. 4901
考点5： y =
a
x −h + k的对称性及单调性
知识笔记
y =
a
x −h + k的图像
y =
a
x −h + k函数图像是由y = a
x 图像平移而来，y =
a
x −h + k的图像具有如下性质：
(1)a > 0时，在(−∞, h)是严格减函数，在(h, +∞)是严格减函数，a < 0时，在(−∞, h)是严格增函数，在
(h, +∞)是严格增函数；
92
(2)关于点(h, k)中心对称；
(3)以x = h, y = k为渐近线.
典型例题
例5
函数y = x −1
x + 2 的图像的对称中心的坐标为
．
变式5-1
函数y = 3x −a
x + b 的图象关于点(1, c)成中心对称(a, b, c ∈R)，则b + c =
.
知识点6——“耐克”函数与“飘带”函数
考点6：耐克函数与飘带的图象与性质
知识笔记
耐克函数y = x + a
x (a > 0)
(1)定义域：(−∞, 0) ∪(0, +∞)；
(2)值域：(−∞, −2√a]∪[2√a, +∞)；
(3)对称性：关于坐标原点对称，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即
f(x) + f(−x) = 0；
(4)最值：图像在一、三象限， 当x > 0时，y = x + a
x ≥2√a（当且仅当x = √a取等号），即f(x)在x = √a时，取
最小值2√a；由原点对称（奇函数）性质知：当x < 0时，f(x)在x = −√a时，取最大值−2√a
(5)单调性：增区间为(√a, +∞)，(−∞, −√a)，减区间是(0, √a)，(−√a, 0).
飘带函数y = x + a
x (a < 0)
(1)定义域：(−∞, 0) ∪(0, +∞) ；
(2)值域：R；
(3)对称性：关于坐标原点对称；
(4)单调性：增区间为(−∞, 0)，(0, +∞)．
93
典型例题
例6
1
已知函数f (x) = x2 + 4x + 4
x
，定义域为[ 1
2 , +∞)，则下列说法正确的是（
）
A. 函数的最大值是8
B. 函数的最小值是8
C. 函数的最大值是23
2
D. 函数的最小值是23
2
2
设函数f (x) = x + 4
x ，则（
）
A. f (x)的最大值为−4
B. f (x)在(−∞, −2)上单调递增，在(−2, 0)上单调递减
C. f (x)的最小值为4
D. f (x)在(0, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减
变式6-1
（1）已知a > 0，b > 0，且2a + b = 2，求1
a + 2
b 的最小值；
（2）求函数f (x) =
x2 + 3
√x2 + 2
的最小值.
94
考点7：飘带函数与耐克函数的综合
典型例题
例7
已知函数f(x) = x + a
x (a ≠0)；
(1)
若a = 4时，求函数f(x)的值域；
(2)
讨论函数f(x)的单调性．（只要判断，无需证明）.
变式7-1
已知函数y = x + a
x 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0, √a]上是减函数，在[√a, +∞)上是增函数.若函
数h (x) = x + 4
x , x ∈[1, 3]，求h(x)的最值.
95
11 指数函数
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解指数函数的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数函数的图像及性质
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握复合指数函数单调性及值域的求法
知识清单
96
知识点1——指数函数的定义
考点1：指数函数的定义
知识笔记
指数函数的定义
当底数a固定，且a > 0, a ≠1时，等式y = ax确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的指数函数.
典型例题
例1
1
若函数y = (m2 −2m −2) ⋅mx是指数函数，则m等于（
）
A. −1或3
B. −1
C. 3
D. 1
3
2
下列函数中，指数函数的个数为( )
①y = ( 1
2 )
x−1
②y＝a (a > 0且a ≠1)；
③y＝1 ；④y = ( 1
2 )
2x
−1
A. 0
B. 1
C. 3
D. 4
x
x
变式1-1
已知指数函数y = f (x)，满足f (−2) = 1
4 .
(1)
求函数y = f (x)的解析式；
(2)
若方程(f (x))2 −(m + 1)f (x) + m + 9
4 = 0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
97
考点2：指数函数的底数取值范围问题
典型例题
例2
已知函数f(x)＝(2a－1) 是指数函数，则实数a的取值范围是
．
x
变式2-1
若x > 0时，指数函数y = (m2 −3)x的值总大于1，则实数m的取值范围是
.
98
知识点2——指数函数的图像及性质
考点3：指数函数过定点问题
知识笔记
函数名称
指数函数
定义
函数y = ax(a > 0a ≠1)叫做指数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
单调性
严格增函数
严格减函数
定义域
R
函数值域
(0, +∞)
过定点
图象过定点(0, 1)，即当x = 0时，y = 1.
a变化对图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所
示，其中0 < c < d < 1 > a < b，
1、 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
2、在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
99
典型例题
例3
已知a > 0且a ≠1，函数y = ax−2 + 7的图象恒过定点P，若P在幂函数f (x)的图象上，则f (3) =
．
变式3-1
关于x的函数y = ax+2 + 3(a > 0且a ≠1)恒过定点
.
考点4：指数函数的图像
典型例题
例4
若函数y1 = ( 1
2 )
x
, y2 = 2x, y3 = ( 1
10 )
x
, y4 = 10x则下列图像正确的是__________.
A.
B.
C.
D.
100
变式4-1
指数函数①f(x)=m ，②g(x)=n 满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是（
）
A.
B.
C.
D.
x
x
考点5：指数函数单调性比大小问题
典型例题
例5
1
已知a = 0.80.7，b = 0.80.9，c = 1.20.8，则a、b、c的大小关系是（
）
A. a > b > c
B. c > a > b
C. b > a > c
D. c > b > a
2
已知a > 1，则“s > 0”是“as > 1”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
变式5-1
设a > 1，若ax2+2x+1 < a2x2−3x+1，求实数x的取值范围.
101
考点6：指数函数单调性求最值问题
典型例题
例6
已知函数y = ax(a > 0, a ≠1)在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a
3 ，求实数a的值.
变式6-1
已知函数f (x) = a ⋅bx + c (b > 0, b ≠1)在区间[0, +∞)上的值域为[1, 2)，则该函数的一个解析式可以为f (x) =
.
考点7：指数函数的图像变换
典型例题
例7
在同一坐标系中，函数y = ax + 1与y = a|x−1|（a>0且a≠1）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
102
变式7-1
1
若函数y = 2x + m的图像不经过第二象限，则m的取值范围是（
）
A. m ≥1
B. m < 1
C. m > −1
D. m ≤−1
2
如图所示，设平行于x轴的直线l分别与函数y = 2x和y = 2x+1的图像相交于点A、B，若在函数y = 2x的图像上存在
点C，使得ΔABC为等边三角形，则C点的纵坐标为
．
知识点3———复合指数函数的单调性与值域
考点8：复合指数函数的单调性
知识笔记
1．指数函数的图像与性质：
(1)当a > 1时，指数函数在R上是严格增函数；
(2)当0 < a < 1时，指数函数在R上是严格减函数.
2．复合函数的单调性法则
复合函数：y = f [g(x)]，令u = g(x)为内函数，y = f(u)为外函数，则复合函数单调性法则：
(1)当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增；
(2)当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减.
口诀：“同增异减”
复合函数求值域方法：换元法
103
典型例题
例 8
1
函数y = ( 1
3 )
x2−1
的严格减区间为 .
∣∣
2
函数y = ( 1
3 )
|x|
的单调递增区间是
.
变式8-1
已知函数f (x) = ( 1
3 )
2x2−ax
在区间(2, +∞)上单调递减，则a的取值范围是（
）
A. (−∞, 8]
B. (−∞, 8)
C. [8, +∞)
D. (8, +∞)
考点9：复合指数函数的值域
典型例题
例9
1
函数y = ( 1
2 )
x2−2
的值域为
．
2
函数y = √1 −6x−2的定义域和值域分别为（
）
A. x ∈(0，2]，y ∈(0, 1]
B. x ∈(−∞，2]，y ∈[0，1)
C. x ∈(0，2]，y ∈[0，1)
D. x ∈(−∞，2]，y ∈(0, 1]
变式9-1
1
若关于x的不等式9−|x| −4 ⋅3−|x| −k ≥0的解集为R，则实数k的取值范围是（ ）
A. [−4, 0]
B. (−∞, −4]
C. [−3, 0]
D. (−∞, −3]
104
2
已知函数f (x) = m ⋅9x −3x+1 −m.
(1)
当m = 3
2 时，求f (x)的值域.
(2)
若f (x)在(0, +∞)上单调递增，求实数m的取值范围.
(3)
若在函数g (x)的定义域内存在x0，使得g (a + x0) + g (a −x0) = 2b成立，则称g (x)为局部对称函数，其中
(a, b)为g (x)的图象的局部对称点.若(1, 0)是f (x)的图象的局部对称点，求实数m的取值范围.
105
考点10：指数函数的实际应用问题
典型例题
例10
1
为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时
间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为
y = ( 1
16 )
x−a
（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)
写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；
(2)
据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至
少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
2
Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊
病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=
K
1 + e−0.23(t−53) ，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着
已初步遏制疫情，则t∗约为（
）（ln19≈3）
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69
106
12 对数函数
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解对数函数的定义及图像
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数函数的单调性
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数方程与对数方程的解法
知识清单
107
知识点1——对数函数的定义及图像
考点1：对数函数的定义
知识笔记
对数函数的定义
当底数a固定，且a > 0，a ≠1时，x以a为底的对数y = logax确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函
数；因为只有当x > 0时，logax才有意义，所以对数函数的定义域是(0, +∞).
对数的图像与性质
y = logax
a > 1
0 < a < 1
图像
图像特征
图像都在 y轴右侧，无限趋近于y 轴，但永不相交，经过点(1, 0). .
函数性质
(1)定义域：x > 0 ，值域：R
(2)在x > 0 上严格增函数
(2)在x > 0 上严格减函数
注意：对数函数f(x)，对任意正实数x, y，恒有f(xy) = f(x) + f(y)
典型例题
例1
1
函数y = √log 1
2 x的定义域为
.
2
若对数函数y = loga x（a > 0且a ≠1）的图像经过点(4, 2)，求此对数函数的表达式.
108
变式1-1
1
函数y = √log3(2x −1)的定义域为（
）
A. [1, +∞)
B. (1, +∞)
C. ( 1
2 , +∞)
D. ( 1
2 , 1)
2
已知函数y = ax−2 + 1, (a > 0且a ≠1)的图像过定点A，函数y = logmx, (m > 0且m ≠1)也经过点A，则m的值为
．
考点2：对数函数过定点问题
典型例题
例2
已知常数a > 0且a ≠1，假设无论a为何值，函数y = loga (x + 3) −4的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为
.
变式2-1
函数f(x) = loga(10 −3x) + 9的图像恒过定点A，且点A在幂函数g(x)的图象上，则g (8) = .
考点3：对数函数的图像
典型例题
例3
图中曲线是对数函数y = logax的图像，已知a取√3，4
3 ，3
5 ，1
10 四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为
( )
A. √3，4
3 ，3
5 ，1
10
109
B. √3，4
3 ，1
10 ，3
5
C. 4
3 ，√3，3
5 ，1
10
D. 4
3 ，√3，1
10 ，3
5
变式3-1
已知函数y = loga(x + c)(a, c为常数，其中a > 0, a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是（
）
A. a > 1, c > 1
B. a > 1, 0 < c < 1
C. 0 < a < 1, c > 1
D. 0 < a < 1, 0 < c < 1
考点4：对数函数的单调性
典型例题
例4
1
以下四个命题中，真命题的个数为（
）
①函数y = (x2 + 1)2 + 3最小值为3；
②若2a + log2 a = 4b + 2 log4 b，则a < 2b；
③不等式2x −x −1 > 0的解集为(1, +∞)．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2
若log3m < log3n且logm3 < logn3，则实数m、n满足的关系式为（
）
A. 0<m<n<1
B. 0<n<m<1
C. 0<m<1<n
D. 1<m<n
变式4-1
1
若函数f (x) = logax（a > 0且a ≠1）在区间[a, 2a2]上的最大值比最小值多2，则a =（
）
A. 2或1
3√2
B. 3或1
3
C. 4或1
2
D. 2或1
2
110
2
已知函数f (x) = {
是R上的减函数，则a的取值范围是（
）
A. 0 < a < 3
2
B. 1
2 ≤a < 1
C. 0 < a ≤3
2
D. 1
2 < a < 1
(2a −3)x + 2, x ≤1
loga x, x > 1
111
考点5：对数函数的实际应用
典型例题
例5
一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足
如图所示的曲线. 当t ∈(0, 14] 时，曲线是二次函数图像的一部分，当t ∈[14, 40] 时，曲线是函数
y = loga (t −5) + 83(a > 0，且a ≠1)图像的一部分.根据研究，当注意力指数p不小于80时听课效果最佳.
(1)
求p = f (t)的函数关系式；
(2)
有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.
变式5-1
已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R = 2
3 (lg E −11.4).那么里氏8.4级的地震释放的能量大约是里氏6.8级
地震释放的能量的
倍.(精确到0.1)
112
知识点2——复合对数函数
考点6：复合对数函数的值域问题
知识笔记
复合函数单调性法则：“同增异减”.
典型例题
例6
已知函数f(x) = lg (x2 + 2x + a).
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围.
变式6-1
若函数f(x) = loga(x2 −ax + 1)有最小值，则a的取值范围是
．
考点7：复合对数函数的单调性问题
典型例题
例7
1
函数y = lg(x2 −4x + 3)的递增区间是
113
2
已知函数f(x)的图像关于y轴对称，并且是[0,+ ∞)上的减函数，若f(lg x) > f(1), 则实数x的取值范围是
A. ( 1
10 , 1)
B. ( 1
10 , 100)
C. ( 1
10 , 10)
D. (0, 1)
变式7-1
1
已知函数f (x) = log2 (mx2 −3mx + 2)，m ∈R.
（1）若m = 1，求函数f (x)的单调递减区间；
（2）若函数f (x)的定义域为R，求实数m的取值范围.
2
已知f (x) = loga (3 −ax)在[0, 2]上是严格减函数，则实数a的取值范围是
.
知识点3——指数方程与对数方程
考点8：指数方程
典型例题
例8
解下列方程：
（1）2x2+1 = ( 1
4 )
x
；
（2）4x + 2x+1 −3 = 0.
114
变式8-1
不等式x
4
3 −x
−1
2 < 0的解集为
．
考点9：对数方程
典型例题
例9
已知a ∈R，函数f (x) = log2 ( 1
x + a).
(1)
当a = 1时，求不等式f (2x) > 1的解集；
(2)
若a = 1，当x ∈[2, 3]时，F (x) = f (2x) + log2 (2x + 1)，求函数y = F (x)的最小值；
(3)
当a ≠3且a ≠4时，关于x的方程f (x) −log2 [(a −4)x + 2a −5] = 0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范
围.
变式9-1
已知函数f(x) = (a −2)x2 + 2(a −2)x −4
（1）若关于x的不等式f(x) ≤mx −7的解集为[1, 3]，求a, m的值；
（2）记不等式1
2 log 1
3
(x + 1) + log3(x −1) ≤0的解集为A，若x ∈A时，恒有f(x) < 0成立，求实数a的取值范围.
115
