2026 年高考数学终极押题猜想
目 录
押题猜想01 抽象函数性质综合应用.................................................................................................
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题....................................................................................
押题猜想03 三角函数-三角换元、 𝛚范围求解..............................................................................
押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题.........................................................................
押题猜想05 排列组合及条件概率.................................................Error! Bookmark not defined.
押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量........................................................................
押题猜想07 数列-求最值及证明不等式............................................................................................
押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线....................................................................................
押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题................Error! Bookmark not defined.
押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题........................................................................................
押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用.............Error! Bookmark not defined.
押题猜想01 抽象函数性质综合应用
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知定义在R 上的函数
f x 的图象是一条连续不断的曲线，若当
0
x >
时，
e
e
x
x
f x
f
x
f x
f
x
-
é
ù
é
ù
+
>
-
ë
¢
ë
û
¢
û
，且
0
f
x
f x
-
+
=
，则（ ）
A．
e
e
f
f
<
-
B．
0
xf x £
C．
f x 存在极大值点
D．
f x 有且只有一个零点
【答案】D
【详解】
0
f
x
f x
-
+
=
Q
，即
f
x
f x
-
= -
，故函数
f x 为奇函数，
设
e
e
e
e
x
x
x
x
g x
f x
f x
f x
-
-
=
+
=
+
，则
e
e
x
x
g
x
f
x
f x
f
x
f x
-
é
ù
é
ù
=
+
+
-
¢
ë
¢
ë
û
û
¢
，
由题意，当
0
x >
时，
e
e
0
x
x
g
x
f
x
f x
f
x
f x
-
é
ù
é
ù
=
+
+
¢
ë ¢
-
>
ë
û
û
¢
，
e
e
x
x
g x
f x
-
\
=
+
在
0, ¥
+
上单调递增，
又
e
e
x
x
-
+
Q
为偶函数，故
g x 为奇函数，
e
e
x
x
g x
f x
-
\
=
+
在
,0
¥
-
上单调递增，
g x 图像连续不断且
0
0
g
=
，
e
e
x
x
g x
f x
-
\
=
+
在R 上单调递增，
\当
0
x >
时，
e
e
0,
0
x
x
g x
-
+
>
>
，
0
f x
\
>
；同理当
0
x <
时，
0
f x
\
<
，
对于A，
e
e
e
e
e
e
e
e
,
e
e
e
e
g
f
g
f
-
-
=
+
-
=
-
+
，
e
e
g
g
>
-
Q
，
e
e
f
f
\
>
-
，故A 错误.
对于B，当
0
x >
时，
0
f x >
，则
0
xf x >
，故B 错误.
对于C，由于函数
f x 的单调性未知，故该选项不确定，故C 错误.
对于D，当
0
x >
时，
0
f x >
，当
0
x <
时，
0
f x <
，且
0
0
f
=
，
f x
\
有且只有一个零点，故D 正
确.
分析有理·押题有据
抽象函数不考具体解析式，纯考逻辑与性质，区分度高，是中档生和尖子生的分水岭。连续多年在选
择第8～11 题位置出现，属于“必考中档压轴”，极少缺席。重思维、轻计算，考单调性、奇偶性、对称
性、周期性综合，完美匹配“素养立意”命题思路。可与不等式、零点、导数结合既能单独出小题，也能
作为导数大题的铺垫，命题空间极大。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，奇偶性 + 单调性解不等式；对称性 + 周期性求函数值；抽象函数
+ 图像判断零点个数；每年至少1 道，从未断档。考纲要求：理解函数奇偶性、单调性、周期性、对称性，
能综合运用性质解决问题。抽象函数是对这一要求最直接的考查。各省模拟卷大量出现“双对称推周期”
“奇偶+单调解不等式”，与全国卷命题高度同频。抽象函数无法死记硬背题型，必须理解逻辑，非常适合
高考选拔。。
密押预测·精练通关
1．（2026·四川·模拟预测）已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，
( )
f
x
¢
是减
函数，则（ ）
A．
(1)
(2)
( 3)
f
f
f
<
<
-
B．
( 3)
(1)
(2)
f
f
f
<
<
-
C．
(2)
( 3)
(1)
f
f
f
<
-
<
D．
( 3)
(2)
(1)
f
f
f
-
<
<
【答案】D
【详解】由函数
( )
f x 的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，得
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，
求导得
(
)
( )
f
x
f
x
¢
¢
-
-
=
，则
(0)
0
f ¢
=
，由
( )
f
x
¢
是R 上的减函数，
得当
0
x >
时，
( )
(0)
0
f
x
f
¢
¢
<
=
，因此函数
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上单调递减，
所以
( 3)
(3)
(2)
(1)
f
f
f
f
-
=
<
<
.
2．（2026·山东青岛·一模）已知定义在R 上的函数
( )
f x 满足
( )
(2
)
0
f x
f
x
+
-
=
，(1
)
(3
)
f
x
f
x
+
=
-
，当
[1,2]
xÎ
时，
3
2
( )
2
=
-
+
f x
x
x
x，则方程7 ( )
1
0
f x
x
-
+ =
所有根之和为（ ）
A．8
B．11
C．15
D．17
【答案】D
【详解】由
2
0
f x
f
x
+
-
=
，得函数
f x 关于点
1,0 对称，
又
1
3
f
x
f
x
+
=
-
，得函数
f x 关于直线
2
x =
对称，
从而函数
f x 是周期为4 的周期函数.
又当
1,2
xÎ
时，
3
2
2
f x
x
x
x
=
-
+
，则
2
3
4
1
3
1
1
0
f
x
x
x
x
x
=
-
¢
+ =
-
-
³
，
即
f x 是
1,2 的单调递增函数，
1
0
f
=
，
2
2
f
=
，可画出
f x 的部分图象，
又方程
7
1
0
f x
x
-
+ =
的根即
y
f x
=
与
1
1
7
y
x
=
-
的交点横坐标，如图
两函数共有17 个交点，并且关于点
1,0 对称，故所有根之和为17.
3．（2026·山东青岛·一模）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
f x -
为偶函数，
2
1
f
x -
为奇函数，
0
1
f
= ，则
2025
1
i
f i
=
=
å
（ ）
A．1
B．0
C．1
-
D．2
-
【答案】B
【详解】因为
2
f x -
为偶函数，
2
1
f
x -
为奇函数，
所以
2
2
f x
f
x
-
=
- -
，
2
1
2
1
f
x
f
x
-
= -
-
-
，
所以函数
f x 关于
2
x = - 轴对称，关于
1,0
-
中心对称，
所以
4
f x
f
x
=
- -
，
2
4
f x
f
x
+
= -
- -
，
所以
2
f x
f x
= -
+
，令
2
t
x
=
-
，则
2
f x
f x
-
= -
，即
2
f x
f x
-
-
=
，
所以
2
2
f x
f x
-
=
+
，令
2
m
x
=
+
，则
4
f x
f x
=
+
，所以
f x 的周期为4，
又
0
1
f
= ，
2
f x
f x
= -
+
，所以
0
2
1
f
f
= -
= ，所以
2
1
f
= - ，
又函数
f x 关于
2
x = - 轴对称，关于
1,0
-
中心对称，
所以
1
0
f -
=
，
3
0
f -
=
，
又
f x 的周期为4，所以
1
3
0
f
f
-
=
=
，
3
1
0
f
f
-
=
=
，
0
4
1
f
f
=
= ，
所以函数
f x 一个周期内的函数值为
1
0
f
=
，
2
1
f
= - ，
3
0
f
=
，
4
1
f
= ，
所以
1
2
3
4
0
1
0 1
0
f
f
f
f
+
+
+
=
+ -
+
+ =
，
所以
2025
1
1
2
3
4
2024
2025
i
f i
f
f
f
f
f
f
=å
=
+
+
+
+×××+
+
506
1
2
3
4
1
1
0
f
f
f
f
f
f
é
ù
=
´
+
+
+
+
=
=
ë
û
，
所以
1
2025
0
i
f i
=
å
=
.
4．（2026·山西大同·一模）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，若对于定义域内给定的任意
1
x ，
2
1
2
x
x
x
¹
，都有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，则不等式
2
2
2
3
3
2
2
f x
f
x
f
x
x
x
-
>
+
的解集为（ ）
A．
3,3
B．
3,+¥
C．
0,3
D．
3,+¥
【答案】A
【详解】因为函数
f x 满足对任意的
1
x ，
2
0,
x
¥
Î
+
，
1
2
x
x
¹
，都有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，
设
1
2
0
x
x
>
>
，则
1
2
0
x
x
-
>
，所以
2
1
1
2
0
x f x
x f x
-
>
，即
2
1
1
2
x f x
x f x
>
，
所以
1
2
1
2
f x
f x
x
x
>
，令
f x
g x
x
=
，
因为当
1
2
0
x
x
>
>
时，都有
1
2
g x
g x
>
，
所以函数
g x 在
0, ¥
+
上单调递增.
又不等式
2
2
2
3
3
2
2
f x
f
x
f
x
x
x
-
>
+
两边同乘以
2x ，
得
2
2
2
2
3
3
2
x f
x
xf x
f
x
>
-
+
，即
2
2
3
2
2
3
x
f
x
xf x
-
>
-
，
即
2
2
3
2
2
3
f x
f
x
x
x
-
>
-
，所以
2
2
3
g
x
g x
>
-
，
故
2
2
2
0
3
0
2
3
x
x
x
x
>
ì
ï
-
>
í
ï
>
-
î
，解得3
3
x
<
<
，即
3,3
xÎ
.
5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
0
f
=
，若
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- ，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
19
1
190
n
f n
=
=
å
C．函数
1
f x +
是奇函数
D．函数
1
f x + 是偶函数
【答案】C
【详解】对于A，令
1,
0
x
y
=
=
，则
1
0
1
0
1
f
f
f
f
-
=
- ，故
0
1
f
= - ，故A 错误；
对于B，令
1
y = ，则
1
1
1
f x
f x f
f x
-
=
+
- ，
所以
1
1
f x
f x
+
=
+ ，故
*
f n
nÎN
为等差数列，首项为零，公差为1，
故
19
1
19 18
19 0
1
171
2
n
f n
=
´
=
´ +
´ =
å
，故B 错误；
对于C，因为
1
1
f x
f x
+
=
+ ，
1
0
f
=
，故
1
0
1
f
f
=
+ ，
故
0
1
f
= - ，同理
1
2
f -
= - ，
在
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- 中令
1
y = - ，
则
2
1
1
f
x
f x
f x
-
+
=
-
- ，由B 的分析可得
1
1
f x
f x
=
-
-
，
所以
2
2
f
x
x
f
f x
+
-
=
-
，所以
2
f
x
f x
-
+
= - ，
所以
1
1
0
f
x
f x
-
+ +
+ =
，所以
1
1
0
f
x
f x
- +
+
+
=
，
所以函数
1
f x +
是奇函数，故C 正确；
对于D，由C 的分析可得
2
f
x
f x
-
+
= - 即
1
1
0
f
x
f x
-
+ +
+ =
，
故函数
1
f x + 是奇函数，故D 错误.
6．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数
f x 满足：
1
1
0
f
x
f
x
- +
-
- -
=
，且
1
1
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，当
1,1
xÎ -
时，
3
2
1
=
-
-
f x
ax
x
，则
f x 的最大值与最小值的差为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【详解】对任意的xÎR ，
1
1
0
f
x
f
x
- +
-
- -
=
，
1
1
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，
所以
f x 的图象关于直线
1
x = - 对称，又关于点
1,0 对称，
所以
2
f
x
f
x
- +
=
-
，
2
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，
所以
2
2
0
f x
f x
+
+
-
=
，所以
4
0
f x
f x
+
+
=
，即
4
f x
f x
+
= -
，
所以
8
4
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，故
f x 是周期为8 的周期函数．
因为
f x 的定义域为R ，所以对称中心
1,0 在
f x 的图象上，可得
1
2
0
f
a
=
-
=
，则
2
a =
．
当
1,1
x Î -
时，
3
2
2
1
f x
x
x
=
-
- ，有
2
3
1
f
x
x
x
¢
=
-
，
当1
0
x
- £
<
或1
1
3
x
<
£ 时，
0
f
x
¢
>
；当
1
0
3
x
<
<
时，
0
f
x
¢
<
.
可知
f x 在
1,0
-
上递增，在区间
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上递减，在1 ,1
3
æ
ù
ç
ú
è
û 上递增．
当
1,1
x Î -
时，
0
1
f x
f
=
= -
极大值
，
1
1
1
28
2
1
3
27
9
27
f x
f æ
ö
=
=
´
-
- = -
ç
÷
è
ø
极小值
，
又因为
1
4
f -
= - ，
1
0
f
=
，所以
min
4
f x
= - ，
max
0
f x
=
，
由于
f x 的图象关于点
1,0 对称，故当
1,3
xÎ
时，
max
4
f x
=
，
min
0
f x
=
．
故当
1,3
xÎ -
时，
min
4
f x
= - ，
max
4
f x
=
．
由于
f x 的图象关于直线
1
x = - 对称，故当
5,3
xÎ -
时，
min
4
f x
= - ，
max
4
f x
=
．
因为
f x 是周期为8 的周期函数，故当xÎR 时，
min
4
f x
= - ，
max
4
f x
=
．
因此
f x 的最大值与最小值的差为
4
4
8
- -
=
.
7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 的一个周期为6
B．
( 1)
0
f -
=
C．
(2)
0
f
=
D．
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
【答案】B
【详解】选项A，
(
1)
y
f x
=
-
Q
的图像向左平移1个单位得到
( )
y
f x
=
，
又
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，
( )
y
f x
\
=
关于(1,0) 中心对称，
(1
)
(1
)
f
x
f
x
\
+
= -
-
，
将
(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
= -
-
式子中的x 用
1
x + 代替，得到
(2
)
(
)
f
x
f
x
+
= -
-
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
(
)
( )
f
x
f x
\
-
=
，
(2
)
( )
f
x
f x
\
+
= -
，将此式子中的x 用
2
x +
代替，得到
(4
)
(2
)
( )
f
x
f
x
f x
+
= -
+
=
，
则
( )
f x 是一个以4 为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
( )
y
f x
=
Q
关于(1,0) 中心对称，
( )
f x 的定义域为R ，
(1)
0
f
\
=
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
( 1)
(1)
0
f
f
\
-
=
=
，故选项B 正确；
选项C，
(2
)
( )
f
x
f x
+
= -
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
= -
，但是
0
f
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
( )
f x
Q
是一个以4 为周期的周期函数，
(3)
( 1)
f
f
\
=
-
，
(4)
(0)
f
f
=
，
(2
)
( )
f
x
f x
+
= -
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
= -
，
(2)
(0)
0
f
f
\
+
=
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
( 1)
(0)
f
f
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
=
+
+
-
+
，
( 1)
(1)
0
f
f
-
=
=
Q
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)
(0)
0
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
=
+
=
，
2026
1
( )
506
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
i
f i
f
f
f
f
f
f
f
f
f
=
\
=
´
+
+
+
+
+
=
+
=
å
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
，故选项D 错误.
8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
f x 及其导函数
g x 的定义域均为R，
g x 在R 上单调递增，
1
g x +
为奇函数，则（ ）
A．
1
0
g
=
B．
2
g x
g
x
=
-
C．
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
D．
2
4
4
log
log 5
3
f
f
÷ <
æ
ö
çè
ø
【答案】AC
【详解】因为
1
g x +
为奇函数，所以
1
1
g x
g
x
+
= -
- +
，
令
0
x =
，得
1
1
g
g
= -
，得1
0
g
=
，故A 正确；
令
1
t
x
=
+ ，则
2
g t
g
t
= -
-
，即
2
g x
g
x
= -
-
，
若
2
g x
g
x
=
-
，则
0
g x =
恒成立，与
g x 在R 上单调递增矛盾，故B 错误；
因为
2
g x
g
x
= -
-
，所以
g x 的图象关于点
1,0 中心对称，
又1
0
g
=
，
g x 在R 上单调递增，所以
1
x < 时
0
g x <
，
1
x > 时
0
g x >
，
故
f x 在
,1
¥
-
上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，
又函数
f x 的导函数为
g x ，则
2
f
x
f
x
¢
¢
= -
-
，得
2
f x
f
x
c
=
-
+
，其中c 为常数，
令
1
x = ，得
1
1
f
f
c
=
+ ，得
0
c =
，故
2
f x
f
x
=
-
，
故
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，故C 正确；
由
f x 的对称性可知，
2
2
2
4
4
log
2
log
log 3
3
3
f
f
f
æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
4
4
4
2
1
log
log
l
3
9
5
og
4
log
=
>
>
= ，以及
f x 的单调性可知，
2
4
4
log
log 5
3
f
f
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，故D 错误.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
( )
f x 的定义域为Z ，若
(
)
( ) (1
)
( ) (1
)
f x
y
f x f
y
f y f
x
+
=
-
+
-
，且
(1)
( 1)
1
f
f
= -
-
= ，则
10
1
(2 )
i
f
i
=
=
å
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
【答案】A
【详解】令
0
x
y
=
=
，则
(0)
0
f
=
，
令
1
x
y
=
= ，则
(2)
2 (1) (0)
2 (0)
0
f
f
f
f
=
=
=
．
令
1
y = ，则
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
=
- +
，所以函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称．
令
1
y = - ，则
(
1)
( ) (2)
(1
) ( 1)
(1
)
f x
f x f
f
x f
f
x
-
=
+
-
-
= -
-
，
所以
( )
(
)
f x
f
x
= -
-
，
( )
f x 的图象关于点(0,0) 对称．
由
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
=
- +
和
(
1)
(1
)
f x
f
x
-
= -
-
，可得
(
1)
(
1)
f x
f x
-
= -
+
，
令
1
t
x
=
- ，则
2
f t
f t
= -
+
，
故
(
2)
(
)
( )
f x
f
x
f x
+
=
-
= -
，则
(
4)
(
2)
[
( )]
( )
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= - -
=
，
( )
f x 是周期
4
T =
的函数．
又
(0)
0,
(1)
1,
(2)
0,
( 1)
1
f
f
f
f
=
=
=
-
= - ，所以
10
1
(2 )
10 0
0
i
f
i
=
=
´
=
å
．
10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为R 的偶函数
f x 满足
4
2
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且
f x 在
0,2
上是单调递增函数，若函数
1
g x
f x
f x
=
-
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
g x 为偶函数
B．
g x 在
2,3 上是单调递增函数
C．
1
3
g
g
>
D．
2
g x
g x
+
=
【答案】C
【详解】已知
4
2
( )
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（①），将x 替换为
2
3
x +
得
4
2
(
2)
3
3
f x
f
x
f
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（②），
由①+②得
2
f x
f x
+
= -
，则
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
即函数
f x 周期为4 ，且
(
2)
( )
f x
f x
+
= -
恒成立，
又
( )
f x 是定义域R 的偶函数，故
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，且
( )
f x 在[0,2]单调递增，
因此
(2)
(0)
f
f
>
，结合
(2)
(0)
f
f
= -
得
(0)
0
f
<
.
选项A：(
)
(
)
(
1)
( )
(
1)
g
x
f
x
f
x
f x
f x
-
=
-
-
- -
=
-
+
（③），
由
(
2)
( )
f x
f x
+
= -
得
(
1)
(
1)
f x
f x
+
= -
-
，代入③式得(
)
( )
(
1)
g
x
f x
f x
-
=
+
-
，
而( )
( )
(
1)
g x
f x
f x
=
-
-
，显然(
)
( )
g
x
g x
-
¹
，故A 错误；
选项B：
[2,3]
xÎ
时，
( )
(
2)
f x
f x
= -
-
，
2
[0,1]
x - Î
，
(
2)
f x -
递增，
故
( )
f x 在[2,3]递减； 同时
1
[1,2]
x - Î
，
(
1)
f x -
在[1,2]上单调递增，
因此( )
( )
(
1)
g x
f x
f x
=
-
-
，根据单调性运算性质可知( )
g x 递减函数，故B 错误；
选项C：(1)
(1)
(0),
(3)
(3)
(2)
( 1)
(
(0))
(1)
(0)
g
f
f
g
f
f
f
f
f
f
=
-
=
-
=
-
- -
=
+
因此(1)
(3)
2 (0)
g
g
f
-
= -
，
已知
(0)
0
f
<
，故2 (0)
0
(1)
(3)
f
g
g
-
>
Þ
>
，故C 正确；
选项D：(
2)
(
2)
(
1)
( )
(
(
1))
[ ( )
(
1)]
( )
( )
g x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
g x
g x
¹
+
=
+
-
+
= -
- -
-
= -
-
-
= -
，故D 错误.
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知菱形ABCD 的边长为2，
π
3
BAD
Ð
=
，点Q 在线段DC 上，点P 在线段BC 上，BP
QC
=
，
则DP BQ
×
uuur uuur
的最大值为（ ）
A．
3
2
-
B．2
C．3
2
D．－2
【答案】A
【详解】在边长为2 的菱形ABCD 中，由
π
3
BAD
Ð
=
，得
π
3
BCD
Ð
=
，由点Q 在线段DC 上，
令
,0
1
CQ
CD
l
l
=
£
£
uuur
uuur
，由点P 在线段BC 上， BP
QC
=
，得
(1
)
CP
CB
l
=
-
uuur
uuur
，
则
,
(1
)
BQ
CQ
CB
CD
CB DP
CP
CD
CB
CD
l
l
=
-
=
-
=
-
=
-
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
而
π
2 2cos
2
3
CB CD
×
=
´
=
uuur uuur
，因此
[(1
)
] (
)
D
CB
CD
CD
CB
P BQ
l
l
=
×
-
-
×
-
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
2
[ (1
) 1]
(1
)
2(
1)
4(1
)
4
CB CD
CB
CD
l
l
l
l
l
l
l
l
=
-
+
×
-
-
-
=
-
+
-
-
-
uuur uuur
uuur
uuur
2
2
1
3
3
2
2
2
2(
)
2
2
2
l
l
l
= -
+
-
= -
-
-
£ -
，当且仅当
1
2
l =
时取等号，
所以DP BQ
×
uuur uuur
的最大值为
3
2
-
.
分析有理·押题有据
位置极其固定，全国Ⅱ卷多年稳定在选择第5～8 题，一道纯向量小题，5 分必出，极少缺席。难度适
中、区分度好，不偏不难，但很容易因公式记错、投影搞反、几何转化不到位丢分，是二轮必抓稳分点。
新高考命题偏好“几何+代数”双视角，向量既能考坐标运算，又能考几何投影、数量积、模长最值，完美
契合“数形结合”素养。可与圆锥曲线、解三角形、立体几何自然结合，单独考小题，也常作为大题工具
出现，命题灵活、覆盖面广。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，向量数量积与夹角；投影与投影向量；模长最值、系数线性组合最
值；向量与三角形四心（重心、外心、垂心、内心）简单结合，考纲与教材核心要求明确要求掌握：向量
线性运算、数量积、投影、模长公式、坐标运算，以及向量在几何中的应用。2026 各地模拟卷高度一致
一模二模普遍聚焦：投影向量计算；数量积范围问题，与全国卷命题风格完全同频。反套路但不超纲
不考复杂技巧，重在公式理解与几何直观，非常适合高考基础中档题定位。
密押预测·精练通关
1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD 的边长为2，点E 在线段AC 上，则AE BE
×
uuur uuur 的最小值为（ ）
A．
3
4
-
B．
1
2
-
C．
1
4
-
D．
1
8
-
【答案】B
【详解】在边长为2 的正方形ABCD 中，AC
AB
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
设
(
),0
1
AE
xAC
x AB
BC
x
=
=
+
£
£
uuur
uuur
uuur
uuur
，
(
1)
BE
AE
AB
x
AB
xBC
=
-
=
-
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
而
0
AB BC
×
=
uuur uuur
，因此
2
(
) [(
1)
]
4 (
1)
4
AE BE
x AB
BC
x
AB
xBC
x x
x
×
=
+
×
-
+
=
-
+
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
1
1
1
8
4
8(
)
4
2
2
x
x
x
=
-
=
-
-
³ -
，当且仅当
1
4
x =
时取等号，
所以AE BE
×
uuur uuur 的最小值为
1
2
-
.
2．（2026·山西朔州·一模）已知向量
2, 1 ,
,4
AB
BC
m
=
-
=
uuur
uuur
，且AB
AC
AB
AC
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，则AC =
uuur
（ ）
A．3 2
B．34
C．3 5
2
D．
61
2
【答案】C
【详解】因为AB
AC
AB
AC
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，所以
2
2
(
)
(
)
AB
AC
AB
AC
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，展开整理得
0
AB AC
×
=
uuur uuur
，
由
2, 1 ,
,4
AB
BC
m
=
-
=
uuur
uuur
得
2,3
A
C
C
AB
B
m
=
+
=
+
uuur
uuur
uuur
，即
2
2
3
0
m +
-
=
，
所以
1
2
m = -
，即
3 ,3
2
AC
æ
ö
= ç
÷
è
ø
uuur
所以
2
2
3
3 5
3
2
2
AC
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
uuur
.
3．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力
1
2
3
,
,
F F F
uur uur uur
的作用下恰好处于平衡状态，其中
2
3
(3, 2),
( 1,2)
F
F
=
-
= -
uur
uur
，则
3F
uur
在
1F
uur
上的投影向量的坐标为（ ）
A．
2,0
-
B．
1,0
-
C．
2 5 4 5
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．2 5
4 5
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
【答案】B
【详解】因为三个力
1
2
3
,
,
F F F
uur uur uur
的作用下恰好处于平衡状态，所以
1
2
3
0
F
F
F
+
+
=
uur
uur
uur
r
，
设
1
,
F
x y
=
uur
，根据向量的坐标运算，
1
2
3
2,
0
F
F
y
F
x
+
+
=
+
=
uur
uur
uur
r
，所以
2,
0
x
y
= -
=
，所以
1
2,0
F = -
uur
.
因为
3
1
1
2,
2
F F
F
=
=
uur uur
uur
g
，所以
3F
uur
在
1F
uur
上的投影向量的坐标为
3
1
1
1
1
1,0
F F
F
F
F
= -
uur uur uur
g
g
uur
uur
.
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）在
ABC
V
中，点D 是直线BC 上一点，且满足
1
2
BD
CB
=
uuur
uuur
，若CD
m
=
uuur
r ，
AB
n
=
uuur
r ，则AC =
uuur
（ ）
A．2
3 m
n
+
r
r
B．2
3 m
n
-
r
r
C．
2
3 m
n
-
-
r
r
D．
2
3 m
n
-
+
r
r
【答案】D
【详解】由
1
2
BD
CB
=
uuur
uuur
得
1
3
2
2
CD
CB
BD
CB
CB
CB
=
+
=
+
=
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，所以
2
2
3
3
CB
CD
m
=
=
uuur
uuur
r ．
又
2
3
BC
CB
m
= -
= -
uuur
uuur
r ，而AB
n
=
uuur
r ，
则
2
2
3
3
AC
AB
BC
n
m
m
n
æ
ö
=
+
=
+ -
= -
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
r
r
r
r ．
故选：D.
5．（2026·辽宁大连·一模）已知点P 是圆
2
2
:
2
4
C
x
y
-
+
=
上一点，直线:
1
0
l kx
y
k
-
-
+ =
与圆C 相交于
A ，B 两点，则PA
PB
+
uuur
uuur
的最大值为（ ）
A．2
2
+
B．2
2 2
+
C．4
2
+
D．4
2 2
+
【答案】D
【详解】依题意，直线:
1
0
l kx
y
k
-
-
+ =
可化为
1
1
0
k x
y
-
-
-
=
，所以直线l 过定点
1,1
D
；
圆
2
2
:
2
4
C
x
y
-
+
=
的圆心为
2,0
C
，半径为
2
r =
，所以
2
2
CD =
<
，所以定点D 在圆C 的内部；
如上图（左），作AB 的中点M ，则
2
PA
PB
PM
+
=
uuur
uuur
uuuur ，所以
2
PA
PB
PM
+
=
uuur
uuur
uuuur
；
如上图（中），在
DCM
△
中，
2
CM
CD
£
=
uuuur
uuur
，当D 与M 重合时取等号，此时AB
CD
^
；
如上图（右），在
PCM
△
中，
2
PM
PC
CM
r
CM
CM
£
+
=
+
=
+
uuuur
uuur
uuuur
uuuur
uuuur
，当PC
uuur
与CM
uuuur
共线时取等号；
所以
2
2
2 2
2 2
2
4
2 2
PA
PB
PM
PD
CD
+
=
£
£
+
£
+
=
+
uuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
.当D 与M 重合，且AB
CD
^
，
,
,
P C D 共线
时取等号.
故选：D.
6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量
1,2
m =
ur
，
2
5
2 ,
n
t
t
=
-
r
满足
2
5,0
m
n
-
= -
ur
r
，则向量m
ur
与n
r
的夹角为
（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
【答案】B
【详解】因为
2
2
2
(1,2)
2(5
2 , )
(4
9,2
2 )
5,0
m
n
t
t
t
t
-
=
-
-
=
-
-
= -
r
r
，
所以
2
4
9
5
2
2
0
t
t
ì
-
= -
í -
=
î
，解得
1
t = ，
所以
3,1
n =
r
，
所以
3
2
2
cos
,
2
1
4 9 1
m n
m n
m n
×
+
=
=
=
+
+
r r
r r
r r
，又0
,
π
m n
£
£
r r
，
所以向量m
ur
与n
r
的夹角为π
4 ，
故选：B
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点M 是
ABC
V
的重心，若BM
AB
AC
l
m
=
+
uuuur
uuur
uuur
，则
2
l
m
+
=（ ）
A．-1
B．
1
3
-
C．0
D．1
【答案】C
【详解】
设D 是AC 的中点，则
2
BM
MD
=
uuuur
uuuur .
所以
2
2 1
1
2
3
3 2
3
3
BM
BD
AC
AB
AC
AB
æ
ö
=
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
因为BM
AB
AC
l
m
=
+
uuuur
uuur
uuur
，所以
2
1
,
3
3
l
m
= -
=
，
因此
2
0
l
m
+
=
.
8．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，且F 为AD 边中点，BF 与AC 交于点E ，
则BE BC
×
=
uuur uuur
________．
【答案】4
3 / 1
13
【详解】在正方形ABCD 中，因为F 为AD 中点，所以
AEF
CEB
V
:V
，且
2
BE
BC
FE
FA
=
=
，
则
2
2
1
2
1
3
3
2
3
3
BE
BF
BA
BC
BA
BC
æ
ö
=
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
则
2
1
2
1
3
3
3
3
BE BC
BA
BC
BC
BA BC
BC BC
æ
ö
×
=
+
×
=
×
+
×
ç
÷
è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
2
2
1
1
4
2
3
3
3
BC
=
=
´
=
uuur
.
9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
π
π
( )
sin 3
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
的图象在y 轴右侧的第一个最高点
和第一个最低点分别为A 和B，O 为坐标原点，则OA OB
×
=
uuur uuur
_________．
【答案】3
【详解】由函数
π
π
( )
sin 3
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，令π
π
π
3
6
2
x +
=
，解得
1
x = ，所以
(1,1)
A
，即
(1,1)
OA =
uuur
，
再令π
π
3π
3
6
2
x +
=
，解得
4
x =
，所以
(4, 1)
B
-
，即
(4, 1)
OB =
-
uuur
所以
4 1
3
OA OB
×
=
- =
uuur uuur
。
10．（2026·贵州毕节·二模）已知向量
(1, 4)
a =
-
r
，
(2,3)
b =
r
，则向量ar 在向量b
r 上的投影向量为（ ）
A．10 15
,
13 13
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
10
15
,
13
13
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
C．
20
30
,
13
13
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
D．
20 30
,
13 13
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】C
【详解】因为
(1, 4)
a =
-
r
，
(2,3)
b =
r
，
1 2
4 3
10
a b
\ ×
= ´ - ´ = -
r
r
，
4
9
13
b =
+
=
r
，
则向量ar 在向量b
r 上的投影向量为
2
10
20
30
2,3
,
13
13
13
b
a b
a b b
b
b
b
æ
ö
×
×
-
-
-
æ
ö
ç
÷
×
=
×
=
= ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
r
r
r
r
r
r
r
r
r
.
押题猜想03 三角函数-三角换元、𝛚范围求解
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】若函数
1 sin
f x
x
w
= - -
（
0
w >
）在
0,π 内存在唯一的
0x ，使得
0
2
f x
= - ，则w 的取值可能
为（ ）
A．
1
2
B．5
2
C．1
D．3
【答案】BC
【详解】由
1 sin
2
f x
x
w
= - -
= - ，知sin
1
x
w = 在
0,π 内存在唯一的解.
当
0,π
xÎ
时，
0,
π
x
w
w
Î
，则π
5π
π
2
2
w
<
£
，即1
5
2
2
w
<
£
，
因仅有选项B,C 中的值在此范围，故B,C 正确.
分析有理·押题有据
小题必考，位置稳定，全国Ⅱ卷连续多年固定在选择第6～9 题出一道三角函数小题，分值5 分，几乎
从不缺席。ω范围问题是近年“固定压轴小题”三角函数图像性质、单调性、零点、对称轴求 ω 范围，
是全国卷最爱的中档拉分题，区分度极高。三角换元是二轮隐形高频工具，常在求最值、圆锥曲线参数方
程、不等式中出现，属于“不单独考但处处用”的核心方法。完美契合新高考方向，重图像、重性质、重
数形结合，不考死记硬背，非常适合考查数学素养。2026 全国Ⅱ卷三角函数小题必出，ω范围题概率接近
100%，三角换元大概率在函数/解析几何最值中用到。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，三角函数图像平移、伸缩变换；由单调性、零点、对称轴求 ω 范
围；- 三角恒等变换与最值；三角换元求无理函数、二次型最值，考纲与教材核心要求掌握正弦型函数
y=Asin(wx+ų) 图像与性质；掌握同角关系、诱导公式、和差倍角；会用换元思想转化问题，2026 各地一模
二模一致指向各地模拟卷高频出现：给定区间单调 → 求 ω；给定零点个数 → 求 ω；给定对称轴/极值
点 → 求 ω完全贴合全国卷命题风格。命题稳定、难度可控既能基础送分，又能适度综合卡中档学生，是
命题人最爱的题型之一。
密押预测·精练通关
1．（2026·云南·模拟预测）若π
3π ,cos
2sin
2,sin
2cos
1
2
2
a
b
a
b
a
b
<
-
<
-
=
+
= - ，则
π
sin
6
b
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ＝（ ）
A．
3
3
B．
6
3
C．
3
3
-
D．
6
3
-
【答案】D
【详解】由题设
sin
2cos
1
cos
2sin
2
a
b
a
b
+
= -
ìïí
-
=
ïî
，则
2
2
2
2
sin
4sin
cos
4cos
1
cos
4cos
sin
4sin
2
a
a
b
b
a
a
b
b
ì
+
+
=
í
-
+
=
î
，
所以4sin
cos
4cos
sin
5
3
a
b
a
b
-
+
=
，可得
1
sin
cos
cos
sin
sin(
)
2
a
b
a
b
a
b
-
=
-
= -
，
由π
3π
2
2
a
b
<
-
<
，则
7 π
6
a
b
-
=
，故
7 π
6
b
a
=
-
，
代入cos
2sin
2
a
b
-
=
，则
7
cos
2sin
π
2
6
a
a
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
7
cos
2sin
π
2
6
a
a
æ
ö
+
-
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos
2sin
2
6
a
a
æ
ö
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
6
cos
2sin
cos
2cos
sin
3sin
2
sin
6
6
3
a
a
a
a
a
+
-
=
=
Þ
=
，
所以
π
7
π
6
sin
sin
π
sin
6
6
6
3
b
a
a
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
= -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
2．（2026·云南大理·二模）将函数
π
( )
sin
3
f x
x
=
+
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，纵坐标保持不
变，再将所得图象向右平移π
6 个单位长度，得到函数( )
g x 的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A．( )
g x 的最小正周期为4π
B．( )
g x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上只有一个零点
C．( )
g x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
D．点5π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
是( )
g x 图象的一个对称中心
【答案】BD
【详解】将函数
π
( )
sin
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，纵坐标保持不变，
可以得到
π
sin 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，再将所得图象向右平移π
6 个单位长度，
可得到函数
π
π
( )
sin 2
sin 2
6
3
g x
x
x
é
ù
æ
ö
=
-
+
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
的图象．
对于A 选项，函数( )
sin 2
g x
x
=
的最小正周期为
2π
π
2
T =
=
，A 选项错误；
对于B 选项，
π
0, 3
x
é
ù
Î ê
ú
ë
û ，
2
2
0, 3
p
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
，( )
sin 2
0
g x
x
=
=
解得
0
x =
，
( )
g x 只有一个零点，B 选项正确；
对于C 选项，
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
，2
[0,π]
x Î
，而
sin
y
t
=
在[0,π]上不单调，
故( )
sin 2
g x
x
=
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上并不单调，C 选项错误；
对于D 选项，
5
sin5
sin
0
2
g
p
p
p
æ
ö =
=
=
ç
÷
è
ø
，D 选项正确．
故选：BD.
3．（2026·山西朔州·一模）已知
sin2
2cos
cos
x
f x
x
x
=
+
，则（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的图象关于直线
3π
2
x =
对称
C．
f x 的值域为
2 2,2 2
é
ù
ë
û
-
D．当
f x
a
=
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 有2 个不同实根
1
2
,
x x 时，
1
2
a x
x
+
的取值范围是
π,
2π
【答案】AD
【详解】
f x 的定义域为
π
π,
Z
2
x x
k
k
ì
ü
¹
+
Î
í
ý
î
þ
，关于原点对称，
sin
2
sin 2
2cos
2cos
cos
cos
x
x
f
x
x
x
f x
x
x
-
-
=
+
-
=
+
=
-
，所以
f x 为偶函数，A 正确；
sin 2 3π
sin 2
3π
2cos 3π
2cos
cos 3π
cos
x
x
f
x
x
x
f x
x
x
-
-
=
+
-
=
-
= -
-
-
，所以
f x 关于3π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，B 错；
当
π
π
(
2 π,2 π]
(
2 π,π
2 π]
2
2
x
k
k
k
k
Î -
+
È
+
+
，
Z
k Î
时，
π
2sin
2cos
2 2 sin
4
f x
x
x
x
æ
ö
= -
+
= -
-
ç
÷
è
ø ，
π
3π
π
π
3π
(
2 π,
2 π]
(
2 π,
2 π]
4
4
4
4
4
x
k
k
k
k
-
Î -
+
-
+
È
+
+
，
Z
k Î
，则
2 2, 2
2,2 2
f x
é
ù
é
ù
Î -
-
È
ë
û
ë
û ，
当
π
3π
2 π,
2 π
π
2 π,
2 π
2
2
x
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
Î
+
È
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
Z
k Î
时，
π
2 2 sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
π
π
3π
5π
7π
2 π,
2 π
2 π,
2 π
4
4
4
4
4
x
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
+
Î
+
+
È
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
Z
k Î
，则
2 2, 2
2,2 2
f x
é
ù
Î -
-
È
ë
û ，
综上可得
f x 的值域为
2 2, 2
2,2 2
é
ù
é
ù
-
-
È
ë
û
ë
û ，C 错；
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
π
2 2 sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，图象如下所示：
所以
2,2 2
aÎ
，
1
2
π
2
x
x
+
=
，则
1
2
π,
2π
a x
x
+
Î
，D 正确.
4．（2026·山西运城·一模）若函数
4
4
=π sin
cos
f x
x
x
+
的图象关于点
,
m n
0
m <
对称，则m
n
+
的最大
值为（ ）
A．π
8
B．3π
8
C．5π
8
D．7π
8
【答案】C
【详解】
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
1
π sin
cos
π
sin
+cos
-2sin
cos
π 1 2sin
cos
π 1
sin 2
2
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
é
ù
é
ù
=
+
=
=
-
=
-
ë
û
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û .
因为
2
1 cos4
sin 2
2
x
x
-
=
，所以
1 cos4
π
π 1
3
cos4
4
4
x
f x
x
-
é
ù
=
-
=
+
ê
ú
ë
û
.
令
π
4
π,
Z
2
x
k
k
=
+
Î
，得
π
π ,
Z
8
4
k
x
k
=
+
Î
，所以函数
f x 的对称中心为π
π 3π
,
,
Z
8
4
4
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
.
因为函数
4
4
=π sin
cos
f x
x
x
+
的图象关于点
,
m n
0
m <
对称，
所以π
π
0
8
4
k
+
<
，解得
1
2
k < -
，取最大的整数
1
k = - .
此时
max
π
π
π
3
,
π
8
4
8
4
m
n
=
-
= -
=
，所以m
n
+
的最大值为
π
3
5
π
π
8
4
8
m
n
+
= -
+
=
.
5．（2026·山西大同·一模）下列关于函数
4sin 2
8
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø的说法正确的是（ ）
A．直线
16
x
p
=
是函数
y
f x
=
图象的一条对称轴
B．
f x 在区间
,
8 8
p p
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．
f x 的图象可通过
4sin2
y
x
=
的图象上所有点向右平移8
p 个单位长度得到
D．若
1
2
x
x
¹
，且
1
2
2
f x
f x
=
=
，则
1
2 min
3
x
x
p
-
=
【答案】BD
【详解】对于A，
π
π
π
4sin
0
16
8
8
f æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，0 不是函数的最值，所以函数不关于
π
16
x =
对称，故A 错误；
对于B，令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
8
2
k
x
k
-
+
£
-
£
+
，k ÎZ ，解得
3π
5π
π
π
16
16
k
x
k
-
+
£
£
+
，k ÎZ ，
所以函数
f x 的单调递增区间为
3π
5π
π,
π
16
16
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z ，
令
0
k =
，得函数
f x 在
3π 5π
,
16 16
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
又
π π
3π 5π
,
,
8 8
16 16
é
ù
é
ù
-
Í -
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û ，所以函数
f x 在
,
8 8
p p
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，故B 正确；
对于C，将函数
4sin2
y
x
=
的图象上所有点向右平移8
p 个单位长度得到
π
π
4sin 2
4sin 2
8
4
y
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
故C 错误；
对于D，
π
4sin 2
2
8
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
π
1
sin 2
8
2
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
1
1
1
π
π
2
2 π,
8
6
x
k
k
-
=
+
ÎZ ，
2
2
2
π
5π
2
2
π,
8
6
x
k
k
-
=
+
ÎZ ，
则
1
2
1
2
1
2
π
π ,
3
x
x
k
k
k
k
-
= -
+
-
-
ÎZ ，
故当
1
2
k
k
=
时，
1
2 min
3
x
x
p
-
=
，故D 正确.
6．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
sin 2
π
x
f x
x
j
=
+
-
π
π
2
2
j
æ
ö
-
<
<
ç
÷
è
ø ，若函数
f x 与
g x 的图象关于
直线x = π
6 对称，且
1
0
6
g
=
，则j =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】B
【详解】由题意知
π
1
0
3
6
f
g
æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
，所以
2π
1
1
sin
3
3
3
6
f
p
j
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
2π
1
sin
3
2
j
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
因为
π
π
2
2
j
-
<
<
，所以π
2π
7π
6
3
6
j
<
+
<
，所以2π
5π
3
6
j
+
=
，解得
π
6
j =
.
7．（2026·辽宁·模拟预测）将函数
π
sin
,
0,
0,0
2
f x
A
x
b
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
+
>
>
<
<
ç
÷
è
ø 的图象按照以下顺序进
行变换：
①向左平移π
6 个单位长度；②横坐标变为原来的2 倍，纵坐标变为原来的
1
2 倍；③向下平移
1
2 个单位长度，
可得到函数
sin
g x
x
=
的图象．则下列结论正确的是（ ）
A．若
0
f x ³
，则x 的取值范围为
π
3π
π,
π
12
4
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z
B．若函数
,
0
2
x
f
w
w
æ
ö
-
>
ç
÷
è
ø
在
π,0
-
上的图象与直线
1
y = 有且只有一个交点，在
2π π
,
5
3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递减，
则
1 1
,
3 2
w
é
ù
Îê
ú
ë
û
C．若函数
7π
1
24
f
x
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
在区间
π
,
4
t t
é
ù
+
ê
ú
ë
û 上的最值分别为
,
m n ，则m
n
-
的取值范围是
2
1,2
é
ù
-
ë
û
D．若方程
3
2
f x =
在
0,π 内恰有两个根
1
2
1
2
,
x x
x
x
<
，则
1
2
15
sin 2
2
8
x
x
-
= -
【答案】ABD
【详解】由题意得将
( )
sin(
)
f x
A
x
b
w
j
=
+
+
的图象向左平移π
6 个单位长度，
则
π
π
sin
sin
6
6
y
A
x
b
A
x
b
w
j
w
w
j
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
而横坐标变为原来的2 倍，纵坐标变为原来的
1
2 倍，
得到
1
π
1
π
sin
sin
2
2
6
2
2
6
2
b
y
A
x
b
A
x
w
w
w
j
w
j
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
而向下平移
1
2 个单位长度，
可得
1
π
1
sin
sin
2
2
6
2
2
b
g x
A
x
x
w
w
j
æ
ö
=
+
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
则
π
2,
2,
,
1
3
A
b
w
j
=
=
= -
= ，即
π
( )
2sin 2
1
3
f x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
.
对于A，由
π
( )
2sin 2
1
0
3
f x
x
æ
ö
=
-
+ ³
ç
÷
è
ø
，得
π
1
sin 2
3
2
x
æ
ö
-
³ -
ç
÷
è
ø
，
由三角函数的图象可得
π
π
7π
2 π
2
2 π
6
3
6
k
x
k
k
-
+
£
-
£
+
ÎZ ，
可得x 的取值范围为
π
3π
π,
π
12
4
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z ，故A 正确；
对于B，由题意得
π
π
2sin 2
1
2sin(
) 1
2
2
3
3
x
x
f
x
w
w
w
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
=
´ -
-
+ = -
+
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
令
π
2sin(
) 1
1
3
x
w
-
+
+ = ，可得
π
π,
3
x
k k
w +
=
ÎZ ，
而
π,0
xÎ -
，则
π
π π
π
,
3
3 3
x
w
w
é
ù
+
Î -
+
ê
ú
ë
û ，
若
2
x
f
w
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 在
π,0
-
上的图象与直线
1
y = 有且只有一个交点，
则
π
π,
3
x
k k
w +
=
ÎZ 在
π,0
-
上有且只有一个解，
可得
π
π
π,0
3
w
-
+
Î -
，解得
1 4
,
3 3
w
é
ö
Î
÷
êë
ø.
若
2
x
f
w
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 在
2π π
,
5
3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递减，则
π
2sin(
)
3
y
x
w
=
+
在
2π π
,
5
3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
因为
2π π
,
5
3
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，所以
π
2π
π π
π
,
3
5
3
3
3
x
w
w
w
é
ù
+
Î -
+
+
ê
ú
ë
û ，
令
π
3
t
x
w
=
+
，由正弦函数性质得
sin
y
t
=
在
π π
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
可得
2π
π
π
5
3
2
π
π
π
3
3
2
w
w
ì-
+
³ -
ïïí
ï
+
£
ïî
，解得
1
0, 2
w
æ
ù
Îç
ú
è
û ，
综上可得，
1 1
,
3 2
w
é
ù
Îê
ú
ë
û ，故B 正确；
对于C，由题意得
7π
7π
π
π
1
2sin 2(
)
2sin 2
24
24
3
4
f
x
x
x
æ
ö
é
ù
æ
ö
+
- =
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
è
ø ，
不妨设函数
7π
1
24
f
x
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
在区间
π
,
4
t t
é
ù
+
ê
ú
ë
û 上的最大值为m ，最小值为n ，
令
π
4
t = -
，则区间变为
0
π ,
4
é
ù
-
ê
ú
ë
û ，可得
π
π π
2
,
4
4 4
x
é
ù
+
Î -
ê
ú
ë
û ，
则
π
2sin 2
2,
2
4
x
æ
ö
é
ù
+
Î -
ç
÷
ë
û
è
ø
，即
2,
2
m
n
=
= -
，
此时
2
(
2)
2 2
m
n
-
=
- -
=
，
即m
n
-
的取值范围是
2
1,2
é
ù
-
ë
û 不成立，故C 错误；
对于D，令
π
2
3
x
t
-
= ，则
π
2
6
t
x =
+
，
π 5π
,
3
3
t
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
若方程
3
( )
2
f x =
在
0,π 内恰有两个根
1
x ，
2
1
2
x
x
x
<
，
则
3
2sin
1
2
t + =
，即
1
sin
4
t =
在
π 5π
,
3
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 内恰有两个根1
2
1
2
π
,
0
π
2
t t
t
t
æ
ö
<
<
<
<
ç
÷
è
ø ，
则
1
2
1
sin
sin
4
t
t
=
=
，且1
2
π
t
t
+
=
，得到
1
2
15
cos
cos
4
t
t
= -
=
，
故
1
2
1
2
1
2
1
2
15
sin 2
2
sin
sin
cos
cos sin
8
x
x
t
t
t
t
t
t
-
=
-
=
-
= -
，故D 正确.
故选：ABD
8．（2026·广西·模拟预测）已知函数
2026π
tan
3
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø（
0
w >
），若曲线
y
f x
=
关于点π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø中
心对称，则w 的最小值为__________.
【答案】1
2 /0.5
【详解】由正切函数性质可知，函数
tan
y
x
=
的对称中心为
π ,0 ,
2
k
k
æ
ö
Î
ç
÷
è
ø
Z ，
因为曲线
y
f x
=
关于点π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø中心对称，
所以
π
2026π
π ,
3
3
2
k
k
w ´
+
=
ÎZ ，即
3
2026,
2
k
k
w =
-
ÎZ
因为
0
w >
，所以3
2026
0
2
k -
>
，解得
4052
3
k >
，
因为k ÎZ ，所以
min
1351
k
=
，故
min
1
2
w
=
.
故答案为：
1
2
9．（2026·陕西铜川·一模）设
f x 为奇函数，将
f x 的图像向左平移
π
0
2
j
j
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø个单位长度后，得到函
数
sin2
3cos2
g x
x
x
=
+
的图像，则j =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
【答案】B
【详解】
1
3
sin2
3cos2
2
sin2
cos2
2
2
g x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
π
π
2 sin2 cos
cos2 sin
2sin 2
3
3
3
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
因为将
f x 的图像向左平移
π
0
2
j
j
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 个单位长度后，得到函数
sin2
3cos2
g x
x
x
=
+
的图像，
所以
g x 向右平移
π
0
2
j
j
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 个单位长度后，得到函数
f x 的图像，
所以
π
π
2sin 2
2sin 2
2
3
3
f x
g x
x
x
j
j
j
é
ù
æ
ö
=
-
=
-
+
=
-
+
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø ，
又因为
f x 为奇函数，所以
π
2
π,
3
k
k
j
-
+
=
ÎZ ，所以
π
π ,
6
2
k
k
j =
-
ÎZ，
又
π
0
2
j
<
<
，所以
π
6
j =
.
故选：B.
10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
π
tan
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø，
π
6
x =
为
f x 的一个零点，
f x
的图象关于点5π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø对称，且
f x 在π 5π
,
6 12
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，则（ ）
A．
2
w =
B．
6
p
j =
C．
5π
0
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
D．
f x 在
π ,0
6
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增
【答案】AC
【详解】因为
tan
f x
x
w
j
=
+
的一个零点为
π
6
x =
，
f x 的图象关于点5π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，且
f x 在π 5π
,
6 12
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递增，
所以π
5π
π
π
2 12
6
2
T
w
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
è
ø
，所以
2
w =
，A 正确；
由
π
π
tan
0
6
3
f
j
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
及
π
2
j <
，得
π
3
j = -
，B 错误；
所以
π
5π
10π
π
tan 2
,
tan
tan3π
0
3
3
3
3
f x
x
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，C 正确；
因为
π
12
x = -
时，
f x 不存在，因为
π
π
0
6
12
-
< -
<
，
所以函数
f x 在
π
π
π
,
,
,0
6
12
12
æ
ö æ
ö
-
-
-
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø 上单调递增，故D 错误．
押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，经过
2
F 的直线与C 的右支交于
A，B 两点，且
1
1
cos
9
BAF
Ð
=
，
1
AF
AB
=
，则C 的离心率是（ ）
A．
21
3
B．
15
3
C．
3
D．
5
【答案】A
【详解】设AB
m
=
，则
1
AF
AB
m
=
=
，
由双曲线的定义，可得
1
2
2
AF
AF
a
-
=
，所以
2
2
AF
m
a
=
-
，
又由
2
2
(
2 )
2
BF
AB
AF
m
m
a
a
=
-
=
-
-
=
，
因为
1
2
2
BF
BF
a
-
=
，所以
1
2
2
2
2
4
BF
BF
a
a
a
a
=
+
=
+
=
，
在
1
ABF
V
中，由余弦定理得
2
2
2
1
1
1
1
2
cos
BF
AB
AF
AB AF
BAF
=
+
-
Ð
，
2
2
2
2
1
(4 )
2
9
a
m
m
m
=
+
- ´
´
，即
2
2
2
2
1
16
16
2
2
9
9
m
a
m
m
=
- ´
´
=
，
即
2
2
9
m
a
=
，所以
3
m
a
=
，则
1
2
3 ,
3
2
AF
a AF
a
a
a
=
=
-
=
，
在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
F F
AF
AF
AF AF
F AF
=
+
-
Ð
，
即
2
2
2
1
(2 )
(3 )
2 3
9
c
a
a
a
a
=
+
- ´
´ ´
，解得
2
2
7
3
c
a
=
，所以
2
2
7
3
c
a =
，
所以双曲线的离心率为
21
3
c
e
a
=
=
.
分析有理·押题有据
地位：小题必考“黄金考点”全国Ⅱ卷每年必有一道离心率小题，位置稳定在选择 6～8 题，分值5 分，
几乎从不缺席。区分度极强，二轮必争之分入门简单、想快很难，能轻松拉开中等生与尖子生差距，是命
题人最爱用的“卡分题”。可结合：焦点三角形、渐近线、垂直、向量、中点、几何性质，考法多但套路
固定。新高考风格高度契合，重几何性质、轻暴力计算，强调数形结合与转化，完全符合新课标命题思路。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，焦点三角形求离心率；垂直条件（向量垂直、斜率乘积＝-1）；渐
近线夹角、倾斜角；中点弦、对称点，每年必考一类，从未断档。 考纲与教材核心要求离心率 e=c/a 是描
述圆锥曲线形状的核心量，考纲明确要求熟练求解。 2026 各地一模二模高度一致各地模拟卷几乎都把离心
率作为小题必考，考法与全国卷高度同频。不超纲、不偏怪，可深可浅，既能简单送分，也能稍加包装变
成小压轴，命题弹性极佳。
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点分别为A，B，点M 在C 上，且
4 13
BM =
，
10
AM =
，
4
tan
3
BAM
Ð
=
，则C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．2 2
3
【答案】A
【详解】因为BM
AM
>
，所以点M 在y 轴左侧，
如图，作MN
x
^
轴，垂足为N ．由
4
tan
3
BAM
Ð
=
，得
4
sin
5
BAM
Ð
=
，
所以
sin
8
MN
AM
BAM
=
Ð
= ，即
8
M
y
=
，
则
2
2
10
8
6
AN =
-
=
，
2
2
4 13
8
12
BN =
-
=
，
所以
2
18
AB
a
=
=
，即
9
a =
，则
9
6
3
M
x
= - +
= - ，则点M 的坐标为
3,8
-
或
3, 8
-
-
，
结合
9
a =
，将
( 3,8)
M -
代入到椭圆方程有
2
2
2
( 3)
8
1
81
b
-
+
= ，
解得
2
72
b =
，则
2
9
72
3
c =
-
= ，则
3
1
9
3
c
e
a
=
=
=
.
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线
2
:
12
C y
x
=
的焦点为F，点
0
0
,
M x
y
在抛物线C 上，若
|
| 9
MF =
，O 为坐标原点，则（ ）
A．
0
3 3
x =
B．
0
6 2
y = ±
C．|
| 6 3
OM =
D．点F 到直线OM 的距离为2 2
【答案】BC
【详解】抛物线
2
:
12
C y
x
=
的焦点
3,0
F
，准线
3
x = - ，
对于A，由抛物线的定义，得
0
|
|
3
9
MF
x
=
+
=
，则
0
6
x =
，A 错误；
对于B，由点
0
0
,
M x
y
在抛物线C 上，得
2
0
12 6
72
y =
´
=
，则
0
6 2
y = ±
，B 正确；
对于C，
2
2
0
0
|
|
36
72
6 3
OM
x
y
=
+
=
+
=
，C 正确；
对于D，设点F 到直线OM 的距离为d，则
0
1
1
·
·
2
2
OFM
S
OM d
OF y
=
=
V
，
6
d =
，D 错误.
3．（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
，圆M 为以实轴
1
2
A A 为直径的圆，试验发
现将圆M 竖直上移
3 个单位或水平右移
6 个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
5
2
B．
6
2
C．2
D．
3
【答案】B
【详解】由题，圆
2
2
2
M
x
y
a
+
=
：
，竖直上移
3 个单位或水平右移
6 个单位后，
分别得到圆
2
2
2
1 :
3
M
x
y
a
+
-
=
，
2
2
2
2 :
6
M
x
y
a
-
+
=
，
若圆
1
M ，圆
2
M 均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线
0
bx
ay
-
=
，
有
2
2
2
2
0
3
6
0
a
a
a
b
b
a
a
b
ì
-
ï
=
ï
+
ïí
-
ï
=
ï
ï
+
î
，即
3
6
a
ac
b
ac
ì
=
ïí
=
ïî
，解得
2
a
b
=
，
所以双曲线C 的离心率
2
2
6
1
2
c
b
e
a
a
=
=
+
=
.
4．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
的焦点为F ，准线为l，过点F 的直线交C 于
,
A B
两点，以F 为圆心，|
|
FA 为半径的圆交l 于
,
M N 两点.若
,|
| 6
AM
l FA
^
=
，则一定有（ ）
A．
2
p =
B．直线AF 的斜率是
3
C．|
| 9
AB =
D．AMN
V
的面积是18 3
【答案】D
【详解】对于A，以F 为圆心，FA 为半径的圆交准线l 于M
N
，
两点,且
,
AM
l
^
故FA
FM
AM
=
=
，所以AMF
V
是等边三角形，所以
60
AMF
Ð
=
o，
设准线l 与x 轴交于点H ,则
30
HMF
Ð
=
o ，如下图：
故
sin30
3,
p
HF
MF
=
=
=
o
故A 错误；
对于B，因为
60
MAF
Ð
=
o , AM 平行于x 轴，
故
120
AFH
Ð
=
o，故当A 点位于第一象限时，直线AF 的倾斜角为60o ；
当A 点位于第四象限时，直线AF 的倾斜角为120o；所以直线AF 的斜率是
3
±
，故B 不正确；
对于C，因为直线AF 的斜率是
3
±
，且抛物线
2
6
C
y
x
=
：
，
故直线AB 的方程为：
3
3
2
y
x
æ
ö
= ±
-
ç
÷
è
ø ，
联立方程得
2
3
3
6
2
x
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，即
2
4
20
9
0,
x
x
-
+
=
设
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x y
则
1
2
+
5
x
x =
，故
1
2
+
8
AB
x
x
p
=
+
=
，故C 不正确；
对于D,由A 知
30
HMF
Ð
=
o ，故
cos30
3 3,
MH
MF
=
=
o
故
2
6 3,
MN
MH
=
=
1
18 3
2
AMN
S
MN
AM
=
´
´
=
V
,故D 正确.
5．（2026·陕西铜川·一模）已知双曲线
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 且斜率为k 的
直线l 与双曲线C 的右支交于点Q ，与直线
1
2
x =
交于点P ，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C 的离心率为2
B．
3
3
k
-
<
<
C．若AQ
QF
^
，则
1
2
k = ±
D．若P 是线段AQ 的中点，则
1
k = ±
【答案】ABD
【详解】由双曲线
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，可得
2
2
1,
3
a
b
=
=
，所以
2
2
1,
3,
2
a
b
c
a
b
=
=
=
+
=
，
所以左顶点
1,0
A -
，右焦点
2,0
F
，离心率
2
2
1
c
e
a
=
=
=
，故A 正确；
设直线l 的方程为
1
y
k x
=
+
，代入双曲线方程得
2
2
2
3
1
3
x
k
x
-
+
=
，
整理得
2
2
2
2
3
2
3
0
k
x
k x
k
-
-
-
+
=
，
设
0
0
,
Q x
y
，则
2
0
2
3
1
3
k
x
k
-
-
× -
=
-
，所以
2
0
2
3
3
x
k
k
=
+
-
，
又点Q 在双曲线C 的右支上，则
2
2
3
1
3
k
k
+
³
-
，解得
3
3
k
-
<
<
，故B 正确；
若AQ
QF
^
，所以
0
AQ QF
×
=
uuur uuur
，又
0
0
0
0
1,
,
2
,
AQ
x
y
QF
x
y
=
+
=
-
-
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,
2
,
1
2
2
AQ QF
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
×
=
+
×
-
-
=
+
×
-
-
= -
+
+
-
uuur uuur
，
又因为
0
0
1
y
k x
=
+
，所以
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
1
1
1 2
2
AQ QF
x
x
k
x
k
x
k
x
k
×
= -
+
+
-
+
= -
+
+
-
+
-
uuur uuur
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
54
18
1
1 2
2
0
3
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
+
-
+
= -
+
´
+
-
×
+
-
=
=
ç
÷
-
-
è
ø
-
，
解得
3
3
k = ±
，故C 错误；
直线l 与直线
1
2
x =
交于点
1 3
,
2
2
k
Pæ
ö
ç
÷
è
ø，
若P 是线段AQ 的中点，则由中点坐标公式得
0
1
1
2
2
x
- +
=
，解得
0
2
x =
，
故
2
2
3
2
3
k
k
+
=
-
，解得
1
k = ± ，符合
3
3
k
-
<
<
，故D 正确.
故选：ABD.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的右焦点为F ，半焦距为c .过
F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，且OHF
V
的面积为
2
3
8 c ，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．2 或
3
C．2 或
5
D．2 或2 3
3
【答案】D
【详解】由题可得双曲线的渐近线为
b
y
x
a
= ±
，这里不妨取
b
y
x
a
=
，即
0
bx
ay
-
=
，
点
,0
F c
到直线
0
bx
ay
-
=
的距离
2
2
bc
FH
b
c
a
b
bc
=
=
=
+
，
在OHF
V
中
2
2
2
2
OH
OF
FH
c
b
a
=
-
=
-
=
，
所以
2
1
1
3
·
·
2
2
8
OHF
S
OH HF
ab
c
=
=
=
V
，则
2
4
3
ab
c
=
，
又因
2
2
2
b
c
a
=
-
，所以
2
2
2
4
3
a c
a
c
-
=
，
化简可得
2
2
4
4
16
16
3
a c
a
c
-
=
，等式两边同时除以
4
a ，可得
2
4
16
16
3
e
e
-
=
，
即
4
2
3
16
16
0
e
e
-
+
=
，解得
2
4
3
e =
或
2
4
e =
，
因
1
e > ，所以
2 3
3
e =
或
2
e =
.
7．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F ，P 为C 上一动点，A 为一定点，则正确的有
（ ）
A．若
4
PF =
，则点P 的坐标为
3, 2 3
B．若
5,3
A
，则PA
PF
+
的最小值为6
C．若
3,0
A
，则PA 的最小值为2 2
D．若
3,0
A
，则
APF
Ð
的最大值为π
4
【答案】BCD
【详解】对于A，因为焦半径
4
2
P
p
PF
x
=
+
=
，所以
3
P
x =
，代入
2
4
y
x
=
，解得
2 3
P
y = ±
，
所以
3, 2 3
P
±
，故A 错误；
对于B，将横坐标5 代入抛物线方程中，得
2
20
9
y =
>
，所以点A 在抛物线内，
所以
5 1
6
PA
PF
+
³
+ =
，当且仅当PA 与x 轴平行时取等，故B 正确；
对于C，设
0
0
,
P x
y
，则
2
0
0
4
y
x
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
|
|
3
3
4
2
9
1
8
8
PA
x
y
x
x
x
x
x
=
-
+
=
-
+
=
-
+
=
-
+
³ ，
所以PA 的最小值为2 2 ，C 正确；
对于D，设点M 是x 轴上点A 右侧一点，不妨设P 位于第一象限，
如图所示：
则
tan
tan
1
PA
PF
PA
PF
k
k
APF
MAP
MFP
k k
-
Ð
=
Ð
- Ð
= +
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
3
1
2
4
3
4
3
3
1
3
1
y
y
x
x
x
y
y
x
x
y
x
x
x
x
x
-
-
-
=
=
=
=
-
+ +
+
+
+
-
-
，
令
0
0
t
x
t
=
³
，分母为
3
1
3
y
t
t -
=
+
，则
2
2
2
2
3
1
1
1
3
3
t
t
t
y
t
t
t
-
¢
+
+
-
=
-
=
，
当
0,1
t Î
，
0
¢ <
y
，所以
3
1
3
y
t
t -
=
+
在
0,1 上单调递减；
当
1,
t
¥
Î
+
，
0
¢ >
y
，所以
3
1
3
y
t
t -
=
+
在
1,+¥ 上单调递增；
所以当
1
t = 时，
min
1 3
4
y
= +
=
，
此时tan
1
APF
Ð
£ ，由图知0
π
APF
< Ð
<
，所以
π
4
APF
Ð
£
，故D 正确.
8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A ，过点A 且斜率为2
的直线与C 的两条渐近线分别交于P，Q 两点（其中点P 在第一象限）.若O 为坐标原点，点M 满足
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
，
5
2
AM
a
=
uuuur
∣
∣
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
7
2
B．
21
3
C．5
3
D．
5
2
【答案】B
【详解】
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
Q
，
M
\
为PQ的中点，
过点M 作MN
x
^
轴，交x 轴于点N ，
设
0
AN
m m
=
>
，
Q过点A 的直线的斜率为2，
2
MN
m
\
=
，
2
2
5
AM
MN
AN
m
\
=
+
=
，
5
2
AM
a
=
uuuur
Q
，
5
5
2
m
a
\
=
，
1
2
m
a
\
=
，
1
2
AN
a
=
，
MN
a
\
=
，
,0
A a
Q
，
OA
a
\
=
，
1
3
2
2
ON
OA
AM
a
a
a
\
=
+
=
+
=
，
3 ,
2
M
a a
æ
ö
\
ç
÷
è
ø，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
M
Q
为PQ的中点，
1
2
1
2
3 ,
2
2
2
x
x
y
y
a
a
+
+
\
=
=
，
1
2
1
2
3 ,
2
x
x
a y
y
a
\
+
=
+
=
，
Q
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线上的点，
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
0,
0
x
y
x
y
a
b
a
b
\
-
=
-
=
，
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
a
b
a
b
\
-
=
-
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
y
y
a
a
b
b
\
-
=
-
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
y
y
b
a
x
x
x
x
x
x
-
+
-
\
=
=
-
-
+
，
1
2
1
2
2
y
y
k
x
x
-
=
=
-
Q
，
1
2
1
2
3 ,
2
x
x
a y
y
a
+
=
+
=
，
2
2
2
4
2
3
3
b
a
a
a
\
=
´
=
，
2
2
4
21
1
1
3
3
c
b
e
a
a
\ =
=
+
=
+
=
.
故选：B.
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= ，
1F ，
2
F 分别是椭圆C 的左右焦点，O 是原点，P 是
椭圆C 上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．
1
2
F PF
V
的周长是2 2
2
+
B．
1
2
π
3
F PF
Ð
=
时，
1
2
F PF
V
的面积是
3
C．
1
2
PF
PF
×
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则ABO
V
面积的最小值为2
【答案】ACD
【详解】对于A，由椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= 知椭圆焦点在x 轴上，且
2,
1,
1
a
b
c
=
=
= ，
则
1
2
F PF
V
的周长是
1
2
1
2
2
2
2 2
2
PF
PF
F F
a
c
+
+
=
+
=
+
，故A 正确；
对于B，由椭圆的定义得
1
2
2
2 2
PF
PF
a
+
=
=
，
1
2
2
2
F F
c
=
=
，
由余弦定理得，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
PF
PF
PF PF
F PF
F F
+
-
×
Ð
=
，
则
2
1
2
1
2
3
4
PF
PF
PF PF
+
-
=
，即
1
2
8
3
4
PF PF
-
=
，则
1
2
4
3
PF PF =
，
所以
1
2
F PF
V
的面积为
1
2
1
2
1
1
4
3
3
sin
2
2
3
2
3
PF PF
F PF
×
Ð
=
´
´
=
，故B 错误；
对于C，由
1
2
2 2
PF
PF
+
=
，则
2
1
2
1
2
2
2
PF
PF
PF
PF
æ
ö
+
×
£
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
1
2
2
PF
PF
=
=
时等号成立，故C 正确；
对于D，先证明：椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上的一点
0
0
,
x
y
处的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
×
×
+
= .
联立
2
2
2
2
0
0
2
2
1
1
x
y
a
b
x x
y y
a
b
ì
+
=
ïïí ×
×
ï
+
=
ïî
，得
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
0
0
0
0
(
)
2
0
a y
b x
x
a b x x
b a
a y
+
-
+
-
= ，
Q点
0
0
,
x
y
在椭圆上，
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1(
0)
x
y
a
b
b x
a y
a b
a
b
\
+
=
>
>
Þ
+
=
，
\
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
a b x
a b xx
a b x
-
+
=
，即
2
2
2
2
0
0
(
2
)
0
a b
x
xx
x
-
+
= ，
\
2
2
2
0
(
)
0
a b
x
x
-
=
， 得
0
x
x
=
，故直线和椭圆仅有一个公共点，
则椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上的一点
0
0
,
x
y
处的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
×
×
+
= .
设
0
0
,
P x
y
，由题意知
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= 的切线斜率存在，则切线方程为
0
0
1
2
x x
y y
+
= ，
令
0
x =
，得
0
1
y
y
=
，令
0
y =
，得
0
2
x
x
=
，即
0
0
2
1
,0 ,
0,
A
B
x
y
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又
2
2
0
0
1
2
x
y
+
= ，则
2
0
2
0
0
0
1
2
2
2
x
x
y
y
=
+
³
×
×
，
即
0
0
2
2
x
y £
，当且仅当
0
0
2
2
2
x
y
=
=
时等号成立，
则ABO
V
面积为
0
0
0
0
1
2
1
1
2
2
x
y
x
y
×
×
=
³
，
即ABO
V
的面积的最小值为2 ，故D 正确.
10．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，
1F 、
2
F 是其左右焦点，点P 为双曲线上在第一象限
内的一点，连接点P 与右焦点
2
F 的直线交双曲线的右支于另一点Q ，记点P 到两渐近线的距离为
1d 、
2
d ，
点Q 到两渐近线的距离为
3
d 、
4
d ，
1
2
PFF
V
、
1 2
QFF
V
的内切圆圆心分别为
1I 、
2I ，则下列结论正确的是（ ）
A．
1
2
3
4
d d
d d
>
B．两内切圆相切于x 轴上同一点
C．点
2
F 在以
1 2
I I 为直径的圆上
D．两内切圆周长之和的取值范围是
8 3
4π,
π
3
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
【答案】BCD
【详解】对于双曲线C ，
1
a = ，
3
b =
，则
2
2
1 3
2
c
a
b
=
+
=
+
=
，如图所示：
对于A 选项，设点
1
1
,
P x y
、
2
2
,
Q x
y
，则
2
2
1
1
1
3
y
x -
= ，
2
2
2
2
1
3
y
x -
= ，
双曲线C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
，即
0
3
y
x ±
=
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
3
3
3
4
4
4
1
1
1
1
3
3
3
3
y
y
y
x
x
x
d d
-
-
+
=
×
=
=
=
+
+
，同理可得
3
4
3
4
d d =
，
故
1
2
3
4
d d
d d
=
，A 错；
对于B 选项，设
1
2
PFF
V
的内切圆
1I 分别切边
1
PF 、
2
PF 、
1
2
F F 于点R 、S 、T ，
由切线长定理可得PR
PS
=
，
1
1
F R
FT
=
，
2
2
F S
F T
=
，
因为
1
1
2
2
2
2
2
2 2
6
PF
F F
PF
a
c
+
-
=
+
=
+ ´
=
，
又因为
1
1
2
2
1
1
2
2
PF
F F
PF
PR
F R
FT
F T
PS
F S
+
-
=
+
+
+
-
+
1
1
1
2
6
F R
FT
FT
=
+
=
=
，所以
1
3
FT =
，即
1
2
3
T
FT
x
=
- -
=
，解得
1
Tx = ，
故圆
1I 切x 轴于点
1,0
T
，同理可知圆
2I 切x 轴于点
1,0
T
，
故两内切圆相切于x 轴上同一点，B 对；
对于C 选项，因为
1I 为
1
2
PFF
V
的内心，故
1
2
1
2
1
I F P
I F F
Ð
= Ð
，同理可得
2
2
2
2
1
I F Q
I F F
Ð
= Ð
，
因为
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
π
I F P
I F F
I F Q
I F F
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
，即
1
2
1
2
2
1
2
π
I F F
I F F
Ð
+ Ð
=
，
即
1
2
2
2
π
I F I
Ð
=
，故
1
2
2
π
2
I F I
Ð
=
，即
1
2
2
2
I F
I F
^
，故点
2
F 在以
1 2
I I 为直径的圆上，C 对；
对于D 选项，由图可知，直线PQ不与x 轴重合，设直线PQ的方程为
2
x
my
=
+
，
联立
2
2
2
3
3
x
my
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
可得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
+
+
=
，
因为直线PQ与双曲线C 的右支交于两点，
所以
2
2
2
2
3
1
0
Δ
144
36 3
1
36
1
0
m
m
m
m
ì
- ¹
ïí
=
-
-
=
+
>
ïî
，
由韦达定理可得
1
2
2
12
3
1
m
y
y
m
+
= -
- ，
1
2
2
9
3
1
y y
m
=
- ，
由题意可得
2
1
2
1
2
1
2
2
2
12
4
2
2
4
4
0
3
1
3
1
m
x
x
my
my
m y
y
m
m
+
=
+
+
+
=
+
+
= -
+
= -
>
-
-
，
可得
2
3
1
0
m - <
，解得
3
3
3
3
m
-
<
<
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
9
24
3
4
2
2
2
4
4
0
3
1
3
1
m
m
m
x x
my
my
m y y
m y
y
m
m
-
-
-
=
+
+
=
+
+
+
=
+
=
>
-
-
，
可得
2
3
1
0
m - <
，解得
3
3
3
3
m
-
<
<
，
设直线PQ的倾斜角为a ，当
3
0, 3
m
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
时，则
1
tan
3,
m
a
¥
=
Î
+
，此时
π π
,
3 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
当
0
m =
时，
π
2
a =
，
当
3 ,0
3
m
æ
ö
Î -
ç
÷
ç
÷
è
ø
时，则
1
tan
,
3
m
a
¥
=
Î -
-
，此时
π 2π
,
2
3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
综上所述
π 2π
,
3
3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
设
1
2
1
I F F
q
Ð
=
，则
2
2
1
π
2
I F F
q
Ð
=
-
，所以
2
2
F I T
q
Ð
=
，则
π 2π
2
π
,
3
3
q
a
æ
ö
=
-
Îç
÷
è
ø ，
故
π π
,
6 3
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
3
tan
, 3
3
q
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
设圆
1I 、圆
2I 的半径分别为1r 、2r ，
因为
1
1
2
1
2
tan
tan
r
I F T
r
F T
q
Ð
=
=
=
，
2
2
2
2
2
1
tan
tan
F T
F I T
r
r
q
Ð
=
=
=
，
所以1
2
1
r
r
=
，则1 2
1
rr = ，且1
3
tan
, 3
3
r
q
æ
ö
=
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
故两内切圆周长之和为
1
2
1
1
1
2π
2π
r
r
r
r
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
构造函数
1
f x
x
x
=
+
，其中
3 , 3
3
x
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
由对勾函数的单调性可知函数
f x 在
3 ,1
3
æ
ù
ç
ú
çè
û
上单调递减，在
1, 3
éë
上单调递增，
因为
1
2
f
=
，
3
4 3
3
3
3
f
f
æ
ö =
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，故1
1
1
4 3
2,
3
r
r
é
ö
+
Î
÷
ê
÷
ë
ø
，
所以两内切圆周长之和为
1
2
1
1
1
8 3
2π
2π
4π,
π
3
r
r
r
r
é
ö
æ
ö
+
=
+
Î
÷
ê
ç
÷
÷
è
ø
ë
ø
，
故两内切圆周长之和的取值范围是
8 3
4π,
π
3
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
，D 对.
押题猜想05 排列组合及条件概率
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】黑龙江省实验中学科技节活动，将4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个
地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1 名学生，则不同的分配方法种数为
（ ）
A．81
B．72
C．36
D．12
【答案】C
【详解】先从四人中选出两人当成一组，共
2
4
C 种分法，
再将三组人进行分配，共
3
3
A 种，
故共有
2
3
4
3
C A
36
=
种分配方法.
分析有理·押题有据
小题必考，5 分稳在全国Ⅱ卷多年稳定在选择第9～11 题考一道排列组合小题，偶尔结合概率一起考，
基本年年都有。区分度高，中档生必争思路对就秒出，思路错怎么算都不对，是典型“一看就会、一做就
错”的拉分题。命题风格固定、不跑偏不考偏难怪，只考：相邻不相邻、分组分配、特殊位置优先、间接
法（正难则反），套路极强。常结合选课、排队、分配岗位、数字组成等真实场景，非常贴合全国卷命题
习惯。
近5 年全国Ⅱ/甲卷高频重复，相邻捆绑、不相邻插空；特殊元素/特殊位置优先；平均分组、不平均分
组；数字问题（奇偶、被几整除）；正难则反（间接法）考纲明确要求，理解分类加法、分步乘法计数原
理，能解决简单计数问题，是必考基础模块。 2026 各地一模二模模拟卷几乎都围绕：排队、选课、分配、
数字组数四类出题，和全国卷完全同频。可与概率、统计自然结合既能单独考小题，也能作为概率大题第
一问，命题空间大。
考场万能做题步骤 先看：有序还是无序，有序→排列A，无序→组合C 再看：能不能一步做完 能→
分类加；不能→分步乘，有无限制条件：特殊优先、相邻捆绑、不相邻插空，正面复杂就用：总数 - 不符
合条件 = 答案，总之相邻捆绑不邻插，特殊位置优先它。均分除重防重复，正难则反最省事。有序排列无
序组，分步相乘分类加。
密押预测·精练通关
1．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9 次打卡动作，其中有2 次柔韧打卡，
3 次力量打卡，4 次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2 次耐力打卡不能相邻，
不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.
【答案】150
【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有2
3
5
+
=
次打卡，同类顺序固定，
只需从5 个位置中选2 个放柔韧打卡，剩余3 个放力量打卡，
放法数为：
2
5
C
10
=
；
第二步：插入耐力打卡：5 个排好的打卡共形成6 个空隙（含两端），
要选4 个空隙各插入1 次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定，
选法数为：
4
6
C
15
=
，
第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：10 15
150
´
=
.
2．（2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1 到10 的10 个产品，计划从中抽取3 个进行
检测，若抽取的3 个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
【答案】112
【详解】从编号为1 到10 的10 个产品中任意抽取3 个，共有
3
10
10!
3! 10
3 !
C
=
=
-
10
9
8
120
3
2 1
´ ´
=
´ ´
种方法，
当取到的3 个产品编号是相邻整数时，不符合要求，即123，234，345，456，567，678，789，8910，这8
种情况不符合要求，
所以抽取的产品编号不全是连续整数的抽取方法有120
8
112
-
=
种方法.
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）将编号为1,2,
,n
×××
的n 个小球放入编号为1,2,
,2n
×××
的2n 个盒子中，其中
4
n ³
，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的i 号球
1
1
i
n
£ £
-
放入的盒子所对应编号都小于
1
i +
号球放入的盒子所对应编号，则
1
n - 号球放入编号为______________的盒子的概率最大.
【答案】2
2
n -
【详解】将编号为1,2,
,n
×××
的n 个小球放入编号为1,2,
,2n
×××
的2n 个盒子中，要求每个盒子至多放一个小球，
看作是从 2n 个盒子中选出n 个并按球的编号顺序排列，因此总的放法数为
2
Cn
n .
设事件：第i 号球放入盒子
ia ，满足
1
2
n
a
a
a
L
<
<
<
，设
1
na
k
- =
时概率最大，
前
2
n - 个球要从编号 1,2,…,
1
k - 中选
2
n - 个盒子并排序，方法数为
2
1
Cn
k
-
- ；
第n 个球要从编号
1,
2,
,2
k
k
n
+
+
L
中选 1 个盒子，方法数为2n
k
-
；
因此，对固定k，满足
1
na
k
- =
的放法数为
2
1
C
2
n
k
N k
n
k
-
-
=
×
-
.
要使概率最大，只需求
N k 的最大值，
2
2
1
C
2
1
1
2
1
C
2
2
2
n
k
n
k
n
k
N k
k
n
k
N k
n
k
k
n
n
k
-
-
-
é
ù
×
-
+
+
×
-
-
ë
û
=
=
×
-
é
ù
-
-
×
-
ë
û
令
1
1
N k
N k
+
³ ，得(2
1)
(
2)(2
)
k
n
k
k
n
n
k
-
-
-
+
-
³
，整理得2 (
2)
(
1)
n n
k n
-
-
³
，
即
2
2
1
n n
k
n
-
£
-
，当
4
n ³
时，
2
2
2
2
2
1
1
n n
n
n
n
-
=
-
-
-
-
因为 k 为整数，且
1,2
1
k
n
n
Î
-
-
，所以取最接近的整数，可得
2
2
k
n
=
-
.
故答案为：2
2
n -
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
【答案】200
【详解】
将有阴影的圆分别标为, ,
a b c ，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为7,6,5 时，则将7,6,5 填在, ,
a b c 中有
3
3
A 种方法，接着剩下的4 个数字填到圆中有
4
4
A
种方法，所以共有
3
3
A
4
4
A
144
=
种方法；
当阴影的圆中的数字为7,6,4时，若将4 填到c ，则接着安排7,6 有
2
2
A 种方法，与c 相邻的两个圆只能从1,2,3
中选两个有
2
3
A 种方法，剩下两个数有
2
2
A 种填法，所以共有
2
2
A
2
3
A
2
2
A
24
=
种方法；
若将4 填到a 或b ，有2 种方法，则接着安排7,6 有
2
2
A 种方法，与4 相邻的三个圆只能填1,2,3有
3
3
A 种方法，
剩下一个数有1种填法，所以共有
3
3
2A
2
2
A
24
=
种方法；
当阴影的圆中的数字为7,6,3时，则3只能填到c ，则接着安排7,6 有
2
2
A 种方法，与c 相邻的两个圆只能安排
1,2 有
2
2
A 种方法，剩下两个数有
2
2
A 种填法，所以共有
2
2
A
2
2
A
2
2
A
8
=
种方法；
所以总共有144
24
24
8
200
+
+
+
=
种填法.
故答案为：200
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3 名男生和2 名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2 名女生不相
邻的不同站法有（ ）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
【答案】B
【详解】第一类：先排3 名男生，甲在两端的排序有
1
2
2
2
A A 种，再2 名女生插空有
1
1
2
3
A A 种；
第二类：先排3 名男生，甲在中间的排序有
2
2
A 种，再2 名女生插空有
2
4
A 种，
故男生甲不站在两端，且2 名女生不相邻的不同站法有
1
2
1
1
2
2
2
2
2
3
2
4
A A A A
A A
48
+
=
（种）.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3 个黑球和3 个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋
子中随机取出2 个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2
个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ）
A．1
3
B．2
5
C．7
15
D．3
5
【答案】C
【详解】根据题意，任意取的2 个球共有
2
6
15
C =
种，
取出的2 个球的编号之和为奇数，
则取出的2 个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，
所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有
1
1
2
2
C C
4
=
种，
一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有1种，
两个黑球（一奇一偶）共有
1
1
1
2
C C
2
=
种，故概率为4 1
2
7
15
15
+ +
=
．
故选：C．
7．（2026·广西河池·二模）在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5 名同学负责接待、咨询、向导三
个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人
负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18 种
B．36 种
C．48 种
D．54 种
【答案】B
【详解】将甲、乙视为1 个人，即相当于将4 名同学安排到3 个项目的方案，有
2
3
4
3
C A
36
=
种．
8．（2026·广西南宁·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏
珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10 个景点
中随机选择2 个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______．
【答案】1
5 /0.2
【详解】从10 个景点中随机选择2 个景点，
总共有
2
10
C
45
=
种选择方法，
若要确保青山塔影被选中，则需从剩余9 个景点中再选1 个，
有
1
9
C
9
=
种选择方法，
因此，青山塔影被选中的概率为 9
1
45
5
=
.
故答案为：1
5
9．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文
化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5 个研学方向．学校安排6 名教师负责这5 个
方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1 名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1
个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A．2400
B．1800
C．1500
D．2100
【答案】B
【详解】由题意可得其中一个研学活动有2 名教师负责，剩下四个研学活动有1 名教师负责，
故不同的分配方法种数为
2
5
6
5
C A
1800
=
.
故选：B
10．（2026·重庆·模拟预测）将6 个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.
记事件A 为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B 为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能
被3 整除”，则（ ）
A．
P A
P B
=
B．
P AB
P A
P B
=
×
C．
P AB
P AB
=
D．
|
P AB
P A B
P A
=
×
【答案】ACD
【详解】由题设可得样本空间中样本点的总数为
2
6
15
C =
，
而A 中样本点的个数为
2
4
C
6
=
，B 中样本点的个数为
2
1
2
4
C +2C
9
=
，
对于A，由古典概型的概率公式得
6
2
15
5
P A =
=
，
9
3
15
5
P B =
=
，
故
3
2
1
5
5
P B = -
=
，故
P A
P B
=
，故A 正确；
对于B，AB 中样本点的个数为
1
3
1 C
3
´
=
，故
3
1
15
5
P AB =
=
，
而
3
2
6
1
( ) 1
( )
5
5
25
P A
P B
P A
P B
P AB
×
=
-
-
=
´
=
¹
，故B 错误；
对于C，AB 中样本点的个数为
2
3
C
3
=
，故
3
1
15
5
P AB
P AB
=
=
=
，
故C 正确；
对于D，
3
2
1
15
|
6
5
5
15
P AB
P A B
P A
P A
P AB
P B
×
=
×
=
´
=
=
，故D 正确.
故选：ACD.
押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2 2,
2
AB
AD
AA
=
=
=
，Q 为线段
1
BC 上的动点，P 为
1AC 的中
点，过点A 且与直线
1AC 垂直的平面a 交
1AC 于点E ，交
1A D 于点
,
F M 为a 内的动点，
1, ,
,
A A E F 四点均在
球
1
O 的表面上，则（）
A．
1
1
3
AC
A E
=
B．三棱锥Q
AEF
-
的体积是定值
C．球
1
O 与该长方体的公共部分的体积为π
3
D．
PMD
△
的周长的最小值为
2
2
1
+
【答案】BCD
【详解】对于A，以D 为原点，分别以
1
,
,
DA DC DD 所在直线为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系.
已知
1
2 2,
2
AB
AD
AA
=
=
=
，则
(0,0,0)
D
，
1
(2,0,0),
(0,2 2,0),
(2,0,2)
A
C
A
.
可得
1
( 2,2 2, 2),
AC = -
-
uuur
1
(0,0, 2)
A A =
-
uuur
，
设
1
1
( 2 ,2 2 , 2 )
A E
AC
l
l
l
l
=
= -
-
uuur
uuur
，则
(2
2 ,2 2 ,2
2 )
E
l
l
l
-
-
.
因为平面a 过点A 与直线
1AC 垂直并交于点E ，所以
1
0
AC AE
×
=
uuur uuur
，
又
( 2 ,2 2 ,2
2 )
AE = -
-
uuur
l
l
l ，则
1
( 2) ( 2 )
2 2
2 2
( 2)
2
2
0
AC AE
l
l
l
×
= -
´ -
+
´
+ -
´
-
=
uuur uuur
，
化简得：4
8
4
4
0
l
l
l
+
-
+
=
，解得
1
4
l =
，即
1
1
1
4
A E
AC
=
uuur
uuur
，可得
1
1
4
AC
A E
=
，故A 错误；
对于B，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，易得
1
1
/ /
BC
AD ，因
1
1
BC
AD
Ë a
Ì a
，
，则
1 / /
BC
平面a ，
又因
1
Q
BC
Î
，则点Q 到平面a 的距离为定值，而点
,
,
A E F 的位置固定，即
AEF
△
的面积
AEF
SV
为定值，故
三棱锥Q
AEF
-
的体积是定值，故B 正确；
对于C，由
1
,
AC
AF
^ a
Ì a ，则
1AC
AF
^
，又
1AC 在平面
1
1
ADD A 上的射影为
1A D ，
在正方形
1
1
ADD A 中，
1
1
AD
A D
^
，故
1
1
AD
AC
^
，即点F 为
1
1
,
AD A D 的交点，
下面证明
1A A 的中点
1
O 即经过
1, ,
,
A A E F 四点的球的球心
1
O .
如图，因F 是
1A D 的中点，则
1
1
1
2
O F
AD
=
= ，由上分析已得
3
2 3
( ,
, )
2
2
2
E
，
又
1(2,0,1)
O
，则
2
2
2
1
(2
)
(0
)
(
1
3
2
3
2
2
2
1
)
O E =
-
+
-
+
-
= ，即
1
1
1
1
1
1
O A
O A
O F
O E
=
=
=
= ，
故
1A A 的中点
1
O 即经过
1, ,
,
A A E F 四点的球面的球心，
由图知，该球与长方体公共部分的体积为球体积的1
4 ，即
3
1
4
π
π 1
4
3
3
V =
´
´
=
，故C 正确；
对于D，因
PMD
△
的周长为PD
PM
MD
+
+
，因P 为
1AC 的中点，则
(1,
2,1)
P
，
于是
2
2
2
1
( 2)
1
2
PD =
+
+
=
，依题意，只需求PM
MD
+
的最小值.
由上分析知点P 与点
1A 关于平面a 对称，M 为平面a 内的动点，则
1
PM
A M
=
，
1A M
MD
PM
MD
+
=
+
，
因点
1A 与点D 在平面a 的两侧，故当且仅当
1,
,
A M D 三点共线时，PM
MD
+
取得最小值为
2
2
1
2
2
2 2
A D =
+
=
，
此时，
PMD
△
的周长取得最小值2 2
2
+
.故D 正确.
故选：BCD
分析有理·押题有据
题型极其固定全国Ⅱ卷结构：小题 1 道：外接球 / 内切球（选择 8～11 题，5-6 分）；大题 1 道：
空间向量求角与距离（解答第 16 或 17 题，15 分）合计 20 分左右，占比极高，基本不会缺席。外接球
是“中档生分水岭”公式多、模型固定，会模型就秒杀，不会就卡死，区分度极强。空间向量大题完全套
路化 建系→求点→求法向量→算夹角，步骤固定，是必拿满分大题。新高考趋势：重几何模型 + 重计算
规范，不考怪题，考常见几何体、常见模型，完全贴合二轮复习重点。
近 5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，小题几乎每年：长方体外接球；直棱柱、正棱锥外接球；墙角模型（三
条棱两两垂直）大题必用：线面垂直建系；求线面角、二面角；偶尔考动点、存在性问题，考纲核心要求
；掌握球、柱、锥的结构与表面积体积；掌握空间向量运算与夹角计算；会用向量解决空间角问题， 2026
各地模拟卷高度一致全部围绕：外接球半径、体积、表面积；空间向量求线面角 / 二面角完全复刻全国卷
风格。
今年重点小题押：外接球（内切球考得极少）重点押 4 大模型：墙角模型（三条棱两两垂直）
长方体/正方体模型；直棱柱外接球； 正棱锥（高+底面外接圆）。大题押：空间向量；二面角（最高频）；
线面角；存在性问题（是否存在点 P 满足某角度）；简单体积/距离计算
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则
积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一
个空心铁质半球壳，外半径为3cm ，内半径为1cm （厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸
入水中部分的深度为1cm ，则浸入水中部分的体积为______
3
cm ．
【答案】2p
【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为
1
0
z
z
- £
£
处作水平截面，半球壳的截面为圆环，
则圆环外半径为
2
3
z
-
，内半径为
2
1
z
-
，
则浸入水中部分的截面面积为
2
2
π 3
1
π 3 1
2π
S z
z
z
=
-
- +
=
-
=
，与z 无关，
发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为R ，底面半径为
3
1
2
-
=
的圆柱的截面面积相同，
又浸入水中部分的深度为1cm ，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为
2
π
2
1
2π
V =
× =
．
2．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1r ，
2
1
2
r
r
r
<
，半径为2 的球与圆台的
上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为25π ，则圆台的表面积为（ ）
A．30π
B．35π
C．42π
D．50π
【答案】C
【详解】如图，设内切球的半径为r ，
设圆台上、下底面圆心分别为
1
2
,
O O ，则圆台内切球的球心O 一定在
1
2
O O 的中点处，
设球O 与母线切于M 点，所以OM
AB
^
，所以
1
2
OM
OO
OO
r
=
=
=
，
所以
1
AOO
V
与AOM
V
全等，所以
1
AM
r
=
，同理
2
BM
r
=
，
圆台的母线长
1
2
l
r
r
=
+
，
又
1
2
π
25π
r
r l
+
=
，所以
2
1
2
25
r
r
+
=
，解得1
2
5
r
r
+
=
，
又
1
2
2
4
O O
r
=
=
，所以
2
2
2
1
1
2
3
r
r
l
O O
-
=
-
=
，
所以1
1
r = ，2
4
r =
，圆台的表面积为
2
2
1
2
π
π
25π
42π
r
r
+
+
=
．
3．（2026·陕西西安·三模）如图，菱形ABCD 的各点都在同一平面上，且边长为4，
60
BAD
Ð
=
° .设E ，F
分别为AB ，AD 的中点，分别以CE ，EF ，CF 为折痕把BCE
V
，
AEF
△
，DCF
V
折起，使点B ，A ，D
重合于点P ，并构成三棱锥P
CEF
-
.若三棱锥P
CEF
-
的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.
【答案】32 3π
【详解】连接AC 交EF 于点Q ，
把BCE
V
，
AEF
△
，DCF
V
折起后构成的三棱锥P
CEF
-
如图1 所示，
故
4
PC
BC
DC
=
=
= .
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
1
2
cos120
4
4
2 4 4
48
2
AC
AB
BC
AB BC
æ
ö
=
+
-
×
×
° =
+
- ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
，
故
4 3
AC =
.
其中
PEF
!
是边长为2 的正三角形，所以
3
2
3
2
PQ =
´
=
，
3 3
CQ
AC
PQ
=
-
=
.
设
1
O 为
PEF
!
的外心，则
1
O 在PQ上，且
1
1
3
3
3
O Q
PQ
=
=
.
设
2
O 为
CEF
△
的外心，则
2
O 在CQ 上，
故过
1
O 且垂直于平面PEF 的直线与过
2
O 且垂直于平面EFC 的直线的交点即为球心，
即过
1
O 且垂直于PQ的直线与过
2
O 且垂直于CQ 的直线的交点即为球心，
设球心为O ，另设
1
OO 交CQ 于点G ，如图2 所示.
在
CEF
△
中，如图3 所示，
2
2
EO
CO
=
，
1
EQ = ，
2
2
2
1
QO
EO
=
- .
因为
2
2
3 3
CQ
QO
CO
=
+
=
，即
2
2
2
1
3 3
EO
EO
- +
=
，解得
2
14 3
9
EO =
，
2
13 3
9
QO =
.
在CPQ
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
3
3 3
4
7
cos
2
9
2
3
3 3
PQ
CQ
PC
CQP
PQ CQ
+
-
+
-
Ð
=
=
=
×
´
´
，
故
1
3
9
3 3
cos
3
7
7
QO
QG
CQP
=
=
´
=
Ð
，
2
2
13 3
3 3
64 3
9
7
63
GO
QG
QO
=
-
=
-
=
.
在
1
Rt O QG
V
中，
2
2
2
2
1
1
3 3
3
4 6
7
3
21
GO
QG
O Q
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又由
1
2
GO Q
GO O
V
V
∽
，可得
1
1
2
1
1
4 6
4 2
21
tan
tan
tan
7
3
3
GO
O OO
CQP
GQO
O Q
Ð
=
Ð
=
Ð
=
=
=
，
故
2
2
1
2
64 3
7
8 6
tan
63
9
4 2
GO
OO
O OO
=
=
´
=
Ð
，
所以球的半径
2
2
2
2
2
2
8 6
14 3
12
2 3
9
9
R
OC
OO
CO
æ
ö
æ
ö
=
=
+
=
+
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故球的体积为
3
4π
32 3π
3
R =
.
故答案为：32 3π
4．（2026·山西大同·一模）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，棱AE ^ 底面
ABCD ，
//
CF AE ，且AE
CF
a
=
=
，则下列表述一定正确的是（ ）
A．
//
EF
平面ABCD
B．几何体ABCDEF 外接球表面积是
2
2
π
a
C．几何体ABCDEF 的体积是2
3
a
D．当
1
a = 时，几何体ABCDEF 一定有内切球
【答案】AC
【详解】因为
//
CF AE 且CF
AE
=
，
所以四边形ACFE 为平行四边形，所以
//
EF AC ，
根据线面平行的判定定理可知
//
EF
平面ABCD ，故A 正确；
几何体ABCDEF 外接球即为长方体ABCD
EGFH
-
的外接球，
所以
2
2
2
1
1
2
a
R
+
+
=
，所以外接球表面积是
2
2
4π
2
π
S
R
a
=
=
+
，故B 错误；
对于C 选项，可以将几何体ABCDEF 补成长方体ABCD
EGFH
-
，
如图，几何体ABCDEF 的体积为
1
1
2
1 1
2
1 1
3
2
3
V
a
a
a
æ
ö
= ´ ´
-
´ ´
´ ´
=
ç
÷
è
ø
，故C 正确；
当
1
a = 时，假设几何体ABCDEF 有内切球，
则根据等体积法
1
3
V
S
r
=
×
×
表
内可得2
1
1
3
1
4
2
3
3
2
2
r
æ
ö
=
´
+ ´
+ ´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
内，
即
3
1
1
3
2
r = -
<
内
，因为平面ADE 上的点与平面BCF 上的点的距离是1，
即内切球半径为
1
2 ，矛盾，故几何体ABCDEF 没有内切球，故D 错误.
5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球O 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），
且该正四棱台的上､下底面棱长之比为1: 2，则球O 与该正四棱台的体积之比为__________.
【答案】π
7
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆，
设圆O 与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点
1
O ，
2
O ，
不妨设正四棱台上、下底面的棱长为2a ，4a ，
则
1
CO
CP
a
=
=
，
2
2
BO
BP
a
=
=
，
3
BC
BP
PC
a
=
+
=
，
故在直角梯形
1
2
O O BC 中，过点C 作CE
AB
^
，垂足为E，所以EB
a
=
，
在Rt
CEB
△
中，
2
2
3
1
2 2
CE
a
a
=
-
=
，为棱台的高，也是球的直径，
所以半径为
2a ，所以球的体积为
3
3
1
π
π
3
4
8 2
2
3
a
a
V
×
=
=
，
棱台体积为
3
2
2
2
1
56 2
2 2
2
4
2
4
3
3
a
V
a
a
a
a
a
é
ù
=
´
´
+
+
×
=
ë
û
，
所以球与棱台的体积比为
3
1
3
2
8 2
π
π
3
7
56 2
3
a
V
V
a
=
=
.
故答案为：π
7 .
6．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为3，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
CD / / 平面
1
1
A BC
B．三棱锥
1
1
A
BDC
-
的外接球的表面积为27π
C．若该正方体表面上的动点P 满足
1
2 3
D P =
，则动点P 的轨迹长度是3 3π
2
D．若该正方体的内切球表面上的动点Q 满足BQ / / 平面
1
ACD ，则线段BQ 长度的最小值为
6
2
【答案】ABD
【详解】如图：
对于A：在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
CD / /
1A B ，
1A B Ì 平面
1
1
1
,
A BC CD Ë 平面
1
1
A BC ，所以
1
CD / / 平面
1
1
A BC ，故A 正确；
对于B：三棱锥
1
1
A
BDC
-
与正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
有相同的外接球，
所以外接球的半径
1
1
3 3
2
2
R
AC
=
=
，所以
2
4π
27π
S
R
=
=
，故B 正确；
对于C：当PÎ平面
1
1
BCC B 时，因为
1
1
D C ^ 平面
1
1
1
,
BCC B C P Ì 平面
1
1
BCC B ，所以
1
1
1
D C
C P
^
，
因为
1
1
1
2 3,
3
D P
D C
=
=
，所以
2
2
1
1
1
1
3
C P
D P
C D
=
-
=
，
所以点P 的运动轨迹是以
1
C 为圆心，半径为
3 的圆的1
4 ，其长度是
3π
2
；
同理，当点P 为正方形
1
1
A B BA 或ABCD 内部及边界上的动点时，点P 的轨迹长度均为
3π
2
；
当点P 为正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内部及边界上的动点时，
若
1
1
P
B C
Î
，则
1
1
30
PD C
Ð
=
o ；若
1
1
P
A B
Î
，则
1
1
30
PD A
Ð
=
o ，
所以点P 的轨迹是以
1
D 为圆心，半径为2 3 的圆的
0
0
30
1
360
12
=
，其长度是
3π
3
；
同理，当点P 为正方形
1
1
A D DA或
1
1
C D DC 内部及边界上的动点时，点P 的轨迹长度均为
3π
3
，
所以动点P 的轨迹长度为
3π
3π
5 3π
3
3
2
3
2
´ +
´
=
.故C 不正确；
对于D：在正方体中，平面
1
1
A BC / / 平面
1
ACD ，
因为点Q 满足BQ / / 平面
1
ACD ，所以点Q 在平面
1
1
A BC 上.
又因为点Q 在正方体的内切球表面上，
所以点Q 的轨迹为正三角形
1
1
A BC 的内切圆，记圆心为
1
O .
则BQ 的最小值为
1
3
2
1
6
3 2
2
3
3
2
BO
r
æ
ö
-
=
´
´
-
=
ç
÷
è
ø
，故D 正确.
故选：ABD
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）动点P 在棱长为4 的正方体内部及表面运动，动球P 是以点P 为球心，半
径为1 的球，求动点P 在运动过程中球P 的轨迹形成的几何体体积（ ）
A．96 16p
+
B．
40
96
3 p
+
C．160 16p
+
D．
40
160
3 p
+
【答案】D
【详解】球P 的轨迹形成的几何体为一个棱长为4 的正方体和6 个长宽高分别为4，4，1 的长方体，以及
12 个以1 为底面半径，4 为高的四分之一个圆柱体加上8 个以1 为半径的八分之一球，
所以球P 的轨迹形成的几何体体积为
1
1
4
40
4 4 4
6 4 4 1 12
4
8
160
4
8
3
3
p
p
p
´ ´ + ´ ´ ´ +
´
´
´ + ´
´
=
+
.
故选：D.
8．（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 是正方形，
1
AB
AA
=
，且
1
1
π
3
A AB
A AD
Ð
= Ð
=
，E，F，G，H 分别是AB ，BC ，
1
1
C D ，
1
1
D A 的中点.
(1)求证：平面
1 / /
EFC
平面GHA ；
(2)求
1
BD 与平面
1
EFC 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
70
10
【详解】（1）因为
,
E F 分别是
,
AB BC 的中点，所以EF 是
ABC
V
的中位线，得
//
EF
AC ，
又因为
,
G H 分别是
1
1
1
1
,
C D D A 的中点，所以
1
1
//
GH
AC ，
在平行六面体中，
1
1
/ /
AC
AC ， 因此
/ /
EF
GH ，
GH Ì 平面GHA ，EF Ë 平面GHA ，故
/ /
EF
平面GHA ；
由G 是
1
1
C D 中点，E 是AB 的中点，
结合平行六面体的性质可得
1
1
1
1
1
2
2
C G
C D
AB
AE
=
=
=
，且
1
/ /
C G
AE ，
所以四边形
1
AEC G 是平行四边形，得
1
/ /
C E
AG ，
因为AG Ì平面GHA ，
1
C E Ë 平面GHA ，所以
1
//
C E
平面GHA ，
因为
1
EF
C E
E
=
I
，且
1
,
EF C E Ì 平面
1
EFC ，因此平面
1 / /
EFC
平面GHA ；
（2）
如图以A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设
1
2
AB
AA
=
=
，
根据题设条件得各点坐标
(0,0,0), (2,0,0),
2,2,0 ,
(0,2,0),
1,0,0 ,
2,1,0
A
B
C
D
E
F
，
设
1( , , ),
A a b c 则由
1
AA
AB
AD
=
=
，且
1
1
π
3
A AB
A AD
Ð
= Ð
=
，
可得
1
1
,
A AD
A AB
V
V
都是等边三角形，即
1
1
2
A B
A D
=
=
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
ì
+
+
=
ïï
-
+
+
=
í
ï
+
-
+
=
ïî
，解得
1
1
2
a
b
c
ì =
ï =
í
ï =
î
，即
1(1,1,
2),
A
所以
1
(1,1,
2),
AA =
uuur
取平面
1
EFC 中向量：
(1,1,0)
EF =
uuur
，
1
1
1
1,2,0
(1,1,
2)
2,3,
2
EC
EC
CC
EC
AA
=
+
=
+
=
+
=
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
，
设平面
1
EFC 的法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
则
1
0
0
2
3
2
0
0
x
y
EF n
x
y
z
EC n
ì
+
=
ì
×
=
ï
ï
Þ
í
í
+
+
=
×
=
ï
ï
î
î
uuur r
uuuur r
，不妨令
1
x = ，则
2
1,
2
y
z
= -
=
，
即平面
1
EFC 的法向量
2
1, 1, 2
n
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
r
，
1
1
1
(1,1,
2)
0,2,0
2,0,0
1,3,
2
BD
AD
AB
AA
AD
AB
=
-
=
+
-
=
+
-
= -
uuuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
设直线
1
BD 与平面
1
EFC 所成角为q ，
则
1
1
2
1,3,
2
1, 1, 2
1 3 1
3
30
sin
10
1
30
2
1 9
2
1 1
1,3,
2
1, 1,
2
2
BD n
BD
n
q
æ
ö
-
×
-
ç
÷
×
- - +
è
ø
=
=
=
=
=
æ
ö
×
+
+
´
+ +
-
×
-
ç
÷
è
ø
uuuur r
uuuur
r
，
因为q 为锐角，所以
2
30
70
cos
1 sin
1 100
10
q
q
=
-
=
-
=
，
即
1
BD 与平面
1
EFC 所成角的余弦值为
70
10
.
9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，四边形
1
1
ACC A
是矩形，
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
BC
AA
=
=
.
(1)证明：
1
AA ^ 平面ABC .
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值.
(3)在线段
1
BC 上是否存在点D，使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
？若存在，求出
1
BD
C D 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)
3
3
；(3)存在，
1
1
3
BD
C D =
【详解】（1）因为
2
AB
AC
=
=
，
2 2
BC =
，所以
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，所以AB
AC
^
.
因为平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，且平面
1
1
ACC A I平面ABC
AC
=
，AB Ì 平面ABC ，
所以AB ^平面
1
1
ACC A .
因为
1
AA Ì 平面
1
1
ACC A ，所以
1
AB
AA
^
.
因为四边形
1
1
ACC A 是矩形，所以
1
AA
AC
^
.
因为AC Ì 平面ABC ，AB Ì 平面ABC ，且AB
AC
A
Ç
=
，所以
1
AA ^ 平面ABC ；
（2）由（1）可知AC ，AB ，
1
AA 两两垂直，则以A 为坐标原点，
AC ，AB ，
1
AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
AA =
，所以
1 0,0,2 2
A
，
0,2,0
B
，
1 2,0,2 2
C
，
1
0,2, 2 2
A B =
-
uuur
，
1
1
2,0,0
AC =
uuuur
.
设平面
1
1
A BC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
1
1
1
2
2 2
0
2
0
n A B
y
z
n AC
x
ì ×
=
-
=
ïí ×
=
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，令
2
y =
，得
0,
2,1
n =
r
.
易知平面ABC 的一个法向量为
0,0,1
m =
r
.
设平面ABC 与平面
1
1
A BC 的夹角为q ，
则
|
|
1
3
cos
| cos
,
| |
||
|
3
3
n m
n m
n
m
q
×
=
á
ñ =
=
=
r r
r r
r
r
，
即平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为
3
3
.
（3）假设存在满足条件的点D，且
1
BD
BC
l
=
uuur
uuur （0
1
l
≤
≤），
使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
.
由（2）可知
0,0,0
A
，
0,2,0
B
，
1 2,0,2 2
C
，
则
1
2 ,2
2 ,2 2
AD
AB
BD
AB
BC
l
l
l
l
=
+
=
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuur
.
因为直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
，
所以
2
2
2
|
|
2 2
2 2
| cos
,
|
3
|
||
|
3
4
4
8
4
8
n AD
n AD
n
AD
l
l
l
l
×
á
ñ =
=
=
´
+
-
+
+
uuur
r
uuur
r
uuur
r
.
解得
1
4
l =
，所以
1
1
4
BD
BC
=
，即
1
1
3
BD
C D =
，
则存在满足条件的点D，此时
1
1
3
BD
C D =
.
10．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形ABCD 是棱长为3 的正方形．PA ^平面
,
/ /
ABCD PA
QC ，
且
3
3
PA
CQ
=
=
．
(1)求证：
^
BC
平面PAB ；
(2)求平面PQB 与平面ABCD 夹角的余弦值；
(3)线段PA 上是否存在点M，使得平面MQB Ç平面ABCD
l
= ，且满足/ /
l
平面PAC ?若存在，试确定点M
的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2) 3 19
19
(3)存在，M 是PA 上靠近A 的三等分点，
1
MA
CQ
=
=
【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以BC
AB
^
，
因为PA ^平面
,
Ì
ABCD BC
平面ABCD ，所以PA
BC
^
，
又
,
PA
AB
A PA
AB
=
Ì
I
、
平面PAB ，所以
^
BC
平面PAB ；
（2）如下图所示，因为
/ /
,
3,
1
PA
CQ PA
CQ
=
= ，则
, ,
,
P A C Q 四点共面，
延长
,
PQ AC 交于E，延长
,
EB DA 交于F，易得平面PQB Ç 平面ABCD
EF
=
，
作AG
EF
^
，连接PG ，
因为PA ^平面
,
ABCD EF Ì 平面ABCD ，所以PA
EF
^
，
又
,
PA
AG
A PA
AG
=
Ì
I
、
平面PAG ，所以
^
EF
平面PAG ，
由
,
PG AG Ì 平面PAG ，则EF
PG
^
，EF
AG
^
，即平面PQB 与平面ABCD 夹角为
AGP
Ð
，
易知
1
3
QC
CE
BC
PA
AE
AF
=
=
=
，所以
9
AF =
，则
2
2
3 9
9
10
3
9
AG
´
=
=
+
，
2
2
3 19
cos
19
3
AG
AG
AGP
PG
AG
Ð
=
=
=
+
；
（3）假设线段PA 上存在点M 满足题意，
由平面ABCD I 平面PAC
AC
=
，l Ì 平面ABCD ，/ /
l
平面PAC ，则/ /
l
AC ，
又平面MBQ I 平面PAC
MQ
=
，l Ì 平面MBQ ，/ /
l
平面PAC ，则/ /
l
MQ ，
所以
/ /
MQ
AC ，即M 是PA 上靠近A 的三等分点，此时
1
MA
CQ
=
=
押题猜想07 数列-求最值及证明不等式
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数
1
x
f x
a
=
- （
0
a >
且
1
a ¹ ）的图象经过点
1,2 ，记数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
n
S
f n
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
-
+
=
+
+
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：1
1
21
12
nT
£
<
．
【答案】(1)
1
*
2 3
,
n
na
n
-
=
×
ÎN ．(2)证明见解析
【详解】（1）由题意
(1)
2
1
2
3
f
a
a
=
Þ
- =
Þ
= ，
所以数列{
}
na
的前n 项和为
3
1
n
n
S =
- ．
当
1
n = 时，
1
3 1
2
a =
- =
；
当
2
n ³
时，
1
1
1
(3
1)
(3
1)
2 3
n
n
n
n
n
n
a
S
S
-
-
-
=
-
=
-
-
-
=
×
．
当
1
n = 时，上式亦成立，所以数列{
}
na
的通项公式为
1
*
2 3
,
n
na
n
-
=
×
ÎN ．
（2）由（1）知
1
2 3n
na
-
=
×
，
则
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
1
4 2 3
1
2 3
1
2 3
1
2 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
-
-
-
-
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
+
×
+
×
+
×
+
×
+
è
ø ，
所以
1
2
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2
3
1
1
1
3
2
n
n
n
n
T
b
b
b
-
æ
ö
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
+
+
+
+
+
×
×
×
×
×
×
è
ø
L
L
1 1
1
4
1
3
2 3n
æ
ö
=
+
×
-
ç
÷
è
ø .
因为
1
0
1
2 3n
×
>
+
，所以
1
12
nT <
．
又因为
*
nÎN 时，
3
1 1
1
4
1
3
2
n
n
T
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø
×
单调递增，所以
1
1
21
nT
T =
≥
，
所以1
1
21
12
nT
£
<
．
分析有理·押题有据
位置固定，必考题型，全国Ⅱ卷近几年，数列大题第二问，要么考最值，要么考不等式证明，几乎是
固定搭配，分值 5～6 分，是整张卷“中档压轴”常客。区分度极高，必练求最值：会作差/作商就稳，不
会就卡壳；不等式证明：放缩尺度难把握，是拉开分数的关键；能有效筛选基础扎实、逻辑严谨的学生。
求最值、裂项放缩、等比放缩、累加法，都是全国卷“老演员”，几乎不跑偏。与新高考方向高度契合，
重逻辑推理、重结构、轻偏怪技巧，非常适合考查数学核心素养。2026 全国Ⅱ卷数列大题，第二问 90%
概率考：数列最值 或 数列不等式证明。
近 5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，求通项后，求 an 或 Sn 的最值；证明：求和 < C 型不等式；裂
项相消后放缩、等比放缩；与函数单调性结合判断数列增减；考纲明确要求；理解数列是特殊函数，会用
函数方法研究单调性、最值；会用放缩、累加法证明简单不等式。2026 各地一模二模一致指向，模拟卷数
列题几乎都是：第一问：求通项，第二问：最值 / 不等式证明完全贴合全国卷风格。
密押预测·精练通关
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
．
(1)求
na
的通项公式;
(2)若
1
2
1
n
n
a
b =
- ，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
2
nT <
．
【答案】(1)
na
n
=
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，当
1
n = 时，
2
1
1
1
1
2
2
S
a
a
a
=
=
+
，
0
na >
，则
1
1
a = ；
当
2
n ³
时，
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
，
2
1
1
1
2
n
n
n
S
a
a
-
-
-
=
+
，两式相减，
整理可得
1
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
+
-
-
=
，又
na
为正项数列，故
1
1
n
n
a
a -
-
= ，
所以数列
na
是以
1
1
a = 为首项，
1
d = 为公差的等差数列，
所以
na
n
=
.
（2）证明：由（1）可知
na
n
=
，所以
1
2
1
n
n
b =
- ，显然
1
1
1
2
T
b
=
= <
，
当
2
n ³
，则
1
1
1
1
2
1
2 2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
-
-
-
-
- =
×
- =
+
- >
，即
1
1
1
2
1
2
n
n-
<
-
，
此时
1
1
1
1
1
(1
)
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
n
n
n
n
T
-
-
-
-
< +
+
+
= +
=
-
<
-
L
，
综上，
2
nT <
成立.
2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
3
4
3
n
n
S
a
n
-
=
- .
(1)证明：
2
na -
是等比数列；
(2)设
2
n
n
b
n a
=
-
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)证明见解析(2)
1
1 2
3
3
4
4
n
n
n
T
+
-
=
´
-
【详解】（1）证明：因为2
3
4
3
n
n
S
a
n
-
=
- ，
所以当
1
n = 时，
1
1
2
3
4
3
a
a
-
=
-
，解得
1
1
a = - ，
当
2
n ³
时，
1
1
2
3
4
1
3
4
7
n
n
S
a
n
n
-
-
-
=
-
-
=
-
，
所以
1
1
2
3
4
n
n
n
n
S
S
a
a
-
-
-
-
-
=
，即
1
3
4
n
n
a
a -
=
- .
所以
1
2
3
2
2
n
n
a
a
n
-
-
=
-
³
，
又
1
2
3
a -
= - ，
所以
2
na -
是以3
- 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
1
2
3 3
3
n
n
na
-
-
= - ´
= -
.
所以
2
3n
n
n
b
n a
n
=
-
= - ´
，
则
1
2
3
1 3
2 3
3 3
3n
nT
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+
´
L
，①
2
3
4
1
3
1 3
2 3
3 3
1
3
3
n
n
nT
n
n
+
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+
-
´
+ ´
L
，②
①减去②，得：
2
3
1
2
3
3
3
3
3
n
n
nT
n
+
=
+
+
+
+
- ´
L
1
3 1 3
3
1 3
n
n
n
+
-
=
- ´
-
1
1
3
3
.
2
2
n
n
+
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
所以
1
1 2
3
3
4
4
n
n
n
T
+
-
=
´
-
.
3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
na
是公差为d 的等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
2
5
12
a
a
+
=
，
5
25
S =
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
2
n
n
n
b
a a +
=
，其前n 项和为
nT ，证明：
1
nT < .
【答案】(1)
2
1
na
n
=
- (2)证明见解析
【详解】（1）由题意得
2
5
1
5
1
2
5
12,
5
10
25,
a
a
a
d
S
a
d
+
=
+
=
ì
í
=
+
=
î
解得
1
1,
2,
a
d
=
ì
í
=
î
所以
1
1
2
1
na
a
n
d
n
=
+
-
=
- .
（2）由
1
2
2
1
1
2
1 2
1
2
1
2
1
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
+
=
=
=
-
-
+
-
+ ，
所以
1
2
1
1
1
1
1
1
3
3
5
2
1
2
1
n
n
T
b
b
b
n
n
=
+
+×××+
= -
+
-
+×××+
-
-
+
1
1
1
2
1
n
= -
<
+
.
4．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
na
中，记
1
n
n
n
a
a
a
+
=
D
-
，若
na
D
为等差数列，则称
na
为二阶等差数
列．
(1)若
2
4
5
3
na
n
n
=
-
+ ，判断
na
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
na
满足
1
0
a =
，
2
1
a = ，
3
3
a =
．
①求数列
na
的通项公式；
②若不等式
1
2n
na
k
-
<
×
对
*
n
" ÎN 恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析(2)①
1
2
n
n n
a
-
=
；②3 ,
4
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø.
【详解】（1）因为
2
4
5
3
na
n
n
=
-
+ ，所以
2
2
1
Δ
4
1
5
1
3
4
5
3
n
n
n
a
a
a
n
n
n
n
+
é
ù
=
-
=
+
-
+
+
-
-
+
ë
û
8
1
n
=
- ，
所以
1
Δ
Δ
8
1
1
8
1
8
n
n
a
a
n
n
+
é
ù
-
=
+
-
-
-
=
ë
û
，故数列
na
D
为等差数列，
故数列
na
为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得
1
2
1
1 0
1
a
a
a
D
=
-
= -
= ，
2
3
2
3 1
2
a
a
a
D
=
-
=
- =
，
因为数列
na
D
为等差数列，故数列
na
D
的公差为
2
1
2 1
1
a
a
D
- D
=
- = ,
所以等差数列
na
D
的首项为
1
1
a
D
= ，故
Δ
1
1
1
na
n
n
= +
-
´ =
，
所以
1
n
n
n
a
a
a
n
+
D
=
-
=
，
当
2
n ³
时，
2
1
1
a
a
-
= ，
3
2
2
a
a
-
=
，L，
1
1
n
n
n
a
a - =
-
-
，
上述等式相加得
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n n
a
a
n
+
-
-
-
-
= +
+
+
-
=
=
L
，
故
1
1
1
2
2
n
n n
n n
a
a
-
-
=
+
=
，
1
0
a =
也满足
1
2
n
n n
a
-
=
，故对任意的n
*
ÎN ，
1
2
n
n n
a
-
=
；
②由题意可知
n
*
" ÎN ，
1
2n
na
k
-
<
×
，即
2
1
2
2
n
n
n
k
-
-
<
×
，可得
2
2n
n
n
k
-
>
，
令
2
2
n
n
n
n
b
-
=
，则
2
2
1
1
1
1
1
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
+
+
+
+
-
+
-
-
-
=
-
=
，
当
2
n £
且n
*
ÎN 时，
1
n
n
b
b
+ >
，可得
1
2
3
b
b
b
<
<
；
当
3
n =
时，
3
4
b
b
=
；
当
4
n ³
且n
*
ÎN 时，
1
n
n
b
b
+ <
，可得
4
5
6
b
b
b
>
>
>L，
所以数列
nb
的最大项为
2
4
3
3
3
3
3
2
4
b
b
-
=
=
=
，故
3
4
k >
，
所以实数k 的取值范围是3 ,
4
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø.
5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列
na
中，
1
6
a =
，
3
20
a =
，
4
30
a =
，且
1
n
n
a
a
+ -
是等差数列.
(1)求
2a ；
(2)证明：
1
2
1
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
+
<
L
.
【答案】(1)
2
12
a =
(2)证明见解析
【详解】（1）设
1
n
n
n
b
a
a
+
=
-
，则
1
2
1
2
2
2
3
6,
20
,
10
b
a
a
a
b
a b
=
-
=
-
=
-
=
，
因为
1
n
n
a
a
+ -
是等差数列，即
nb
是等差数列，
则有
1
3
2
2
b
b
b
+
=
，即
2
2
6
10
2 (20
)
a
a
-
+
=
×
-
，解得
2
12
a =
.
（2）由（1）知，
1
2
6,
8
b
b
=
=
，则
nb
的公差为2，首项为6，
则
2
4
nb
n
=
+
，即
1
2
4
n
n
a
a
n
+ -
=
+
，
当
2
n ³
时，
1
2
2
n
n
a
a
n
-
-
=
+
1
2
2
n
n
a
a
n
-
-
-
=
M
2
1
6
a
a
-
=
将各式相加，得
1
2
2
2
6
na
a
n
n
-
=
+
+
+
+
L
，
即
2
2
2
6
1
6
3
4
2
n
n
n
a
n
n
+
+
-
-
=
=
+
- ，即
2
3
2
na
n
n
=
+
+
，而
1
6
a =
满足上式，
因此
2
3
2
na
n
n
=
+
+
，
2
1
1
1
1
1
3
2
1
2
1
2
na
n
n
n
n
n
n
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+
，
则
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
1
2
2
2
n
a
a
a
n
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
L
L
，
因为
1
n ³ ，则
1
0
2
n
>
+
，则1
1
1
2
2
2
n
-
<
+
，得证.
6．（2026·黑龙江·一模）数列
na
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
n
S ，满足____．数列
nb
满
足
1
2
b =
，且
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①
1
2
a =
，
3
14
S =
；
②
1
2
a =
，
1
1
a + ，
2a ，
3
3
a - 成等差数列；
③
3
14
S =
，
6
126
S =
；
(1)分别求出数列
na
与
nb
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
,
,
n
n
n
b n
c
a n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，求数列
nc
的前10 项和
10
T ．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
【答案】(1)选择任一条件都有
2n
na =
，
2
nb
n
=
(2)
10
1414
T =
【详解】（1）若选①，设
na
的公比为q ，则
2
2
2
2
14
q
q
+
+
=
，且
0
q >
，
解得
2
q =
，
1
2
a =
，因此
2n
na =
，
由
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
，得
1
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+ -
=
=
，而
1
2
b =
，
则数列
nb
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
1
2
nb
b
n
d
n
=
+
-
=
．
若选②，设
na
的公比为q ，由
1
2
3
1,
,
3
a
a a
+
- 成等差数列，得
2
3
2a
a
=
，解得
2
q =
，因此
2n
na =
由
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
，得
1
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+ -
=
=
，而
1
2
b =
，
则数列
nb
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
1
2
nb
b
n
d
n
=
+
-
=
．
若选③，设
na
的公比为q ，则
2
3
1
3
2
6
3
1
1
14
1
112
S
a
q
q
S
S
a q
q
q
ì
=
+
+
=
ïí
-
=
+
+
=
ïî
，解得
1
2,
2
q
a
=
=
，因此
2n
na =
，
由
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
，得
1
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+ -
=
=
，而
1
2
b =
，
则数列
nb
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
1
2
nb
b
n
d
n
=
+
-
=
．
（2）数列
nc
满足
,
,
n
n
n
b n
c
a n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，则
2 ,
2 ,
n
n
n n
c
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，
所以
10
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
T
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
4
6
8
10
2
6 10 14 18
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5
4 1 4
5
2 18
1414
2
1 4
-
´
+
=
+
=
-
．
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
2sin
f x
x
ax
=
-
.
(1)当
1
a = 时，求函数
f x 在
0,π 上的值域；
(2)若对任意
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
，都有
cos
f x
x
x
³
，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
*
2
2
2
2
1
1
1
1
8
tan
tan
tan
tan
2
4
2
3
4
(
1)
3π
n
n
n
n
<
+
+
+
+
<
Î
+
+
N
L
.
【答案】(1)
π
π, 3
3
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û (2)
,1
-¥
(3)证明见解析
【详解】（1）当
1
a = 时，
2sin
,
0,π
f x
x
x x
=
-
Î
，则
2cos
1
f
x
x
=
¢
- ，
令
0
f
x
¢
>
，则
1
cos
2
x >
，即
π
0
3
x
<
<
；
令
0
f
x
¢
<
，则
1
cos
2
x <
，即π
π
3
x
<
<
.
所以
f x 在
π
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在π ,π
3
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，
又
π
π
0
0,
3
,
π
π
3
3
f
f
f
æ
ö
=
=
-
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
f x 的值域为
π
π, 3
3
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û .
（2）由
cos
f x
x
x
³
，得2sin
cos
0
x
x
x
ax
-
-
³
，
设
π
2sin
cos
,
0, 2
h x
x
x
x
ax x
é
ù
=
-
-
Îê
ú
ë
û ，则
0
0
h
=
，
2cos
cos
sin
cos
sin
h x
x
x
x
x
a
x
x
x
a
=
-
+
-
=
+
-
¢
，
设
cos
sin
g x
x
x
x
a
=
+
-
，则
cos
g
x
x
x
¢
=
，
所以当
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
时，
0
g
x
¢
³
，所以
h x
¢
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以
π
π
1
0
2
2
a
h
h x
h
a
æ
ö
-
=
£
£
=
-
ç
÷
è
¢
¢
¢
ø
.
①当
π
2
a ³
时，
0,
h x
h x
¢
£
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，则
0
h x £
，不满足题意；
②当
π
1
2
a
<
<
时，
0
π
0, 2
x
æ
ö
$
Îç
÷
è
ø ，使得
0
0
h x
¢
=
，
当
0
0
x
x
<
<
时，
0,
h x
h x
¢
<
在
0
0, x
上单调递减，则
0
0
h x
h
£
=
，不满足题意；
③当
1
a £ 时，
0,
h x
h x
¢
³
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，则
0
0
h x
h
³
=
，满足题意.
综上可得
1
a £ ，即实数a 的取值范围是
,1
-¥
.
（3）证明：由（2）得，当
1
a = 时，任意
π
0,
,2sin
cos
0
2
x
x
x
x
x
æ
ö
Î
-
-
>
ç
÷
è
ø
恒成立，
即
sin
tan 2
1 cos
2
x
x
x
x
=
>
+
，
所以
*
2
2
1
1
1
1
1
tan (
1)
(
1)
1
2
1
2 n
n
n
n
n
n
n
>
>
=
-
Î
+
+
+
+
+
+
N
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
tan
tan
tan
tan
2
3
4
(
1)
n
+
+
+
+
+
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
1
2
2
2
2
4
n
n
n
n
n
>
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
=
+
+
+
+
L
.
令
4
π
tan ,0
π
4
p x
x
x
x
=
-
<
<
，则
2
2
2
4
1
4cos
π
π
cos
πcos
x
p
x
x
x
-
-
¢
=
=
，
存在
0
π
0, 4
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，使得
0
0
p x
¢
=
.
则当
0
0,
x
x
Î
时，
0
p x
¢
>
；当
0
π
, 4
x
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø时，
0
p x
¢
<
，
于是
p x 在
0
0, x
上单调递增，在
0
π
, 4
x
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，而
π
0
0
4
p
pæ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以
0
p x >
，即当
π
0
4
x
<
<
时，4
tan
π x
x
>
.
所以
*
2
2
1
4
1
8
1
1
tan (
1)
π (
1)
π
2
1
2
3
n
n
n
n
n
æ
ö
<
×
<
-
Î
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
N
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
8 1
1
1
1
1
1
tan
tan
tan
tan
2
3
4
(
1)
π 3
5
5
7
2
1
2
3
n
n
n
æ
ö
+
+
+
+
<
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
+
+
è
ø
L
L
8 1
1
8
π 3
2
3
3π
n
æ
ö
=
-
<
ç
÷
+
è
ø
.
综上所述，
*
2
2
2
2
1
1
1
1
8
tan
tan
tan
tan
2
4
2
3
4
(
1)
3π
n
n
n
n
<
+
+
+
+
<
Î
+
+
N
L
.
8．（2026·广西·模拟预测）已知公比
1
q ¹ 的等比数列
na
，其前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
2
2
n
n
n
S
S
S
+
+
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
1
2
3
2
5
8
3
1
n
a
a
a
n
a
+
+
+ ×××+
-
.
【答案】(1)
1
2
n
na
-
= -
(2)
2
n
n
-
-
【详解】（1）因为
1
2
2
n
n
n
S
S
S
+
+
=
+
，所以
2
1
0
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
+
-
=
，即
2
1
2
0
n
n
a
a
+
+
+
=
，
因为数列
na
为等比数列，所以
2
1
2
n
n
a
q
a
+
+
=
= - ，
因为
1
1
a = ，所以
na
的通项公式为
1
2
n
na
-
= -
；
（2）设
1
2
3
2
5
8
3
1
n
n
T
a
a
a
n
a
=
+
+
+×××+
-
，
由（1）知
1
2
n
n
a
a
+ = -
，
1
2
n
na
-
= -
，
则
2
3
4
1
2
2
5
8
3
1
n
n
T
a
a
a
n
a +
-
=
+
+
+×××+
-
，
两式作差得
1
2
3
4
1
3
2
3
3
1
n
n
n
T
a
a
a
a
a
n
a +
=
+
+
+
+×××+
-
-
1
1
1
2
2
3
3
1
3
3
2
1
2
n
n
n
n
a
n
a
na
n
+
+
+
- -
=
+ ×
-
-
= -
= -
-
+
，
故
1
2
3
2
5
8
3
1
2
n
n
n
T
a
a
a
n
a
n
=
+
+
+×××+
-
= -
-
.
9．（2026·广西南宁·一模）已知数列
na
的前n 项和
2
n
S
n
pn
=
+
（p 为常数），且
1
8
a = ．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
n
n
b
a
=
，数列
1
2n
n
n
b b +
+
的前n 项和为
nT ，证明：
1
7
2
4
n
nT
+
<
-
．
【答案】(1)
2
6
na
n
=
+ ；(2)证明过程见解析
【详解】（1）因为
1
1
2
8
1
a
S
p
=
=
+
= ，解得
7
p =
，
故
2
7
n
S
n
n
=
+
，
故当
2
n ³
时，
2
2
1
7
1
7
1
2
6
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
é
ù
=
-
=
+
-
-
+
-
=
+
ë
û
，
又2
1
6
8
´
+
=
，故
1
8
a = 也满足
2
6
na
n
=
+ ，
综上，
na
通项公式为
2
6
na
n
=
+ ；
（2）
2
2
1
2
6
3
n
n
b
a
n
n
=
=
=
+
+
，
故
1
1
1
1
3
4
3
4
2
2
2
n
n
n
n
n
n
b
n
b
n
n
+ =
+
=
+
+
-
+
+
+
+
，
所以
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
5
5
6
3
4
n
nT
n
n
=
+
-
+
+
-
+
+
+
-
+
+
L
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
4
5
5
6
3
4
1
2
4
4
n
n
n
n
n
+
-
æ
ö
=
+
+
+
+
-
+
-
+
+
-
=
+
-
ç
÷
+
+
-
+
è
ø
L
L
1
1
1
1
7
2
4
1
1
7
2
2
2
4
4
4
4
n
n
n
n
n
+
+
+
=
-
+
-
+
<
=
+
-
-
-
.
10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
1,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
+
=
=
+
+
+
．
(1)证明：
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
na
的通项公式；
(2)记
1
n
n
n
b
a
= -
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，求
n
S ；
(3)数列
nc
满足：
2
1
1 1
2
2
1
3
3
2
2
n
n
n
n
n
a c
a c
a c
+
-
+
+
+
+
=
×
-
L
，求
n
n
na
c
ì
ü
í
ý
î
þ
的最大项．
【答案】(1)证明见解析，
2
na
n
=
(2)
1
1
1
2
n
n
S
n n
=
-
+
(3)1
【详解】（1）等式
1
1
1
n
n
na
n
a
n n
+ =
+
+
+
两边同除以
1
n n +
，得
1
1
1
n
n
a
a
n
n
+ =
+
+
，
所以数列
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ
是以1 为首项，1 为公差的等差数列．由上知
na
n
n =
，即得
2
na
n
=
．
（2）由（1）知，
2
1
n
nb
n
= -
．
当n 为偶数时，
2
2
2
2
2
2
2
1
4
3
1
n
S
n
n
=
-
+
-
+
+
-
-
L
3
2
1
1
3
7
2
1
1 .
2
2
2
n
n
n
n n
+
-
=
+
+
+
-
=
×
=
+
L
当n 为奇数时，
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
S
S
n
n
n
n
n n
-
=
+ -
=
-
-
= -
+
．
综上，
1
1
1
2
n
n
S
n n
=
-
+
．
（3）当
1
n = 时，
1 1
3
a c =
；当
2
n ³
时，
有
2
2
1
2
1
1
1
1 3
3
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a c
n
+
-
-
-
+
-
+
=
×
-
×
=
×
，可得
2
*
3n
n
n
a c
n
n
=
×
ÎN
．
所以，
*
3n
nc
n
=
ÎN
．记
n
n
n
na
d
c
=
，则
3
3
n
n
n
d =
．
令
3
3
,
3
x
f x
x x
=
-
³
，则
3
ln33
1
ln3 1
0
3
x
f
x =
- ³
- >
¢
，
可得
f x 在区间
3,+¥ 上单调递增，则
3
0
f x
f
³
=
，即得
3
3
x
x
³
，即
3
3x
x
³
．
所以当
4
x ³
时，
3
3x
x
>
，即
3
1
3x
x < ，可知数列
n
d
从第4 项开始每一项均小于1．
因为
1
2
3
1
8
,
,
1
3
9
d
d
d
=
=
= ，所以数列
n
d
的最大项是第三项，
其值为1，即得数列
n
n
na
c
ì
ü
í
ý
î
þ
的最大项为1．
押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数
π
( )
2sin(
)(0
2,0
)
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
<
<
<
<
，
π
( )
( )
6
f x
f
£
恒成立，且
(0)
3
f
=
．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
( )
0
f B =
，
4
a =
，ABC
V
的面积为2 3 ，求sinC ．
【答案】(1)
π
( )
2sin(
)
3
f x
x
=
+
(2)
21
14
【详解】（1）由
2sin
3
(0)
f
j
=
=
，得
3
sin
2
j =
，而
π
0
2
j
<
<
，则
π
3
j =
，
由
π
( )
( )
6
f x
f
£
恒成立，得
π
π
π
( )
2sin(
)
2
6
6
3
f
w
=
+
=
，即
π
π
sin(
)
1
6
3
w +
= ，
0
w >
，
因此π
π
π
2 π,
6
3
2
k
k
w +
=
+
ÎN，解得
12
1,
k
k
w =
+
ÎN ，而0
2
w
<
<
，则
1
w = ，
所以
( )
f x 的解析式为
π
( )
2sin(
)
3
f x
x
=
+
.
（2）由（1）得，
π
( )
2sin(
)
0
3
f B
B
=
+
=
，而0
π
B
<
<
，解得
2π
3
B =
，
由
1
1
2π
sin
4 sin
2 3
2
2
3
S
ac
B
c
=
=
´
=
，解得
2
c =
，
由余弦定理得
2
2
1
2
cos
16
4
2 4 2 (
)
2 7
2
b
a
c
ac
B
=
+
-
=
+
- ´ ´ ´ -
=
，
由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
=
，得
3
2
sin
21
2
sin
14
2 7
c
B
C
b
´
=
=
=
．
分析有理·押题有据
大题必考，位置极稳，全国Ⅱ卷近几年，解三角形固定在第15 题，13 分，是第一道大题，必须拿满分。
“内部一条线”是近年最热考法，单纯考边、角、面积太简单，现在高频考：角平分线、中线、高线、平
行线，难度适中、区分度好。定值+最值是标准考法，第一问求角/边（定值），第二问求周长、面积、边长
范围（最值），是全国卷最成熟的命题结构。不超纲、不玄学，全是套路，只用：正余弦定理 + 面积公式 +
基本不等式。2026 全国Ⅱ卷解三角形大题，90% 考：三角形内部一条线 + 定值+最值。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，给中线、角平分线、高线，求边长或角度；求面积最值、周长最值
；结合基本不等式、三角恒等变换，考纲核心要求熟练运用正余弦定理解三角形，掌握面积公式与最值问
题，是基础大题必考内容。2026 各地一模二模高度一致，几乎所有模拟卷解三角形都在考：三角形内有一
条线；定值+范围双问完全贴合全国卷风格。
今年重点只押三类“内部一条线”，覆盖全部考法： 中线问题（最高频）；角平分线问题（次高频）
；高线 / 垂线问题（常规）外加必考：面积最值；周长最值；边长范围。
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西咸阳·二模）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
sin
sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
C
-
=
-
．
(1)求角A ；
(2)若点D 在BC 上，
2
AD
CD
=
=
，
3
b =
，求c ．
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 9 21
21
10
-
【详解】（1）由正弦定理得
sin
sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
C
-
=
-
得
2
2
a
c
b b
c
-
=
-
，
所以
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，所以由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
因为0
π
A
<
<
，所以
π
3
A =
．
（2）在ACD
V
中，
2,
3
AD
CD
AC
b
=
=
=
=
，所以
²
²
²
3
cos
2·
·
4
AC
CD
AD
C
AC CD
+
-
=
=
，
2
7
sin
1 cos
4
C
C
=
-
=
，
又
2π
2π
3
1
3 3
7
π
,sin
sin
cos
sin
3
3
2
2
8
B
A
C
C
B
C
C
C
+
æ
ö
=
-
-
=
-
=
-
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
在
ABC
V
中，由正弦定理得
sin
9 21
21
sin
10
b
C
c
B
-
=
=
．
2．（2026·陕西·二模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
120
BAC
°
Ð
=
，AD 为
BAC
Ð
的角
平分线，且
2
AD =
．
(1)若sin
2sin
B
C
=
，求a 的大小；
(2)设M 为BC 中点，连接AM ，ABC
V
面积取得最小值时，求线段AM 的长度.
【答案】(1)3 7 ；(2)2
【详解】（1）因为sin
2sin
B
C
=
，由正弦定理得
2
b
c
=
.
因为
BAC
Ð
的角平分线交BC 于点D ，所以
60
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
o ，
由
ABC
ADB
CDA
S
S
S
=
+
V
V
V
，得1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
bc
BAC
c AD
BAD
b AD
CAD
Ð
=
×
Ð
+
×
Ð
，
则1
1
1
2
sin60
2
sin60
sin120
2
2
2
× ×
+
× × ×
=
× ×
b
c
b c
o
o
o ，
即
2
2
bc
c
b
=
+
，所以
3
6
c
b
=
=
,
.
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
cos120
36
9
2 3 6
63
2
a
b
c
bc
æ
ö
=
+
-
=
+
- ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
o
，
即
63
3 7
a =
=
；
（2）由
ABC
ADB
CDA
S
S
S
=
+
V
V
V
，得1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
bc
BAC
c AD
BAD
b AD
CAD
Ð
=
×
Ð
+
×
Ð
，
得1
1
1
2
sin60
2
sin60
sin120
2
2
2
× ×
+
× × ×
=
×
b
c
bc
o
o
o ，
化简得
2
2
bc
c
b
=
+
，即1
1
1
2
b
c
+
=
，
所以1
1
1
1
1
2
2
+
=
³
´
b
c
b
c ，即1
1
16
4 ³
Þ
³
bc
bc
，
当且仅当
4
b
c
=
=
时等号成立，bc 取得最小值，
ABC
V
面积取得最小值，
此时
ABC
V
为等腰三角形，M 为BC 中点，则AM 既是中线也是角平分线.
即
,
D M 重合，故
2
AM
AD
=
=
.
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角
ABC
V
中，D 为边BC 上一点，AD 平分
BAC
Ð
，且
cos
cos
cos
B
C
B
b
b
c
-
=
-
．
(1)证明：DA
DB
=
；
(2)若
2
a =
，求AD 长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
4
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由cos
cos
cos
B
C
B
b
b
c
-
=
-
与正弦定理可得cos
cos
cos
sin
sin
sin
B
C
B
B
B
C
-
=
-
．
展开得cos sin
cos sin
sin cos
sin cos
B
B
B
C
B
C
B
B
-
=
-
，
所以
2cos sin
sin
+
sin
B
B
B C
A
=
=
，即得sin2
sin
B
A
=
，
由于
ABC
V
为锐角三角形，B 和A 均在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内， 则
2
A
B
=
或
2
A
B
p
+
=
，
当
2
A
B
p
+
=
时，因A
B
C
p
+
+
=
，则B
C
=
，即得b
c
=
，此时题设条件不满足，舍去.
故
2
A
B
=
，又AD 平分
BAC
Ð
，所以
1
2
BAD
BAC
B
Ð
=
Ð
= Ð
．
故DA
DB
=
．
（2）由（1）知
2
A
B
=
，则
π
π
3
C
A
B
B
=
-
-
=
-
．
因为
ABC
V
为锐角三角形，
所以
π
π
π
0
0
2
0
π
3
2
2
2
B
A
B
C
B
<
<
<
=
<
<
=
-
<
，
，
，
解得π
π
6
4
B
<
<
已知
2
a
BC
=
=
，由正弦定理sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
，得
2sin
2sin
2sin3
sin2
sin2
sin2
B
C
B
b
c
B
B
B
=
=
=
，
．
因AD 平分
A
Ð
，则
sin3
sin
BD
AB
c
B
DC
AC
b
B
=
=
=
．
设BD
x
=
，则
2
DC
x
=
- ，且由（1）知DA
DB
x
=
=
，
则得
sin3
2
sin
x
B
x
B
=
-
（*）
因
3
sin3
sin
2
sin cos2 +cos sin2
3sin
4sin
B
B
B
B
B
B
B
B
B
=
+
=
=
-
，
则
3
2
3sin
4sin
3
4sin
2
sin
x
B
B
B
x
B
-
=
=
-
-
，
设
2
3
4sin
t
B
=
-
，由
π π
,
6 4
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，得
1
2
sin
,
2
2
B
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，则
1,2
t Î
．
由2
x
t
x =
-
可得
2
1
t
x
t
= + ，
又函数2
2
2
1
1
t
t
t
=
-
+
+ 在
1,2
t Î
上单调递增，
故2
4
1,
1
3
t
t
æ
ö
Îç
÷
+
è
ø ，即
4
1, 3
AD
æ
ö
Îç
÷
è
ø.
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）△ABC 中角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
2
a
b
c
+
=
，
4
tan
3
C =
.
(1)证明：
2
a
b
c
+
+
<
；
(2)求△ABC 的内切圆半径r 的取值范围；
(3)若
1
5
a =
，△ABC 的内切圆上有一点P ，求点P 到, ,
A B C 三点的距离的平方和的最值.
【答案】(1)证明见解析(2)
1
0,16
æ
ù
ç
ú
è
û (3)最小值为18
625 ，最大值为22
625
【详解】（1）证明，由tan
0
C >
知cos
0
C >
，在ABC
V
中由余弦定理得：
2
2
2
2
2
(
)(
)
[1 (
)]
cos
0
2
2
2
a
b
c
a
b
c b
c
a
b
c
C
ab
ab
ab
+
-
+
-
+
-
+
=
=
=
>
1
2(
)
2
b
c
a
b
c
b
c
\ +
<
+
+
<
+
<
，
（2）由
2
2
2
1
cos
ab
C
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
=
+
-
=
+
+
+
-
可知
sin
sin
2 1
cos
a
b
c
C
ab
C
r
a
b
c
C
+
-
=
=
+
+
+
又
4
3
sin
,cos
5
5
C
C
=
=
Q
2
4
a
a
r
-
+
\ =
2
sin
sin
sin
a
b
c
a
A
B
C
+
=
\
+
=
Q
sin
sin
0,1
sin(
)
C
B
a
B
C
-
\
=
Î
+
而
2
2
1
1
1
1
0,
4
4
2
16
16
a
a
r
a
r
-
+
æ
ö
æ
ù
=
= -
-
+
\ Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û
.
（3）
4
3
tan
cos
3
5
C
C
=
\
=
Q
由
2
2
2
2
2
cos
1
3
,
,cos
5
5
c
b
a
ab
C
a
C
a
b
c
ì
=
+
-
=
=
í
+
=
î
代入
解得
3
4
,
25
25
b
c
=
=
，可知ABC
V
为直角三角形，且
2
A
p
=
，
以A 为原点，
,
AB AC 分别为,x y 轴正方向建立平面直角坐标系，
则
4
3
,0 ,
0,
25
25
B
C
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，设内心
,
,
I r r
有
1
1
2
2
25
a
b
c r
bc
r
+
+
=
Þ
=
设
2
2
2
cos ,
sin
,
cos
sin
P r
r
r
r
PA
r
r
r
r
q
q
q
q
+
+
=
+
+
+
则
2
2
2
2
2
2
4
3
cos
sin
,
cos
sin
25
25
PB
r
r
r
r
PC
r
r
r
r
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
=
+ -
+
+
=
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
整理得：
2
2
2
4
2 cos
125
625
PA
PB
PC
q
+
+
=
-
，
2
2
2
18
22
,
625 625
PA
PB
PC
é
ù
\
+
+
Îê
ú
ë
û ，即所求得最小值为18
625 ，最大值为22
625 .
5．（2026·辽宁大连·一模）已知
ABC
V
与
ABD
△
，点C 与点D 在直线AB 的同侧，且边AC 与边BD 相交于
点O ，O 为AC 中点，
2
DO
OB
=
uuur
uuur
，
2
AB =
，
2π
3
ABC
Ð
=
.
(1)若BD 平分
ABC
Ð
，求AD ；
(2)若
3
BC = ，求sin BAD
Ð
.
【答案】(1)
7
AD =
(2)
9 201
sin
134
BAD
Ð
=
【详解】（1）因为BD 平分
ABC
Ð
，所以
1
2π
π
2
3
3
ABD
CBD
Ð
Ð
=
=
´
=
，
又因为O 为AC 中点，且边AC 与边BD 相交于点O ，
所以在
ABC
V
中，BD 是
ABC
Ð
的平分线且过对边AC 的中点，
故
ABC
V
是等腰三角形，即
2
AB
BC
=
=
，
在
ABC
V
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos120
AC
AB
BC
AB BC
=
+
-
o
g
g
g
，
1
4
4
2 2 2 (
)
12
2
+
- ´ ´ ´ -
=
，
所以
2 3
AC =
，
3
AO
OC
=
=
，
则在ABO
V
中，
2
AB =
，
3
AO =
，
60
ABO
Ð
=
o ，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos60
AO
AB
BO
AB BO
=
+
-
o
g
g
g
2
1
3
4
2 2
2
BO
BO
=
+
- ´ ´
´
，解得
1
BO = ，
又因为
2
DO
OB
=
uuur
uuur
，则
2
2
OD
BO
=
=
，
所以
3
BD
BO
OD
=
+
=
，
同理，在
ABD
△
中，
2
AB =
，
3
BD =
，
60
ABD
Ð
=
o ，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos60
AD
AB
BD
AB BD
=
+
-
o
g
g
g
，
1
4
9
2 2 3
7
2
=
+
- ´ ´ ´
=
，
所以
7
AD =
.
（2）以B 为原点，BA 所在直线为x 轴，垂直于BA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
由图可知A 坐标为( 2,0)
-
，
因为
3
BC = ，
120
ABC
Ð
=
o ，得C 坐标为
3 3 3
3cos60 ,3sin60
( ,
)
2
2
=
o
o
，
又因为O 为AC 中点，由中点坐标公式得出O 点坐标为
1 3 3
(
,
)
4
4
-
，
设D 点坐标为( , )
x y ，由
2
DO
OB
=
uuur
uuur
和
(0,0)
B
，得出D 点坐标为
3 9 3
(
,
)
4
4
-
,
所以
(2,0)
AB =
uuur
，
5 9 3
( ,
)
4
4
AD =
uuur
，
则
2
2
5
9 3
5
2
0
·
5
4
4
2
cos
67
2 67
5
9 3
2
2
( )
(
)
2
4
4
AB AD
BAD
AB AD
´
+ ´
Ð
=
=
=
=
´
´
+
uuur uuur
uuur uuur
，
所以
2
25
9 201
sin
1 cos
1
4 67
134
BAD
BAD
Ð
Ð
=
-
=
-
=
´
，
所以
9 201
sin
134
BAD
Ð
=
.
6．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，
π
3
A =
，E 在边AB 上，
3
BE =
，AE
CE
=
，
,
DE
CE
BEC
^
△
的面积为3 3
2
，记
π
0
2
BEC
q
q
æ
ö
Ð
=
<
<
ç
÷
è
ø ．
(1)若
π
3
q =
，求线段BC 的长度；
(2)当q 为何值时，线段DE 的长度最小？求出该最小值．
【答案】(1)
7 (2)
6 2
3
-
【详解】（1）因为BEC
V
的面积为3 3
2
，
3
BE =
，
π
3
q =
，
所以3
π
3 3
sin
2
3
2
EC ×
=
，则
2
EC =
，
在
BEC
V
中利用余弦定理得
2
2
2
π
1
2
cos
4
9
2 2 3
7
3
2
BC
EC
EB
EC EB
=
+
-
×
=
+
- ´ ´ ´
=
，
所以线段BC 的长度为
7 .
（2）设AE
CE
m
=
=
，
因为
BEC
V
的面积为3 3
2
，
3
BE =
，所以3
3 3
sin
2
2
m
q =
，则
sin
3
m
q =
，
因为DE
CE
^
，所以
π
2
DEA
q
Ð
=
-
，
因为
π
3
A =
，所以
π
π
π
π
2
3
6
ADE
q
q
æ
ö
Ð
=
-
-
-
=
+
ç
÷
è
ø
在DAE
V
中利用正弦定理可得，sin
sin
DE
AE
A
ADE
=
Ð
，
则
π
sin
sin
3
3
3
π
π
sin
3sin
cos
sin
sin
2sin
sin
6
6
m
AE
A
DE
ADE
q
q
q
q
q
q
×
×
=
=
=
=
Ð
æ
ö
æ
ö
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
6
6
1 cos2
1
π
sin 2
3 cos2
3
3
sin 2
2sin 2
3
2
2
3
q
q
q
q
q
=
=
=
-
æ
ö
-
+
×
+
-
+
ç
÷
è
ø
，
因为
π
0
2
q
<
<
，所以
π
π
2π
2
3
3
3
q
-
<
-
<
，则
3
π
sin 2
1
2
3
q
æ
ö
-
<
-
£
ç
÷
è
ø
，
则
π
0
2sin 2
3
2
3
3
q
æ
ö
<
-
+
£
+
ç
÷
è
ø
，则
6
6 2
3
2
3
DE ³
=
-
+
，
等号成立时
π
sin 2
1
3
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，则
π
π
2
3
2
q -
=
，即
5π
12
q =
，
故当
5π
12
q =
时线段DE 的长度最小，最小为
6 2
3
-
.
7．（2026·吉林·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对应边分别为, ,
a b c ，且2
2 cos
c
b
a
B
-
=
．
(1)求A ；
(2)若
5
2,
π
12
b
C
=
=
，数列
na
的通项公式为
*
sin(2
),
N
3
n
B
a
a
nA
n
=
+
Î
，设
n
S 为数列
na
的前n 项和，求
2026
S
．
【答案】(1)
π
3
A =
；(2)
6
2
.
【详解】（1）在
ABC
V
中，由2
2 cos
c
b
a
B
-
=
及正弦定理，得2sin
sin
2sin
cos
C
B
A
B
-
=
，
则2sin(
)
sin
2sin
cos
A
B
B
A
B
+
-
=
，即2sin
cos
2cos
sin
sin
2sin
cos
A
B
A
B
B
A
B
+
-
=
，
于是2cos
sin
sin
A
B
B
=
，而sin
0
B >
，则
1
cos
2
A =
，又0
π
A
<
<
，
所以
π
3
A =
.
（2）由（1）知，
π
3
A =
，而
5 π
12
=
C
，则
π
4
B =
，又
2
b =
，则由正弦定理得
sin
3
sin
b
A
a
B
=
=
，
因此
2π
π
3sin(
)
3
12
sin(2
)
3
n
B
a
nA
n
a
+
+
=
=
，函数
2π
π
( )
sin(
)
3
12
f x
x
=
+
的最小正周期为3，
因此数列
na
是以3 为周期的周期数列，
1
2
3
3π
17π
25π
3(sin
sin
sin
)
4
12
12
a
a
a
+
+
=
+
+
2
π
π
π
π
2
π
π
3[
sin(
)
sin(
)]
3(
2cos
sin
)
0
2
4
6
4
6
2
4
6
=
-
+
+
-
=
-
=
，而2026
675 3 1
=
´ + ，
所以
1
2
3
1
2026
2
6
675(
)
675 0
3
2
2
S
a
a
a
a
=
+
+
+
=
´ +
´
=
.
8．（2026·吉林长春·一模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
cos
3
B= -
，且
ABC
V
的
面积为5 2
2
.
(1)求ac 的值；
(2)若sin
2 2
b
C =
，求AC 边上的高BD .
【答案】(1)
15
2
ac =
(2)10 2
9
【详解】（1）因为
1
cos
3
B= -
，
0,π
BÎ
，所以
2
2 2
sin
1 cos
3
B
B
=
-
=
，
又
ABC
V
的面积
1
5 2
sin
2
2
S
ac
B
=
=
，所以1
2 2
5 2
2
3
2
ac´
=
，
所以
15
2
ac =
.
（2）由正弦定理得
sin
sin
2 2
b
C
c
B
×
= ×
=
，则
sin
2 2
3
sin
2 2
3
b
C
c
B
=
=
=
，所以
15
5
2
3
2
a =
=
，
由余弦定理，
2
2
2
25
5
1
81
2
cos
9
2
3
4
2
3
4
b
a
c
ac
B
æ
ö
=
+
-
=
+
- ´
´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
，解得
9
2
b =
，
即
9
2
AC =
，又
ABC
V
的面积
1
1
9
5 2
2
2
2
2
S
AC
BD
BD
=
´
=
´
´
=
，
解得
10 2
9
BD =
，即AC 边上的高BD 为10 2
9
.
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是, ,
a b c ，
2
2 cos
3
c
a
B
b
-
=
.
(1)求角A ；
(2)若
1
a = ，
2 3
bc =
，c
b
>
，求AB 边上的高.
【答案】(1) π
6 (2)
3
2
【详解】（1）因为2
2 cos
3
c
a
B
b
-
=
，
根据正弦定理得，2sin
2sin
cos
3sin
C
A
B
B
-
=
.
因为
π
(
)
C
A
B
=
-
+
，所以sin
sin(
)
C
A
B
=
+
，
所以2sin(
)
2sin
cos
3sin
A
B
A
B
B
+
-
=
，
所以2cos
sin
3sin
A
B
B
=
，
因为
(0,π)
BÎ
，所以sin
0
B ¹
，所以
3
cos
2
A =
，
因为
(0,π)
AÎ
，所以
π
6
A =
.
（2）根据余弦定理得，
2
2
2
π
2
cos 6
a
b
c
bc
=
+
-
，
将
1
a = ，
2 3
bc =
代入上式整理得，
2
2
7
b
c
+
=
，
又因为
2 3
bc =
且b
c
<
，解得
3
b =
，
2
c =
，
所以
2
2
2
a
b
c
+
=
，所以
ABC
V
为以AB 为斜边的直角三角形，
所以斜边AB 上的高为
1
3
3
2
2
ab
h
c
´
=
=
=
.
10．（2026·黑龙江大庆·二模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
3
cos
sin
3
b
A
a
B
c
×
+
×
=
.
(1)求B ；
(2)若
6
a
c
+
=
，且
ABC
V
的面积为
3 ，求
ABC
V
的周长.
【答案】(1)
π
3
B =
(2)6
2 6
+
【详解】（1）由正弦定理得：
3
3
cos
sin
sin cos
sin sin
sin
3
3
b
A
a
B
c
B
A
B
A
C
×
+
×
=
Þ
+
=
，
在三角形中
π
C
A
B
=
-
+
，所以
3
sin cos
sin sin
sin
3
B
A
B
A
A
B
+
=
+
，
即
3
3
sin cos
sin sin
sin cos
cos sin
sin sin
sin cos
3
3
B
A
B
A
A
B
A
B
B
A
A
B
+
=
+
Þ
=
，
因为
0,π ,sin
0
A
A
Î
¹
，所以
3 sin
cos
tan
3
3
B
B
B
=
Þ
=
，
因为
0,π
BÎ
，所以
π
3
B =
（2）
1
3
sin
3
2
4
ABC
S
ac
B
ac
=
=
=
△
，所以
4
ac =
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
(
)
3
36 12
24
b
a
c
ac
B
a
c
ac
=
+
-
=
+
-
=
-
=
，所以
2 6
b =
，
则
2 6
6
a
b
c +
+
+
=
，
所以
ABC
V
的周长为6
2 6
+
.
押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数
2
2
3 e
R
x
f x
ax
a
-
=
-
Î
，且
1
f
为函数
f x 的极值.
(1)求实数a 的值；
(2)当
1
x ³ 时，
1
2
1
e
0
2
x
f x
m
m
-
+
+
³
恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)证明：当
2
n ³
时，
2
1
1
( )
2
n
i
f i
=
<
å
．
【答案】(1)
2
a =
(2)
2 e
m £ -
或
3
1
m ³
- (3)证明见解析
【详解】（1）因为
2
2
2
2
2
2
( )
e
(
3) 2e
(2
6)e
x
x
x
f
x
a
ax
ax
a
-
-
-
¢
=
×
+
-
×
=
+
-
，又
(1)
f
为函数
( )
f x 的极值， 所以
(1)
0
f ¢
=
，即
0
(2
6)e
3
6
0
a
a
a
+
-
=
-
=
，解得
2
a =
.
验证极值点：当
2
a =
时，
2
2
( )
4(
1)e x
f
x
x
-
¢
=
-
.
当
1
x < 时，
( )
0
f
x
¢
<
，
( )
f x 单调递减；
当
1
x > 时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 单调递增.
因此
1
x = 是
( )
f x 的极小值点，符合题意，故
2
a =
.
（2）由(1)得
2
2
( )
(2
3)e x
f x
x
-
=
-
，设
2
2
1
2
1
( )
(2
3)e
e
2
x
x
g x
x
m
m
-
-
=
-
+
+
，
2
2
1
1
1
( )
4(
1)e
e
e
4(
1)e
x
x
x
x
g x
x
m
x
m
-
-
-
-
é
ù
=
-
+
=
-
+
ë
û
¢
设
1
( )
4(
1)ex
h x
x
m
-
=
-
+
，
1
( )
4 ex
h x
x
-
¢
=
.
当
1
x ³ 时，
( )
0
h x
¢
>
，因此( )
h x 在[1,
)
+¥ 上单调递增，( )
(1)
h x
h
m
³
=
.
情况1：
0
m ³
此时( )
0
h x
m
³
³
，故
( )
0
g x
¢
³
，( )
g x 在[1,
)
+¥ 上单调递增，最小值为(1)
g
.
2
1
(1)
1
0
2
g
m
m
=
+
- ³
，解得
1
3
m £ - -
或
3
1
m ³
- ，结合
0
m ³
，得
3
1
m ³
- .
情况2：
0
m <
( )
h x 在[1,
)
+¥ 上单调递增，且(1)
0
h
m
=
<
，x ® +¥ 时( )
h x ® +¥ ，
故存在唯一
0
(1,
)
x Î
+¥ ，使得
0
(
)
0
h x
=
，即
0 1
0
4(
1)ex
m
x
-
= -
-
.
当
0
[1,
)
x
x
Î
时，
( )
0
g x
¢
<
，( )
g x 单调递减；
当
0
(
,
)
x
x
Î
+¥ 时，
( )
0
g x
¢
> ，( )
g x 单调递增.
因此( )
g x 的最小值为
0
(
)
g x
，代入
0 1
0
4(
1)ex
m
x
-
= -
-
，
化简得
0
2
2
2
0
0
0
(
)
e
(8
18
9)
0
x
g x
x
x
-
=
×
-
+
³
，
因
0
2
2
0
x
e
- >
，故
2
0
0
8
18
9
0
x
x
-
+
³
，解得
0
3
2
x ³
.
设
1
( )
4(
1)ex
H x
x
-
= -
-
，
3
[ ,
)
2
xÎ
+¥ ，
1
( )
4 e
0
x
H x
x
-
¢
= -
<
，
故
( )
H x 在3
[ ,
)
2 +¥ 上单调递减，
因此
0
3
(
)
2 e
2
m
H x
H æ
ö
=
£
= -
ç
÷
è
ø
，
综上所述，实数m 的取值范围是
2 e
m £ -
或
3
1
m ³
- .
（3）证明：由(1)得
2
2
( )
(2
3)e i
f i
i
-
=
-
，因此
2
2
1
1
( )
(2
3)e i
f i
i
-
=
-
.
令( )
e
(
1)
x
t x
x
=
-
+
，则( )
e
1
x
t x
¢
=
- ，
当
0
x >
时，( )
0
t x
¢
>
，当
0
x <
时，( )
0
t x
¢
<
，
所以( )
e
(
1)
x
t x
x
=
-
+
在(0,
)
+¥ 上递增，在(
,0)
-¥
上递减，
所以
0
min
( )
e
(0 1)
0
t x
=
-
+
=
，所以( )
e
(
1)
0
x
t x
x
=
-
+
³
所以不等式e
1
x
x
³
+ （当且仅当
0
x =
时取等号），
令
2
2
x
i
=
-
，得
2
2
e
2
1
i
i
- ³
- ，且
2
i ³
时2
2
0
i -
¹
，故
2
2
e
2
1
i
i
- >
- .
因此对
2
i ³
，有：
1
1
1
1
1
( )
(2
3)(2
1)
2 2
3
2
1
f i
i
i
i
i
æ
ö
<
=
-
ç
÷
-
-
-
-
è
ø，即
2
2
1
1
1
1
( )
2
2
3
2
1
n
n
i
i
f i
i
i
=
=
æ
ö
<
-
ç
÷
-
-
è
ø
å
å
因为
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=1
2
3
2
1
1
3
3
5
2
3
2
1
2
1
n
i
i
i
n
n
n
=
æ
ö
-
=
-
+
-
+
+
-
-
ç
÷
-
-
-
-
-
è
ø
å
L
，
所以
2
1
1
1
1
( )
2
2
1
n
i
f i
n
=
æ
ö
<
-
ç
÷
-
è
ø
å
.
因
2
n ³
时
1
0
2
1
n
>
-
，故1
1
1
1
2
2
1
2
n
æ
ö
-
<
ç
÷
-
è
ø
，即
2
1
1
( )
2
n
i
f i
=
<
å
，不等式得证.
分析有理·押题有据
压轴地位不可动摇全国Ⅱ卷第18、19 题必是导数大题，选择填空也常出一道导数小题，总分值20 分
左右，是整张试卷区分尖子生与普通生的核心题。三大考法高度固定，大题结构几乎年年一样：第1 问：
单调性、切线、极值（送分）；第2 问：零点个数 / 恒成立求参 / 比较大小（拉分）命题风格成熟、不跑
偏，不考怪招，重点考：分类讨论、分离参数、构造函数、隐零点、放缩，套路极强，二轮突击性价比极
高。重思维轻计算，侧重逻辑分析、函数构造、数形结合，完美契合新课标“理性思维”考查目标。2026
全国Ⅱ卷导数大题100%必考，90%概率考：零点问题 或 恒成立求参 或 比较大小。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，恒成立求参数范围（含端点效应、隐零点）；函数零点个数判断、
存在性证明；双变量比较大小、极值点偏移；含参单调性讨论，考纲核心要求：熟练应用导数研究函数单
调性、极值、最值；能够解决函数零点、不等式证明、恒成立问题。2026 各地一模二模各地模拟卷导数题
均围绕：含参单调性；恒成立求参；零点个数；构造函数比大小，完全复刻全国卷命题逻辑。
今年重点只押3 类，覆盖99%考法：恒成立求参数范围（最高频），函数零点个数与存在性（次高频）
双变量/单变量比较大小、不等式证明（压轴考法）解题口诀：导数题，先求导，单调极值先找到。恒成立，
分离参，不行再把分类谈。零点题，看符号，单调区间要分好。比大小，作差构，同构放缩压轴路。
密押预测·精练通关
1．（2026·黑龙江·一模）已知函数
2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
+
+
+
，
R
aÎ
．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)当
1
0
2
a
-
£
<
时，求证：
1
2
1
2
f x
a
a
£
-
- ．
【答案】(1)当
0
a ³
时，函数
f x 在区间
0, ¥
+
上单调递增；
当
0
a <
时，函数
f x 在区间
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在区间
1 ,
2a
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø 上单调递减．
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，函数
2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
+
+
+
，
R
aÎ
的定义域为
0, ¥
+
，
导数
1
2
1
x
ax
f
x
x
¢
+
+
=
，
0
x >
当
0
a ³
时，
0,
x
¥
Î
+
，
0
f
x
¢
>
；
当
0
a <
时，
1
0,
2
x
a
æ
ö
Î
-
ç
÷
è
ø ，
0
f
x
¢
>
；
1 ,
2
x
a
¥
æ
ö
Î -
+
ç
÷
è
ø ，
0
f
x
¢
<
；
综上，当
0
a ³
时，函数
f x 在区间
0, ¥
+
上单调递增；
当
0
a <
时，函数
f x 在区间
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在区间
1 ,
2a
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø 上单调递减．
（2）由（1）可知，当
1
0
2
a
-
£
<
时，
函数
f x 在区间
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在区间
1 ,
2a
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø ，上单调递减．
所以
2
max
1
1
1
1
1
ln
1
ln
2
2
2
2
4
f x
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
-
-
+
-
=
- -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
要证
1
2
1
2
f x
a
a
£
-
- ，需证
1
1
1
ln
2
2
1
4
2
a
a
a
a
a
- -
-
-
£
-
- ．
即需证
1
1
ln
2
0,
0
4
2
a
a
a
a
-
+
-
³
-
£
<
恒成立，
令
1
1
ln
2
,
0
4
2
g a
a
a
a
a
=
-
+
-
-
£
<
，
则
2
2
2
1
2
(2
1)
1
0
4
2
4
a
g
a
a
a
a
+
= +
+
=
³
¢
所以函数
g a 在区间
1 ,0
2
é
ö
-
÷
êë
ø 单调递增，
故
1
0
2
g a
g æ
ö
³
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
ln
2
0
4
a
a
a
-
+
-
³
，
1
0
2
a
-
£
<
恒成立，
所以当
1
0
2
a
-
£
<
时，
1
2
1
2
f x
a
a
£
-
- ．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
1
( )
2
3
x
f x
ae
x
-
=
+
- ，其中
R
aÎ
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)（ⅰ）当
1
a ³ 时，证明：
( )
3ln (
0)
f x
x x
³
>
；
（ⅱ）当
1
a = 时，设0
1
m
n
<
< <
，且
( )
( )
0
f m
f n
+
=
.求证：
(
)
(
)
0
f mn
f m
n
×
+
<
.
【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）
1
( )
2
x
f
x
ae -
¢
=
+
，
①当
0
a ³
时，
( )
0
f
x
¢
³
，
( )
f x 在(
,
)
-¥ +¥ 单调递增，
②当
0
a <
时，令
0
0
f
x
¢
=
，解得
0
2
1
ln
x
a
æ
ö
= +
-
ç
÷
è
ø ，
当
2
,1 ln
x
a
¥
æ
ö
æ
ö
Î -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
时，
( )
0
f
x
¢
>
，当
2
1 ln
,
x
a
¥
æ
ö
æ
ö
Î
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
时，
( )
0
f
x
¢
<
，
所以
( )
f x 在
2
,1 ln
a
¥
æ
ö
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
上单调递增，在
2
1 ln
,
a
¥
æ
ö
æ
ö
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
上单调递减，
综上，当
0
a ³
时，
( )
f x 在(
,
)
-¥ +¥ 单调递增；
当
0
a <
时，
( )
f x 在
2
,1 ln
a
¥
æ
ö
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
上单调递增，
在
2
1 ln
,
a
¥
æ
ö
æ
ö
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
上单调递减.
（2）设
1
( )
2
3
3ln
x
g x
e
x
x
-
=
+
- -
，
则
1
3
( )
2
x
g x
e
x
-
¢
=
+
-
，
因为
( )
g x
¢
在(0,
)
+¥ 上单调递增，
(1)
0
g¢
=
，
所以当
(0,1)
xÎ
时，
( )
0
g x
¢
<
，( )
g x 单调递减；
当
(1,
)
xÎ
+¥ 时，
( )
0
g x
¢
> ，( )
g x 单调递增；
所以( )
(1)
0
g x
g
³
=
，当且仅当
1
x = 时取等，
所以
3ln
0
f x
x
g x
-
=
³
，即
( )
3ln
f x
x
³
，当且仅当
1
a = ，
1
x = 时取等；
（ⅱ）法一：由（1）已知，当
1
a = 时，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 单调递增；
因为
1
m
n
+
> ，所以
(
)
(1)
0
f m
n
f
+
>
=
，
由（2）可知，
( )
3ln
f m
m
>
，
1
1
3ln
3ln
f
m
m
m
æ
ö >
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
1
3ln
3ln
0
f m
f
m
m
m
æ
ö
+
>
+ -
=
ç
÷
è
ø
，
因为
( )
( )
0
f m
f n
+
=
，所以
1
( )
f
f n
m
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，
所以1
n
m >
，即
1
mn < ，
所以
(
)
(1)
0
f mn
f
<
=
，
所以
(
)
(
)
0
f mn
f m
n
×
+
<
法二：
由（1）已知，当
1
a = 时，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 单调递增；
因为
1
m
n
+
> ，所以
(
)
(1)
0
f m
n
f
+
>
=
；（同法一）
设
1
( )
2
x
x
x e
j
-
=
+
，
(0,
)
xÎ
+¥ ，易知( )
j x 在(0,
)
+¥ 上单调递增，
所以当
(0,1)
xÎ
时，
1
( )
x
x
j
j æ
ö
<
ç
÷
è
ø，即
1 1
1
1
2
2
x
x
x e
e
x
-
-
æ
ö
+
<
+
ç
÷
è
ø
，
上式整理得
1 1
1
2
1
2
2
0
x
x
e
e
x
-
-
æ
ö
+
-
+
<
ç
÷
è
ø
，即
2
1
1
( )
0
f
x
f
x
x
æ
ö
-
<
ç¢
÷
è
ø
¢
设
1
( )
( )
h x
f x
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
(0,1)
xÎ
，所以( )
h x 在( 0, 1) 上单调递减，
所以( )
(1)
0
h m
h
>
=
，即
1
( )
0
f m
f
m
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，
因为
( )
( )
0
f m
f n
+
=
，所以
1
( )
f
f n
m
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，所以1
n
m >
，即
1
mn < ，
所以
(
)
(1)
0
f mn
f
<
=
所以
(
)
(
)
0
f mn
f m
n
×
+
<
（同法一）
法三：
由（1）已知，当
1
a = 时，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 单调递增；
因为
1
m
n
+
> ，所以
(
)
(1)
0
f m
n
f
+
>
=
；（同法一）
设( )
(1
)
(1
)
h t
f
t
f
t
=
+
+
-
，
(0,1)
t Î
，
所以
( )
(1
)
(1
)
0
t
t
f
f
h t
t
t
e
e-
¢
=
+
-
-
-
¢
¢
=
>
，所以( )
h t 在( 0, 1) 上单调递增，
显然0
1
1
m
< -
< ，所以(1
)
(0)
0
h
m
h
-
>
=
，即
( )
(2
)
0
f m
f
m
+
-
>
，
因为
( )
( )
0
f m
f n
+
=
，所以
(2
)
( )
f
m
f n
-
>
，所以2
m
n
-
>
，即
2
m
n
+
<
，
根据基本不等式，2
2
mn
m
n
<
+
<
，所以
1
mn < ，
所以
(
)
(1)
0
f mn
f
<
=
，
所以
(
)
(
)
0
f mn
f m
n
×
+
<
法四：
由（1）已知，当
1
a = 时，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 单调递增；
因为
1
m
n
+
> ，所以
(
)
(1)
0
f m
n
f
+
>
=
；（同法一）
因为
1
1
( )
( )
2(
)
6
0
m
n
f m
f n
e
e
m
n
-
-
+
=
+
+
+
-
=
，所以
1
1
6
2(
)
m
n
e
e
m
n
-
-
+
=
-
+
根据基本不等式，
2
1
1
2
6
2(
)
m n
m
n
e
e
e
m
n
+ -
-
-
<
+
=
-
+
，
设m
n
t
+
= ，所以
2
2
6
2
te
t
- <
-
，整理得
2
2
(3
)
0
te
t
- -
-
<
，
设
2
2
( )
(3
)
t
h t
e
t
-
=
-
-
，
所以
2
( )
2(3
)
t
h t
e
t
-
¢
=
+
-
，
2
( )
2
t
h t
e -
¢¢
=
-
，
所以
( )
h t
¢
在(
,2
ln2)
-¥
+
单调递减，在(2
ln 2,
)
+
+¥ 单调递增，
所以
( )
(2
ln 2)
2(2
ln 2)
0
h t
h
¢
¢
³
+
=
-
>
，所以( )
h t 为增函数，
因为(2)
0
h
=
，所以当且仅当
2
t <
时，
2
2
(3
)
0
te
t
- -
-
<
，
所以
2
m
n
+
<
，
根据基本不等式，2
2
mn
m
n
<
+
<
，所以
1
mn < ，
所以
(
)
(1)
0
f mn
f
<
=
所以
(
)
(
)
0
f mn
f m
n
×
+
<
（同法三）
3．（2026·广西河池·二模）已知函数
ln
2
2
f x
a
x
x
a a
=
-
+
ÎR ．
(1)讨论
f x 的极值；
(2)当
2
2
a
e
>
时，证明：
2
2
e
2
2
x
a
xf x
x
ax
>
+
-
．
【答案】(1)当
0
a £
时，
f x 无极值；当
0
a >
时，
f x 的极大值为
ln
1
2
a
aæ
ö
+
ç
÷
è
ø，无极小值.(2)证明见解析
【详解】（1）函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，求导得：
2
2
a
a
x
f
x
x
x
-
=
-
=
¢
，
当
0
a £
时，
2
0
a
x
-
<
对任意
0
x >
恒成立，故
0
f
x
¢
<
，
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，无极值；
当
0
a >
时，令
0
f
x
¢
=
，得
2
a
x =
，
当
2
a
x <
时，
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增；当
2
a
x >
时，
0
f
x
¢
<
，
f x 单调递减，
故当
2
a
x =
时
f x 取得极大值
ln
2
2
ln
ln
1
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
f
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
- ´
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，无极小值.
综上，当
0
a £
时，
f x 无极值；当
0
a >
时，
f x 的极大值为
ln
1
2
a
aæ
ö
+
ç
÷
è
ø，无极小值.
（2）因为
2
2
2
2
ln
2
2
2
2
ln
xf x
x
ax
x a
x
x
a
x
ax
ax
x
+
-
=
-
+
+
-
=
，
所以原不等式等价于
2e
ln
x
a
ax
x
>
，因
0,
0
a
x
>
>
，两边除以a 得：只需证e
ln
x
a
x
x
>
.
当0
1
x
<
< 时，不等式显然成立；
当
1
x > 时，ln
0
x
x >
，只需证
ln
ex
x
x
a >
2
ln
2
e
e
x
x
x <
，因为
2
2
e
a >
，故只需证
2
ln
2
e
e
x
x
x <
.
令
ln
1
ex
x
x
g x
x
=
>
，求导得：
2
1
ln
e
ln e
1 ln
1
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
¢
+
-
-
×
-
=
=
，
令
1 ln
1
h x
x
x
= -
×
-
，
h x 在
1, ¥
+
上单调递减，且
2
1 ln 2
0
h
= -
>
，
e
2
e
0
h
=
-
<
，
故存在唯一
0
2,e
x Î
，使得
0
0
h x
=
，即
0
0
1
ln
1
x
x
=
-
.
当
0
1
x
x
<
<
时，
0
h x >
，
0
g
x
¢
>
，
g x 单调递增；当
0
x
x
>
时，
0
h x <
，
0
g
x
¢
<
，
g x 单调递减.
故当
0
x
x
=
时，
g x 取得极大值也是最大值
0
0
0
0
ln
ex
x
x
g x
=
.
代入
0
0
1
ln
1
x
x
=
- 得：
0
0
0
0
(
)
(
1)
x
x
g x
x
e
=
-
，令( )
(
2)
(
1)
x
x
x
x
x
e
j
=
>
-
，
则
2
2
2
1 e
e
1 e
1
0
1
e
1 e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
é
ù
-
-
+
-
- -
ë
û
=
=
<
-
é
ù
-
ë
û
¢
恒成立，则( )
j x 在(2,
)
¥
+
上单调递减，
故
0
2
2
(
)
(2)
x
e
j
j
<
=
，即
2
max
2
e
g x
<
成立.
综上，原不等式
2
2
e
2
2
x
a
xf x
x
ax
>
+
-
得证.
4．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数
π
sin
0
3
f x
x
w
w
æ
ö
=
-
>
ç
÷
è
ø
图象的两个相邻对称中心的横坐标相差
6，求
f x ．
（2）在（1）的条件下，设函数
4
1
ln
1
g x
t x
x
æ
ö
=
+
-
-
ç
÷
è
ø ，试判断并证明函数
h x
f x
g x
=
+
图象的对
称性．
（3）已知（2）中
g x 的导函数
g
x
¢
有两个零点
,
m n ,且
1
n
m
>
³ ．
（i）求t 的取值范围；
（ii）当
1
a ³ 时，证明：
g m
an
t
+
> ．
【答案】（1）
π
π
sin 6
3
f x
x
=
-
(
)；（2）
h x 的图象关于点(2,3 )t 成中心对称，证明见解析；
（3）（i）
4
[
, 1)
3
-
-
；（ii）证明见解析
【详解】（1）依题意，函数
f x 的最小正周期T 满足
π
6
2
T
w
=
=
，则
π
6
w =
，
故
π
π
sin(
)
6
3
f x
x
=
-
；
（2）由（1）
π
π
sin(
)
6
3
f x
x
=
-
，
4
1
ln(
1)
g x
t x
x
=
+
-
-
，
则函数
π
π
4
sin(
)
1
ln
1
6
3
h x
f x
g x
x
t x
x
æ
ö
=
+
=
-
+
+
-
-
ç
÷
è
ø 关于点(2,3 )t 成中心对称，证明如下：
由4
1
0
x - >
，可得0
4
x
<
<
，即函数
h x 的定义域为(0,4) ，
因
π
π
π
π
π
π
π
π
(4
)
( )
sin
(4
)
]
sin
sin(
)
sin
0
6
3
6
3
3
6
6
3
f
x
f x
x
x
x
x
-
+
=
-
-
+
-
=
-
+
-
=
[
(
)
(
)
，
4
4
(4
)
( )
4
1
ln(
1)
1
ln(
1)
4
g
x
g x
t
x
t x
x
x
-
+
=
-
+
-
-
+
+
-
-
-
4
4
6
ln
ln
6
ln(
)
6
4
4
x
x
x
x
t
t
t
x
x
x
x
-
-
=
-
-
=
-
×
=
-
-
，
则
4
( )
(4
)
(4
)
( )
( )
6
h
x
h x
f
x
g
x
f x
g x
t
-
+
=
-
+
-
+
+
=
，
即函数
h x 的图象关于点(2,3 )t 成中心对称.
（3）（i）由
4
1
ln(
1)
g x
t x
x
=
+
-
-
，
(0,4)
xÎ
求导得
1
1
4
( )
4
(4
)
g x
t
t
x
x
x
x
¢
= +
+
= +
-
-
，
由
( )
0
g x
¢
= 可得(4
)
4
0
x
x t
-
+
=
，显然
0
t ¹
，可得
4
(4
)
x
x
t
-
=
-
，
设
2
2
( )
(4
)
4
(
2)
4
h x
x
x
x
x
x
=
-
= -
+
= -
-
+
，可知该函数在(0,2) 上单调递增，在(2,4) 上单调递减，
且
1
3
3,
2
4,
4
0
h
h
h
h
=
=
=
=
，如图，要使
g x 的导函数
g
x
¢
有两个零点
,
m n ，且
1
n
m
>
³ ，
则需使函数
4
y
t
= -
与
h x 在[1,4)上有2 个交点，即需使
4
3
4
t
£ -
<
，解得
4
1
3
t
-
£ < - ，即t 的取值范围是
4
[
, 1)
3
-
-
.
（ii）由
( )
( )
0
g m
g n
¢
¢
=
=
，可得
4
4
(4
)
(4
)
t
m
m
n
n
= -
= -
-
-
，化简得：
2
2
4(
)
m
n
m
n
-
=
-
，
因
1
n
m
>
³ ，则得
4
m
n
+
=
，即
4
n
m
=
-
，且1
2
3
m
n
£
<
<
£
，则
4
1
ln
m
g m
t m
m
-
=
+
-
，
要证
g m
an
t
+
> ，需证
4
1
ln
(4
)
m
t m
a
m
t
m
-
+
-
+
-
> ，即证
4
ln
(4
)
0
m
tm
a
m
m
-
-
+
-
>
，
因
1
a ³ ，不妨取
1
a = ，（若此时不等式成立，因4
0
m
-
>
，则易得
1
a ³ 时更成立），
即需证
4
ln
4
0
m
tm
m
m
-
-
+
-
>
，因
4
(4
)
t
m
m
= -
-
，代入整理得
4
4
ln
4
0
4
m
m
m
m
-
-
-
+
-
>
-
，
设
4
u
m
=
-
，则
4
m
u
=
-
，由1
2
m
£
<
可得
(2,3]
u Î
，于是可得
4
ln
0
4
u
u
u
u
-
-
+
>
-
，
即需证
4
ln
ln(4
)
0
u
u
u
u
-
-
+
-
>
（*）.
设
]
4
( )
ln
l
,
n(4
)
(2 3
,
u
u
u
u u
u
=
-
-
+
-
Î
j
，则
2
2
2
4
8 2
4
1
1
1
4
4
u
u
u
u
u
u
u
u
u
j¢
-
+
-
= +
-
-
=
-
-
，
令
2 4
8 2
,
2,3
p
u
u
u
u
m =
-
+
-
Î
，则
2
2
2
4
8
3
8
8
0
p u
u
u
u
u
u
=
-
-
-
= -
+
-
<
¢
，
所以
p m 在
2,3 上单调递减，
3
1
0
p
p
m ³
= >
，
所以
( )
0
u
j¢
>
，即( )
u
j
在(2,3]上单调递增，又(2)
0
j
=
，
则( )
(2)
0
u >
=
j
j
，
即（*）成立，故当
1
a ³ 时，
g m
an
t
+
> 得证.
5．（2026·广西南宁·一模）已知函数
3
2
( )
6
9
1
h x
x
x
x
=
-
+
- ．
(1)求( )
h x 在
0,4 上的最值．
(2)设函数
( )
3
f x
h x
t x
=
+
-
．
（i）讨论
( )
f x 的单调性；
（ii）若a 为
( )
f x 的一个极值点，且
( )
( )
f a
f b
=
，a
b
¹
，证明2a
b
+
为定值．
【答案】(1)最大值为3，最小值为1
- .(2)（i）见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）
2
( )
3
12
9
h x
x
x
¢
=
-
+
，令
( )
0
h x
¢
=
，解得
1
x = 或
3
x =
.
当
0,1
xÎ
时，
( )
0
h x
¢
>
，( )
h x 单调递增，
当
1,3
xÎ
时，
( )
0
h x
¢
<
，( )
h x 单调递减，
当
3,4
xÎ
时，
( )
0
h x
¢
>
，( )
h x 单调递增，
所以( )
h x 在
1
x = 时取得极大值(1)
3
h
=
，在
3
x =
时取得极小值(3)
1
h
= - ，
又(0)
1
h
= - ，(4)
3
h
=
，
所以( )
h x 在
0,4 上的最大值为3，最小值为1
- .
（2）（i）
3
2
( )
3
6
(12
)
1
f x
h x
t x
x
x
t x
=
+
-
=
-
+
-
- ，
2
( )
3
12
12
f
x
x
x
t
¢
=
-
+
- ，
判别式
2
12
4 3
12
12
t
t
D = -
- ´ ´
-
=
，
当
0
t £
时，Δ
0
£
，
( )
0
f
x
¢
³
，
( )
f x 在R 上单调递增；
当
0
t >
时，Δ
0
>
，令
( )
0
f
x
¢
=
，解得
12
12
3
2
6
3
t
t
x
±
=
=
±
，
当
3
(
,2
)
3
t
xÎ -¥
-
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 单调递增，
当
3
3
(2
,2
)
3
3
t
t
xÎ
-
+
时，
( )
0
f
x
¢
<
，
( )
f x 单调递减，
当
3
(2
,
)
3
t
xÎ
+
+¥ 时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 单调递增，
综上所述，当
0
t £
时，
( )
f x 在R 上单调递增，
当
0
t >
时，
( )
f x 在
3
(
,2
)
3
t
-¥
-
，
3
(2
,
)
3
t
+
+¥ 上单调递增，
( )
f x 在
3
3
(2
,2
)
3
3
t
t
-
+
上单调递减.
（ii）因为a 为
( )
f x 的一个极值点，所以
( )
0
f
a
¢
=
，即
2
( )
3
12
12
0
f
a
a
a
t
¢
=
-
+
- =
，
所以
2
3
12
12
t
a
a
=
-
+
，
由
( )
( )
f a
f b
=
得
3
2
3
2
6
(12
)
1
6
(12
)
1
a
a
t a
b
b
t b
-
+
-
- =
-
+
-
- ，
整理得
3
3
2
2
6
6
(12
)
(12
)
0
a
b
a
b
t a
t b
-
-
+
+
-
-
-
=
，
2
2
0
(
(
)
6(
)
)
(
(12
)
)(
)
a
b a
a
b a
b
t
a
b
b
a
b
-
+
+
+
-
+
-
-
-
=
，
化简得
2
2
6
12
0
a
b
a
ab
b
a
b
t
é
ù
-
+
+
-
+
+
-
=
ë
û
，
因为a
b
¹
，所以
2
2
6
6
12
0
a
ab
b
a
b
t
+
+
-
-
+
- =
，
将
2
3
12
12
t
a
a
=
-
+
代入，得
2
2
2
6
6
12
(3
12
12)
0
a
ab
b
a
b
a
a
+
+
-
-
+
-
-
+
=
，
整理得
2
2
2
6
6
0
a
ab
b
a
b
-
+
+
+
-
=
，
(
)(
2 )
6(
)
0
b
a b
a
b
a
-
+
-
-
=
，
化简得(
)(
2
6)
0
b
a b
a
-
+
-
=
，
因为a
b
¹
，所以
2
6
0
b
a
+
-
=
，即
2
6
b
a
+
=
，
所以2a
b
+
为定值.
6．（2026·广西柳州·二模）已知函数
ln
a
f x
x
x
=
+
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
f x 有极小值，记
f x 的极小值为
g a ，证明：
1
ea
g a
-
£
.
【答案】(1)
1
y = (2)证明见解析
【详解】（1）当
1
a = 时，
1
ln
f x
x
x
=
+
，
所以
f x 的定义域为
0, ¥
+
，
1
1
f
= ，
2
2
1
1
1
x
f
x
x
x
x
-
= -
+
=
¢
，
所以
1
0
f ¢
=
，即在点
1,1 处的切线斜率为0 .
由点斜式可知曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程为
1
0
y - =
，即
1
y = .
（2）由
ln
a
f x
x
x
=
+
知
f x 的定义域为
0, ¥
+
，且
2
2
1
a
x
a
f
x
x
x
x
-
= -
+
=
¢
.
①当
0
a £
时，
2
0
x
a
f
x
x
-
¢
=
>
恒成立，
f x 是增函数，没有极小值，不符合题意.
②当
0
a >
时，若
0,
x
a
Î
，则
2
0
x
a
f
x
x
-
¢
=
<
，所以
f x 在
0,a 上单调递减；
若
,
x
a
¥
Î
+
，则
2
0
x
a
f
x
x
-
¢
=
>
，所以
f x 在
,a
¥
+
上单调递增，
所以
f x 有极小值，且极小值为
1 ln
f a
a
= +
，所以
1 ln
g a
a
= +
.
要证
1
ea
g a
-
£
，即
1
1 ln
ea
a
-
+
£
，只需证
1
e
1 ln
0
a
a
- - -
³
.
令
1
e
1 ln
0
a
h a
a a
-
=
- -
>
，则
1
1
ea
h a
a
-
=
-
¢
，
由复合函数的单调性知
1
1
ea
h a
a
-
=
-
¢
在
0, ¥
+
上单调递增，
又
1 1
1
1
e
0
1
h
-
=
-
=
¢
，
所以当
0,1
aÎ
时，
0
h a
¢
<
，
h a 单调递减；
当
1,
a
¥
Î
+
时，
0
h a
¢
>
，
h a 单调递增，
所以
1
e
1 ln
0
a
h a
a a
-
=
- -
>
在
1
a = 时取得极小值，也是最小值，
所以
1 1
1
e
1 ln1
0
h a
h
-
³
=
- -
=
，即
1
e
1 ln
0
a
h a
a
-
=
- -
³
，
即
1
ea
g a
-
£
.
7．（2025·广西河池·三模）已知函数
2
ln
e
ln2
x
f x
x
x
x
-
=
-
+
-
.
(1)求曲线
y
f x
=
在点
2
2
f,
处的切线方程.
(2)设
f x 的导函数为
f
x
¢
，证明：
f
x
¢
存在唯一零点.
(3)求
f x 的最大值.
【答案】(1)3
2
6
0
x
y
+
-
=
(2)证明见解析(3)1 ln 2
-
【详解】（1）已知
2
ln
e
ln2
x
f x
x
x
x
-
=
-
+
-
，则
2
ln2
2
2
ln2
0
f
=
-
+
-
=
，
2
1
(
1)e
1
x
f
x
x
x
-
=
-
+
+
¢
，则
1
3
2
3 1
2
2
f
=
- + = -
¢
，所以切线方程为
3
0
2
2
y
x
-
= -
-
，
即3
2
6
0.
x
y
+
-
=
（2）由（1）
2
1
(
1)e
1
x
f
x
x
x
-
=
-
+
+
¢
，其定义域为
0, ¥
+
，
设
2
1
( )
(
1)e
1
x
g x
f
x
x
x
-
=
=
-
+
+
¢
，
则
2
2
1
( )
(
2)e
0
x
g x
x
x
-
= -
+
¢
-
<
，
所以( )
g x 在
0, ¥
+
上单调递减，
由
1
2
(1)
1
2e
1
2
0
e
g
-
= -
+ =
-
>
，
0
1
3
(2)
3e
1
0
2
2
g
=
-
+ = -
<
，即
f
x
¢
存在唯一零点.
（3）由（2）知
f
x
¢
在
0, ¥
+
上单调递减，
且存在唯一零点
0
1,2
x Î
，使得
0
0
f
x
¢
=
，当
0
0
x
x
<
<
时，
0
f
x
¢
>
，
f x 在
0
0, x
上单调递增；
当
0
x
x
>
时，
0
f
x
¢
<
，
f x 在
0,
x +¥ 上单调递减；所以
f x 的最大值为
0
f
x
.
因为
0
0
f
x
¢
=
，所以
0 2
0
0
1
(
1)e
1
0
x
x
x
-
-
+
+ =
，即
0 2
0
0
0
0
1
1
(
1)e
1
x
x
x
x
x
-
+
+
=
+ =
，
化简为
0 2
0
1
ex
x
- =
。则
0
0
2
ln
x
x
-
= -
，而
0 2
0
0
0
0
ln
e
ln2
x
f x
x
x
x
-
=
-
+
-
0 2
0
0
0
ln
e
ln2
x
x
x
x
-
=
-
+
-
0
0
0
0
1
2
ln 2
1 ln 2
x
x
x
x
=
-
-
´
+
-
= -
，
故
f x 的最大值为1 ln 2.
-
8．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数
2
2
,
1
ex
f x
ax
f
x
-
¢
=
为
f x 的导数.
(1)求曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程；
(2)对
0,
x
" Î
+¥ ，都有
2
1
1
2
f x
ax
x
>
+
+ ，求a 的取值范围；
(3)设
sin
g x
f
x
b
x
¢
=
-
，若
g x 在
0,+¥ 上有零点，求证：
2
2
2
e
2
a
b
+
>
.
【答案】(1)
1
y
x
=
+ (2)
1
, 2
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û (3)证明见解析
【详解】（1）由
2
1
e
2
x
f x
ax
=
-
，得
0
1
f
= ，
而
ex
f
x
ax
=
-
¢
，则
0
1
f ¢
= ，
所以曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程为
1
y
x
=
+ .
（2）由
2
1
1
2
f x
ax
x
>
+
+ ，则
2
2
1
1
e
1
2
2
x
ax
ax
x
-
>
+
+ ，
即
2
e
1
0
x
ax
x
-
-
- >
对于
0,
x
¥
Î
+
恒成立，
设
2
e
1
x
h x
ax
x
=
-
-
- ，
0,
x
¥
Î
+
，则
e
2
1
x
h x
ax
=
-
-
¢
，
设
e
2
1
x
m x
ax
=
-
- ，
0,
x
¥
Î
+
，
则
e
2
x
m x
a
=
-
¢
，函数
m x
¢
在
0, ¥
+
上单调递增，且
0
1 2
m
a
¢
= -
，
当1
2
0
a
-
³
，即
1
2
a £
时，
0
m x
¢
>
，则函数
m x 在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
0
0
h x
m x
m
>
¢
=
=
，则函数
h x 在
0, ¥
+
上单调递增，
则
0
0
h x
h
>
=
，即
2
e
1
0
x
ax
x
-
-
- >
对于
0,
x
¥
Î
+
恒成立；
当1 2
0
a
-
<
，即
1
2
a >
时，令
0
m x
¢
<
，得
0
ln 2
x
a
<
<
，
令
0
m x
¢
>
，得
ln 2
x
a
>
，
所以函数
m x 在
0,ln 2a
上单调递减，在
ln 2
,
a
¥
+
上单调递增，
则
0,ln 2
x
a
Î
时，
0
0
h x
m x
m
=
<
=
¢
，
此时函数
h x 在
0,ln 2a
上单调递减，则
0
0
h x
h
<
=
，不符合题意.
综上所述，a 的取值范围为
1
, 2
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û .
（3）由
sin
e
sin
x
g x
f
x
b
x
ax
b
x
-
-
-
¢
=
=
，
0,
x
¥
Î
+
，
令
e
sin
0
x
g x
ax
b
x
=
-
-
=
，即
sin
e
0
x
ax
b
x
+
-
=
，
设
g x 在
0,+¥ 上的零点为
0
t >
，则
sin
e
0
t
at
b
t
+
-
=
，
则点
,a b 为直线
sin
e
0
t
tx
y
t
+
-
=
上一点，
所以
2
2
a
b
+
表示点
,a b 到原点的距离，
则
2
2
2
2
e
sin
t
t
t
a
b ³
+
+
，即
2
2
2
2
2
e
sin
t
t
t
a
b ³
+
+
，
设
sin
u t
t
t
=
- ，
0
t >
，则
cos
1
0
u t
t
=
- £
¢
，
所以函数
u t 在
0, ¥
+
上单调递减，则
sin
0
0
u t
t
t
u
=
- <
=
，
即sint
t
< ，又
sin
1,1
t Î -
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e
e
e
sin
2
t
t
t
t
t
a
t
t
t
b ³
=
+
+
>
+
，
设
2
2
e
2
t
v t
t
=
，
0
t >
，则
2
3
1 e t
t
v t
t
¢
-
=
，
令
0
v t
¢
<
，得0
1
t
< < ，令
0
v t
¢
>
，得
1
t > ，
所以函数
v t 在
0,1 上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，
则
2e
1
2
v t
v
³
=
，即
2
2
2
e
2
a
b
+
>
.
9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数
ln
1
0
x
f x
x
x
+
=
>
，
1
g x
f x
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ．
(1)令
h x
xf x
=
，求
h x 在点
e 1,
e 1
h
-
-
处的切线方程：
(2)讨论
g x 在
0,1 上的单调性；
(3)证明：（i）当
0
x >
时，
ln
1
1
x
x
x
+
>
+
（ii）
1
2ln 2
g x
<
£
．
【答案】(1)
e
1
0
x
y
-
+ =
(2)
g x 在
0,1 单调递增．(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）
ln
1
h x
xf x
x
=
=
+
，则
1
1
h x
x
¢
=
+ ，
1
e 1
e
h¢
-
=
，
e 1
1
h
-
= ，
所以
h x 在点
e 1,
e 1
h
-
-
处的切线方程为
1
1
e 1
e
y
x
é
ù
- =
-
-
ë
û ，即
e
1
0
x
y
-
+ =
．
（2）
1
g x
f x
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则
2
2
ln
1
1
1
1
1
1
ln
1
1
x
x
x
g
x
f
x
f
x
x
x
x
x
-
+
æ
öæ
ö
æ
ö
+
=
+
-
=
-
+
+
ç
֍
÷
ç
÷
+
è
øè
ø
è
¢
¢
ø
¢
，
记
2
ln
1
1
1
1
ln
1
1
x
x
x
m x
g
x
x
x
x
÷
¢
-
+
æ
ö
+
=
=
-
+
+
ç
+
è
ø
，
故
2
2
2
2
2
4
3
2
1
1
2 ln
1
ln
1
2
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
m x
x
x
x
x
æ
ö
+
é
ù
ç
÷
+
-
-
×
-
-
+
ê
ú
-
ç
÷
+
+
ë
û
+
è
ø
¢
=
+
+
=
+
+
设
2
2
1
ln
1
1
x
x
F x
x
x
+
=
+
-
+
，则
3
1
1
x x
F
x
x
-
+
¢
=
当0
1
x
<
< 时，
0
F
x
¢
<
，
F x 单调递减，所以
0
0
F x
F
<
=
，即
0
m x
¢
<
，所以
g
x
¢
单调递减，
所以
1
0
g
x
g
¢
¢
>
=
，故
g x 在
0,1 单调递增．
（3）证明：（i）令
ln
1
0
1
x
t x
x
x
x
=
+
-
>
+
，则
2
2
1
1
0
1
1
1
x
t
x
x
x
x
=
-
=
>
+
+
+
¢
，
所以
t x 在
0, ¥
+
上单调递增，所以
0
0
t x
t
>
=
，即当
0
x >
时
0
t x >
，
所以当
0
x >
时，
ln
1
1
x
x
x
+
>
+ ；
（ii）由（i）可知当
0
x >
时，
1
1
f x
x
>
+ ，故
1
1
1
1
1
1
1
g x
f x
f
x
x
x
æ
ö
=
+
>
+
=
ç
÷
+
è
ø
+
，
由于
1
g x
f x
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ,则
1
1
g
f
f x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故
1
g x
g
x
æ
ö
=
ç
÷
è
ø ，
由（2）可知
g x 在
0,1 单调递增，
1
y
x
=
在
1,+¥ 单调递减，故
1
g x
æ
ö
ç
÷
è
ø在
1,+¥ 单调递减，即
g x 在
1,+¥
单调递减，
故
1
2ln2
g x
g
£
=
，所以
1
2ln2
g x
<
£
．
10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
2
e
1
x
f x
ax
x
=
-
-
- .
(1)当
1
2
a =
时，求曲线
y
f x
=
在点
2
2
f,
处的切线方程.
(2)当
1
2
a =
时，证明：当
0
x £
时，
0
f x £
.
(3)若
f x 有两个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
e
3
e
1
y
x
=
-
-
+ (2)证明见解析；(3)
1
1
0,
,
2
2
æ
ö
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
.
【详解】（1）当
1
2
a =
时，
2
1
e
1
2
x
f x
x
x
=
-
-
- ，则
e
1
x
f
x
x
=
¢
-
- ，
从而
2
2
e
5
f
=
- ，
2
2
e
3
f ¢
=
-
，
故曲线
y
f x
=
在点
2,
2
f
处的切线方程为
2
2
e
5
e
3
2
y
x
-
-
=
-
-
，
即
2
2
e
3
e
1
y
x
=
-
-
+ ；
（2）设
e
1
x
g x
f
x
x
=
=
-
-
¢
，则
e
1
x
g
x
¢
=
- .
显然
0
g
x
¢
£
在
,0
-¥
上恒成立，所以
f
x
¢
在
,0
¥
-
上单调递减.
又
0
0
f ¢
=
，所以
0
f
x
¢
³
在
,0
-¥
上恒成立，
所以
f x 在
,0
¥
-
上单调递增，
故
0
0
f x
f
£
=
，即当
0
x £
时，
0
f x £
.
（3）由题意可得
e
2
1
x
f
x
ax
=
-
-
¢
.
设
e
2
1
x
h x
f
x
ax
=
=
-
-
¢
，则
e
2
x
h x
a
=
¢
-
.
①若
0
a £
，显然
0
h x
¢
>
，则
h x 在
,
¥
¥
-
+
上单调递增，即
f
x
¢
在
,
¥
¥
-
+
上单调递增.
又
0
0
f ¢
=
，所以当
,0
x
¥
Î -
时，
0
f
x
¢
<
，当
0,
x
¥
Î
+
时，
0
f
x
¢
>
，
则
f x 在
,0
¥
-
上单调递减，在
0, ¥
+
上单调递增，
又
0
0
f
=
，所以
f x 只有一个零点，故
0
a £
不符合题意.
②若
1
0
2
a
<
<
，则当
,ln 2
x
a
¥
Î -
时，
0
h x
¢
<
，当
ln 2
,
x
a
¥
Î
+
时，
0
h x
¢
>
，
则
f
x
¢
在
,ln 2a
¥
-
上单调递减，在
ln 2
,
a
¥
+
上单调递增.
又
0
0
f ¢
=
，所以
ln 2
0
f
a
¢
<
，又
1
2
1
e
0
2
a
f
a
-
æ
ö
-
=
>
ç
÷
è
ø
¢
，
所以存在唯一的
0
1 ,ln 2
2
x
a
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，使得
0
0
f
x
¢
=
.
当
0
,
0,
x
x
¥
¥
Î -
È
+
时，
0
f
x
¢
>
，当
0,0
x
x
Î
时，
0
f
x
¢
<
，
则
f x 在
0
, x
¥
-
，
0, ¥
+
上单调递增，在
0,0
x
上单调递减.
又
0
0
f
=
，所以
0
0
f x
>
，又当x ® -¥ 时，
f x
¥
® -
，
所以
f x 恰有两个零点，则
1
0
2
a
<
<
符合题意.
③若
1
2
a =
，则由（2）知
0
f
x
¢
³
在R 上恒成立，所以
f x 在
,
¥
¥
-
+
上单调递增，
又
0
0
f
=
，所以
f x 只有一个零点，则
1
2
a =
不符合题意.
④若
1
2
a >
，则当
,ln 2
x
a
¥
Î -
时，
0
h x
¢
<
，当
ln 2
,
x
a
¥
Î
+
时，
0
h x
¢
>
，
则
f
x
¢
在
,ln 2a
¥
-
上单调递减，在
ln 2
,
a
¥
+
上单调递增.
又
0
0
f ¢
=
，所以
ln 2
0
f
a
¢
<
，又
4
2
4
e
8
1
0
a
f
a
a
=
-
- >
¢
，
所以存在唯一的
1
ln 2
,4
x
a
a
Î
，使得
1
0
f
x
¢
=
.
当
1
,0
,
x
x
¥
¥
Î -
È
+
时，
0
f
x
¢
>
，当
1
0,
x
x
Î
时，
0
f
x
¢
<
，
则
f x 在
,0
¥
-
，
1,
x
¥
+
上单调递增，在
1
0, x
上单调递减.
又
0
0
f
=
，所以
1
0
f x
<
，又当x ® +¥ 时，
f x
¥
® +
，
所以
f x 恰有两个零点，则
1
2
a >
符合题意.
综上，a 的取值范围为
1
1
0,
,
2
2
¥
æ
ö
æ
ö
È
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：10min
【原创题】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点
( 2,0)
A -
，上顶点
(0,1)
B
．
(1)求椭圆E 的方程和直线AB 的方程；
(2)过椭圆E 上异于A 的点C 作x 轴的垂线交直线AB 于M 点，延长CM 至点N ，使MN
CM
=
，直线AN 交
椭圆E 于点D ．
（i）求证：直线
,
AC AD的斜率之和为定值；
（ii）求ACD
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ，
1
1
2
y
x
=
+ ；(2)（i）证明见解析；（ii）
4 108
2
.
【详解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
+
= 的左顶点
( 2,0)
A -
，上顶点
(0,1)
B
，得
2,
1
a
b
=
= ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，直线AB 的方程为
1
1
2
y
x
=
+ .
（2）（i）直线AC 斜率存在，设其方程为
(
2)
y
k x
=
+
，点
(
,
)
C
C
C x
y
由
2
2
(
2)
4
4
y
k x
x
y
ì
=
+
í
+
=
î
，得
2
2
2
(4
1)
16
16
4
0
k
x
kx
k
+
+
+
-
=
，则
2
2
16
4
2
4
1
C
k
x
k
-
-
=
+
，
解得
2
2
2
2
8
4
,
(
2)
4
1
4
1
C
C
C
k
k
x
y
k x
k
k
-
=
=
+
=
+
+ ，即点
2
2
2
2
8
4
(
,
)
4
1 4
1
k
k
C
k
k
-
+
+
，
直线
2
2
2
8
:
4
1
k
CM x
k
-
=
+
交直线
1
1
2
y
x
=
+ 于点
2
2
2
2
8
2
(
,
)
4
1 4
1
k
M
k
k
-
+
+
，
由点M 是线段CN 的中点，得点
2
2
2
2
8
4
4
(
,
)
4
1 4
1
k
k
N
k
k
-
-
+
+
，
因此直线AD 的斜率
2
2
2
4
4
0
4
1
1
2
8
2
4
1
k
k
k
k
k
k
-
-
+
¢ =
= -
-
+
+
，即
1
k
k¢
+
= ，
所以直线
,
AC AD的斜率之和为定值.
（ii）由（i）同理得
2
2
2
2
8
4
(
,
)
4
1 4
1
k
k
D
k
k
¢
¢
-
¢
¢
+
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
8
4
4 1
|
|
(
2)
(
)
4
1
4
1
4
1
k
k
k
AC
k
k
k
-
+
=
+
+
=
+
+
+
，
点D 到直线
:
2
0
AC kx
y
k
-
+
=
的距离
2
2
2
2
2
2
2
8
4
|
2 |
4 |
|
4
1
4
1
1
(4
1)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
d
k
k
k
¢
¢
-
×
-
+
¢
-
¢
¢
+
+
=
=
¢
+
+
+
，
则ACD
V
的面积
2
2
2
2
2
2
8 (
)
4
1
8|
|
8 1 4
|
|
2
(4
1)(4
1)
(4
)
4[(
)
2
] 1
(4
)
8
5
k
k
kk
k
k
kk
S
AC
d
k
k
kk
k
k
kk
kk
kk
¢
¢
¢
¢
+
-
-
-
=
×
=
=
=
¢
¢
¢
¢
¢
¢
+
+
+
+
-
+
-
+
，
显然k
k
¢ ¹
，
2
4
4 (1
)
(2
1)
1 1
kk
k
k
k
¢ =
-
= -
-
+ < ，令1 4
0
kk
t
¢
-
= >
，
2
2
2
4
8
8
(1
)
2(1
)
5
4
t
t
S
t
t
t
=
=
-
-
-
+
+
，求导得
4
4
2
8(4
3 )
(
4)
t
S
t
-
¢ =
+
，
当
4 4
0
3
t
< <
时，
0
S¢ >
；当
4 4
3
t >
时，
0
S ¢ <
，函数
4
8
4
t
S
t
=
+
在
4 4
(0,
)
3 上递增，在
4 4
(
,
)
3 +¥ 上递减，
当
4 4
3
t =
时，
4
4
4
max
4
8
3
4
108
3
4
2
3
2
4
3
S
=
=
=
+
，所以ACD
V
面积的最大值为
4 108
2
.
分析有理·押题有据
大题必考，位置固定全国Ⅱ卷解析几何大题基本都在第17 或18 题，17 分，是除导数外第二大压轴题。
考法高度统一第二问几乎就考三件事：定点问题（直线过定点、点在定直线上）；定值问题（斜率积、长
度积、面积为定值）；最值问题（面积最值、弦长最值、斜率范围）思路清晰就能拿满分，思路混乱算到
崩溃，是二轮必须突破的重点。重几何、轻死算，不考怪题，考对称、韦达定理、设而不求，完全贴合全
国卷风格。2026 全国Ⅱ卷圆锥曲线大题，100%考定点/定值/最值中的一类或组合。
近5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，直线过定点（x 轴、y 轴上定点最常见）；斜率和、斜率积为定值；面积
最值、弦长最值；向量条件转化为韦达，考纲与教材要求，熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系，会用韦达
定理、设而不求解决综合问题。2026 各地一模二模一致指向模拟卷几乎全是：定点 + 定值，定值 + 最值。
今年重点押直线过定点（最高频）； 斜率之积/之和为定值； △AOB 面积最值；弦长最值、参数范围
密押预测·精练通关
1．（2026·山西运城·一模）已知A，B 分别为椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
0
a
b
>
>
的左、右顶点，且
4
AB =
，C
的离心率为
3
2
．
(1)求C 的方程；
(2)若倾斜角为π
4 的直线与C 交于D，E 两点，求DE 的中点的轨迹方程；
(3)若直线l ：
2
2
x
my
t
t
=
+
- < <
与C 交于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为
1
2
k
k
，
，且
2
1
7
k
k
=
，求t．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= (2)
1
4 5
4 5
(
)
4
5
5
y
x
x
= -
-
£
£
(3)
3
2
t =
【详解】（1）由题意可得：
4
AB =
，即
2
a =
，
由离心率
3
3
2
c
e
c
a
=
=
Þ
=
，所以
2
2
2
1
b
a
c
=
-
= .
故椭圆方程为：
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）倾斜角为4
p ，可得斜率
1
k = .
设直线方程为：y
x
n
=
+
，与椭圆联立：
代入得：
2
2
2
2
5
1
2
1
0
4
4
x
x
n
x
nx
n
æ
ö
+
+
= Þ
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
满足
2
2
2
5
2
4
1
5
0
4
n
n
n
D =
- ´
´
-
= -
+
³
，即
5
5
n
-
<
<
.
则
1
2
8
5
n
x
x
+
= -
，
2
1
2
4
1
5
n
x x
-
=
.
设
1
1
,
D x y
，
2
2
,
E x
y
，
则中点横坐标：
1
2
0
4
2
5
x
x
n
x
+
=
= -
，纵坐标：
0
0
5
y
x
n
n
=
+
=
.
消去参数n 得：
0
0
4
x
y = -
，
所以中点轨迹方程为：
1
4 5
4 5
(
)
4
5
5
y
x
x
= -
-
£
£
.
（3）
由题意可知直线l ：
2
2
x
my
t
t
=
+
- < <
与椭圆交于M , N ，
设
1
AM
k
k
=
，
2
BN
k
k
=
，
3
3
,
M x
y
，
4
4
,
N x
y
，
与椭圆联立方程：
2
2 1
4
x my t
x
y
=
+
+
=
ìïí
ïî
，消去x 可得
2
2
2
4
2
4
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
.
则
3
4
2
2
4
mt
y
y
m
+
= -
+
，
2
3
4
2
4
4
t
y y
m
-
=
+
，
根据
2
1
7
k
k
=
，可得
3
4
4
3
7
2
2
y
y
x
x
=
-
+
，即
3
4
4
3
7
2
2
y
y
my
t
my
t
=
+ -
+ +
，
整理得：
3
4
3
4
6
7
2
2
0
my y
t
y
t
y
+
-
-
+
=
，即
2
3
4
3
4
12
3
7
2
2
0
t
y
y
t
y
t
y
t
-
+
+
-
-
+
=
，
可得：
3
4
2
3
2
2
0
t
t
y
t
y
-
-
-
+
=
é
ù
ë
û
，
因为
2
t -
，
2
t +
为常数，则
3
4
2
2
0
t
y
t
y
-
-
+
=
不恒成立.，则2
3
0
t -
=
，得：
3
2
t =
.
2．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上顶点为
0,1
A
，直线:l y
kx
=
与椭圆C 交于
两点
,
P Q .当
1
k = 时，
4 3
3
PQ =
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当
APQ
△
的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
= (2)
2
2
2
0
x
y
y
+
+
-
=
【详解】（1）因为上顶点为
0,1
A
，所以
1
b = ，
当
1
k = 时，直线:l y
x
=
，代入椭圆方程得
2
2
2
1
x
x
a +
= ，整理得
2
2
2
2
2
1
1
1
1
a
x
x
a
a
æ
ö
+
= Þ
=
ç
÷
+
è
ø
，
解得
2
1
a
x
a
= ±
+
，故
2
2
,
1
1
a
a
P
a
a
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
,
1
1
a
a
Q
a
a
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
又
4 3
|
|
3
PQ =
，
2
2
2
2
2
2
2
2
8
1
1
1
a
a
a
PQ
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
，所以
2
2
8
4 3
1
3
a
a
=
+
，解得
2
2
a =
，
所以椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
（2）
设
0
0
0
0
(
,
),
(
,
)
P x
y
Q
x
y
-
-
，
APQ
△
外接圆方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
代入
0
0
0
0
(
,
),
(
,
)
P x
y
Q
x
y
-
-
得
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
x
y
Dx
Ey
F
ì
+
+
+
+
=
í
+
-
-
+
=
î
，两式相加得
2
2
0
0
F
x
y
= -
-
，
两式相减得
0
0
0
Dx
Ey
+
=
又P 点既在:l y
kx
=
，又在椭圆
2
2
1
2
x
y
+
= 上，所以
2
2
2
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
1
1
2
2
1
1
2
x
y
x
y
k
y
kx
x
ì
= -
ì
ï
+
=
ï
ï
Þ
í
í
ï
ï
=
-
=
î
ïî
，
所以
2
2
2
0
0
0
1
2
x
F
x
y
= -
-
= - -
，D
kE
= -
代入
0,1
A
到外接圆方程得0 1 0
0
1
1
E
F
E
F
E
F
+ +
+
+
=
Þ
+
= - Þ
= - -
，
故
2
0
2
x
E =
，
2
0
2
x
D
kE
k
= -
= -
设
2
0 ,
[0,2]
t
x t
=
Î
，则
2
1
1
2
k
t
=
-
，
2
2
2
2
2
2
0
2
4
8
4
x
t
t
t
D
k
k
æ
ö
= -
=
×
= -
+
ç
÷
è
ø
，
2
2
4
t
E =
，
1
2
t
F = - -
所以外接圆半径
2
2
2
2
2
18
32
1
4
4
4
2
8
4
32
4
t
t
t
D
E
t
t
t
R
F
+
+
+
=
+
-
=
+
-
+
+
=
0
t >
时
2
18
32
2
18
0
t
t
t
¢
+
+
=
+
>
，故其在[0,2]上单调递增，在
2
t =
时R 取最大值，
此时，
0
2
x = ±
，
2
1
1
1
1
0
2
2
2
k
t
=
-
=
-
=
，
即
0
k =
，
0
D
kE
= -
=
，
2
0
1
2
x
E =
= ，
1
1 1
2
2
t
F = - -
= - - = -
所以
APQ
△
的外接圆面积最大时，其外接圆的方程为
2
2
2
0
x
y
y
+
+
-
=
3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，其长轴长为6，且点
5
2, 3
M æ
ö
ç
÷
è
ø
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)设C 的左顶点为E ，动直线l 的斜率为k ，且l 与C 交于
,
P Q 两点，O 为坐标原点.
（i）若
1
k = ，且
EPQ
△
的重心在y 轴上，求l 的方程；
（ii）若l 经过C 的右焦点F ，点P 在第一象限，N 是P 关于原点的对称点，且四边形OFQN 与
POQ
△
的面
积之比为5:3，求k 的值.
【答案】(1)
2
2
1
9
5
x
y
+
= (2)（i）
7
3
y
x
=
-
；（ii）
3
【详解】（1）由长轴长为6，可得2
6,
3
a
a
=
=
，则
2
9
a =
.
将点M 的坐标
5
2, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø代入椭圆方程，可得
2
4
25
1
9
9b
+
= ，
解得
2
5
b =
.
故C 的方程为
2
2
1
9
5
x
y
+
= .
（2）（i）由（1）可知
3,0
E -
，设直线
1
1
2
2
:
,
,
,
,
l y
x
m P x y
Q x
y
=
+
.
联立得
2
2
,
1,
9
5
y
x
m
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
可得
2
2
14
18
9
45
0
x
mx
m
+
+
-
=
.
由Δ
0
>
，可得
2
1
2
1
2
9
9
45
14
14,
,
7
14
m
m
m
x
x
x x
-
-
<
<
+
= -
=
.
EPQ
△
的重心的横坐标为
1
2
3
0
3
x
x
- +
+
=
，则
1
2
3
x
x
+
=
，
即
9
7
3,
7
3
m
m
-
=
= -
，符合
14
14
m
-
<
<
，
故直线l 的方程为
7
3
y
x
=
-
.
（ii）由（i）可知
2,0
F
.
设
1
1
2
2
1
2
:
2
0 ,
,
,
,
,
0,
0
PQ x
ty
t
P x y
Q x
y
y
y
=
+
¹
>
<
，
联立得
2
2
2,
1,
9
5
x
ty
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
可得
2
2
5
9
20
25
0
t
y
ty
+
+
-
=
，
则
1
2
2
1
2
2
20
,
5
9
25
.
5
9
t
y
y
t
y y
t
ì
+
= -
ïï
+
í
ï
= -
ï
+
î
如图，因为
POQ
△
的面积
1
1
2
1
2
1
2
S
OF y
y
y
y
=
-
=
-
，
四边形OFQN 的面积
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
,
2
PQN
POF
POQ
POF
S
S
S
S
S
y
y
OF y
y
y
=
-
=
-
=
-
-
=
-
V
V
V
V
所以
2
1
2
1
1
2
2
5
3
S
y
y
S
y
y
-
=
=
-
，得
2
1
2
y
y
= -
.
故
1
2
1
1
1
2
20
2
5
9
t
y
y
y
y
y
t
+
=
-
= -
= -
+
，①
2
1
2
1
2
25
2
5
9
y y
y
t
= -
= -
+
，②
联立①②，得
2
2
2
20
25
5
9
2 5
9
t
t
t
æ
ö =
ç
÷
+
+
è
ø
，又P 在第一象限，所以
1
0,
0
y
t
>
>
，
故解得
3
3
t =
，所以
3
k =
.
4．（2026·新疆·一模）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
（
，
）的右顶点是抛物线
2
4
E
y
x
=
：
的焦点，过双曲
线C 的右焦点作斜率不为0 的直线与抛物线E 交于A
B
，
两点，且
·
4
OAOB = -
uuur uuur
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)点P 在双曲线C 的左支上，过点P 作抛物线E 的两条切线，其斜率分别为
1
2
k
k
，
，求
2
2
1
2
k
k
+
的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
= (2)10
3 .
【详解】（1）由抛物线
2
4
E
y
x
=
：
的焦点为
1 0
，得
1
a = ，设双曲线右焦点为
2
0
F
c，，
直线
A
A
B
B
AB
x
my
c
A x
y
B x
y
=
+
：
，
，
，
，
，
与抛物线方程联立可得
2
4
4
0
4
A
B
y
my
c
y y
c
-
-
=
\
= -
，
．
则
2
2
4
4
16
A
B
A
B
A
B
A
B
y y
OA OB
x x
y y
y y
c
c
×
=
+
=
+
=
-
= -
uuur uuur
，
解得
2
c =
，所以
2
2
2
3
b
c
a
=
-
=
，故C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）设抛物线的切线方程为y
kx
n
=
+
，显然
0
k ¹
，
与抛物线方程联立可得
2
2
2
2
4
0
k x
kn
x
n
+
-
+
=
，
令Δ
0
=
，得
2
2
2
1
2
4
4
0
16 16
0
kn
k n
kn
n
k
-
-
=
Þ
-
=
Þ
=
，
\切线方程为
1
y
kx
k
=
+
．
设
0
0
P x
y
，
，代入切线方程可得
2
0
0
1
0
k x
ky
-
+ =
，
2
2
2
2
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
0
0
0
0
1
2
2
y
y
k
k
k k
k
k
k
k
k k
x
x
x
x
\
+
=
=
\
+
=
+
-
=
-
，
，
．
Q点P 在C 的左支上，
2
2
0
0
0
3
3
1
y
x
x
\
=
-
£ -
，
．
代入得
2
2
2
2
0
1
2
2
2
0
0
0
0
0
3
3
2
3
2
1
1
10
3
3
3
3
x
k
k
x
x
x
x
x
æ
ö
-
+
=
-
= -
-
+
= -
+
+
ç
÷
è
ø
，
故当
0
3
x = - 时，
2
2
1
2
k
k
+
的最大值为10
3 .
5．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆
1
C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
与椭圆
2
C ：
2
2
1
8
4
x
y
+
= 的离心率相等，且椭
圆
1
C 经过点
2,0
P
.
(1)求
1
C 的方程；
(2)已知直线l 与
1
C 交于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ）.
（i）若原点O 到直线l 的距离为2 3
3
，证明：OA
OB
^
；
（ii）若直线l 过点
,0
Q u
，且以线段AB 为直径的圆恒过点P ，求实数u 的值.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
= (2)（i）证明过程见解析；（ii）
2
3
u =
【详解】（1）由题意得
2
a =
，
椭圆
2
C ：
2
2
1
8
4
x
y
+
= 的离心率为
4
2
1
8
2
-
=
，
故椭圆
1
C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2
c
a =
，
又
2
a =
，故
2
c =
，
2
2
2
4
2
2
b
a
c
=
-
=
-
=
，
所以
1
C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ；
（2）（i）当直线l 的斜率不为0 时，设为x
m
ty
=
+
，
原点O 到直线l 的距离为
2
2 3
3
1
m
t
=
+
，故
2
2
3
4
4
m
t
=
+
，
x
m
ty
=
+
与
2
2
1
4
2
x
y
+
= 联立可得
2
2
2
4
0
2
2mt
t
y
y
m
+
+
-
=
+
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
2 2
2
2
4
4
2
4
0
t
m
m
t
D =
-
+
-
>
，解得
2
2
0
2
4
t
m
-
+
>
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
4
,
2
2
mt
m
y
y
y y
t
t
-
+
= -
=
+
+
，
所以
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
4
m t
x x
m
ty
m
ty
m
mt y
y
t y y
m
t
m
t
t
-
=
+
+
=
+
+
+
=
-
+
×
+
+
2
2
2
2
4
2
m
t
t
-
=
+
，
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
0
2
4
3
4
4
2
2
2
m
t
m
t
OA OB
x
y
m
t
x
t
y
t
-
-
-
-
×
=
+
=
+
=
=
+
+
+
uuur uuur
，
当直线l 的斜率为0 时，设为y
n
=
，
原点O 到直线l 的距离为2 3
3
，故
2 3
3
n = ±
，
不妨令
2 3
3
n =
，
2
2
1
4
2
x
y
+
= 中，令
2 3
3
y =
得
2 3
3
x = ±
，
不妨设
,
2 3
2 3
,
,
3
3
2 3
2 3
3
3
A
B
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
-
÷ ，
则
1
2
1
2
0
2 3
3
2 3
2 3
3
3
2 3
3
OA OB
x x
y y
æ
ö
´ -
+
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
×
=
+
=
uuur uuur
，
故OA
OB
^
，综上，若原点O 到直线l 的距离为2 3
3
，则OA
OB
^
；
（ii）若直线l 过点
,0
Q u
，
当直线l 的斜率为0 时，直线l 的方程为
0
x =
，此时直线l 与
1
C 交于
2,0
±
，
此时点A ，B 不异于点P ，不合要求；
当直线l 的斜率不为0 时，设直线l 为x
u
ty
=
+
，
x
u
ty
=
+
与
2
2
1
4
2
x
y
+
= 联立可得
2
2
2
4
0
2
2ut
t
y
y
u
+
+
-
=
+
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
2 2
2
2
4
4
2
4
0
t
u
u
t
D =
-
+
-
>
，解得
2
2
0
2
4
t
u
-
+
>
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
,
2
2
4
y
t
ut
u
y
y y
t
-
+
= -
=
+
+
，
所以
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
4
2
2
2
2
ut
u
x
y
t
x
u
ty
u
t
t y
y
u
t
u
+
=
+
+
+
=
+
+
= -
+
=
+
+
，
故AB 的中点坐标为
1
1
2
2
2
2
2
,
,
2
2
2
2
x
x
y
y
ut
t
t
u
+
+
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
，
其中
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
4
1
4
2
2
4
ut
u
AB
t
y
y
y y
t
t
t
-
æ
ö
=
+
+
-
=
+
-
- ×
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
4
8
1
1
2
2
4
u
t
t
t
u
t
t
t
t
u
-
-
+
-
+
+
=
+
=
+
+
+
，
故以线段AB 为直径的圆的半径为
2
2
2
2
2
4
8
1
2
u
t
t
t
-
+
+
+
+
，
以线段AB 为直径的圆的方程为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
8
2
2
2
2
t
u
t
u
ut
x
y
t
t
t
+
-
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
+
，
又以线段AB 为直径的圆过定点
2,0
P
，将其代入上式，可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
8
2
2
2
2
2
t
u
t
u
ut
t
t
t
+
-
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
+
，
化简得
2
2
2
4
8
3
16
6
8
u
u
t
u
u
-
+
=
-
- ，
上式需满足
2
2
4
8
3
0
16
6
8
0
u
u
u
u
ì -
+
=
ïí
-
-
=
ïî
，解得
2
u =
或2
3 ，
当
2
u =
时，
,
P Q 重合（不满足点A ，B 异于点P ），不合要求，舍去；
当
2
3
u =
时，满足要求，
综上，
2
3
u =
.
6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆
2
2
2
2
1 (
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个顶点是
0 8
B
，，O 为坐标原点，离心率为
3
5 .
(1)求椭圆方程；
(2) P 是椭圆上x 轴上方一点，F 是右焦点，PF 的斜率为4 3
-
，求四边形OFPB 的面积.
【答案】(1)
2
2
1
100
64
x
y
+
= (2) 20 12 3
+
【详解】（1）由题知，
2
2
2
8
3
5
b
c
a
a
b
c
=
ì
ïï
=
í
ï
-
=
ïî
，解得：
10
a =
，所以椭圆方程为
2
2
1
100
64
x
y
+
= ；
（2）因为
6,0
F
，所以PF ：
4 3
6
y
x
= -
-
，联立
2
2
4 3
6
1
100
64
y
x
x
y
ì
= -
-
ïí
+
=
ïî
，
得
2
19
225
650
0
x
x
-
+
=
，解得
5
x =
或
130
19
x =
，
因为点P 在x 轴上方，所以
4 3(
6)
0
P
P
y
x
= -
-
>
，解得
6
P
x <
，故
130
19
x =
不合题意，应舍去，所以
5,4 3
P
，
所以四边形OFPB 的面积
1
1
6 4 3
8 5
20 12 3
2
2
OFP
OPB
S
S
S
=
+
=
´ ´
+
´ ´
=
+
V
V
.
7．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在x 轴上的椭圆C 的顶点分别为
1
2
1
2
1
2
2
π
,
,
,
,
3
A A B B
B A B
Ð
=
，且椭圆
过点
6
1, 3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 上任意一点P 作四边形
1
1
2
2
A B A B 的内切圆的两条切线
,
PA PB ，切点分别为
,
A B ，当切线斜率存
在时，记切线
,
PA PB 斜率分别为
1
2
,
k k ，试判断
1
2
k k
×
是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明
理由；
(3)若切线
,
PA PB 与椭圆C 的另一个交点分别为
,
E F ，求EF 的最小值.
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
+
= (2)
1
2
k k
×
为定值，为
1
3
-
(3)2
【详解】（1）因为
1
2
2
π
3
B A B
Ð
=
，所以
2
2
π
6
B A O
Ð
=
，即
3
a
b =
，
可设椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
0
3
x
y
b
b
b
+
=
>
，又因为椭圆C 过点
6
1, 3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
代入椭圆C 的方程得：
2
2
2
1
3
1
3b
b
+
= ，解得
2
1
b = ，
所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
3
x
y
+
= ；
（2）
1
2
k k
×
是定值.理由如下：
根据对称性，易知四边形
1
1
2
2
A B A B 的内切圆的圆心为O
因为直线
1
2
A B 的方程为
3
3
0
x
y
-
+
=
，所以圆O 的半径
2
2
3
3
2
1
3
r =
=
+
，
设椭圆上任一点
0
0
,
P x
y
，则
2
2
0
0
3
3
x
y
+
= ，
当圆的切线斜率存在时，可设过点P 的圆的切线方程为
0
0
y
y
k x
x
-
=
-
，
即
0
0
0
kx
y
kx
y
-
-
+
=
，
所以圆的半径
0
0
2
3
2
1
kx
y
r
k
-
+
=
=
+
，
两边平方化简得：
2
2
2
0
0
0
0
3
4
8
4
3
0 * ,
x
k
x y k
y
-
+
-
+
=
因为切线
,
PA PB 的斜率分别为
1
2
,
k k ，
所以
1
2
,
k k 是方程
* 的两个不同的根，
故
2
2
0
0
1
2
2
2
0
0
4
3
4
3
1
3
4
3
3
4 3
3
y
y
k
k
x
y
-
+
-
+
×
=
=
= -
-
-
-
；
（3）①当直线PE 的斜率存在时，设直线PE 的方程为：
1
y
k x
m
=
+
，设
1
1
,
E x y
，
因为直线PE 为圆
2
2
3
4
x
y
+
=
的切线，所以
2
1
3
2
1
m
k
=
+
，化简得
2
2
1
4
3
3
m
k
=
+
，
联立方程
1
2
2
3
3
y
k x
m
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，消去y 得：
2
2
2
1
1
1 3
6
3
3
0
k
x
k mx
m
+
+
+
-
=
，
显然Δ
0
>
恒成立，
0
1
,
x x 为上式的两个不同的根，且
2
1
0
1
0 1
2
2
1
1
6
3
3
,
1 3
1 3
k m
m
x
x
x x
k
k
-
-
+
=
=
+
+
，
0 1
0
1
0 1
1
0
1 1
OP OE
x x
y y
x x
k x
m
k x
m
×
=
+
=
+
+
+
uuur uuur
2
2
1
0
1
1
0
1
1
k
x x
k m x
x
m
=
+
+
+
+
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
3
3
6
1 3
1 3
k
m
k m
m
k
k
+
-
=
-
+
+
+
2
2
1
2
1
4
3
3
0
1 3
m
k
k
-
-
=
=
+
，
可得OP
OE
^
，同理可证OP
OF
^
.
所以
,
,
F O E 三点共线，故弦EF 恒过点O ，
所以当P 与
1A 或
2
A 重合时，
min
1
2
|
|
2
EF
B B
=
=
.
②当直线PE 或直线PF 的斜率不存在时，易得
6
2
EF =
>
，
综上可知，
min
|
|
2
EF
=
.
8．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1 ，长轴长为4．过点
1,0
D
的直线
l 与椭圆C 交于
,
A B 两点，已知点
4,0
T
，M 为直线AT 上的一点，且
AD
AM
DB
MT
=
．
(1)求椭圆C 的方程及离心率；
(2)求点M 的横坐标．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，离心率为
2
2 ．(2) 5
2 ．
【详解】（1）由题意知，2
4
a =
，
2
a
\
=
．
又
2
2
2
1
1
a
b
+
= ，
2
2
b
\
= ，
2
2
2
2
c
a
b
=
-
=
，
2
c
\ =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，离心率
2
2
c
e
a
=
=
．
（2）由题意知，2
4
a =
，
2
a
\
=
．
又
2
2
2
1
1
a
b
+
= ，
2
2
b
\
= ，
2
2
2
2
c
a
b
=
-
=
，
2
c
\ =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，离心率
2
2
c
e
a
=
=
．
（2）当直线l 的斜率不为0 时，设其方程为
1
x
my
=
+ ，
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
由
2
2
1
2
4
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，得
2
2
(
2)
2
3
0
m
y
my
+
+
-
= ，
得到
2
2
4
12(
2)
0
m
m
D =
+
+
>
，
则
1
2
1
2
2
2
2
3
,
2
2
m
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
．
如图4，设
0
0
(
,
)
M x
y
，由点M 是直线AT 上一点，
则存在实数l ，使得MT
AT
l
=
uuur
uuur ，
则
0
1
0
1
4
(4
)
(
)
x
x
y
y
l
l
-
=
-
ì
í-
=
-
î
，即
0
1
0
1
4
(4
)
x
x
y
y
l
l
=
-
-
ì
í
=
î
，
由
AD
AM
DB
MT
=
，得
//
DM BT ，
则
1
0
2
0
2
1
=
1
4
(
4)
3
y
y
y
x
x
x
l
l
=
-
-
-
+ ，故
2
2
1
y
y
y
l =
-
，
代入可得
2
2
1
2
1
2
2
1
1
0
3
3
(
(3
)
3
5
2
4
4
4
2
2
)
y
y
y
my
x
y
y
y
y
y
-
-
=
-
=
-
=
-
=
-
+
-
．
当直线l 的斜率为0 时，不妨取
( 2,0)
A -
，
(2,0)
B
，
5 ,0
2
M æ
ö
ç
÷
è
ø ，符合题意．
故点M 的横坐标为5
2 ．
9．（2026·贵州安顺·一模）已知点
1
0, 4
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，M 为平面内一动点，以MF 为直径的圆与x 轴相切，点M 的
轨迹记为Γ ．
(1)求曲线Γ 的方程；
(2)不过原点的直线l 与曲线Γ 交于不同的两点
,
A B ，若以AB 为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线l 过定点；
（ii）点C 是曲线Γ 上位于直线l 下方的一动点，若对于给定的直线l ，记
ABC
V
的面积最大值为S ，对所有
符合题设条件的动直线l ，求S 的最小值．
【答案】(1)
2
y
x
=
(2)（i）证明见解析；（ii）1
【详解】（1）设点
,
M x y ，则以MF 为直径的圆的圆心为
1
4
,
2
2
y
x
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
，半径
2
2
1
1
1
2
2
4
r
MF
x
y
æ
ö
=
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
因为该圆与x 轴相切，所以
2
2
1
1
1
4
2
2
4
y
x
y
+
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø ，
所以
2
2
2
1
1
4
4
y
x
y
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，整理得
2
y
x
=
，
故曲线Γ 的方程为
2
y
x
=
．
（2）（i）设直线
:
0
l y
kx
b b
=
+
¹
，
2
1
1
,
A x x
，
2
2
2
,
B x
x
，
则
2
y
x
y
kx
b
ì
=
í
=
+
î
，消去y 得
2
0
x
kx
b
-
-
=
，所以
1
2
x
x
k
+
=
，
1
2
x x
b
= - ，
以AB 为直径的圆过原点，所以OA
OB
^
，
则
2
2
1
2
1
2
0
1
0
OA OB
x x
x x
b
b
×
=
+
=
Þ -
-
=
uuur uuur
，
因
0
b ¹
，解得
1
b = ，所以直线l 方程为
1
y
kx
=
+ ，恒过定点
0,1 ．
（ii）对于给定的k ，直线:
1
l y
kx
=
+ 与Γ 交于
,
A B ，
则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
AB
x
x
y
y
k
x
x
x x
=
-
+
-
=
+
+
-
，
将
1
2
x
x
k
+
=
，
1
2
1
x x
b
= - = - ，代入得
2
2
1
4
AB
k
k
=
+
+
，
又点
2
,
C t t
在Γ 上且位于l 下方，即
2
1
t
kt
<
+ ，
点C 到直线:
1
0
l kx
y
-
+ =
的距离为
2
2
1
1
kt
t
d
k
-
+
=
+
，
由
2
1
t
kt
<
+ 知
2
1
0
kt
t
-
+ >
，故
2
2
1
1
kt
t
d
k
-
+
=
+
，
令
2
1
f t
t
kt
= -
+
+ ，则对于给定的k ，
f t 为开口向下的一元二次函数，
所以当
2
k
t =
时，
f t 取得最大值
2
1
2
4
k
k
f æ
ö =
+
ç
÷
è
ø
，此时d 最大，
2
max
2
1
4
1
k
d
k
+
=
+
，
所以
ABC
V
面积的最大值
2
3
2
2
2
2
max
2
1
1
1
1
4
4
1
4
2
2
8
1
k
S k
AB d
k
k
k
k
+
=
×
=
+
+
×
=
+
+
，
令
2
4
m
k
=
+
，
4,
m
¥
+
，易知
3
2
1
8
y
m
=
单调递增，
所以当
4
m =
，即
0
k =
时，
S k 取得最小值
3
2
min
1
1
4
8
1
8
8
S
=
×
=
× = ．
10．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点为(0,
2) ，且过点1 3
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
N x
y
在C 上，
①若A 是C 与x 轴的一个交点，B 是C 与y 轴的一个交点，求ABN
V
的面积的最大值；
②记线段AB 中点为M，
3
MN
MO
=
uuur
uuur ，记
OBN
△
的面积为
OBN
SV
，判断
OBN
SV
是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x
+
= (2)①
6
3
2
+
；②
OBN
SV
为定值，且定值为3
4 ，理由见解析
【详解】（1）因为椭圆C 的一个焦点为(0,
2) ，所以
2
c =
，所以
2
2
2
2
2
a
b
c
b
=
+
=
+
，
所以可设椭圆的标准方程为
2
2
2
2
1
2
y
x
b
b
+
=
+
，
又因为椭圆C 过点1 3
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，所以
2
2
9
1
1
4
4
2
b
b
+
=
+
，
解方程可得
2
1
b = 或
2
1
2
b = -
（舍去）.
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
3
y
x
+
= ；
（2）①由椭圆的对称性，不妨取
1,0 ,
0, 3
A
B
-
，
则直线AB 的方程为
1
1
3
x
y
+
=
-
，即
3
3
0
x
y
-
+
=
，
设
cos , 3sin
N
q
q ，则N 到直线AB 的距离
3 cos
3sin
3
3
3
π
sin
cos
1
2 sin
1
2
2
4
3 1
d
q
q
q
q
q
-
+
æ
ö
=
=
-
+
=
-
+
ç
÷
+
è
ø
，
所以当
π
sin
1
4
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
时，
max
6
3
2
d
+
=
，又
3 1
2
AB =
+
= ，
所以ABN
V
的面积的最大值为
max
1
6
3
2
2
AB d
+
=
；
②
OBN
SV
为定值，且定值为3
4 ，理由如下：
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y
kx
b
=
+
，
联立
2
2
1
3
y
kx
m
y
x
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
3
3
0
kx
m
x
+
+
-
=
，
整理得
2
2
2
3
2
3
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，所以
1
2
2
2
3
km
x
k
x
+
-
+
=
，
2
1
2
2
3
3
m
x x
k
-
+
=
，
因为线段AB 中点为M，所以
2
3
M
km
x
k
-
=
+
，所以
2
2
3
3
3
M
km
m
y
k
m
k
k
æ
ö
=
-
+
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
因为
3
MN
MO
=
uuur
uuur ，所以
2
ON
MO
=
uuur
uuur ，所以
3
3
2
2
2
6
,
,
3
3
km
m
x
y
k
k
-
æ
ö
= ç
÷
+
+
è
ø ，
又
3
3
,
N x
y
在C 上，所以
2
2
2
2
6
2
3
1
3
3
m
km
k
k
-
æ
ö
ç
÷
+
æ
ö
è
ø +
=
ç
÷
+
è
ø
，
整理得
2
2
2
2
2
12
4
3
m
k m
k
+
=
+
，所以
2
2
4
3
m
k
=
+ ，
又
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
4
12
1
4
1
3
3
3
3
km
m
k m
m
AB
k
k
k
k
k
k
-
-
æ
ö
=
+
-
- ´
=
+
-
ç
÷
+
+
+
è
ø
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3 12
9
9
1
1
1
3
3
3
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+ -
-
=
+
-
=
+
-
=
+
+
+
+
+
+
，
又点O 到直线AB 的距离
2
1
m
d
k
=
+
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
9
1
9
3
1
2
2
3
2
3
4
1
ABO
m
m
S
AB d
k
k
k
k
=
×
=
+
×
=
=
+
+
+
V
.
又因为线段AB 中点为M，所以
2
ABO
BMO
S
S
=
V
V
，
又
2
ON
MO
=
uuur
uuur ，所以
2
OBN
BMO
S
S
=
V
V
，所以
OBN
ABO
S
S
=
V
V
，
所以
OBN
SV
是否为定值，定值为3
4 ；
当直线AB 的斜率不存在时，线段AB 的中点M 在x 轴上，
由对称性不妨取
1,0
N
，此时
1 ,0
2
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，此时
3
AB =
，
1
1
1
3
3
2
2
2
4
ABO
S
AB d
=
×
=
´ ´
=
V
；
综上所述：
OBN
SV
为定值，且定值为3
4 .
押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用
试题前瞻·能力先查
限时：7min
【原创题】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X 表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知
抽取到X 个不合格产品的分布列为：
X
0
1
2
3
P
2
(1
)
a
p
-
1
a
p
-
ap
a
p
每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为
1
2 ，且各个
产品返工是否成功相互独立.事件
iA 表示抽取的产品中有i 个不合格产品（
0,1,2,3
i =
），事件B 表示抽取的
产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.
(1)若
1
3
p =
，求a ，并根据全概率公式求
P B ；
(2)是否存在p 值且
0,1
pÎ
，使得
2
E X =
，请说明理由.
【答案】(1)
9
40
a =
，69
160 (2)不存在，理由见解析
【详解】（1）当
1
3
p =
时，
0
1
2
3
4
2
1
,
,
,
3
9
3
3
a
P A
P A
a P A
a P A
a
=
=
=
=
，
则4
2
1
3
1
9
3
3
a
a
a
a
+
+
+
= ，解得
9
40
a =
，
由题意，得
1
1
1
1
1
C
2
2
P B A
=
´
=
∣
，
2
2
2
2
1
1
C
2
4
P B A
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
∣
，
3
3
2
3
3
3
3
1
1
1
C
C
2
2
2
P B A
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
∣
.
由全概率公式，得
3
0
1
( )
(1
)
2
4
2
i
i
i
a
a
P B
P B A P A
p
ap
p
=
=
=
-
+
+
å
∣
2
1
9
5
3
69
4
2
40
12
2
160
p
a
p
æ
ö
-
æ
ö
=
+
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
（2）假设存在p ，使
3
2
1
2
a
E X
ap
a
p
p
=
+
+
-
=
又
2
1
(1
)
1
a
ap
a
p
a
p
p +
+
-
+
-
= .得
2
3
1
1
2
2
2
p
p
p
p
p
æ
ö
+
+ =
-
+
+
ç
÷
è
ø
，化简得
2
1
2
5
3
0
p
p
p
-
-
+
=
即
3
2
2
5
3
1
0
p
p
p
-
+
- =
令
3
2
2
5
3
1
h p
p
p
p
=
-
+
- 则
2
6
10
3
h
p
p
p
=
-
+
¢
因为
0
3
0,
1
1
0
h
h
¢
=
>
= - <
¢
，所以在
0,1 上存在
0p ，使得
0
0
h
p
¢
=
所以
2
0
0
0
6
10
3
0
h
p
p
p
=
-
+
=
¢
即
2
0
0
10
3
6
p
p
-
=
且
h
p
¢
在
0
0, p
为正，在
0,1
p
为负
从而
h p 在
0
0, p
为增函数，在
0,1
p
为减函数
3
2
max
0
0
0
0
( )
2
5
3
1
h p
h p
p
p
p
=
=
-
+
-
2
0
0
0
0
10
3
2
5
3
1
6
p
p
p
p
-
=
×
×
-
+
-
2
2
0
0
0
0
10
5
3
1
3 p
p
p
p
=
-
-
+
-
2
0
0
5
2
1
3 p
p
= -
+
-
2
0
5
3
2
0
3
5
5
p
æ
ö
= -
-
-
<
ç
÷
è
ø
所以当
0,1
pÎ
时，
max
( )
0
h p
<
，即不存在p 值，使得
2
E X =
分析有理·押题有据
新高考最主流命题趋势，近几年全国Ⅱ卷概率大题明显变难、变综合，不再是单纯套公式，而是概率+
递推数列+函数/导数捆绑考查，位置稳定在第17 题，15 分。区分度拉满，压轴级大题，既能考统计阅读、
概率计算，又能考数列递推、单调性、最值，一道题覆盖三大模块，是选拔高分考生的“王牌题”。 情境
真实、贴近时代常考：疾病检测、芯片合格率、游戏闯关、资金增长、排队模型，完全符合新课标“数学
建模、实际应用”导向。套路极强：读懂情境 → 建立递推关系 → 转化为数列/函数问题 → 求最值/范围
学会框架就能拿高分。2026 全国Ⅱ卷概率大题，极高概率考：概率与数列递推 / 函数单调性 / 最值综合。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题反复出现，递推概率：Pn = aPn-1+b；构造等比数列求通项；期望与数列求和综
合；概率表达式转化为函数，用导数/单调性求最值，考纲与新课标高度契合强调在实际问题中建立概率模
型，运用数列、函数知识解决问题。2026 各地一模二模一致指向几乎所有高质量模拟卷都在出：闯关概率
递推；检验、检测类概率模型；期望 + 数列求和 + 函数最值与全国卷命题方向完全一致。
今年重点只押三类综合题，覆盖99%考法：概率递推 + 数列（最高频）构造 Pn 递推式 → 等比数
列 → 求通项、极限； 概率/期望表达式 + 函数单调性/最值，把表达式写成函数 f(x)，用导数或不等式求
最优方案； 统计数据 + 函数拟合 + 决策，给出数据，求回归方程，再用函数做预测、选最优。
密押预测·精练通关
1．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y
（单位：万元）的关系，统计了最近10 场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
10
10
10
1
1
1
50,
400,
2200
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x y
=
=
=
=
=
=
å
å
å
，
10
2
1
300
i
i
x
=
=
å
.
(1)求销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额10 万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部
分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x 万元（0
10
x
£
£
），主播佣金激励
投入（10
x
-
）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t 万元的销售额为（
2
12t
t
-
）万元；平台流量推广的
效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
中，
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
-
å
å
，
ˆ
ˆa
y
bx
=
-
.
【答案】(1) ˆ
4
20
y
x
=
+
(2)分配6 万元投入平台流量推广、4 万元投入主播佣金，最大销售额为76 万元.
【详解】（1）由题意知，样本量
10
n =
，
10
1
1
50
5
10
10
i
i
x
x
=
=
=
=
å
，
10
1
1
400
40
10
10
i
i
y
y
=
=
=
=
å
,
根据公式变形得回归系数：
10
1
10
2
2
2
1
10
2200 10 5 40
200
4
300 10 5
10
ˆ
50
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x
=
=
-
-
´ ´
=
=
=
=
-
´
-
å
å
,
则
40
4 5
20
ˆ
ˆa
y
bx
=
-
=
- ´
=
，
因此，销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程为：ˆ
4
20
y
x
=
+
；
（2）方案一：全部投入平台流量推广，即
10
x =
代入回归方程得销售额：
4 10
20
60
ˆy =
´
+
=
万元；
方案二：投入x 万元到流量推广，
10
t
x
=
-
万元到主播佣金，且0
10
x
£
£
，
总销售额为流量销售额加佣金销售额：
2
2
4
20
12 10
10
12
40
y
x
x
x
x
x
=
+
+
-
-
-
= -
+
+
，
对称轴为
6
x =
，在定义域[0,10]内，最大值为
2
6
12 6
40
76
max
y
= -
+
´ +
=
万元，
因为 76
60
>
，所以投入6 万元到平台流量推广，4 万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76 万元。
综上可得：分配6 万元投入平台流量推广、4 万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为76 万元.
2．（2026·贵州安顺·一模）有N 个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事
件是相互独立的，且含有该酶的概率均为
0
1
p
p
<
<
，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现
采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r 个小组，每组
*,2
N
k k
k
Î
£
£
N
人．在每一组中，取每人的
血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用
采集血样，利用现有采集过的血样）．
(1)若
4
k =
，
1
4
p =
，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2 人”血液中含有该酶的概率；
(2)用N，k，p 表示该方法所需检测次数的期望值；
(3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a 元/人份，化验检测成本为b 元/次．若
0.01
p =
，每组
人数
10
k =
，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求b
a 的取值范围．（参考数
据：
10
0.99
0.90
»
）
【答案】(1) 54
175 (2)
1
1
1
k
N
p
k
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø (3) 5 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
【详解】（1）设小组中有酶的人数为X，则
1
4, 4
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø．
已知混合样本阳性，即
1
X ³ ，则恰有2 人有酶的概率为
2
2
2
4
4
1
3
C
2
54
4
4
2
1
1
175
3
1
4
P X
P X
X
P X
æ
ö æ
ö
ç
÷ ç
÷
=
è
ø è
ø
=
³
=
=
=
³
æ
ö
-ç
÷
è
ø
．
（2）设每组检测次数Y ，则Y 的分布列为
Y
1
1
k +
p
1
k
p
-
1
1
k
p
-
-
期望为
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
E Y
p
k
p
k
p
= ´
-
+
+
-
-
= +
-
-
则总检测次数的期望
1
1
1
1
1
1
k
k
N
E
r E Y
k
p
N
p
k
k
æ
ö
é
ù
= ×
=
+
-
-
=
-
-
+
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø ；
（3）若分组检测，检测次数的期望为
1
1
1
k
N
p
k
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø ．
总成本期望为
1
1
1
1
k
E
aN
bN
p
k
æ
ö
=
+
-
-
+
ç
÷
è
ø ，
若逐一检测，则总成本为
2
E
aN
bN
=
+
．由节省50%以上得
1
2
0.5
E
E
<
．
代入
0.01
p =
，
10
k =
，
1
0.90
k
p
-
»
，得
0.2
0.5
a
b
a
b
+ ´
<
+
，
整理得0.5
0.3
a
b
<
，因此，
5
3
b
a >
，故b
a 的取值范围是5 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ．
3．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项
培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，
考核合格的概率为9
10 ，参加专业培训后，考核合格的概率为2
3 ．
(1)若志愿者A ，B 都参加了培训，求志愿者A ，B 中至少有1 人通过培训考核的概率；
(2)现从12 名通过培训考核的志愿者（包含3 名女志愿者）中随机抽取4 名志愿者参加某体育赛事的志愿服
务，记X 为被抽取到的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望．
【答案】(1) 21
25 (2) X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
14
55
28
55
12
55
1
55
数学期望为1
【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立，
因此单个志愿者通过培训考核的概率为
9
2
3
10
3
5
P =
´
=
，
则单个志愿者没有通过培训考核的概率为
3
2
1
5
5
-
=
.
因为“至少有1 人通过”的对立事件为“两人都没有通过”，
因此所求概率
2
1
2
21
1
5
25
P
æ
ö
= -
=
ç
÷
è
ø
.
（2）由题意，X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0,1,2,3，
概率公式为
4
3
9
4
12
C C
0,1,2,3
C
k
k
P X
k
k
-
=
=
=
，
分别计算概率得
0
4
3
9
4
12
C C
126
14
(
0)
C
495
55
P X =
=
=
=
，
3
9
4
12
1
3
C C
3 84
28
(
1)
C
495
55
P X
´
=
=
=
=
，
3
9
4
12
2
2
C C
3 36
12
(
2)
C
495
55
P X
´
=
=
=
=
，
12
1
9
3
3
4
C C
9
1
(
3)
C
495
55
P X =
=
=
=
，
因此X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
14
55
28
55
12
55
1
55
所以数学期望为
14
28
12
1
(
)
0
1
2
3
1
55
55
55
55
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
= .
4．（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI 模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性
能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得
到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)求a 的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表）；
(2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4 次试验，用X 表示这4 次试验中正确识别图象
不少于50 个的次数，求X 的分布列和数学期望
E X ．
【答案】(1)
0.0125
a =
，
67
x =
(2) X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
3
E X =
.
【详解】（1）由
20 0.0050
0.0075
0.0150
0.0100
1
a
+
+
+
+
= Þ
0.0125
a =
.
所以
20
20 0.0050
40 0.0075
60 0.0125
80 0.0150 100 0.0100
x =
´
´
+
´
+
´
+
´
+
´
67
=
.
（2）以频率估计概率，正确识别图象不少于50 个的概率为
1 20
0.0050
0.0075
P = -
´
+
3
0.75
4
=
=
.
X 表示这4 次试验中正确识别图象不少于50 个的次数，则
3
4, 4
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø.
所以
0
4
0
4
3
1
1
0
C
4
4
256
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
×
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
3
1
4
3
1
12
3
1
C
4
4
256
64
P X
æ
ö æ
ö
=
=
×
×
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
,
2
2
2
4
3
1
54
27
2
C
4
4
256
128
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
×
×
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
1
3
4
3
1
108
27
3
C
4
4
256
64
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
×
×
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
4
0
4
4
3
1
81
4
C
4
4
256
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
×
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
所以
3
4
3
4
E X =
´
=
.
5．（2026·辽宁·模拟预测）2014 年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意
见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才
需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017 年起在部分新高考省份试点新的试卷
结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，
如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确
率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目．
(1)现已知有一篇完形填空有N 道题，小朱在作答完形填空时，有p 的概率会做，在会做的条件下有q 的概
率因混淆词义做错；有
1
p
-
的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行
作答．
①若
2
3
p =
，
1
4
q =
，求小朱做对一道完形填空小题的概率
P C ；
②在①的条件下，已知
3
N =
，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即
相互独立），设小朱答对的题目数为X ，求X 的分布列与期望
E X ；
(2)现已知有一篇完形填空有N 道题，小佳同学在做完形填空时，第
1
1
n
n
N
n
+
£
³
且
道题的正确与否与第
n 道题是否答对有关．若第n 道题没有把握（看作答错），则第
1
n + 道题正确的概率为1
3 ；若第n 道题有把
握答对（看作答对），则第
1
n + 道题正确的概率为3
5 ．在（1）①的条件下，设第
1
n + 道题正确的概率为
1
nP + ，求
nP ．
【答案】(1)①
0.7
P C =
；②分布列见解析，2.1(2)
1
27
4
5
110
15
11
n
nP
-
æ
ö
=
´
+
ç
÷
è
ø
【详解】（1）①设小朱会做某题为事件A，混淆词义出错为事件B，蒙对一道题为事件D．
其中
2
3
P A =
，
3
4
P B A =
∣
，
0.6
P D A =
，
根据全概率公式，有
2
3
1
3
|
|
0.7
3
4
3
5
P C
P B A P A
P D A P A
=
+
=
´
+
´
=
，
②小朱答对的题目数X 服从二项分布
3,0.7
X
B
~
，则
0
3
1
2
0
1
3
3
0
C
0.7
0.3
0.027,
1
C
0.7
0.3
0.189
P X
P X
=
=
´
=
=
=
´
=
2
1
3
2
3
3
3
2
C
0.7
0.3
0.441,
3
C
0.7
0.343.
P X
P X
=
=
´
=
=
=
=
分布列如下：
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
3 0.7
2.1
E X = ´
=
（道）
（2）根据全概率公式，有
1
1
3
1
3
5
n
n
n
P
P
P
+ =
-
+
化简得：
1
4
1
15
3
n
n
P
P
+ =
+
设新数列
nP
l
+
，满足
1
4
15
n
n
P
P
l
l
+ +
=
+
解得：
5
11
l = -
\数列
5
11
nP
ì
ü
-
í
ý
î
þ是以
1
5
7
5
27
11
10
11
110
P -
=
-
=
为首项、4
15 为公比的等比数列．
所以
1
27
4
5
110
15
11
n
nP
-
æ
ö
=
´
+
ç
÷
è
ø
6．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025 年底，我国新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总产量的
12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如
下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的4
15 ，
偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，分析对燃油汽车和新能
源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然后从这8
人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，n
a
b
c
d
=
+
+ +
．
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表为
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
有关联，解释见解析，
(2)随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
56
15
56
15
28
5
28
期望为15
8
【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为
300 50%
150
´
=
，
因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的4
15 ，故样本中女性驾驶员的人数为
4
300
80
15
´
=
，
由题意，列联表补充如下：
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
零假设
0
H 为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联．
根据列联表数据，计算得
2
2
0.01
300
(120
50
100
30)
6.818
6.635
220 80 150 150
x
c
´
´
-
´
=
»
>
=
´
´
´
．
根据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，可以推断
0
H 不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶
员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为100
0.455
220 »
，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为50
0.625
80 =
，前
者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大．
（2）由题意，抽取的8 人中偏好燃油汽车的人数为30
8
3
80 ´ =
人，偏好新能源汽车的人数为50
8
5
80 ´ =
人．
随机变量X 的可能值为0，1，2，3．
3
3
3
8
C
1
0
C
56
P X =
=
=
，
2
1
3
5
3
8
C C
15
1
C
56
P X =
=
=
，
1
2
3
5
3
8
C C
15
2
C
28
P X =
=
=
，
3
5
3
8
C
5
3
C
28
P X =
=
=
．
所以，随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
56
15
56
15
28
5
28
X 的数学期望
15
15
5
15
1
2
3
56
28
28
8
E X = ´
+ ´
+ ´
=
．
7．（2026·河南濮阳·一模）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了
解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300 名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布
直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值，并计算这300 名市民评分的平均数；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4 人进一步了解情况，用X 表示抽到的评分在90
分以上的人数，求X 的分布列及数学期望
(
)
E X .
【答案】(1)
0.025
a =
；这300 名市民评分的平均数为80.7.(2)分布列见解析，
1
E X =
【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，
则
0.002
0.004
0.014
0.02
0.035
10
1
a
+
+
+
+
+
´
= ，解得
0.025
a =
.
这300 名市民评分的平均数为：
45 0.02
55 0.04
65 0.14
75 0.2
85 0.35
95 0.25
80.7
x =
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
.
所以这300 名市民评分的平均数为：80.7.
（2）解因为评分在90分以上的市民所占的频率为0.025 10
0.25
´
=
，
由题意可知，
1
~
4, 4
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以，
4
3
81
0
4
256
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
4
1
3
27
1
C
4
4
64
P X
æ
ö
=
=
×
×
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
4
1
3
27
2
C
4
4
128
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
×
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
3
4
1
3
3
3
C
4
4
64
P X
æ
ö
=
=
×
×
=
ç
÷
è
ø
，
4
1
1
4
4
256
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
X
0
1
2
3
4
P
81
256
27
64
27
128
3
64
1
256
所以，
1
4
1
4
E X =
´
= .
8．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）
已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某
AI 工具的360 名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
10,20
20,30
30,40
40,50
50,60
［
］
人数
30
150
90
60
30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设X
m
n
=
-
，求X 的分布列；
(3)已知该AI 工具对某20 个问题能准确答对其中的t （3
12
t
£ £
，且t ÎN ）个．若从这20 个问题中随机抽
取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率最大，求此时t 的取值．
【答案】(1)32.5(2)分布列见解析(3)
6
t =
【详解】（1）估计平均年龄为
1
30 15 150 25
90 35
60 45
30 55
360 ´
´
+
´
+
´
+
´
+
´
32.5
=
.
（2）由题意得，这12 人中，年龄在第一组内的有12
30
1
360 ´
= （人），
年龄在第二组内的有12
150
5
360 ´
=
（人），
则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以
4
1
1
2
6
5
1
6
4
12
C
C C C
2
0
C
11
P X
+
=
=
=
，
1
3
1
3
2
1
1
5
6
1
6
5
1
6
4
12
C C
C C
C C C
4
1
C
11
P X
+
+
=
=
=
，
2
2
3
1
5
6
5
1
4
12
C C
C C
32
2
C
99
P X
+
=
=
=
，
3
1
5
6
4
12
C C
4
3
C
33
P X =
=
=
，
4
5
4
12
C
1
4
,
C
99
P X =
=
=
则X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
2
11
4
11
32
99
4
33
1
99
（3）从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率为
3
7
20
10
20
C C
C
t
t
P
-
=
，
设
3
7
20
C C
t
t
f t
-
=
，由3
12
t
£ £
，且t ÎN 得
0
f t >
，
所以
3
7
2
1
19
3
7
2
20
1 !
19
!
1
3!
2 ! 7! 12
!
1 13
C
C
12
13
20
!
C C
2
20
22
40
!
3!
3 ! 7! 13
!
t
t
t
t
t
t
f t
t
t
t
t
t
t
t
f t
t
t
t
t
t
t
t
+
-
-
+
-
×
+
-
-
+
-
-
+
+
=
=
=
=
-
-
-
-
+
-
×
-
-
，
显然
2
12
13
0
t
t
-
+
+
>
，
2
22
40
0
t
t
-
+
-
>
，
令
2
2
12
13
22
40
53 10
m
t
t
t
t
t
= -
+
+
- -
+
-
=
-
，
当3
5
t
£ £
时，有
0
m >
，
2
2
1
12
13
1
22
40
f t
t
t
f t
t
t
+
-
+
+
=
>
-
+
-
，即
1
f t
f t
+
>
，
此时
3
4
5
6
f
f
f
f
<
<
<
；
当6
12
t
£ £
时，有
0
m <
，
2
2
1
12
13
1
22
40
f t
t
t
f t
t
t
+
-
+
+
=
<
-
+
-
，即
1
f t
f t
+
<
，
此时
6
7
12
f
f
f
>
>
>
L
，即
max
( )
6
f t
f
=
，
所以
6
t =
．
9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，
涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机
调查了200 位社区居民，得到如下数据（单位：人）：
学历
关注
不关注
合计
本科及以上
80
20
100
本科以下
60
40
100
合计
140
60
200
(1)依据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？
(2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：
第一关：设置3 道必答题，参与者需至少答对2 道才能参与下一关答题，否则淘汰；
第二关：设置3 道题，前2 道题每答对1 道奖励200 元，答错即结束答题，奖励清零，2 道题都答对可选择
放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3 道题答对奖励400 元，答错前2 道奖
励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3 道题每道题答对的概率均为3
4 ，第二关答题的前2
道题每道题答对的概率均为p ，第3 道题答对的概率为
1
,
0,1
p p
-
Î
，各题答对与否相互独立.
（i）求甲能进入第二关答题的概率；
（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3 道题，使获取的奖金更多.
参考公式及参考数据：
2
2
(
)
,
n ad
bc
n
a
b
c
d
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
=
+
+ +
+
+
+
+
.
a
0.05
0.01
xa
3.841
6.635
【答案】(1)能(2)（i）27
32 ；（ii）当
2
0
3
p
<
<
时，建议挑战第3 道题；当
2
3
p =
时，挑战和不挑战第3 道题
都可以；当2
1
3 <
<
p
时，建议不挑战第3 道题.
【详解】（1）解：零假设为
0
H ：对航天工程的关注情况与学历无关，
2
2
200 (80 40
60 20)
200
9.524
6.635,
100 100 140 60
21
c
´
´
-
´
=
=
»
>
´
´
´
依据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，推断
0
H 不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.
（2）解：（i）记甲能进入第二关答题为事件A ，即3 道题至少答对2 道题，
所以
2
3
2
3
3
1
3
27
C
4
4
4
32
P A
æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（ii）若确定不挑战第3 道题，获得奖金为X ，X 的可能取值为0,400，
2
400
P X
p
=
=
，
2
0
1
P X
p
=
= -
则X 的分布列为：
X
0
400
P
2
1
p
-
2
p
所以
2
400
E X
p
=
；
若确定挑战第3 道题，获得奖金为Y ，Y 的可能取值为0,200,800，
2
0
1
P Y
p
=
= -
，
3
200
P Y
p
=
=
，
2
800
1
P Y
p
p
=
=
-
则Y 的分布列为
Y
0
200
800
P
2
1
p
-
3
p
2 1
p
p
-
所以
3
2
600
800
E Y
p
p
= -
+
.
令
3
2
2
600
400
200
3
2
E X
E Y
p
p
p
p
-
=
-
=
-
，
故当
2
0
3
p
<
<
时，
E X
E Y
<
，建议挑战第3 道题；
当
2
3
p =
时，
E X
E Y
=
，挑战和不挑战第3 道题都可以；
当2
1
3 <
<
p
时，
E X
E Y
>
，建议不挑战第3 道题.
10．（2026·陕西·二模）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2 轮，每轮的规则如下：每轮开
始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1 张牌相互交换，
交换3 次后该轮结束.2 轮进行完游戏结束．
(1)记每轮游戏在交换1 次后，小明手里王牌的张数为X ，求X 的分布列及数学期望；
(2)定义事件A 为“至少有1 轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件A 的概率
(3)若游戏改为仅进行1 轮，交换次数k 变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜
并获得奖金100 元；若不同，则小红获胜并获得奖金100 元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），
交换次数k 应满足什么条件？
【答案】(1)
X
0
1
2
P
1
4
1
2
1
4
数学期望为1
(2) 39
64 (3)
1
k =
【详解】（1）交换1 次后，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.
1
1
1
0
2
2
4
P X =
=
´
=
，
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
P X =
=
´
+
´
=
，
1
1
1
2
2
2
4
P X =
=
´
=
.
所以随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
4
1
2
1
4
随机变量X 的期望
1
1
1
0
1
2
1
4
2
4
E X =
´
+ ´
+ ´
=
（2）设
ka 表示交换k 次后小明手中两张牌种类相同的概率，则
1
1
2
a =
，
1
1 1
2
k
k
a
a
+ =
-
，
则经过3 次后，
3
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
8
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
-
=
-
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
事件“至少有1 轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”的对立事件为“两轮结束后，小明手里的两张牌种类
不同”，其概率为
2
3
25
1
8
64
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以事件A 的概率为
25
39
1
64
64
P A = -
=
.
（3）设
ka 表示交换k 次后小明手中两张牌种类相同的概率，则
1
1
2
a =
，
1
1 1
2
k
k
a
a
+ =
-
，
所以
1
1
1
1
3
2
3
k
k
a
a
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø ，
所以
1
3
ka
ì
ü
-
í
ý
î
þ是以
1
1
1
1
1
3
2
3
6
a -
=
-
=
为首项，
1
2
-
为公比的等比数列，
所以
1
1
1
1
3
6
2
k
ka
-
æ
ö
-
=
´ -
ç
÷
è
ø
，所以
1
1
1
1
1
1
1
3
6
2
3
3
2
k
k
ka
-
æ
ö
æ
ö
=
+
´ -
=
-
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
为了使游戏公平，小明获胜的概率应为1
2 ，所以
1
1
1
1
3
3
2
2
k
ka
æ
ö
=
-
´ -
=
ç
÷
è
ø
，解得
1
k = .
