01 等差数列
巩固练习
考点1：等差数列的概念与通项公式
A组
1
已知等差数列{an}中，a1 = 1，d = 2，则a2020 =（ ）
A. 4038
B. 4039
C. 4040
D. 4041
2
在等差数列{a }中，a ＋a ＋a ＝－12，且a ·a ·a ＝80.求通项a .
n
1
3
5
1
3
5
n
考点2：等差中项
A组
在等差数列{a }中，
（1）若a ＝﹣20，a ＝12，求公差d和前11项和S ．
（2）若a +a ＝4，a +a ＝10，求通项公式a 及前n项和S ．
n
1
21
11
2
4
3
5
n
n
1
考点3：等差数列的判定方法
A组
若数列{an} (n ∈N ∗)满足a1 = 2, an+1 =
2an
an + 2 .
（1）设bn = 1
an
，求证数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
考点4：等差数列的性质
A组
1
已知等差数列{an}满足a1 + a2 + a19 + a20 = 18，则a7 + a14 =
．
2
一个等差数列的第4项为12，第8项为4，则此数列的第12项为
.
考点5：等差数列的求和
A组
1
已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 = 6, a2 + a6 = 0，则S8 =
.
2
设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1 = 2，S7 = 35，则a6 =
.
2
考点6：等差数列和的性质
A组
1
设等差数列数列{an}的前n项和为Sn，若Sm = 2, S2m = 17，则S4m =（ ）
A. 32
B. 47
C. 54
D. 86
2
设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7
a4 = 14
13 ，则S13
S7 =（ ）
A. 2
B. 1
2
C. 14
13
D. 13
14
考点7:等差数列求和与最值问题
A组
若数列{an}的通项公式为an = 2n −12，则当n =
时，数列{an}的前n项和Sn最小.
B组
记S 为等差数列{a }的前n项和，已知S =-a .
（1）若a =4，求{a }的通项公式；
（2）若a >0，求使得S ≥a 的n的取值范围.
n
n
9
5
3
n
1
n
n
3
02 等比数列
巩固练习
考点1：等比数列的概念及通项公式
A组
1
等比数列{a }中，a ＝1，q＝﹣3，则a ＝
（用数字作答）．
n
1
5
2
在等比数列{an}中，若a1 = 3，a5 = 48，则a3 =
，q =
.
考点2：等比中项
A组
1
已知a是1, 2的等差中项，b是−2，−8的等比中项，则ab等于
．
2
x > 0, y > 0，若2是4x与4y的等比中项，则1
x + 1
y 的最小值是 ．
考点3：等比数列的判定方法
A组
1
已知数列{an}满足nan+1 = 2an(n + 1), a1 = 2，设bn = an
n .证明数列{bn}为等比数列.
4
B组
1
已知数列{an}满足a1 = 3
5 ，(4an + 1)an+1 = 3an(n ∈N∗)，求数列{ 1
an
−2}的通项公式；
考点4：等比数列的性质
A组
1
已知等比数列{an}满足a1 = 1
4 ,a3a5 = 4 (a4 −1),则a2 =（ ）
A. 2
B. 1
C. 1
2
D. 1
8
2
在等比数列{an}中，若a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 31，a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 62，则通项an等于
A. 2n−1
B. 2n
C. 2n+1
D. 2n−2
考点5：等比数列求和公式
A组
1
设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q < 0”是“对任意正整数n，a2n−1 > a2n”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5
2
设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q < −2”是“对任意的止整数n，a2n−1 + a2n < 0”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
考点6：等比数列求和公式的性质
A组
1
已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4 = 9，9S4 = 10S2，则a2 + a4的值为
.
B组
1
在正项等比数列{an}中，a5 = 1
2 ，a6 + a7 = 3．则满足a1 + a2 + ⋯+ an > a1a2 ⋯an的最大正整数n的值为
（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
考点7：无穷等比数列求和
A组
1
若无穷等比数列{an}满足
+∞
∑
i=2
ai = a1，则数列{an}的公比为
.
2
已知无穷数列{an}满足an+1 = 1
2 an（n为正整数），且a1 = 2，则
+∞
∑
i=1
ai =
．
6
03 数列求通项
巩固练习
考点1：累加法
A组
1
已知数列{an}中，a1 = 1，an = an−1 + 3n −2（n ∈N∗，且n ≥2），则通项公式an =（ ）
A. 3n2 −n + 2
2
B. 3n2 −3n + 2
2
C. n (3n −1)
2
D. (n −1) (3n + 2)
2
2
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2 = 8，S4 = 38.
(1)
求{an}的通项公式；
(2)
若数列{bn}满足b1 = 2，bn+1 −bn = an，求{bn}的通项公式.
考点2：累乘法
A组
1
在数列{an}中，a1 = 1
2 ，an = n −1
n + 1 an−1（n ≥2），则a1 + a2 + ⋯+ a10 =（ ）
A. 10
11
B. 20
21
C. 511
512
D. 1023
1024
7
2
在数列{an}中，a1 = 1，an+1
n
=
an
n + 1 (n ∈N∗).则a4
a2
=（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
2
D. 1
4
考点3：待定系数法
A组
1
设数列{an}满足a1 = 4，an = 3an−1 + 2n −1(n ≥2)，则数列{an}的通项公式为 .
2
已知数列{an}满足：a1 = 3，an = an−1 + 2n−1(n ≥2, n ∈N∗)．
(1)
求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
考点4：取倒数法
A组
1
已知数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 =
an
4an + 1 , (n ∈N∗) ，则 an = (
)
A. an = 1
n
B. an =
1
2n −1
C. an = 2n −1
4n −3
D. an =
1
4n −3
8
2
已知数列{an}中，a1 = 1且an+1 =
3an
an + 3 (n ∈N∗)，则a22为( )
A. 1
8
B. 1
6
C. 1
3
D. 1
2
考点5：取对数法
A组
1
数列 {an} 中, a1 = 2, an = a2
n−1 (n ≥2 且 n ∈N∗), 求数列 {an} 的通项公式.
2
数列{an}中，若a1 = 3，√an+1 = an(n ∈N∗)，则数列{an}的通项公式an =
.
3
设正项数列 {an} 满足 a1 = 1, an = 2a2
n−1(n ≥2), 求数列 {an} 的通项公式.
9
考点6：利用S 求通项
n
A组
1
已知数列{an}的前n项和为Sn = −2n2 + 3n + 1，则数列{an}的通项公式为
.
2
数列{an}的前n项和Sn满足Sn = 2an −1，则an =
．
3
记数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn + an = 4，则S6 =
.
10
04 数列求和方法
巩固练习
考点1：定义法
A组
1
记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6 + a8 = 16，则S13 =（ ）
A. 13
B. 45
C. 104
D. 130
2
记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3 + a4 = 3，a5 + a6 = 3
4 ，则S6 =
.
考点2：倒序相加法
A组
已知函数f (x) =
ax
ax + √a
（a > 0且a ≠1）．
(1)
求证：若x1 + x2 = 1，则f (x1) + f (x2) = 1；
(2)
求f ( 1
10 ) + f ( 2
10 ) + … + f ( 9
10 )的值．
11
考点3：错位相减法
A组
设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1 = b1 = 1, a3 + b5 = 21, a5 + b3 = 13.
（1）求{an}、{bn}的通项公式：
（2）求数列{ an
bn
}的前n项和Sn．
考点4：裂项相消法
A组
1
已知数列{an}前n项和Sn满足Sn = 1
2 n(n + 3)，n ∈N ∗，则数列{ 1
nan
}的前2021项和为
.
2
已知数列{an}前n项和为Sn，满足a1 = 1，(n + 2)Sn = nan+1，则数列{
an
(n + 2) ⋅(n + 3) }的前n项和为
．
考点5：分组求和法
A组
数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 3an + 2n+1，则数列{an}的通项公式为an =
，前n项和Sn =
．
B组
已知等差数列{an}中，a3 + a5 = a4 + 7，a10 = 19，则数列{an cos nπ}的前2025项和为（ ）
A. 1012
B. 1013
C. 2025
D. −2025
12
05 数列概念与数学归纳法
巩固练习
考点1：数列的递推关系与通项
A组
1
根据下面数列{a }的通项公式，写出它的前5项：
（1）a ＝
n
n + 1 ；
（2）a ＝(－1) n.
n
n
n
n
2
数列3，5，9，17，33，…；的一个通项公式是
A.
B.
C.
D.
13
考点2：数列单调性的判断
A组
1
已知数列{an}满足a1 + 2a2 + 3a3 + ⋯+ nan = 3n −1.
(1)
求a1, a2和an；
(2)
证明：数列{an}为单调递增数列.
2
已知等比数列{an}的前n项和Sn = 3n + r，则a3 −r=
，数列{n (n + 4)( 2
3 )
n
}的最大项是第k项，则k=
.
3
已知数列{an}的通项公式为an = n2 + λn，若数列{an}为递增数列，求λ的取值范围．
4
若数列{an}的通项公式是an =
n
n2 + 81 则数列{an}中最大项
；
14
B组
已知数列{an}满足：a1 = 0, an+1 = an −1
an + 3 ．
(1)
若bn =
1
an + 1 ，求bn+1 −bn的值；
(2)
设cn = n(10an + 9)，n ∈N∗，数列{cn}是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没
有，试说明理由．
考点3：数学归纳法的步骤
A组
1
用数学归纳法证明：1 + 1
2 + 1
3 + ⋯+
1
2n −1 < n，(n ∈N, n ≥1)时，在第二步证明从n = k到n = k + 1成立
时，左边增加的项数是（ ）
A. 2k
B. 2k −1
C. 2k−1
D. 2k + 1
2
用数学归纳法证明不等式1 + 1
23 + 1
33 + ⋅⋅⋅+ 1
n3 < 2 −1
n (n ≥2, n ∈N+)时，第一步应验证不等式（ ）
A. 1 + 1
23 < 2 −1
2
B. 1 + 1
23 + 1
33 < 2 −1
3
C. 1 + 1
23 < 2 −1
3
D. 1 + 1
23 + 1
33 < 2 −1
4
15
考点4：数学归纳法的应用
A组
1
用数学归纳法证明：f (n) = (2n + 7) ⋅3n + 9能被36整除．
2
用数学归纳法证明1
22 + 1
32 + ⋯+ 1
n2 < 1 −1
n (n ≥2, n ∈N ∗).
B组
已知数列{an}满足
尝试通过计算数列{an}的前四项，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳
法加以证明．
⎧
⎨
⎩
an+1 = an + n
an
,
a1 = 1.
16
06 平面及其基本性质
巩固练习
考点1：平面基本性质以及点、线、面的关系
A组
1
用符号语言表示“点A在直线l上，l在平面a上”
2
三个平面不可能将空间分成（ ）个部分
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3
过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
A. 三角形
B. 长方形
C. 对角线不相等的菱形
D. 六边形
4
下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
17
B组
1
在空间四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA上分别取点E, F, G, H，如果EH, FG相交于一点M，那么M一定在直线
上．
2
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，过点B的平面α与直线A1C垂直，则α截该正方体所得截面的形状为（ ）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
3
已知长方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别为AA 和AB的中点．求证：
（1）D ，M，N，C四点共面；
（2）D M、DA、CN三线共点．
1
1
1
1
1
1
1
18
考点2：三大公理及其推论
A组
1
用集合符号表述语句“平面α经过直线l”：
．
2
4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线
时，才是一个平面图形．
3
三条互相平行的直线最多可确定
个平面．
4
下列四个命题中的真命题是（ ）
A. 如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B. 如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C. 如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
5
一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（ ）
A. 1个
B. 3个
C. 1个或3个
D. 1个或3个或4个
B组
1
如图所示，在四边形ABCD中，已知AB ∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．
求证：E，F，G，H四点共线．
19
2
如图，已知平面α，β，且α ∩β = l.设梯形ABCD中，AD ∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.则下列结论一定正确的是( )
A. AB = CD
B. 直线AB与直线CD可能为异面直线
C. 直线AC与直线BD可能为异面直线
D. 直线AB、CD、l相交于一点
考点3：直观图斜二测画法
A组
1
在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4, 4√2)在直观图中的对应点是M ′，则线段OM ′的长度为
.
2
有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A′B′C′D′ 是直角梯形（如图所示），其中
∠A′B′C′ = 45∘, B′C′⊥C′D′, A′D′ = D′C′ = 1，则原四边形ABCD的面积为
．
3
如图是梯形ABCD按照斜二测画出的直观图A′B′C′D′，其中A′D′ = 2，B′C′ = 4，A′B′ = 1，则原梯形ABCD的面
积为
.
4
用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图OABC如图，若在直观图中BC = 2cm，则AB =
cm.
20
5
如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二测直观图，若O′A′ = 3，OB′ = 4，则△OAB的面积为
.
6
将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为
.
B组
1
如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′ = 4，C′D′ = 2，则下列说法正确的是
（ ）
A. AB = 2
B. A′D′ = 2√2
C. 四边形ABCD的周长为4 + 2√2 + 2√3
D. 四边形ABCD的面积为6√2
2
有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.
∠ABC = 45∘, AB = AD = 1, DC⊥BC，则这块菜地的面积为
21
07 空间直线与直线的位置关系
巩固练习
考点1：直线与直线的位置关系
A组
1
单选题
“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
2
填空题
已知直线a．如果直线b同时满足条件：①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值．那么这样的直线b有
条．
考点2：异面直线的判定
A组
1
填空题
在四棱台ABCD −A1B1C1D1中的12条棱所在直线中，与直线AB1是异面直线的共有
条
2
单选题
如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且
CF
CB = CG
CD = 2
3 ，则（ ）
A. EF与GH互相平行
B. EF与GH异面
C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D. EF与GH的交点M一定在直线AC上
22
3
解答题
已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
B组
1
解答题
已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．
23
考点3：求异面直线所成角
A组
1
填空题
如图已知A是△BCD所在平面外一点，AD = BC，E､F分别是AB、CD的中点，若异面直线AD与BC所成角的大
小为π
3 ，则AD与EF所成角的大小为
.
2
单选题
在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ）
A. 1
2
B. √3
5
C. √3
3
D. √6
3
24
考点4：公垂线的性质及判定
A组
1
解答题
已知正方形ABCD，HG⊥平面ABCD，G, F分别为AB, BC的中点，E为AC上一点，且AE = 3EC，求证：EF为
异面直线AC与HF的公垂线．
25
08 空间直线与平面的位置关系
巩固练习
考点1：空间直线和平面的位置关系
A组
1
单选题
下列命题正确的是（ ）
A. 若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2
B. 若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥α
C. 若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2
D. 直线l与平面α所成角的取值范围是(0, π
2 )
2
填空题
在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB＝4，AD＝3，AA ＝2，则直线A D与直线CC 的距离为
．
1
1
1
1
1
1
1
3
填空题
已知正六边形ABCDEF的各顶点均在平面α的同侧，点A，C，F到面α的距离分别为9，10，20，则点D到平面α的距
离为
．
B组
1
解答题
正方体ABCD-A B C D 中.求证:
（1）A C //平面ACB ；
（2）BD ⊥平面AB C
1
1
1
1
1
1
1
1
1
26
2
填空题
直线m和平面α所成角为π
6 ，则直线m和平面α内任意直线所成角的取值范围是
考点2：直线与平面平行、垂直的性质和判定
A组
1
解答题
如图，在正方体ABCDA B C D 中，E，F分别是B B，DC的中点，求证：AE⊥平面A D F.
1
1
1
1
1
1
1
B组
1
解答题
如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PD上的点，且AM
MB = DN
NP ，求证：直线MN∥平面
PBC.
27
考点3：求直线和平面所成角
A组
1
解答题
如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．
(1)
求证：PM⊥平面ABC；
(2)
求直线PB与平面ABC所成角的大小．
B组
1
解答题
如图所示，ABCD −A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M是棱A1B1的中点，N是棱A1D1的中点.
(1)
求直线AN与平面ABCD所成角的大小；
(2)
求异面直线AN与BM所成角的大小.（计算结果用反三角函数表示）
28
考点4：三垂线定理的应用
A组
1
单选题
正方体ABCD—A B C D 中，EF是异面直线AC和A D 的公垂线，则EF和BD 的关系是
A. 相交但不垂直
B. 垂直相交
C. 异面
D. 平行
1
1
1
1
1
1
2
双空题
在长方体ABCDA B C D 中，AB＝AA ＝2BC＝2，则异面直线B D 与CD的距离为
；异面直线BD 与CD的距
离为
．
1
1
1
1
1
1
1
1
29
09 空间平面与平面的位置关系
巩固练习
考点1：平面与平面的位置关系
A组
1
单选题
下列命题中错误的是（ ）
A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2
单选题
在空间中，已知命题p: △ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，命题q：平面α∥平面ABC，则p是q的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
考点2：面面平行、垂直的性质与判定
A组
1
解答题
如图，A, B, C为不共线的三点，AA1//BB1//CC1，且AA1 = BB1 = CC1；求证：平面ABC//平面A1B1C1；
30
2
解答题
如图，已知四棱锥S −ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA = 2，E是侧棱SC上的一
点．
求证：平面EBD⊥平面SAC；
B组
1
解答题
如图，α//β//γ，直线a与b分别交α, β, γ于点A，B，C和点D，E，F，求证AB
BC = DE
EF .
31
2
解答题
如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心．
(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比．
考点3：求二面角的平面角
A组
1
解答题
如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC = 6，AB = 4√3，∠ABC = 30∘．
(1)
求证：AC⊥BD．
(2)
若二面角B −AC −D为45∘，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．
32
2
解答题
如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD．若PA = AD，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大
小．
B组
1
解答题
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2√2，∠PAB＝60°，
(1)
证明：AD⊥平面PAB；
(2)
求二面角P﹣BD﹣A的大小．
33
2
解答题
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90 ，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥
底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P—DC—B的大小；
。
34
10 柱体
巩固练习
考点1：棱柱和圆柱的结构特征
A组
1
以下说法正确的是（ ）
A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D. 底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
2
如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的
转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 12
B组
1
有下列命题：
①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；
③侧面都是平行四边形的多面体是棱柱；
④体对角线相等的平行六面体是长方体.
共中正确命题是
（填号）.
35
考点2：柱体的体积和表面积
A组
1
已知长方体的长、宽、高之比为3 : 2 : 1，对角线长是2√14，求此长方体的表面积和体积.
2
若正四棱柱的底面周长为4，高为2，则该正四棱柱的表面积为
.
3
已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为
.
4
圆柱的侧面展开图是边长为2π和3π的矩形，则圆柱的体积为
.
5
如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转120∘得到的，AB = 3, AD = 2
.
(1)
求这个几何体的体积；
(2)
这个几何体的表面积.
36
B组
1
已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆
柱的侧面积为
．
2
圆柱的轴截面是正方形，且面积为16，则圆柱的侧面积为
．
3
已知正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，AB = 2, AA1 = 3.
(1)
求正四棱柱ABCD −A1B1C1D1的表面积；
(2)
求证：平面A1ACC1⊥平面A1BD．
4
正四棱柱ABCD −A1B1C1D1的底面边长AB = 3，若直线B1C与底面ABCD所成的角的大小为arctan 3，则正四棱
柱ABCD −A1B1C1D1的侧面积为
．
37
11 椎体
巩固练习
考点1：椎体的结构特征
A组
1
填空题
对于四面体ABCD，下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是ΔBCD的三条高线的交点；
③若分别作ΔABC和ΔABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
2
单选题
如果三棱锥S −ABC的底面不是等边三角形，两组对棱互相垂直，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是
ΔABC的
A. 外心
B. 内心
C. 垂心
D. 重心
3
填空题
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB = 90∘，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有
个.
38
B组
1
单选题
下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的编号是（ ）
A. ③④
B. ①②
C. ①③④
D. ①④
考点2：椎体的体积与表面积
A组
1
填空题
已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为
2
填空题
如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为
.
3
填空题
设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为√3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥
的侧面积为
.
4
单选题
一个直角三角形的两条直角边长分别为1和√3，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，
则这两个圆锥的体积的比值为（ ）
A. 1
B. √3
C. 3
D. 3√3
5
填空题
已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为2πcm2，则该圆锥的体积为
cm3．
6
填空题
已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于
.
7
填空题
已知在正四棱锥P −ABCD中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为
√2
2 ，则该四棱锥的侧面积等于
．
39
8
单选题
在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底
面中心．这个几何体的表面积为（ ）
A. (5 + √5)π
B. (4 + √3)π
C. √5π
D. (6 + √5)π
9
填空题
我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某
几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为
.
B组
1
填空题
底面半径长为1，母线长为√2的圆锥的体积为
．
2
填空题
圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为
．
3
填空题
在棱长为1的正方体ABCD −A1B1C1D1中，P是C1B1的中点，若E, F都是AB上的点，且|EF| = 1
2 , Q是A1B1上的
点，则三棱锥P −EFQ的体积是
.
4
填空题
三棱柱ABC −A1B1C1的各条棱长均为2, ∠A1AB = ∠A1AC = ∠BAC = 60∘，则该三棱柱的侧面积为
.
5
单选题
三棱锥P −ABC中，E，F分别为PB, PC的中点，则平面AEF 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为
（ ）
A. 1∶3
B. 1∶4
C. 2∶3
D. 1∶2
40
6
填空题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D −A1ABB1的体积V1，三棱柱ABC −A1B1C1的
体积为V2，则V1 : V2＝
．
7
填空题
将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆
锥与较大圆锥的体积之比为
41
12 多面体与旋转体
巩固练习
考点1：多面体的结构特征与应用
A组
1
有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转
所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2
给出下列几个命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是
.
考点2：旋转体的结构特征与应用
A组
1
下图是由哪个平面图形旋转得到的
A．
B．
C．
D．
42
2
将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为
．
3
已知圆锥的侧面积为2π
9 ，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为
.
B组
已知△ABC中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为V1，V2，V3，
则（ ）
A.
1
V 2
1
+
1
V 2
2
=
1
V 2
3
B.
1
V1
+ 1
V2
= 1
V3
C.
1
V 2
1
+
1
V 2
2
=
2
V 2
3
D.
1
V1
+ 1
V2
= 2
V3
最短路径问题
A组
1
如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为4，OA, OB是底面半径，且∠AOB = 900，M为线段AB的中
点，C为线段PB的中点.
（1）若圆锥的侧面积为48π，求圆锥的体积；
（2）若PO = 4，求异面直线PM与OB所成的角的大小；
（3）若PB = 6，求圆锥侧面上A点到C点的最短距离.
43
2
如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面ΔPAB，C为PA中点，PA = 4√3，PO = 6，则从点C经圆
锥侧面到点B的最短距离为
.
44
