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9-8 二项分布、超几何分布与正态分布
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
9-8 二项分布、超几何分布与正态分布..............................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：二项分布.........................................................1
考点2：超几何分布.......................................................2
考点3：正态分布.........................................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 二项分布..........................................................4
题型二 超几何分布........................................................4
题型三 正态分布..........................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6
1
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一、主干知识
考点1：二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称
为n 重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，
则X 的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X 服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点2：超几何分布
一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取
的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称
随机变量X 服从超几何分布．
考点3：正态分布
1．定义：若随机变量X 的概率分布密度函数为f(x)＝·
，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，
则称随机变量X 服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ 对称；(2)曲线在x＝μ 处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x 轴．
3．3σ 原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
2
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【常用结论总结】
1．两点分布是二项分布当n＝1 时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何
分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，
进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
3
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二、分类题型
题型一 二项分布
【例题精析1】
将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10 次，求：
(1)恰好出现5 次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在
内的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这
是一个10 重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解.
（2）根据条件得到重复抛掷10 次正面朝上出现的频率在
得到
，再结合二项分布即可求
解.
【解答】（1）设
“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则
,
设
表示事件A 发生的次数，则
．
则恰好出现5 次正面朝上即
，
所以
，
故恰好出现5 次正面朝上的概率为
.
（2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为
，
重复抛掷10 次正面朝上出现的频率在
内，即
．
4
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所以
．
【例题精析2】
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启
动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配
置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概
率都为
，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
(1)写出X 的分布列；
(2)求出计算机网络不会断掉的概率．
【答案】(1)分布列见解析(2)0.999
【分析】（1）利用二项分布的定义即可求解；
（2）利用（1）的结论及离散型随机变量的分布列的性质即可求解.
【解答】（1）可以看出，X 服从参数为3，0.9 的二项分布，即
．
因此
，
，
，
，
从而X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即
，
因此所求概率为
．
【例题精析3】
设
服从二项分布
，则
.
【答案】
/
【分析】利用二项分布的期望公式计算作答.
5
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【解答】因为
服从二项分布
，所以
.故答案为：
【例题精析4】
已知随机变量
，且
，则
.
【答案】
【分析】由二项分布的均值计算公式可求出
，则
，化简即可得出答案.
【解答】因为随机变量
，且
，则
，解得：
，
.故答案为：
.
【例题精析5】
已知随机变量
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.
【解答】解：因为随机变量
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
6
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【对点精练1】
某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1 到4 号的四个箱子中随机放入奖品，每
个箱子中放入的奖品个数
满足
，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游
戏规定：当箱子中奖品的个数超过3 个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参
与游戏的同学依次从1 到4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该
游戏．
(1)求甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率；
(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为
，求
的概率分布与数学期望；
(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为
，求
的数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）先求得
，然后求得
的概率分布，进而求得甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率.
（2）根据二项分布的知识求得
的概率分布，进而求得数学期望.
（3）根据二项分布的期望计算公式求得正确答案.
【解答】（1）因为每个箱子中放入的奖品个数
满足
，
所以
，则
，所以
的概率分布为：
1
2
3
4
5
P
设事件
为甲能从1 号箱子中取走一个奖品，
则
，
所以甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率为
.
（2）
，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以
，
7
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所以
，
，X 的概率分布为：
0
1
2
3
4
所以X 的数学期望为
．
或
．
（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5 个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以
，所以Y 的数学期望为
．
【对点精练2】
从一副去掉大小王牌的52 张扑克牌中任取5 张牌，用X 表示其中黑桃的张数.求X 的分布、
期望与方差.
【答案】答案见详解
【分析】根据古典概型的概率计算公式可得从52 张扑克牌中任取一张牌是黑桃的概率是
，X 服
从二项分布，即
，进而可得解.
【解答】52 张扑克牌中有13 张黑桃，从中任取一张牌是黑桃的概率是
，从中任取5 张牌，用X
表示其中黑桃的张数，则X 服从二项分布，即
，
X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.
，
，
8
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，
，
，
.
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
，
.
【对点精练3】
一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6 个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件
是相互独立的，并且概率都是
.
(1)用X 表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布；
(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）写出随机变量X 的所有可能取值，利用二项分布求出对应的概率即可列出对应的分布列；
（2）利用对立事件求出学生在途中没有遇到一次红灯的概率为
，即可求得结果.
【解答】（1）根据题意可知，途中遇到红灯的次数服从二项分布，
易知X 的所有可能取值为
，
9
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可知
，
,
,
,
,
,
；
所以X 的分布为
0
1
2
3
4
5
6
（2）由（1）可知，这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为
，
所以途中至少遇到一次红灯的概率为
.
【对点精练4】
袋中有8 个白球､2 个黑球，从中随机地连续抽取3 次，每次取1 个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数
的分布列数学期望和方差；
､
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数
的分布列数学期望和方差
､
.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)分布列答案见解析，
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【解答】（1）有放回抽样时，取到的黑球数
可能的取值为
.又由于每次取到黑球的概率均为，3
次取球可以看成3 次独立重复试验，则
.
；
；
；
.
因此，
的分布列为
0
1
2
3
.
（2）不放回抽样时，取到的黑球数
可能的取值为
，且有：
；
；
.
因此，
的分布列为
0
1
2
.
【对点精练5】
已知随机变量
，若
，则
．
【答案】
【分析】
，二项分布的性质，算出
，在使用
即可.
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【解答】因为
，
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
．答案为：
【对点精练6】
设随机变量
，满足
．若
，则
．
【答案】
/1.5
【分析】由题设有
求出参数
，再由二项分布方差公式求
，最后根据方差的
性质求
.
【解答】由
，故
，则
，
所以
，则
，而
，则
.故答案为：
【对点精练7】
已知随机变量
，若
最大，则
．
【答案】24
【分析】先根据
解出
，再根据二项分布的方差公式求出
，再计算
即可.
【解答】由题意知：
，要使
最大，有
，
12
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化简得
，解得
，故
，又
，
故
.
故答案为：24.
题型二 超几何分布
【例题精析6】
某无人机小组有3 名男生，2 名女生，从中任选2 名同学参加科技节无人机表演，若X 表示
选出女生的人数，则
.
【答案】
/
【分析】由超几何分布概率公式运算即可得解.
【解答】由题意，从3 名男生，2 名女生中任选2 名同学参加科技节无人机表演，
则选出女生的人数为1 的概率
.
故答案为：
.
【例题精析7】
某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取
个，则其中
恰好有个二等品的概率为 .
【答案】
【分析】由题意可知该问题属于超几何分布，代入其公式计算即可求得结果.
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【解答】根据题意可知，任意抽取
个共有
种抽法，
则其中恰好有个二等品的抽法共有
种，
因此任意抽取
个，则其中恰好有个二等品的概率为
.
故答案为：
【例题精析8】
从50 名学生中随机选出5 名学生代表，求甲被选中的概率．
【答案】
【分析】设X 表示选出的5 名学生中含甲的人数，可知X 服从超几何分布，求解即可.
【解答】X 表示选出的5 名学生中含甲的人数，X 的可能取值为0 或1，
则X 服从超几何分布，且
，
，
．
因此甲被选中的概率
．
【例题精析9】
袋中有10 个大小与质地相同的球，其中7 个是红球.从中任取5 个球，求取出的球中红球个
数X 的分布.
【答案】分布列见解析
【分析】根据超几何分布的知识求得
的概率分布.
【解答】由题意，袋中有红球7 个，其它颜色的有3 个，故
的可能取值为
，
，
，
所以
的分布列为
【例题精析10】
从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3 人中女生的人数.
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求：
(1)X 的分布；
(2)X 的期望与方差；
(3)“所选3 人中女生人数
”的概率.
【答案】(1)分布列见解析；(2)
(3)
【分析】（1）利用超几何分布可求X 的分布；（2）利用超几何分布的期望与方差公式求解
（3）利用互斥事件的概率公式求解即可
【解答】（1）由题意可得：
可取0，1，2，
，
所以
，
分布列如下：
0
1
2
（2）易得
；
（3）由（1）可知“所选3 人中女生人数
”的概率为
.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的
特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个
体数X 的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点精练8】
从一箱脐橙（共10 个，其中7 个是大果，3 个是中果）中任选3 个，则恰有2 个中果的概率
为 ．
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【答案】
/0.175
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【解答】恰有2 个中果的概率为
．故答案为：
【对点精练9】
设随机变量
，则
.
【答案】
【分析】根据超几何分布计算公式可得
.
【解答】由随机变量
服从超几何分布
，可知3 表示选出3 个，2 表示有2 个供选择，总数
为10，根据超几何分布公式可得
.故答案为：
【对点精练10】
一个袋子中有100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球．采取不放回摸球，从中
随机摸出22 个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数．当
最大时，
．
【答案】17.8/
【分析】首先分析超几何分布最大项确定
的值，再通过超几何分布的期望公式求出
的值，即可求
出
.
【解答】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即
最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设
则
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令
；故当
时，
严格增加，
当
时，
严格下降，
即
时取最大值，此题中
，
根据超几何分布的期望公式可得
，
故答案为：17.8
【对点精练11】
一批零件共有30 个，其中有3 个不合格．随机抽取10 个零件进行检测，求至少有1 件不合
格的概率．
【答案】
【分析】根据超几何分布的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解.
【解答】设抽取的10 个零件中不合格品数为随机变量
，则随机变量
服从超几何分布，
且
，
，
，可得随机变量
的分布列为
，
，
所以
则至少有1 件不合格的概率为
．
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题型三 正态分布
【例题精析11】
已知随机变量
，若
，则实数
的值为 .
【答案】1
【分析】根据正态分布的对称性即可解得实数
的值；
【解答】由随机变量
，且
，
所以
与
关于
对称，
即
，解得
；
故答案为：1
【例题精析12】
一批灯泡的使用时间
（单位：小时）服从正态分布
，则这批灯泡使用时间
在
内的概率是 ．
【答案】
【分析】利用3
原则即可得到概率.
【解答】因为
，
，
则
故答案为：
.
【例题精析13】
已知随机变量
服从正态分布
，若
，且
的最小值为－3，则
．
【答案】0.2
【分析】先根据对称性求参，再根据正态分布的对称性求概率即可.
【解答】因为
的最小值为－3，所以
，
即
，又
，所以
，
即根据正态分布的对称性，正态分布
的正态密度曲线关于
对称，
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即
，而
，所以
，故
，
故答案为:0.2．
【例题精析14】
若随机变量
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】利用正态曲线的对称性求出
的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出
，代值计算即可得解.
【解答】因为
，且
，则
，
所以，
.
故答案为：
.
【例题精析15】
某种红糖的袋装质量
服从正态分布
，随机抽取5000 袋，则袋装质量在区间
的约有 袋．（质量单位：
）
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
【答案】4093
【分析】根据正态分布的对称性，结合
求解即可.
【解答】由题意知，
，
所以
，
，得
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，
所以袋装质量在区间
的约有
袋．
故答案为：4093
【例题精析16】
我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机
变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当
充
分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量
来近似，且正态随机变量
的期望和方差与二项随机变量
的期望和方差相同.棣莫弗在1733 年证明了
的特殊情形.1812 年，拉普拉斯对一般的
进行了证明.
现抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60 次的概率为
.
（附：若
，则
，
，
）
【答案】0.977
【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的
原则求解即可.
【解答】抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，设硬币正面朝上次数为
,则
,
故
，
，
由已知得
，且
,
,
因为
，
所以
,解得
，
所以
,
故答案为：0.977.
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【例题精析17】
某校高二年级1200 人，期末统测的数学成绩
，则这次统测数学及格的人数约
为（满分150 分，不低于90 分为及格） ．
（附：
，
）
【答案】190
【分析】由题意得
，
，然后根据正态分布的性质结合已知求出
的概率，从而可估计
出数学及格的人数.
【解答】依题意
，
，
，
，
，则
．故答案为：190
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可
求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ 特殊区间，
从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
【对点精练12】
已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
【答案】0.1/
【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.
【解答】由于随机变量
服从正态分布
，
由
可得
，故
，
故
，
21
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故
，
故答案为：0.1
【对点精练13】
随机变量
服从正态分布
，若
，则
．
【答案】
/
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合
，即可求解.
【解答】随机变量
服从正态分布
，可得正态分布曲线关于
对称，
因为
，可得
，
所以
.
故答案为：
.
【对点精练14】
已知
，且
，则
的最小值为 .
【答案】3
【分析】由正态曲线，可得
，然后由基本不等式可得
的最小值.
【解答】因为
，且
，
所以
，得
，
所以
，
因为
，即
，所以
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：3
【对点精练15】
设随机变量
，其中
，则
的值为 .
【答案】1
22
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【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【解答】由题意，正态曲线关于直线
对称，因为
，
，
根据对称性可得
，即
，
故答案为：1.
【对点精练16】
若
，且
，则
.
【答案】
/
【分析】根据正态分布的对称性，列式求解.
【解答】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为
，
由正态分布的对称性可得
.故答案为：
【对点精练17】
若随机变量
，且
，则
.
【答案】0.82
【分析】根据正态分布的对称性计算．
【解答】由正态分布的对称性知
.故答案为：0.82.
【对点精练18】
已知随机变量
，
，且
，
，则
．
【答案】0.2/
【分析】由二项分布与正态分布的性质计算即可.
【解答】因为随机变量
且
，
所以
，所以
，
故
，由因为
，所以
，
23
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则
.所以
.故答案为：0.2
【对点精练19】
已知随机变量
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据随机变量
服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出概率.
【解答】因为
，所以正态曲线的对称轴为
，
因为
，所以
，所以
.
故答案为：
【对点精练20】
已知
，且
，则
.
参考数据：
，
，
.
【答案】0.84
【分析】根据题意可得
，
可得
，进而由结合正态分布的对称性可得
，代入运算求解．
【解答】因为
，所以
，所以
，
即
，所以
.故答案为：0.84．
24
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三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•西安校级三模）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量
称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当
充分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量
来近似，且正态随机变量
的期望和
方差与二项随机变量
的期望和方差相同．棣莫弗在1733 年证明了
的特殊情形，1812 年，拉普拉斯
对一般的
进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数
超过60 次的概率为
（
附
：
若
，
则
，
，
A．0.1587
B．0.0228
C．0.0027
D．0.0014
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出
，
，再结合
正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，
设硬币正面向上次数为
，
则
，
故
，
，
由题意可得，
，且
，
，
，
25
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用
正
态
分
布
近
似
估
算
硬
币
正
面
向
上
次
数
超
过
60
次
的
概
率
为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．
2．（2023•一模拟）已知随机变量
，且
，则
A．0.84
B．0.68
C．0.34
D．0.16
【分析】根据正态分布的定义，先求出
，再结合
即可得到答案．
【解答】解：由
，知
，
故
．
故选：
．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量
和
的应用，考查
曲线的对称性，属于基础题．
3．（2023•涟源市模拟）设随机变量
服从正态分布
，若
，则
的值
为
A．9
B．7
C．5
D．4
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：
随机变量
服从正态分布
，若
，
，解得
．
故选：
．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
4．（2023•巴宜区校级四模）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数
服从正态分布
，
，
考生共50000 人，估计数学单科分数在
分的学生人数约为
26
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（附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
A．1070
B．2140
C．4280
D．6795
【分析】利用
区间上的概率及正态分布的对称性求
，进而估计区间人数．
【解答】解：由题设
，
所以数学单科分数在
（分的学生人数约为
人．
故选：
．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．（2023•江宁区校级二模）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．
某新能源汽车制造企业为调查其旗下
型号新能源汽车的耗电量（单位：
情况，随机调查
得到了1200 个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量
，若
，则样本中
耗电量不小于
的汽车大约有
A．180 辆
B．360 辆
C．600 辆
D．840 辆
【分析】根据正态分布的性质，求出
，再由样本容量求频数．
【
解
答
】
解
：
因
为
，
且
，
所
以
，
所以样本中耗电量不小于
的汽车大约有
（辆．
27
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故选：
．
【点评】本题考查了正态分布的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6．（2023•深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩
（满分：100 分）服从正态分布：
，
且
，
，
A．0.14
B．0.18
C．0.23
D．0.26
【分析】根据题意，由正态分布的性质可得
，又由
，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，
，且
，
则
，
又由
，
则
．
故选：
．
【点评】本题考查正态分布的性质，涉及互斥事件概率的计算，属于基础题．
7．（2023•深圳模拟）设随机变量
，
，若
，则
的值为
A．
B．
C．3
D．5
【分析】根据正态分布的对称性可解．
【解答】解：因为随机变量
，
，
，
则根据正态分布的对称性
，
，
．
故选：
．
【点评】本题考查正态分布的对称性，属于中档题．
28
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8 ．（2023• 吉州区校级一模）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.1
【分析】根据随机变量
服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得
．
【解答】解：
随机变量
服从正态分布
，
正态曲线的对称轴是
．
又
，
，
则
．
故选：
．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属
于基础题．
9．（2023•保定三模）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
等于
A．0.8
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【分析】根据正态分布的对称性即可计算．
【解答】解：因为
服从正态分布
，且
，
所以
，所以
．
故选：
．
【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题．
10．（2023•佛山模拟）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所
花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时
和骑自行车用时
都服从正态分布，
，
，
，
．
和
的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是
29
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A．
B．
C．
D．
【分析】根据正态分布曲线的定义及对称性逐一求解即可．
【解答】解：由
，
，得
，
错误；
由正态密度曲线图像可知，
，
，
，
错误；
由正态密度曲线图像可知，
，所以
，
正确；
由正态密度曲线图像可知，
，
，所以
，
错误．
故选：
．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量
和
的应用，考查
曲线的对称性，属于基础题．
11．（2023•盐城一模）某种品牌手机的电池使用寿命
（单位：年）服从正态分布
，
，且
使用寿命不少于2 年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6 年的概率为
A．0.9
B．0.7
C．0.3
D．0.1
【分析】根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：由题得：
，故
，
因为
，所以根据对称性得：
．
故选：
．
30
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【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（2023•宁波二模）设随机变量
服从正态分布，
的分布密度曲线如图所示，若
，则
与
分别为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意和正态曲线即可求得
，又根据正态曲线可得
，
，进而即可求得
．
【解答】解：根据题意，且
，则
，
由正态曲线得
，
，所以
．
故选：
．
【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．
13．（2023•琼山区校级模拟）某市一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩
近似服从正态分布
，且
．现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700 人作进一步分析，则这
700 人中此次检测数学成绩不低于99 分的人数约为
A．100
B．125
C．150
D．175
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：绩
近似服从正态分布
，且
，
则
，
31
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故
，
现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700 人作进一步分析，
则这700 人中此次检测数学成绩不低于99 分的人数约为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
14 ．（2023• 市中区校级二模）已知随机变量
，且
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正态分布的性质求出
的值，则
，令
，
，则
，利用基本不等式求出
的最小值，即可得解．
【解答】解：因为随机变量
，且
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
令
，
，
所以
，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
32
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即
的最大值为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
15 ．（2023• 山东模拟）设随机变量
，且
，
，则
A．0.25
B．0.3
C．0.5
D．0.75
【分析】由题知
，
，进而根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：因为随机变量
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
，
所以根据正态分布的对称性，
．
故选：
．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
16．（2023•枣庄二模）某地区有20000 名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩
近似服从正态分布
，
，则数学成绩位于
，
的人数约为
参考数据：
，
，
．
A．455
B．2718
C．6346
D．9545
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：
，
则数学成绩位于
，
的人数约为
．
故选：
．
33
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【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
17．（2023•温州模拟）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正态曲线的对称性直接求出概率值．
【解答】解：因为随机变量
服从正态分布
，且
，
由于正态曲线的对称轴是
，所以
．
故选：
．
【点评】本题考查了正态分布曲线中概率计算问题，注意正态曲线的对称性应用，是基础题．
18．（2023•雨花区校级一模）若
，则当
，1，2，
，100 时
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可知，
，得到
，又
为整数，求出
值，逐项判断即
可．
【解答】解：根据题意可知，
，
即
，解得
，
又
为整数，故
，
即
．
故选：
．
【点评】本题考查二项分布求概率最值，属于基础题．
二．填空题（共4 小题）
34
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19．（2023•南京三模）设随机变量
，2，
，则
．
【分析】根据超几何分布分布列计算公式，计算出
．
【解答】解：由于
符合超几何分布，
所以
．
故答案为：
．
【点评】本小题主要考查超几何分布的概率公式，属于基础题．
20 ．（2023• 济南三模）已知随机变量
，
，其中
，
，
，
，则
0.2
．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望公式，求出
，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：
，
，
，
则
，
，
则
，
故
，
所以
．
故答案为：0.2．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
21．（2023•湖北模拟）已知随机变量
服从
，则当
5 或
6
时，概率
最大．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：随机变量
服从
，
35
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则
，
概率
最大，
则
且
，
即
且
，
即
且
，解得
，
，
或
．
故答案为：5 或6．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
22．（2023•曲靖模拟）已知随机变量
，若
，则
．
【分析】由
可得
，进而可求解答案．
【解答】解：已知
，
则
，
，解得
或
（因为
，故舍去）．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
三．解答题（共4 小题）
23．（2022•锦江区校级模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲
乙两个小组分别从6 个问题中随机抽取3 个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6 个问题中，甲组
能正确回答其中4 个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为
．甲、乙两个小组的选题以及对每题
的回答都是相互独立，互不影响的．
36
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（1）求甲小组至少答对2 个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【分析】（1）根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，即可求解．
（2）结合超几何分布的概率公式，二项分布的概率公式求出概率，再分别求出两种情况的期望与方差，
通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）
这6 个问题中，学生甲能正确回答其中的4 个问题，
甲至少答对两个问题的概率
．
（2）设甲答对题数为
，
所有可能取值为1，2，3，
则
，
，
，
故
，
．
设乙答对题数为
，由题意可得，随机变量
，
故
，
，
，
，
甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
故选择学生甲．
【点评】本题主要考查了超几何分布和二项分布，数学期望与方差公式，属于中档题．
24．（2017•启东市校级模拟）设有3 个投球手，其中一人命中率为
，剩下的两人水平相当且命中率均为
，
，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为
．
37
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（1）当
时，求数学期望
及方差
；
（2）当
时，将
的数学期望
用
表示．
【分析】（1）每位投球手均独立投球一次，每次试验事件发生的概率相等，判断符合二项分布，由二项
分布的期望和方差公式进行求解即可；
（2）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为
．因为三个人投球得到最
多投入3 个，最少0 个，得到变量的可能取值，根据相互独立事件和互斥事件的公式得到概率，从而得到
分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
【解答】解：（1）
每位投球手均独立投球一次，
当
时，每次试验事件发生的概率相等，
，由二项分布的期望和方差公式得到结果
，
（2）
的可取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
的分布列为
0
1
2
3
．
【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与方差和二项分布，
属于中档题．
38
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25．（2014•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5，
，一质点从第一个数1 出发顺次跳动，质点的
跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4 时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4 时，质点
向前跳两步．
（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为
，求
和
；
（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6 的概率．
【分析】
由于
表示抛掷骰子二次，质点到达的正整数，由题意则
的取值有3，4，5，并利用随机变
量得到定义求出每一个值下对应的事件的概率，有分布列定义求出其分布列，并根据期望定义求出期望．
由题意质点恰好到达正整数6 有三种情形，①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4；②抛掷骰子
四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4；③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4．
利用独立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；
【解答】解：（Ⅰ）
的可能取值为3，4，
（1 分）
，
，
（4 分）
的分布列为
3
4
5
（7 分）
（Ⅱ）质点恰好到达6 有三种情形
①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率
；
（8 分）
②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为
；（9 分）
③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率
（10 分）
所以
即质点恰好到达正整数6 的概率为
．
（12 分）
39
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【点评】此题重在准确理解题意，主要考查了独立事件同时发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，
并利用随机变量的分布列求其期望．
26．（2014•上海模拟）质地均匀的正四面体玩具的4 个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4 个这样的玩
具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4 个面上的4 个数的乘积不能被4 整除的概率；
（2）设
为与桌面接触的4 个面上数字中偶数的个数，求
的分布列及期望
．
【分析】（1）与桌面接触的4 个面上的4 个数的乘积不能被4 整除包括两种情况，一是4 个数字都是奇数，
二是4 个数中有3 个奇数，另一个是2，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率
公式，得到结果．
（2）
为与桌面接触的4 个面上数字中偶数的个数，由题意知
的可能取值是0，1，2，3，4，根据符合
二项分布，得到变量的分布列和利用二项分布的期望公式，得到期望．
【解答】解：（1）不能被4 整除的有两种情形；
①4 个数均为奇数，概率为
②4 个数中有3 个奇数，另一个为2，
概率为
这两种情况是互斥的，
故所求的概率为
（2）
为与桌面接触的4 个面上数字中偶数的个数，由题意知
的可能取值是0，1，2，3，4，
根据符合二项分布，得到
，
1
，
2
，
3
，
，
的
分
布
列
为
40
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服从二项分布
，
．
【点评】本题考查二项分布与
次独立重复实验的模型，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个可
以出现在理科高考试卷中的一道解答题目．
41
