目 录
1
01 数列通项求和专题复习...............................................................................................2
02 数列的性质复习.......................................................................................................15
03 平面及其基本性质....................................................................................................21
04 空间直线与直线的位置关系......................................................................................36
05 空间直线与平面的位置关系......................................................................................47
06 空间平面与平面的位置关系......................................................................................60
07 柱体.........................................................................................................................72
08 锥体.........................................................................................................................82
09 多面体与旋转体.......................................................................................................95
10 球...........................................................................................................................102
11 空间向量的概念......................................................................................................109
12 空间中的向量方法..................................................................................................118
01 数列通项求和专题复习
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握累加法、累乘法求数列通项
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握待定系数法求数列通项
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握取倒数法、取对数法求数列通项
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握数列前n项和S 与通项的关系
n
目标5
★★★☆☆☆ 操作
掌握倒序相加的求和方法
目标6
★★★☆☆☆ 操作
掌握错位相减的求和方法
目标7
★★★☆☆☆ 操作
掌握裂项相消的求和方法
目标8
★★★☆☆☆ 操作
掌握分组求和的求和方法
知识清单
2
知识点1——累加法和累乘法
考点1：累加法
知识笔记
累加法
形如an −an−1 = f(n)(n ≥2)可以用累加法.
经典例题
例1
定义数列{an}的 “差分数列”{bn}：bn = an+1 −an.若数列{an}的 “差分数列”{bn}是公差为2的等差数列，且b1 = 3
，a2 = 4，则（ ）
A. a1 = 1
B. b2 = 5
C. an = n2
D. 数列{an}的前n项和Sn = n (n + 1) (2n + 1)
3
变式1-1
南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二
层有3个，第三层有6个⋯，设各层球数构成一个数列{an}，且满足an+1 −an = f(n)，则
a1 + a2
2 + a3
3 + ⋅⋅⋅+ a10
10 =（
）
A. 65
2
B. 65
C. 67
D. 67
2
3
考点2：累乘法
知识笔记
累乘法
形如：an
an−1
= f(n)(n ≥2)可以用累乘法.
经典例题
例2
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1 = 2，且n ( 1
Sn
−
1
Sn+1
) =
2
Sn+1
，则a5 =（
）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 6
变式2-1
已知数列{an}满足a1 = 2，(n + 1)an+1 = 2(n + 2)an，求数列{an}的通项公式.
4
知识点2——待定系数法
考点3：待定系数法
知识笔记
待定系数法
形如：an = αan−1 + β(n ≥2)、an+1 = pan + f(n)(p ≠1)（其中f (n)为等差数列或者等比数列）等都可以用待定系
数法，构造新数列. 例如，
（1）an −2an−1 = 3⇒构造等比数列：an + k = 2(an−1 + k)；
（2）an −2an−1 = 3n⇒构造等比数列：an + kn + b = 2 [an−1 + k(n −1) + b]；
（3）an −2an−1 = 3n⇒构造等比数列：an + k ⋅3n = 2 (an−1 + k ⋅3n−1)；
（4）an −2an−1 = 2n⇒构造等差数列：an
2n −an−1
2n−1 = 1.
经典例题
例3
在数列 {an} 中， a1 = 1, an+1 = 2an + 3n + 1 ，则 a9 =
变式3-1
若a1 = 1，an+1 = 2an −3n，n ∈N∗，则an = ；
例4
已知数列{an}满足an+1 = 2an + 4 ⋅3n−1, a1 = −1，则数列{an}的通项公式为 .
变式4-1
已知数列{an}满足an+1 = 3an + 5 × 2n + 4，a1 = 1，求数列{an}的通项公式.
5
知识点3——取倒数法、取对数法
考点4：取倒数法
知识笔记
取倒数法
取倒数法，形如：an= kan−1
an-1+t (n ≥2).
经典例题
例5
已知数列{an}满足a1 = 1
3 ，an −an+1
anan+1
= 2，则a10 =( )
A.
1
21
B.
1
12
C. 12
D. 21
变式5-1
在数列{an}中， a1 = 1
3 ，6anan−1 + an −an−1 = 0 (n ⩾2, n ∈N∗)，下列说法正确的是(
)
A. 数列{an}是等比数列
B. 数列{an + 2}是等差数列
C. an =
1
6n −3
D. 数列{an}是递增数列
考点5：取对数法
知识笔记
取对数法
取对数法，形如：an=an-1
k (n ≥2)可以用对数法，一般情况下取以首项为底的对数.
6
经典例题
例6
数列{an}中，若an+1 = a3
n(n ∈N ∗)，a1 = 3，则{an}的通项公式为
.
变式6-1
设正项数列 {an} 满足 a1 = 1, an = 2a2
n−1(n ≥2), 求数列 {an} 的通项公式.
知识点4——数列前n项和S 与通项的关系
n
考点6：利用S 求通项
n
知识笔记
利用S 求通项
n
形如：Sn = f(an, n) ，利用公式an = {
将所给条件变为an = f(an−1, n)来求解，有时也可以利用
an = Sn −Sn−1(n ≥2)将所给条件变为Sn = f(Sn−1, n)来求解.
S1(n = 1)
Sn −Sn−1(n ≥2)
经典例题
例7
设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn = 3n + 3，则an =
．
7
变式7-1
设数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1
n + 1 −Sn
n = −1，S1 = 32，则下列说法正确的是（
）
A. {an}是等差数列
B. S3，S6 −S3，S9 −S6成等差数列，公差为−9
C. 当Sn取得最大值时，n = 16
D. Sn ≥0时，n的最大值为32
变式7-2
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn = 1
4 (an + 1)2.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
设bn =
1
an ⋅an+1
，求数列{bn}的前n项和Tn；是否存在正整数m, n(2 < m < n)，使得T2, Tm, Tn成等差数
列？若存在，求出m, n的值，若不存在，说明理由；
例8
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，an+1 = 3Sn（n为正整数），则S6 =
．
变式8-1
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，an+1 = Sn + 2，则S6 =
．
8
知识点5——倒序相加、错位相减
考点7：倒序相加法
知识笔记
倒序相加
1：使用条件：倒序相加法主要是针对具有对称性的数列(或函数)，特别是等差数列或某些对称排列的数列（或函
数）
2：使用步骤：
①写出原数列的前n项和；
②写出原数列的倒序数列；
③将两个数列的对应项相加，得到新的数列，其每项之和均为a1 + an ；
④计算新数列的和，即为n (a1 + an) ；
⑤因此原数列的和Sn = n
2 (a1 + an) 。
3.经典范例：f(x) =
1
1 + x ,
x
1 + x ,
x2
1 + x2 : f(x) + f( 1
x ) = 1
f(x) =
4x
2 + 4x ,
bx
√b + bx , : f(x) + f(1 −x) = 1
sin2x + sin2( π
2 −x) = 1等可以用倒序相加法.
经典例题
例9
已知函数f (x) =
2x
2x −1 ，利用教材中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f (
1
2023 ) + f (
2
2023 ) + ⋯+ f ( 2022
2023 ) =（
）
A. 2020
B. 2022
C. 4040
D. 4044
变式9-1
已知函数f (x) = (x + 1)3 + 1，正项等比数列{an}满足a1012 = 1
10 ，则
2023
∑
k=1
f (lg ak) .
9
考点8：错位相减法
错位相减
(1)使用条件：错位相减法主要针对cn = an ⋅bn，求cn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列.
(2)使用步骤：
①:写出原数列和错位数列
②:错位相减
③:等比数列求和
④:整理结果
经典例题
例10
已知数列{an}中，a3 = 1
8 , 2an+1 = an +
1
2n−1 .
(1)
证明：{2n ⋅an}为等差数列；
(2)
求{an}的前n项和Sn.
变式10-1
已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn + 1 = 3an，数列{bn}满足b1 = a1，n (bn+1 −bn) = bn.
(1)
求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)
求数列{anbn}的前n项和Tn.
10
知识点6——裂项相消、分组求和
考点9：裂项相消
知识笔记
裂项相消
(1)使用条件：如果数列的通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后剩下有限项的和，就可
以采用裂项相消求和。
(2)经典例子：（1）
1
n (n + 1) = 1
n −
1
n + 1
（2）
1
n (n + 1) (n + 2) = 1
2 (
1
n (n + 1) −
1
(n + 1) (n + 2) )
（3）
1
(2n −1) (2n + 1) = 1
2 (
1
2n −1 −
1
2n + 1 )
（4）
1
√a + √b
=
1
a −b (√a −√b)
（5）
f(n)
an ⋅an+1
= k ( 1
an
−
1
an+1
)
特别地，若数列{an}为等差数列，公差为d，则
1
an ⋅an+1
= 1
d ⋅( 1
an
−
1
an+1
)
经典例题
例11
设a1, a2, a3, ⋯, an是首项为3且公比为3√3的等比数列，则满足不等式
log3 a1 −log3 a2 + log3 a3 −log3 a4 + ⋯+ (−1)n+1 log3 an > 18的最小正整数n的值为
．
变式11-1
正项数列{an}满足a1 = 1，a2 = 1
3 ，且{anan+1}是公比为1
3 的等比数列，则使不等式
1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+ ⋅⋅⋅+
1
a2n+1
> 2019成立的最小整数n为
.
11
考点10：分组求和
知识笔记
分组求和
使用条件：
①:多个数列相加减混合，拆项求和；
②:周期性函数，合项求和.
经典例题
例12
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4 = 5，且a1，a3，a7成等比数列.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
设bn = an cos πan
2 ，求数列{bn}的前2025项和.
变式12-1
已知数列{an}满足对任意正整数p, q，恒有ap+q = ap + aq，且a1 + a2 = 3，bn = a2n(−1)
n
∑
i=1
ai，则{bn}的前100项和
为（
）
A. 2525
B. 5050
C. 10100
D. 20200
12
例13
若有穷数列a1, a2, ⋯, an（n是正整数），满足ai = an−i+1（i ∈N，且1 ≤i ≤n)，就称该数列为“对称数列”.
(1)
已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3成等比数列，b2，b3，b4成等差数列b2 = 2，b4 = 6，试写
出{bn}的每一项；
(2)
已知{cn}是项数为2k + 1 (k ≥1)的对称数列，且ck+1, ck+2, ⋯, c2k+1构成首项为−90，公差为3的等差数列，
数列{cn}的前2k项和为S2k，则当k为何值时，S2k取到最小值？最小值为多少？
(3)
设数列{dn}是项数为2m −1（m ∈N ∗且m ≥2）的“对称数列”，且满足|dn+1 −dn| = 3，记Sn为数列{dn}的
前n项和．若d1 = 2187，S2m−1 = 2187，求m的最小值．
13
变式13-1
{an}是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn(n ∈N ∗),
{bn}是等差数列.已知
a1 = 1,
a3 = a2 + 2,
a4 = b3 + b5,
a5 = b4 + 2b6.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn =
(k ∈N+)，求数列{cn}的前2n项和为Q2n；
（3）若Cn = (3n −2)an 则数列{cn}前n项和Tn
①求Tn
②若对任意n ≥2, n ∈N ∗，均有(Tn −5)m ≥6n2 −31n + 35恒成立，求实数m的取值范围.
（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？
（5）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到
一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，⋯，求这个新数列的前n项和Pn.
（6）设dn = {
，其中k ∈N ∗,求
2n
∑
i=1
di
(n ∈N∗)
（7）是否存在新数列{cn}，满足等式 ∑n
i=1 bicn+1−i = 2n+1 −n −2 成立，若存在,求出数列{cn}的通项公式；若
不存在，请说明理由.
（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
bn ⋅bn+2 , n = 2k −1
an ⋅bn, n = 2k
bn, n ≠2k
bn(log2bn + 1), n = 2k
14
02 数列的性质复习
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握等差与等比数列的单调性问题
目标2
★★★★★☆ 迁移
运用数列单调性求解相关问题
知识清单
15
知识点1——等差、等比数列的单调性
考点1：等差等比的单调性
知识笔记
等差数列的单调性
由等差数列的通项公式：an = a1 + (n −1)d, (n = 1, 2, 3.. . . . . )可知，等差数列为直线上的一些孤立的点，因此等差
数列的单调性可以类比一次函数，取决于公差d.
d > 0时，数列严格增；d < 0时，数列严格减；d = 0时，数列为常值数列.
等比数列的单调性
由等比数列的通项公式：an = a1qn−1n = 123 …可知，因此等比数列的单调性可以类比指数函数，取决于公比q .
当q ∈(0, 1)时，若首项为正，则数列严格减，首项为负，则数列严格增；
当q ∈(1, +∞)时，若首项为正，则数列严格增，首项为负，则数列严格减；
当q = 0时，数列为常值数列；
当q < 0时，数列各项符号正负交替；
经典例题
例1
设{an}为等比数列，则“对于任意的m ∈N∗, am+2 > am”是“{an}为递增数列”的（
）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
16
变式1-1
记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Sn
n
+ n = 2an + 1．
(1)
证明：{an}是等差数列；
(2)
若a4, a7, a9成等比数列，求Sn的最小值．
例2
已知数列{an}是首项为9，公比为1
3 的等比数列．
(1)
求1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+ 1
a4
+ 1
a5
的值；
(2)
设数列{log3 an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值，并指出Sn取最大值时n的取值．
17
变式2-1
设{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn．
(1)
设a1 = 40，a6 = 38，求Sn的最大值；
(2)
设a1 = 1，bn = 2an (n ∈N, n ≥1)，数列{bn}的前n项和为Tn．如果对任意的正整数n，都有Tn ≤20，证明数
列{bn}是等比数列，并求d的取值范围．
18
变式2-2
{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d ≠0，{bn}是等比数列，若a1 = b1，a1012 = b1012，Sn和Tn分别是{an}和
{bn}的前n项和，则（
）
A. S2023 > T2023
B. S2023 < T2023
C. S2023 = T2023
D. S2023和T2023的大小关系不确定
知识点2——数列单调性的应用
考点2：数列单调性的应用
知识笔记
数列单调性的判断
求数列单调性的方法：
（1）an+1 −an的正负
① 若an+1 −an > 0，则{an}为严格增数列；
② 若an+1 −an < 0，则{an}为严格减数列；
③ 若an+1 −an = 0，则{an}为常值数列；
（2） 利用函数性质（注意数列n为正整数的条件）.
恒成立与最值问题
（1）数列中恒成立问题，与函数类同，先考虑分离参数，问题转化以后，考虑另一侧的最大值或最小值，这时就
我们把n看作函数里的自变量，就可以求函数在给定范围内的最小值.再考虑函数的单调性，比较F(n + 1)与F(n)的
大小即可.
（2）数列中有解问题也可以分离参数来做，注意区分有解问题与恒成立问题.若s < f(x)恒成立，则s < f(x)min，
若s > f(x)恒成立，则s > f(x)max；若s < f(x)有解，则s < f(x)max，若s > f(x)有解，则s > f(x)min.最后要对两
类取交集.
19
经典例题
例3
已知数列{an}的通项公式为an = n3
3n ，求使an取得最大值时的n的值．
变式3-1
已知数列{an}的通项公式为an = (20 −n) ⋅( 3
2 )
n
，则an取最大值时，n =
.
例4
已知an = n −√2022
n −√2023
（n为正整数），且数列{an}共有100项，则此数列中最大项为第
项.
变式4-1
设常数b为整数，数列{an}的通项公式为an = (n + b)2 + b
2 ，若am + am+1 + am+2（m ≥1，m ∈Z）的最小值为−7
，则b＝
．
例5
设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1 = qSn + S1，q > 1，对任意的n ≥1，n ∈N均有Sn+1 ≤4an，则q的取值为
.
变式5-1
若数列{an}满足a1 = 0，a4n−1 −a4n−2 = a4n−2 −a4n−3 = 3，a4n
a4n−1 = a4n+1
a4n
= 1
2 (n ∈N ∗)，且对任意n ∈N ∗都有
an＜m，则m的最小值为
.
20
03 平面及其基本性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解点、线、面的性质与关系
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用斜二测画法画直观图
目标3
★★★★☆☆ 识别
辨析三大公理及其推论
目标4
★★★★★☆ 迁移
掌握点线面位置关系的证明
知识清单
21
知识点1——空间中的点、直线和平面
考点1：平面基本性质以及点、线、面的关系
知识笔记
定义与表示
（1）平面的定义：平面是平的、没有厚度的、可以无限延伸的图形.
（2）点、直线、平面的表示方法：用写英文字母A，B，C等表示点，用小写英文字母a，b，c 表示直线，用 小
写希腊字母α，β，γ 表示平面.
点、直线与平面的位置关系
位置关系
符号表示
图形表示
点与直线
点A在直线l上，也称直
线l经过点A
A ∈l
点B不在直线l上，也称
直线l不经过点B
B ∉l
点与平面
点A在平面α上，也称直
线α不经过点A
A ∈α
点B不在平面α上，也称
平面α不经过点B
B ∉α
直线与平面
直线l在平面α上，也称平
面α经过直线l
l ⊂α
直线l与平面α相交于点A
l ⋂α = A
直线l与平面α平行
l ∥α
22
平面与平面
平面α与平面β相交于直
线l
α ⋂β = l
平面α与平面β平行
α ∥β
经典例题
例1
填空题
如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是
.（填序号）①三个平面两两平行；②
三个平面两两相交，且交于同一条直线；③三个平面两两相交，且有三条交线；④两个平面平行，且都与第三个平
面相交
变式1-1
填空题
下列命题中，所有正确命题的序号是
.
①两个相交平面把空间分成4部分.
②有两个角是直角的四边形是平面图形.
③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.
④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上.
例2
填空题
3个不同的平面最多将空间分成a部分，最少将空间分成b部分，则b −a =
．
变式2-1
填空题
在平面上画n条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k条直线将平面分成了f(k)个区
域，那么k + 1条直线可把平面分成f(k)+
个区域．
23
例3
单选题
下列命题中正确的是（
）
A. 两个平面可以有且仅有一个公共点
B. 三条相互平行的直线必在同一个平面内
C. 两两相交的三条直线一定共面
D. 过不在一直线上的三点有且仅有一个平面
变式3-1
单选题
下列命题
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
其中真命题的个数是（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
例4
解答题
如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1，中，H是B1D1的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证：
(1)
证明；F，G，H，B四点共面；
24
变式4-1
如图，棱长为2的正方体ABCD −A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1D1、C1C、A1A的中点.
(1)
证明：M、N、A1、B四点共面；
例5
单选题
如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱C1D1、AA1、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正
方体ABCD −A1B1C1D1相交形成的截面是一个（
）
A. 三角形
B. 平面四边形
C. 平面五边形
D. 平面六边形
25
变式5-1
单选题
用一个平面去截正方体，如果截面是三角形，则截面三角形的形状不可能是（
）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形
变式5-2
单选题
如图，在正方体中，E，F，G分别为AD，B1B，D1C1上靠近A，B1，D1的三等分点，M1，M2，N1，N2，P1，
P2分别是AB，B1C1，DD1的三等分点，M3，N3，P3为分别是AB，B1C1，DD1的中点，则平面EFG过（
）
A. M1，N1，P1
B. M2，N2，P2
C. M3，N3，P3
D. 以上都不正确
例6
解答题
P，Q，R三点分别在直四棱柱AC 的棱BB ，CC 和DD 上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
1
1
1
1
26
变式6-1
解答题
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M，N，P分别为C1D1，AD，CC1的中点，棱长为a.
(1)
请在图一作出过M，N，P三点的平面α截正方体所得的截面β（保留作图痕迹）.
变式6-2
解答题
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M，N，P分别为C1D1，AD，CC1的中点，棱长为a.
(1)
请在图一作出过M，N，P三点的平面α截正方体所得的截面β（保留作图痕迹）.
(2)
计算截面β的周长.
27
知识点2——三大公理及其推论
考点2：三大公理及其推论
知识笔记
三大公理
公理1：如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）
用集合语言表述：A ∈l, B ∈l, A ∈α, B ∈α ⇒l ⊂α；
公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）
用集合语言表述：A, B, C不共线⇒A, B, C确定一个平面；
推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面；用集合语言表述：A ∉l ⇒A, l确定平面α；
推论2：两条相交的直线确定一个平面；用集合语言表述：a ⋂b = A ⇒a, b确定平面α；
推论3：两条平行的直线确定一个平面.；用集合语言表述：a//b ⇒a, b确定平面α；
公理3：如果不同的两平面α、β 有一个公共点A，那么α、β的交集是过点A的直线l.（平面与平面相交）
用集合语言表述：A ∈α ⋂β ⇒α ⋂β = l且A ∈l.
28
经典例题
例7
单选题
当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（
）
A. 三点确定一平面
B. 不共线三点确定一平面
C. 两条相交直线确定一平面
D. 两条平行直线确定一平面
变式7-1
过空间任意一点引三条不共面的直线，它们所确定的平面个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 1或3
例8
填空题
下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形
一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其
中正确的是
.
变式8-1
单选题
下列命题是真命题的是（
）
A. 四边相等的四边形一定是平面图形
B. 空间一个点与一条直线可以确定一个平面
C. 一个平面的面积可以为10km2
D. 相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面
29
例9
解答题
如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O
三点共线．
变式9-1
解答题
如图，已知平面α, β，且α ∩β = l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB ⊂α, CD ⊂β.求证：AB, CD, l共点．
例10
单选题
设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同
一个平面上”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
30
变式10-1
填空题
空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，
C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是
___________个
例11
解答题
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，G，H分别是B1C1，C1D1的中点．
（1）画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由；
（2）求证：B，D，H，G四点在同一平面内．
31
变式11-1
解答题
空间四边形ABCD中，点M, N, P, Q分别在AB, BC, CD, DA上，且AM
MB = CN
NB = CP
PD = AQ
QD = k．求证：
M, N, P, Q四点共面．
知识点3——直观图画法
考点3：直观图斜二测画法
知识笔记
斜二测画法的一般步骤
（1）画平面直角坐标系xoy，再画一个斜坐标系x
′oy
′ ，使得 ∠x
′oy
′ = 45∘ ；
（2）与原先x 轴平行方向的线段保持不变，与原先y 轴平行方向的线段长度变为原来的一半.
32
经典例题
例12
填空题
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1 = 2，△ABC的面积为2√2，则A1B1的长为
.
变式12-1
填空题
将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为ΔA′B′C′，则ΔA′B′C′中最短边的边长为
.（精确到0.01）
例13
填空题
如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′ = 1，那么原三角形ABO面积
是
.
变式13-1
有一块多边形的菜地，其水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC = 45∘,
AB = AD = 10m．DC⊥BC，则这块菜地的面积为 m2．
33
变式13-2
单选题
如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45∘，腰和上底均为1
2 的等腰梯形，那么原平面图形的面积
是（
）
A. 2 + √2
B. 1 + √2
4
C. 2 + √2
4
D. 1 + √2
变式13-3
填空题
用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图如图所示，已知O′D′ = D′A′ = D′B′ = A′B′ = 2，则
△OAB的面积为
.
变式13-4
填空题
一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面
图形的面积为
.
例14
填空题
如图所示，一个水平放置△AOB的斜二测画法画出的直观图是△A′O′B′，其中O′B′ = 4, A′D′O′C′为平行四边形，
则原△AOB的周长是
．
34
变式14-1
填空题
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O′A′ = 3，O′C′ = 1，则原图形
周长是
．
变式14-2
已知四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A′B′C′D′，如图所示， A′B′ = 1，A′D′ = 2，B′C′ = 3，
A′B′⊥B′C′，A′D′//B′C′，则四边形ABCD的周长为（
）
A. 8 + 2√3
B. 6 + √2
C. 7 + 2√3
D. 6 + √2 + 2√3
例15
填空题
如图所示，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知A′B′ ∥y′轴，O′B′ = 4，且△ABO的面积为
16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为
．
变式15-1
填空题
对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的
倍．
35
04 空间直线与直线的位置关系
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解空间中两直线的位置关系
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解异面直线的定义
目标3
★★★☆☆☆ 操作
运用公垂线的概念确定公垂线
目标4
★★★★★☆ 掌握
掌握异面直线所成角的求法
知识清单
36
知识点1——两直线的位置关系
考点1：空间中直线与直线的位置关系
知识笔记
共面直线
（1）相交直线：直线l和直线m相交于一点A，记作l ⋂m = A.
（2）平行直线：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
推论1：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线.
（2）异面直线的画法：画两条异面直线时，通常需要用一个或两个平面来衬托.
（3）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面
直线.
经典例题
例1
单选题
若l是平面α与平面β的交线，直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，则下列命题正确的是（
）
A. l至少与l1、l2中的一条相交
B. l与l1、l2都相交
C. l至多与l1、l2中的一条相交
D. l与l1、l2都不相交
37
变式1-3
单选题
若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（
）
A. 不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B. 过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C. 过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D. 过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
例2
单选题
如图所示，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是
(
)
A. DD1
B. AC
C. AD1
D. B1C
变式2-1
多选题
如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1, C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有（
）
A. 直线AM与CC1是相交直线
B. 直线BN与MB1是异面直线
C. AM与BN平行
D. 直线A1M与BN共面
38
考点2：异面直线的判定
经典例题
例3
解答题
（1）用文字语言和符号语言叙述异面直线判定定理：
文字语言：过______一点和______一点的直线，和此平面上______的任何一条直线是异面直线；
符号语言：若______，则直线AB与直线a异面．
（2）用反证法证明异面直线判定定理．
变式3-1
解答题
给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定
的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四
面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线．
(1)
请你用异面直线判定定理证明该结论；
(2)
请你用反证法证明该结论．
39
知识点2——异面直线所成角
考点3：求异面直线所成角
知识笔记
异面直线所成角
（1）定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角.
（2）思想方法：平移，转化为共面直线所成角，即化空间问题为平面问题.
（3）异面直线所成角的范围：θ ∈(0, π
2 ]
经典例题
例4
解答题
如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，AE
ED = BF
FC = 1
2 ．
(1)
求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)
若AB = CD = 3，EF = √7，求AB、CD所成角的大小．
40
变式4-1
解答题
在正方体ABCD－A B C D 中，
(1)求AC与A D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A C 与EF所成角的大小．
1
1
1
1
1
1
1
例5
填空题
如图，长方体ABCD −A1B1C1D1中，AB = BC = 6，点E在线段C1D1上，且2D1E = EC1, M为线段BE的中点，
若BE = 2√14，则异面直线AD1与CM所成角的余弦值为
．
变式5-1
填空题
如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60∘，则MN与CD
所成的角的大小为
．
41
例6
解答题
一个正方体纸盒展开后如图 1 所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②MC//AB；③EF与MN是异面直线；④MN//CD；
(1)
以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）
(2)
如图 2 ，四面体ABCD中，AB = CD，且直线AB与CD成60∘角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面
直线AB和MN所成角的大小．
变式6-1
解答题
如图，ABCD −A1B1C1D1是棱长为1的正方体，P为面对角线AD1上的动点（不包括端点），PM⊥平面ABCD交
AD于点M，MN⊥BD于N．
(1)
设AP = x，将PN长表示为x的函数f(x)，并求此函数的值域；
(2)
当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．
42
变式6-2
解答题
在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B是异面直线，并求
出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
例7
填空题
直线a、直线b是成60
∘角的两条异面直线，点O为空间中一点，则过点O与直线a、直线b都成60
∘角的直线有
条．
变式7-1
填空题
空间中存在a, b, c三条不同的直线，直线a与直线b所成角为π
12 ，直线a与直线c所成角为π
4 ，直线b与直线c所成角的
取值范围为
．（用弧度制表示）.
43
知识点3——公垂线
考点4：公垂线的性质及判定
知识笔记
公垂线
（1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交.
（2）定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面
直线的公垂线段，公垂线段的长度叫做异面直线的距离.
经典例题
例8
单选题
对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平
面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为
真命题的个数为（
）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
变式8-1
PQ是异面直线a, b的公垂线，a⊥b, A ∈a, B ∈b, C在线段PQ上(异于P, Q)，则△ABC的形状是（
）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 三角形不定
例9
解答题
在空间四边形ABCD中，AB = CD，AC = BD，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC
的公垂线．
44
变式9-1
解答题
已知在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，AB = 1，AA1 = 2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．求证：EF为异面
直线BD1与CC1的公垂线．
例10
解答题
如图，已知CD是异面直线CA、DB的公垂线．CA⊥α，垂足为A；DB⊥β，垂足为B．α ∩β = EF．求证：
CD//EF．
45
变式10-1
已知A, B在异面直线a、b上，且AB是异面直线a、b的公垂线段，AB = 2，且a与b成30°角，在直线a上取AP = 4,
则点P到直线b的距离为 ．
变式10-2
如图，在空间四边形ABCD中，AB = BD = AD = 2，BC = CD = √7
2 ，AC = 3
2 ，延长BC到E，使BC = CE,
取BD中点F，求异面直线AF与DE的距离和它们所成的角．
46
05 空间直线与平面的位置关系
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解空间中直线与平面的位置关系
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用定义求解点到平面、直线到平面的距离
目标3
★★★★☆☆ 识别
辨析且合理运用三垂线定理
目标4
★★★★★☆ 迁移
掌握直线与平面所成角的求法
目标5
★★★★★☆ 迁移
掌握直线与平面平行、垂直的证明方法
知识清单
47
知识点1——直线与平面的位置关系
考点1：空间直线和平面的位置关系
知识笔记
直线与平面的位置关系
（1）直线在平面上——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点
距离
（1）点到平面的距离：平面外的点到平面的垂线距离叫做点到平面的距离.
（2）直线到平面的距离：如果一条直线与一个平面平行，那么此直线上任意一点到该平面的距离就定义为此直
线到与它平行的平面的距离.
经典例题
例1
单选题
已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（
）
A. l与β垂直
B. l与β无公共点
C. l与β至少有一个公共点
D. 在β内，l与β平行，l与β相交都有可能
变式1-1
已知平面α, β，直线m, n满足α⊥β，α ∩β = l，m⊥α，n//β，则（
）
A. m//β
B. n⊥α
C. n//l
D. m⊥l
48
例2
填空题
下列四个命题：
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a不平行于平面α且a ⊄ α，则平面α内不存在与a平行的直线；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
其中，真命题的序号是
.
变式2-1
下列命题中正确的个数是（
）
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
例3
填空题
已知△ABC所在平面外一点P，且PA, PB, PC两两垂直，则点P在平面ABC内的射影应为△ABC的
心.
变式3-1
单选题
已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影．
①点P到△ABC的三个顶点的距离相等；
②点P到△ABC的三边的距离相等且O点在△ABC内；
③PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA．
当点P分别满足以上条件时，点O一定是△ABC的（
）
A. 外心、垂心、内心；
B. 垂心、内心、外心；
C. 内心、外心、垂心；
D. 外心、内心、垂心．
49
考点2：直线与平面平行、垂直的性质和判定
知识笔记
直线与平面平行
（1）判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行.
（2）性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线
平行.
直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直.
（2）判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
推理1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直.
推理2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直.
经典例题
例4
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA = PD，E为AD的中
点．
(1)
求证：PE⊥BC；
(2)
在线段PC上是否存在点M，使得DM//平面PEB？请说明理由
50
变式4-1
填空题
如图，已知正方体ABCD −A1B1C1D1的棱长为a，点E, F, G分别为棱AB, AA1, C1D1的中点，下列结论中，正确
结论的序号是 .
①B1D1//平面EFG；②BD1⊥平面ACB1；③异面直线EF与BD1所成角的正切值为
√2
2 ；
例5
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥AC，AB = AC，AA1 = 2AB，点A1在底面ABC的射影为BC的中点O，
点M为B1C1的中点.
(1)
求证：A1M⊥平面A1BC；
(2)
求异面直线A1O和B1C1夹角的大小；
51
变式5-1
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．
（1）求证：CD//平面A1EB；
（2）求证：AB1⊥平面A1EB．
52
知识点2——直线与平面所成角
考点3：求直线和平面所成角
知识笔记
直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角：设直线l与平面α斜交于点M ，过l 上任意点A作平面α 的垂线，垂足为O（如图），
我们把点O 叫做A 点在平面α上的垂足，直线OM 则叫做直线l 在平面α上的射影，并规定∠AMO叫做直线l和
平面α所成的角.
（2）当直线l与平面α垂直时，那么这条直线l与平面α所成的角为 90°；
当直线l与平面α平行时，那么直线l与平面α所成的角为0°.
因此，直线与平面所成的角的范围是[0, π
2 ].
53
经典例题
例6
解答题
如图，在棱长为2的正方体ABCD −A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点.
(1)
求点D到平面AEF的距离；
(2)
求直线CC1与平面AEF所成的角.
变式6-1
如图，已知矩形ABCD是圆柱O O 的轴截面，N在上底面的圆周O 上，AC、BD相交于点M；
（1）求证：CN⊥平面ADN；
（2）已知圆锥MO 和圆锥MO 的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为
，求异面直线AB与DN所成角的值．
1
2
2
1
2
54
例7
解答题
如图，点P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，AP = 3，底面矩形ABCD面积为12，外接圆周长为5π，且
AB > AD.点E，F分别为线段AB，PC的中点，连接EF.
(1)
证明：直线EF//平面PAD；
(2)
求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
变式7-1
解答题
如图所示，点P是平面ABCD外一点，BC//平面PAD, BC = 1
2 AD，点E是线段PD的中点.
(1)
求证:CE//平面PAB
(2)
问：是否存在线段AD上的一点N，使得对线段CE上的任一动点M，均有MN//平面PAB成立？若存在，请
指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
55
例8
解答题
如图，圆锥的底面半径OA = 2，高PO = 6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：
(1)
直线CD与平面PAB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
变式8-1
解答题
如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径OA、OB的长为2且∠AOB = 90∘，高PO = 4，点M为线段
AB的中点.
(1)
求异面直线PM与OB所成的角的大小：
(2)
求直线PB与平面POM所成角的大小.
56
例9
解答题
如图所示，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论.
变式9-1
解答题
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝1
2 PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．
57
知识点3——三垂线定理
考点4：三垂线定理的应用
知识笔记
三垂线定理
平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直.
经典例题
例10
多选题
如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（
）
A. PA⊥BC
B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB
D. BC⊥PC
变式10-1
填空题
如右图，AO⊥平面α，点0为垂足，BC ⊂平面α，BC⊥OB，若∠ABO =
π
4 ，∠COB =
π
6 ，则
tan ∠BAC =
．
58
例11
解答题
在四面体ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．求证：
(1)
AD⊥BC；
(2)
点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．
变式11-1
解答题
已知正方形ABCD，HG⊥平面ABCD，G, F分别为AB, BC的中点，E为AC上一点，且AE = 3EC，求证：EF为
异面直线AC与HF的公垂线．
59
06 空间平面与平面的位置关系
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解空间中平面与平面的位置关系
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握两平面所成二面角的求法
目标3
★★★★★☆ 迁移
掌握平面与平面平行、垂直的证明方法
知识清单
60
知识点1——平面与平面的位置关系
考点1：平面与平面的位置关系
知识笔记
平面与平面的位置关系
（1）平面和平面平行——没有公共点
（2）平面和平面相交——有一条公共直线
经典例题
例1
填空题
“若平面α与平面β平行，则平面α与平面β没有公共点.”是
命题.（填“真”或“假”）
变式1-1
填空题
如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是3，则直线AB和平面α的位置关系是
．
变式1-2
单选题
下列命题中，是真命题的选项为（
）
A. 平行于同一条直线的两个平面平行
B. 若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行
C. 分别在两个平行平面上的两条直线平行
D. 与两条异面直线都平行的两个平面平行．
61
例2
填空题
已知m, n是两条不同直线，α､β是两个不同平面，对下列命题：
①若m//α, n//α，则m//n.
②若α ∩β = n, m//n，则m//α且m//β.
③若m⊥α, n⊥β，m//n，则α//β.
④若α//β, m//α, n//β，则m//n.
⑤若m//α, m⊥β，则α⊥β.
其中正确的命题是
（填序号）.
变式2-1
单选题
已知a，b是两条异面直线，给出下面四个命题：（1）过直线a有且只有一个平面与b平行；（2）P为空间任意一
点，过P总能作一条直线与a，b都相交；（3）有且只有一条直线与a，b都垂直；（4）P是异面直线a，b外一点，
过P与a，b都平行的平面有且只有一个，则以上命题中，不正确的是（
）．
A. （3）
B. （2）（3）
C. （2）（4）
D. （2）（3）（4）
变式2-2
单选题
对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在两条不同的直线l，m，使得l⊂β，m⊂β，使得l∥α，m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
62
考点2：面面平行、垂直的性质与判定
知识笔记
平面与平面平行
（1）判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
平面与平面垂直
（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.
（2）性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直.
经典例题
例3
单选题
如图，在正方体ABCD −A1B1C1中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（
）
A. 若E ∈BD1，F ∈BD，则EF⊥AC
B. 若E ∈BD1，F ∈BD，则平面BEF⊥平面A1BC1
C. 若E ∈AC，F ∈CD1，则EF//平面A1BC1
D. 若E ∈AC，F ∈CD1，则EF//AD1
变式3-1
单选题
已知正方体ABCD −A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：
①四边形BFD1E一定是平行四边形；
②四边形BFD1E有可能为正方形；
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.
其中所有正确结论的序号为（
）
A. ①②
B. ②③④
C. ①④
D. ①③④
63
例4
解答题
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M, N, E分别是AB, DD1, AA1的中点．
(1)
证明：平面MNE//平面BCD1；
(2)
求直线MN与D1C所成角的正切值．
变式4-1
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，BC⊥AC．
（1）求证：B1C1//平面A1BC；
（2）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1．
（3）若A1B = 2BC，求异面直线A1B与B1C1所成角的大小．
64
知识点2——二面角
考点3：二面角
知识笔记
二面角
（1）二面角定义：当两个平面相交时，它们的交线AB 将各平面分割成两个半平面，由半平面α，β与交线AB所组
成的空间图形叫做二面角，记作α −AB −β，交线AB 叫做二面角的棱，半平面α，β叫做二面角的面（如图）.
（2）二面角的度量：
①二面角的平面角:
在二面角的棱上任取一点O，过O 分别在面α和β内作棱AB的垂线，OM与ON所成的角叫做二面角α −AB −β 的
平面角（如图），用平面角∠MON 表示二面角的大小.
②范围：二面角的大小的范围[0, π].
经典例题
例5
单选题
已知α −l −β是直二面角，直线a在平面α上，直线b在平面β上.若a、b均与l既不平行，也不垂直，则a与b的位置关
系是（
）
A. 可能垂直，也可能平行
B. 可能垂直，但不可能平行
C. 不可能垂直，但可能平行
D. 既不可能垂直，也不可能平行
65
变式5-1
单选题
如图，已知Rt △ABC中∠A为直角，D是线段AB上任意一点（不含端点），沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所
成二面角A′ −CD −B的平面角为α (0 < α < π)，则下列说法正确的是（
）
A. ∠A′DB < α
B. ∠A′DB与α的大小关系与D点位置有关
C. ∠A′DB > α
D. ∠A′DB与α的大小关系与α大小有关
例6
填空题
若二面角α −l −β内一点P到α, β, l的距离分别等于1, √2, 2，则该二面角的大小为
.
变式6-1
单选题
二面角α −l −β的大小是60°，在该二面角内有一点P到α的距离是3，到β的距离是5，又动点A和B，A ∈α，B ∈β
，则△PAB的周长的最小值是（
）
A. 3√3
B. 6√3
C. 12
D. 14
66
例7
解答题
如图，在正四棱锥P −ABCD中，PA = AB = 2√2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．
(1)
求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的正切值的大小；
(2)
求CG
PC 的值．
变式7-1
解答题
如图，在三棱锥P −ABC中，AC = BC = 2，∠ACB = 90∘，AP = BP = AB，PC⊥AC．
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角B −AP −C的大小；
(3)求点C到平面APB的距离．
67
例8
解答题
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面
体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB
于点F，连接DE，DF，BD，BE．
(1)
证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不
是，说明理由；
(2)
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π
3 ，求DC
BC 的值．
变式8-1
解答题
已知矩形ABCD中，AB = 3，AD = 1，E为线段CD上一点（不在端点），沿线段AE将△ADE折成△AD′E，使
得平面AD′C⊥平面ABC．
（1）证明：平面ABD′与平面BCD′不可能垂直；
（2）若二面角D′ −AE −B大小为60°，
（ⅰ）求直线AD′与BC所成角的余弦值；
68
例9
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC = 60∘，PC⊥平面ABCD，PC = 1，E为PA的
中点．
(1)
求证：平面EDB⊥平面ABCD；
(2)
求二面角A −EB −D的正切值；
(3)
求点E到平面PBC的距离．
变式9-1
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB = 60∘，PA = PD = √2，且PB = 2.
(1)
求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)
设E为PC的中点，求平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小.
69
变式9-2
解答题
如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点.
(1)
求证：EF⊥BD1；
(2)
求二面角B1 −EF −B的大小.
例10
填空题
边长都是为1的正方形ABCD和正方形ABEF所在的两个半平面所成的二面角为2π
3 ，M，N分别是对出线AC、
BF上的动点，且AM = FN，则MN的取值范围是
．
变式10-1
填空题
一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的
大小均为θ.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则cos θ的值为
.
70
变式10-2
填空题
如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1中，底面△ABC的边长为1，P为棱AA1上一点．
(1)
若AA1 = 1，P为AA1的中点，求异面直线PC1与AB1所成角的大小；
(2)
若AA1 = a (0 < a < √3)，设二面角A1 −B1C1 −P、A −BC −P的平面角分别为α、β，求tan (α + β)的最
值及取到最值时点P的位置．
71
07 柱体
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解棱柱与圆柱的有关概念
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握柱体表面积与体积的求法
知识清单
72
知识点1——棱柱与圆柱
考点1：棱柱和圆柱的结构特征
知识笔记
棱柱
棱柱
直棱柱
正棱柱
图 形
定 义
有两个面互相平行，
而其余每相邻两个面
的交线都互相平行的
多面体
侧棱垂直于底面的棱
柱
底面是正多边形的直
棱柱
侧棱
平行且相等
平行且相等
平行且相等
侧面的形状
平行四边形
矩形
全等的矩形
对角面的形状
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的截面的
形状
与底面全等的多边形
与底面全等的多边形
与底面全等的正多边
形
73
圆柱
将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB 所在直线叫做
圆柱的轴，线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，CD 叫做
圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB 长度）叫做圆柱的高.
经典例题
例1
填空题
设A ={直四棱柱}、B ={正方体}、C ={长方体}、D ={正四棱柱}，则这些集合的关系是
.（用⊂符号连
接）
变式1-1
填空题
“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的
条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分
不必要”）
例2
单选题
棱柱成为直棱柱的一个必要而不充分条件是（
）
A. 它的一条侧棱垂直于底面
B. 它的一条侧棱与底面两条边垂直
C. 它的一个侧面与底面都是矩形
D. 它的一个侧面与底面的一条边垂直
变式2-1
单选题
以下命题中真命题的是（
）
A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 体对角线都相等的平行六面体是长方体
D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
74
例3
单选题
在斜棱柱的侧面中，矩形最多有（
）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 6个
变式3-1
填空题
五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有
条.
例4
单选题
设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长都相等的直四棱柱是正方体；
③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中真命题的个数是 （
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
变式4-1
填空题
①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩
形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题
有
．
75
例5
在棱长为1的正方体ABCD −A1B1C1D1中，点E为CC1上的动点，则D1E + EB的最小值为
.
变式5-1
填空题
已知圆柱的底面半径为1，母线长为4，AB为母线，则A绕圆柱侧面两周到达B点经过的最短路程为
知识点2——柱体的体积与表面积
考点2：柱体的体积和表面积
知识笔记
祖暅原理与体积公式
（1）祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相
等的面积，那么这两个几何体的体积必相等.
（2）一般棱柱的体积：V=Sh. 其中S为棱柱的底，h为棱柱的高.
（3）圆柱的体积：V=Sh = πr2h. 其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高.
表面积公式
（1）直棱柱的表面积： S=ch + 2S.其中，S 为直棱柱的底面积，c 为底面多边形的周长，h 为棱柱的高.
（2）圆柱的表面积：S=ch + 2S = 2πrh + 2πr2.其中，r 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高.
经典例题
例6
若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为
．
变式6-1
填空题
一张A4纸的规格为：210mm × 297mm，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为
．（结果精确到
0.001mm3）
76
例7
填空题
图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，
它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径
画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为
.
变式7-1
填空题
魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方
拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个
三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是
.
变式7-2
填空题
若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔型：上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的
中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上.如果所有正方体能直接看到的表面积超过8.8，则正方体的个数至
少是
个.
77
例8
填空题
如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1 = 4. 若侧面ABB1A1 水平放置时，液面恰好过
AC, BC, A1C1, B1C1的四等分点处，CE
CA = 1
4 ，当底面ABC水平放置时，液面高为
.
变式8-1
填空题
如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，
内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是
cm .
3
78
例9
解答题
已知圆柱的底面圆半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆O1．OA与母线所成角为30∘．
(1)
已知r = 3，求圆柱的侧面积S；
(2)
若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．
变式9-1
其他
如图，直三棱柱ABC −A′B′C′内接于高为√2的圆柱中，已知∠ACB = 90∘，AA′ = √2, BC = AC = 1， O为AB的
中点．
(1)
求圆柱的侧面积；
(2)
求AB′与平面BB′C′C所成角的大小．
79
例10
如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩
形），上部是实心的圆柱.
(1)
已知铁的密度为7.86g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到0.1g）
(2)
要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌0.11g，求需要用锌的总量（精确到0.01g)
变式10-1
其他
有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形ABCD（如图甲所
示），其中OEMF是以O为圆心，∠EOF = 120∘的扇形，且弧
⌢
EF，
⌢
GH分别与边BC，AD相切于点M，N.剪去图
中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.
(1)
当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2)
当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
80
变式10-2
解答题
在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状
为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形A1B1C1D1E1F1，而蜂房的"上顶"，由三个全等的
菱形SAHC, SEJC, SEKA闭合组成（如图2所示），蜂房的"侧棱"AA1, HB1, CC1, JD1, EE1, KF1均垂直于底面
A1B1C1D1E1F1，且满足关系AA1 = CC1 = EE1 > HB1 = JD1 = KF1.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，
定义其"弯曲度"的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为2π减去蜂房
多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶
点有3个面角，每个面角是π
3 ，所以正四面体在各顶点的曲率为2π −3 × π
3 = π.
(1)
求蜂房"上顶"的"曲率"；
(2)
若图2所示的蜂房满足∠AHC = AHB1 = ∠CHB1 = θ，求θ的余弦值；
(3)
若蜂房的底面正六边形边长A1B1 = 1，"侧棱"AA1 = 2，求当蜂房的表面积最小时，顶点S的"曲率"的余弦值.
81
08 锥体
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解棱锥与圆锥以及台体的有关概念
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握锥体表面积与体积的求法
知识清单
82
知识点1——棱锥与圆锥、台体
考点1：棱锥与圆锥、台体的结构特征
知识笔记
棱锥
名称
棱锥
正棱锥
图形
定义
有一个面是多边形，其余各面
是有一个公共顶点的三角形的
多面体
底面是正多边形，且顶点在底
面的射影是底面的中心
侧棱
相交于一点但不一定相等
相交于一点且相等
侧面的形状
三角形
全等的等腰三角形
平行于底的截面形状
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
其他性质
高过底面中心；侧棱与底面、
侧面与底面、相邻两侧面所成
角都相等
83
圆锥
将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥，AB 所
在直线叫做圆锥的轴，点A 叫做圆锥的顶点，直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AC 旋转而成的
曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆锥
的高.
台体
把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体.大圆锥截去小圆锥后剩下的
几何体称为圆台.由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体.类似地，如果
棱柱被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台.其中，由正棱锥截得的棱台称
为正棱台.
设台体上、下底面想分别为S′ 和S ,上下底面的距离为h ，则台体的体积为：
V = 1
3 (S′ + √S′S + S)h
84
经典例题
例1
下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（
）
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ①③
变式1-1
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是
（写出所有正确结
论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
例2
在三棱锥V −ABC中，若顶点V 到底面三边距离相等，则顶点V 在平面ABC上的射影为ΔABC的（
）
A. 外心
B. 内心或旁心
C. 垂心
D. 重心
变式2-1
在三棱锥P﹣ABC中，顶点P到AB、AC和BC的距离都相等，P在底面的投影为O且在△ABC内，则点O是△ABC的
（
）
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
85
例3
给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体､四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体
的类型可以含有（
）
A. 五棱柱､七面体
B. 五棱柱､六棱锥
C. 六棱锥､七面体
D. 以上答案都不正确
变式3-1
《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体ABCD −A1B1C1D1的顶点为顶点的“鳖
臑”的个数为
A. 12
B. 24
C. 48
D. 58
知识点2——锥体的体积与表面积
考点2：锥体的体积与表面积
知识笔记
体积公式
（1）一般棱锥的体积：V= 1
3 Sh .其中，S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高.
（2）圆锥的体积：V= 1
3 Sh = 1
3 πr2h .其中，r 为圆锥的底面半径，h 为圆锥的高.
表面积公式
（1）正棱锥的表面积： S= 1
2 ch′ + S . 其中，S 为正棱锥的底面积，c 为底面多边形的周长，h′ 为棱锥的斜高
（侧面底边上的高）.
（2）圆锥的表面积：S = πrl + πr2. 其中，r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线.
86
经典例题
例4
如图，正三棱锥P −ABC的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥P −ABC的表面积；
（2）求正三棱锥P −ABC的体积.
变式4-1
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=
，AB=2，AC=2
，PA=2.求：三棱锥P-
ABC的体积；
87
例5
如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为4，OA, OB是底面半径，且∠AOB = 900，M为线段AB的中
点，C为线段PB的中点.
（1）若圆锥的侧面积为48π，求圆锥的体积；
（2）若PO = 4，求异面直线PM与OB所成的角的大小；
（3）若PB = 6，求圆锥侧面上A点到C点的最短距离.
变式5-1
已知圆锥的底面半径为8，点Q为半圆弧AC的中点，点P为母线SA的中点
（1）若母线长为10，求圆锥的体积;
（2）若PQ与SO所成角为arctan 2，求P, Q两点在圆锥侧面上的最短距离.
88
例6
圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为
.
变式6-1
若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为
例7
我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直
角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào）”：每个面
都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一
个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为
.
变式7-1
甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S1和S2，体积分别为V1和V2．若
S1
S2
= 3
2 ，则V1
V2
=
．
例8
正方体中，连接相邻两个面的中心可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积
为
．
变式8-1
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，
这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1, h2, h，则h1: h2: h =
89
例9
中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为
由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD，且四边形ABCD为正方
形．在底面EBC中，若BE = CE = 2，∠BEC = 60∘，则该几何体的体积为（
）
A. 10√3
B. 10√3
3
C. 8√3
D. 8√3
3
变式9-1
某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方
体的棱长是60cm.
(1)
求石凳的体积；
(2)
为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷
一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，√3 ≈1.732）
90
例10
如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴
截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为
.
变式10-1
如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，点M、N分别为BB1、B1C1中点，由点A、M、N所确定的平面将该三棱柱分
成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为
.
例11
将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环ABCD，OA = AD = 6，∠COD = π
3 ，如图1，用扇环ABCD制成一
个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为
．
91
变式11-1
已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为3
4 R和R，高为2R，将两个这样完全相同的商品水平放入形状
为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为
.
例12
如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、
BC的中点，则VA1B1C1−DBE
VA1B1C1−ABC
=
．
变式12-1
已知正四棱台ABCD −A1B1C1D1，AB = 2A1B1，E, F分别是棱A1B1，A1D1的中点，平面EFDB将正四棱台割
成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（
）
A. 11
15
B. 2
3
C. 3
5
D. 25
31
92
例13
如图，在底面半径为1，高为√3的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A，B是底面圆周上的两点，
∠AOB = 2π
3 ，C为母线PB的中点.
(1)
求该圆锥的表面积；
(2)
求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长.
变式13-1
如图，在Rt △AOB中，∠OAB = π
6 ，斜边AB = 4, D是AB的中点.现将直角△AOB以直角边AO为轴旋转一周得
到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一点，且∠BOC = 90∘.
(1)
求该圆锥体的表面积；
(2)
求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(3)
若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离.
93
变式13-2
如图，在Rt △AOB中，∠OAB = π
6 ，斜边AB = 4, D是AB的中点，现将Rt △AOB以直角边AO为轴旋转一周得
到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC = 90∘．
(1)
求圆锥的表面积；
(2)
若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离；
(3)
若一个棱长为a的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求a的最大值．
94
09 多面体与旋转体
学习目标
目标1
★★★★★☆ 迁移
掌握多面体的概念与性质
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握旋转体的概念与性质
知识清单
95
知识点1——多面体
考点1：多面体的结构特征与应用
知识笔记
多面体
（1）定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体.
（2）命名：根据面的数量来命名n棱锥也叫 n + 1面体，n棱柱（台）也叫n + 2面体.
如果一个多面体所有的面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫
做正多面体.
经典例题
例1
下列几何体中，多面体是（ ）
A.
B.
C.
D.
96
变式1-1
将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（
）
①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体
A. 3种
B. 4种
C. 5种
D. 以上均不正确
例2
下列说法中，正确的个数为
．
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（2）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
（3）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（4）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
变式2-1
下列说法正确的是
（填序号）.
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱；
②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台；
⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形.
例3
如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是
.
①直线AF与直线CN垂直；
②直线BM与直线CN相交；
③直线ME与直线CN平行；
④直线AB与直线CN异面；
97
变式3-1
有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面
上，这个组合体是（
）
A. 平行六面体
B. 四棱柱
C. 斜三棱柱
D. 四棱锥
知识点2——旋转体
考点2：旋转体的结构特征与应用
知识笔记
旋转体
（1）旋转体定义：由一个平面封闭图形绕其所在平面上一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体叫做旋转
体，这条直线叫做该旋转体的轴.
（2）旋转面定义：由一条平面曲线（含直线、折线）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形叫做
旋转面.
当直线a与直线l平行时，得到的是 圆柱面；当直线a与直线l相交（不垂直）时，得到的是圆锥面.直线a称为该
旋转面的母线.
经典例题
例4
有下列命题，其中错误命题个数是（
）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转
所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
98
变式4-1
下列结论中正确的是（
）
A. 半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B. 直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D. 用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台
例5
将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为
.
变式5-1
已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为
.
变式5-2
在△ABC中，∠A = 90∘，AB = 3，AC = 4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为
.
考点3：路径最短问题
知识笔记
路径最短问题
通用解题步骤
（1）展开图形 沿特定边或母线展开立体图形（如长方体、圆柱侧面），形成平面展开图.
（2）确定关键点 在展开后的平面图中标出起点和终点的位置.
（3）构造直角三角形 连接起点和终点形成线段，此线段可能与展开图的高、周长等几何量构成直角边
注意事项.
（1）展开方式影响结果 同一立体图形可能有多种展开方式，需比较不同展开图下的路径长度，取最小值.
（2）实际问题需结合场景 如“蚂蚁爬行问题”中，路径需在表面，不可穿透内部.
（3）对称性简化计算 利用对称性可减少展开图的数量，快速找到最短路径.
99
经典例题
例6
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两
周到达点A1的最短路线的长为（ ）cm．
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
变式6-1
长方体ABCD −A′B′C′D′中，AB = 4, BC = 3, BB′ = 5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C′，蚂蚁爬行的最
短路线的长为
.
变式6-2
正三棱锥P −ABC的侧棱长为2，∠APB = ∠APC = ∠BPC = 30∘．E，F分别是BP、CP上的点，△AEF周长的
最小值
．
100
例7
如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.
若该小虫爬行的最短路程为6√2，则该圆锥形物体的底面半径等于
.
变式7-1
如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一
周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4√3m，则圆锥底面圆的半径等于
m.
变式7-2
已知圆锥底面的半径为10，母线长为60，则底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到点B的最短距离是
.
101
10 球
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解球的概念
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用公式计算球的表面积与体积
目标3
★★★★★☆ 迁移
掌握几何体内切，外接球问题
知识清单
102
知识点1——球
考点1：球的结构特征与应用
知识笔记
球
（1）定义：将圆心为AB的半圆绕其直径CD = AO = 1所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧
所形成的曲面叫做球面，把点AOD称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径.
（2）球的性质：
① 球心到球面上任意一点的距离都相等.
② 任意平面与圆的截面都是圆：
当截面经过球心时，截面称为球的大圆；
当截面不经过球心时，截面称为球的小圆.
③ 球心与小圆圆心连线必垂直于截面，即OO′⊥α.
④ 球面距离：球面上两点所在大圆的劣弧的长度，球面距离是球面上两点之间的最短距离.
（3）经纬度
① 纬线与纬度：用平行于赤道的平面截地球得到的圆周叫做纬线，地球上任意一点和球心的连线与赤道面所成
角叫做该点的纬度.
② 经线与经度：过南北极点的大圆圆周叫做经线，地球上某点处经度指的是经过该点的经线大圆与0∘经线（本
初子午线）大圆所成的二面角.
经典例题
例1
在北纬60°圈上有A、B两地，A、B之间的球面距离为πR
3 （R为地球半径），则A、B两地在此纬度圈上的弧长等
于
.
变式1-1
已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121∘，北纬31∘，台北的位置约为东经121∘，北纬25∘，则两个城市之
间的球面距离约为
千米（结果精确到1千米）
103
考点2：球的表面积与体积
知识笔记
球的表面积与体积
设有一个半径为R的球，
（1）球的体积公式，V = 4
3 πR3
（2）球的表面积公式，S = 4πR2
经典例题
例2
64个直径都为a
4 的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为
S乙，则
A. V甲>V乙且S甲>S乙
B. V甲<V乙且S甲<S乙
C. V甲=V乙且S甲>S乙
D. V甲=V乙且S甲=S乙
变式2-1
若球O1、O2的表面积之比S1
S2
= 4，则它们的体积之比V1
V2
=
．
例3
若用与球心的距离为√3的平面截球体所得的圆面半径为√6，则球的体积为
.
变式3-1
若球的半径为2，则与球心距离为√3的平面截球所得的圆面面积为
.
变式3-2
设M, N是球心O的半径OP上的两点，且NP = MN = OM，分别过N, M, O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这
三个圆的面积之比为 ( )
A. 3：5：6
B. 3：6：8
C. 5：7：9
D. 5：8：9
104
例4
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰
好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
．
变式4-1
圆柱形容器内部盛有高度为2cm的水，若放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图
所示），则球的半径是
cm.
105
变式4-2
某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线
垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(√2＋1)m，则水
晶球的表面积为
m .
2
例5
如图，OABC是边长为1的正方形，
⌢
AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的表面积
为
.
变式5-1
如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90∘，∠ABC = 30∘，AC = 1.在三角形内挖去半圆（圆心O在边BC上，半圆与
BC相交于N，与AC相切于点C，与AB相切于点M），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为
.
106
知识点2——几何体的内切和外接问题
考点2：球与多面体的切接问题
知识笔记
基本概念
（1）若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体
的外接球.
（2）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体
的内切球.
常见性质和方法
（1）内切球球心到多面体的距离均相等，外接球球心到多面体的距离均相等
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在上，但不重合
（4）体积分割是求内切球半径的通用做法
经典例题
例6
棱长为1的正方体的外接球的表面积为
．
变式6-1
大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图：球及其外切圆柱（如图）．以此纪念阿基米德
发现球的体积和表面积均为其外切圆柱的体积和表面积的
．（用分数作答）
107
变式6-2
已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC = BC = √2，则三棱锥O－ABC的体积为
.
变式6-3
已知三棱锥P −ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D、E、F分别
是AB、BC、CP的中点，且cos ∠DFE = 3
4 ，则球O的表面积为
.
例7
如图所示，半径R = 2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于
.
变式7-1
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为
．
变式7-2
如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为
．
108
11 空间向量的概念
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
识记空间向量的概念
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用空间向量处理平行与垂直问题
知识清单
109
知识点1——空间向量的概念及坐标表示
考点1：空间向量的概念
知识笔记
空间向量
（1）空间向量及其运算
如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的.显然，任意两个向量都是共面的.两个空
间向量的运算都可以运用平面向量的计算公式.
（2）空间两向量平行
空间中的向量→b 与非零向量→a平行的充要条件是存在实数λ使得→b = λ→a；平行向量也称为共线向量.
（3）向量共面的充要条件
如果e1与e2是两个不平行的向量，那么空间中的向量→a与e1、e2共面的充要
条件是：存在唯一的一对实数λ与μ，使得→a = λe1 + μe2.
（4）空间向量基本定理
如果e1、e2与e3是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量→a ，存在唯一的一组实数λ、μ与 ν，使得
→a = λe1 + μe2 + νe3.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
−
→
→
经典例题
例1
如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，若OG = xOA + yOB + zOC，则乘积xyz =
．
−
→
−
→
−
→
−
→
110
变式1-1
如图，空间四边形OABC中，M, N分别是对边OA, BC的中点，点G在线段MN上，分MN所成的定比为2，
OG = xOA + yOB + zOC，则x, y, z的值分别为
．
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
变式1-2
已知A、B、C是空间中不共线的三点，O是空间中任意一点，求证：P在平面ABC内的充要条件是：存在满足
x + y + z = 1的实数x、y、z，使得OP = xOA + yOB + zOC.
−
→
−
→
−
→
−
→
变式1-3
已知→a、→b 、→c 是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是
．
①l
→a，m
→
b ，n
→c (lmn ≠0)；
②
→a + 2
→
b ，2
→
b + 3
→c ，−9
→c + 3
→a；
③
→a + 2
→
b ，
→
b + 2
→c ，
→c + 2
→a．
111
例2
如图，在四棱锥S −ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确
的是（
）
A. SA + SB + SC + SD =→0
B. (SA −SC) ⋅(SB −SD) =→0
C. SA −SB + SC −SD =→0
D. SA ⋅SB = SC ⋅SD
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
变式2-1
如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi (i = 1, 2, ⋯, 8)是上底面上其余的八个点，则
集合{y y =
⇀
AB ⋅
⇀
APi, i = 1, 2, 3, ⋯, 8}中的元素个数为
．
∣
变式2-2
已知→a,→b ,→c 为空间三个向量，又→a,→b 是两个相互垂直的单位向量，向量→c 满足→c
= 3，→c ⋅→a = 2,→c ⋅→b = 1，则对于任
意实数x，y，→c −x→a −y
→
b 的最小值为 .
∣
∣∣
112
例3
如图所示，在三棱柱ABC −A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM = 2A1M ，C1N = 2B1N.设
AB =
→a，AC =
→
b ，AA1 =
→c .
(1)
试用
→a，
→
b ，
→c 表示向量MN；
(2)
若∠BAC = 90
∘，∠BAA1 = ∠CAA1 = 60
∘，AB = AC = AA1 = 1，求MN的长.
−
→
−
→
−
→
−
→
变式3-1
已知平行六面体ABCD −A1B1C1D1，AD = AA1 = AB = 1，∠A1AB = ∠DAB = ∠DAA1 = 60∘，A1C1 = 3NC1
，D1B = 2MB，设AB =
→a，AD =
→
b ，AA1 =
→c ；
（1）试用
→a、
→
b 、
→c 表示MN；
（2）求MN的长度.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
113
考点2：空间直角坐标系
知识笔记
空间直角坐标系
从空间一点O出发可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系O −xyz，点O 为坐标原点，三条坐标
轴分别是横轴（即x轴）、纵轴（即y轴）与竖轴（即z轴）.坐标系采用右手制，即右手翘起拇指、其他四指握拳
做“点赞”状，当四指所指的方向是x轴到y轴正方向的旋转方向时，拇指所指的方向为z轴的正方向，通过每两个坐
标系的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面与zOx平面.
给定空间一点P，如图，过点P分别作与坐标平面yOz、zOx与xOy平行的平面，与坐标平面一起围出一个
长方体，所作的三个平面与x轴、y轴、z轴的交点A，B，C在轴上的坐标，给出了点P的坐标(x, y, z)，其中x、y
与z分别称为点P的横坐标、纵坐标与竖坐标.
（1）坐标表示
给定任意一个向量→
p ，我们先通过平移把→
p 的起点放到坐标原点O，这时得到的向量OP称为→
p 的位置向量.设
OP的终点坐标是P (x, y, z)，则直接记→
p = (x, y, z)，并称向量的这种表示法为它的坐标表示.
（2）坐标运算
→a = (x1, y1, z1)、→b = (x2, y2, z2)与→c = (x, y, z)是坐标表示的向量，λ是实数，(x1, y1, z1) ± (x2, y2, z2) =
(x1 ± x2, y1 ± y2, z1 ± z2)
λ (x, y, z) = (λx, λy, λz)
OP = |(x, y, z)| =√x2 + y2 + z2
→a ⋅→b = (x1, y1, z1) ⋅(x2, y2, z2) =;x1x2 + y1y2 + z1z2
两个向量夹角的余弦公式：cos ⟨→a,→b ⟩=
x1x2 + y1y2 + z1z2
√x12 + y12 + z12√x22 + y22 + z22
−
→
−
→
∣
−
→
∣
114
经典例题
例4
已知m ∈R，向量→a = (1, m, −2),→b = (m, 2, 3)，若→a ⋅→b = 6，则→a =
.
∣
变式4-1
已知空间向量
→a = (1, 2, 1),
→
b = (3, −2, 1),
→c = (−4, 4, −1)，则（
）
A.
→a = √6
B. {
→a,
→
b ,
→c }可以为空间的一组基底
C. (
→a +
→
b ) ⋅
→c = 10
∣
知识点2——直线、平面的位置关系
考点3：空间向量在立体几何中的应用
知识笔记
方向向量与法向量
直线的方向向量：与直线平行的任意非零向量.
平面的法向量：与平面垂直的任意非零向量.
平行
（1）两个向量平行的充要条件：→a//→b ⇔存在实数λ ∈R，使得x1 = λx2，y1 = λy2，z1 = λz2；
（2）两直线平行的充要条件是：它们的方向向量平行；
（3）不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是：直线的方向向量垂直平面的法向量；
（4）两个平面平行的充要条件是：它们的法向量平行；
垂直
（1）两个向量垂直的充要条件：→a⊥→b ⇔x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0；
（2）两直线垂直的充要条件是：它们的方向向量垂直；
（3）直线和平面垂直的充要条件是：直线的方向向量为平面的法向量；
（4）两个平面垂直的充要条件是：它们的法向量垂直；
115
经典例题
例5
在空间直角坐标系Oxyz中，平面α的法向量为→
n = (1, 1, 1)，直线l的方向向量为→
m，则下列说法正确的是（
）
A. 若→
m = (−1
2 , −1
2 , 1)，则l//α
B. 若→
m = (1, 0, −1)，则l⊥α
C. 平面α与所有坐标轴相交
D. 原点O一定不在平面α内
变式5-1
在空间直角坐标系Oxyz中，
→v = (−2, 0, a)是直线l的方向向量，
→n = (b, 0, −3)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则
（
）
A. 3a + 2b = 0
B. 2a + 3b = 0
C. ab = −6
D. ab = 6
变式5-2
关于空间向量，下列说法正确的是（
）
A. 直线l的方向向量为→a = (1, 1, −2)，直线m的方向向量→b = (2, −1, 1
2 )，则l⊥m
B. 直线l的方向向量为→a = (0, −1, −1)，平面α的法向量为
→
b = (0, 1, 1)，则l∥α
C. 平面α，β的法向量分别为→a = (−1, 1, 2)，→b = (1, 0, 1
2 )，则α∥β
D. 若对空间内任意一点O，都有OP = 1
2 OA + 1
3 OB + 1
6 OC，则P，A，B，C四点共面
−
→
−
→
−
→
−
→
例6
已知A(0, 4, 0), B(3, 0, 0), C(0, 0, 2)，则平面ABC的一个法向量可以为（
）
A. (4, 3, 6)
B. (−4, 3, 6)
C. (4, −3, 6)
D. (4, 3, −6)
变式6-1
平面α内三点坐标分别为A (1, 0, −1), B (−1, 1, −1), C (−1, 0, 0)，则平面α的一个法向量为
．
116
变式6-2
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AD = PD．
(1)
求证：AC⊥平面PBD；
(2)
求平面APB的一个法向量．
117
12 空间中的向量方法
学习目标
目标1
★★★★★☆ 迁移
掌握空间向量处理空间中的距离问题
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握空间向量处理夹角问题
知识清单
118
知识点1——空间向量的概念及坐标表示
考点1：点到平面的距离公式
知识笔记
点到平面的距离公式
A和B是空间中的两个点，点B在平面α内，→n是平面α的一个法向量，那么点A到平面α的距离d为AB在→n方
向上的投影AC的模（其中n0为→n的单位向量，也称为平面α的单位法向量）d = ||n0||AB| cos <→n, AB >|，用向
量数量积的记号，即d =|n0 ⋅AB| = |→n ⋅AB|
|→n|
.
求平行线与平面的距离只需求平行线上一点到平面的距离；同理求平面间的距离只需求平面上的一点到另一
个平面的距离即可.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
经典例题
例1
给定点A(1, 0, 0)、B (3, 1, 1)、C(2, 0, 1)与点D (5, −4, 3)，求点D到平面ABC的距离
.
变式1-1
在长方体ABCD −A1B1C1D1中，若AB = BC = 1，AA1 = √2，则点A到平面A1BD1的距离为
.
119
变式1-2
如图，四棱锥P −ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD = AD = 2，∠BAD = 60∘，E为BC的中点.
(1)
求证：ED⊥平面PAD；
(2)
求点C到平面PAB的距离.
变式1-3
在正四棱锥P −BCD中，正方形ABCD的边长为3√2，高OP = 6，E是侧棱PD上的点且PE = 1
3 PD，F是侧棱PA
上的点且PF = 1
2 PA，G是△PBC的重心.如图建立空间直角坐标系．
(1)求平面EFG的一个法向量→
n；
(2)求点A到平面EFG的距离d．
120
知识点2——角度计算
考点2：异面直线夹角
知识笔记
异面直线夹角求法
设直线a, b的方向向量分别为→a,→b ，若两直线的夹角为θ，则cos θ = |cos <→a,→b > | =
→a ⋅→b
|→a| ⋅|→b |
, θ ∈(0, π
2 ].
∣∣
经典例题
例2
已知直线l1的方向向量
→s 1 = (1, 0, 1)与直线l2的方向向量
→s 2 = (−1, 2, −2)，则l1和l2夹角的余弦值为
.
变式2-1
已知点A (1, 2, 1), B (3, 3, 2), C (λ + 1, 4, 3)，若AB, AC的夹角为锐角，则λ的取值范围为
．
−
→
−
→
变式2-2
如图，在三棱锥A −BCD中，平面ABD⊥平面BCD, AB = AD, O为BD的中点.
(1)
求证：AO⊥CD；
(2)
若BD⊥DC, BD = DC, AO = BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.
121
考点3：直线与平面所成角
知识笔记
直线与平面所成角
设平面α的法向量为→n，直线l的方向向量为
→
l ，直线l与平面α所称的角为θ，则sin θ =
|cos <→n,
→
l > | =
→n ⋅→l
|→n| ⋅|→l |
, θ ∈[0, π
2 ].
∣∣
经典例题
例3
若平面α的法向量
→n = (−1, 0, 1)，直线l的方向向量为
→
d = (0, 1, 1)，则l与α所成角的大小为
.
变式3-1
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA = PD = √2
2 a
，设E，F分别为PC，BD的中点．
(1)
求证：平面PAB⊥平面PDC；
(2)
求直线EF与平面ABCD所成角的大小．
122
变式3-2
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面AA1C1C为正方形，AB = AC = 4；设M是CC1的中点，满足AM⊥A1B1
，N是BC的中点，P是线段A1B1上的一点．
(1)
证明：AM⊥平面A1PN；
(2)
若BC = 4√2，A1P = 1，求直线AB1与平面PMN所成角的大小．
考点4：平面与平面所成角
知识笔记
平面与平面所成角
设二面角α −l −β的大小为θ，平面α的法向量为→
m，平面β的法向量为→n，则
|cos θ| =|cos < →
m,→n > | =
→
m ⋅→n
|→
m| ⋅|→n|
, θ ∈[0, π].
∣∣
123
经典例题
例4
若平面α的一个法向量为→
m = (0, 1, 1)，平面β的一个法向量为→
n = (√5, 2, 0)，则平面α与平面β夹角的余弦值为
（
）
A. √5
3
B.
√6
3
C. √2
9
D.
√2
3
变式4-1
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120∘得到的，点G
是
⌢
DF的中点，点P在
⌢
CE上，异面直线BP与AD所成的角是30∘．
(1)
求证：AE⊥BP；
(2)
若AB = 3，AD = 2，求二面角E −AG −C的大小．
124
变式4-2
如图，已知ABCD为等腰梯形， AD//BC，∠BAD = 120∘，PA⊥平面ABCD，AB = AD = AP = 2.
(1)
求证：PC⊥AB；
(2)
求二面角C −BP −A的大小.
变式4-3
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE : EB = CF : FA= CP : PB = 1 : 2（如
图1）.将△AEF沿EF折起到
的位置，使二面角A1 −EF −B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求二面角B −A1P −F的余弦值.
125
考点5：空间向量最值问题
经典例题
例5
如图，在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足
BP = λBC + μBB1 (0 ≤λ, μ ≤1)，则下列说法正确的是（
）
A. 若D1P//平面A1BD，则λ2 + μ2最小值为1
2
B. 若PO⊥平面A1BD，则λ = 1
2 , μ = 1
C. 若λ = μ = 1
2 ，则P到平面A1BD的距离为√3
3
D. 若λ = 1，0 ≤μ ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则sin θ ∈[ √3
3 , √6
3 ]
−
→
−
→
−
→
变式5-1
已知正方体ABCD −A1B1C1D1棱长为2，点P满足AP = λAD + μAA1 (λ ∈[0, 1], μ ∈[0, 1])，E为B1C1中点，则下
列论述正确的是（
）
A. 若λ = μ = 3
4 ，则EP⊥BC1
B. 若2λ −μ = 1，则直线B1P//平面BDE
C. 若λ + μ = 1，则点P到平面AB1C的距离为√3
D. 若λ = μ，则平面A1CP与平面ABCD所成角的取值范围为[ π
4 , π
2 ]
−
→
−
→
−
→
126
