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知识点29：万有引力定律及其应用（不考虑星球自转）
考点一：应用万有引力定律计算万有引力
题型一：均匀球体与均匀球体之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
（1）均匀球体与均匀球体之间万有引力计算的方法：万有引力定律法
利用万有引力定律计算均匀介质球体之间的万有引力时，可以认为匀质球体质量集中于球
心，r 为两球心的距离，万有引力大小为F＝G，引力的方向沿两球心的连线。
（2）计算特殊均匀球体与质点之间万有引力的方法：填补法
在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理.
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补
法”解题主要体现了等效思想。
【典例1 拔尖题】密度均匀的球体半径为
、质量为
，现从球体
中挖去直径为
的球
体
，将球体
放置在距离球体
的球心
为
处，如图所示，白色部分为挖去后的空
心。已知半径为
的球体的体积为
，引力常量为
，则球体
剩余部分对球体
的
万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示，将一个半径为R、质量为M 的均匀大球，沿直径挖
去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去小球
的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引
力大小约为(已知引力常量为G)( )
A．0.01
B．0.02
C．0.05
D．0.04
题型二：均匀球体与球体外质点之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
均匀球体与球体外质点之间万有引力计算的方法：万有引力定律法
用万有引力定律计算均匀介质球体与球体外质点之间的万有引力时，可认为匀质球体的质
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量集中于球心，r 为两球心的距离，万有引力大小为F＝G，引力的方向沿两球心的连线。
【典例2 拔尖题】（多选）如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径
为r 的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
题型三：均匀球体与球体表面质点之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
均匀球体与球体表面质点之间万有引力计算的方法：万有引力定律法
利用万有引力定律计算均匀介质球体与球体表面质点之间的万有引力时，可以认为匀质球
体的质量集中于球心，r 为两球心的距离，万有引力大小为F＝G，引力的方向沿两球心的
连线。
【典例3 拔尖题】我国将在今年择机执行“天问1 号”火星探测任务．质量为m 的着陆器
在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火
星的质量约为地球的0.1 倍，半径约为地球的0.5 倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽
略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器
受到的制动力大小约为( )
A．m B．m C．m
D．m
题型四：均匀球体与球体内质点之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
计算均匀球体与球体内质点之间的方法：推论法
（1）推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即
∑F 引＝0。（2）推论Ⅱ：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球
体内半径为r 的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。
（2）计算特殊均匀球体与质点之间万有引力的方法：填补法
在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理.
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补
法”解题主要体现了等效思想。
【典例4 拔尖题】如图所示，两个质量均为M 的球分别位于半圆环和圆环的圆心，半圆环
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和圆环分别是由相同的圆环截去一半和所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有
引力为F，则乙图中环对球的万有引力大小为( )
A．F B．F C．F D．F
考点二：应用万有引力定律分析计算天体运动
【知识思维方法技巧】
解决天体圆周运动问题的两条思路：
（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝m＝man.
（2）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G＝
mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g 表示天体表面的重力加速度)
题型一：环绕中心天体运动各物理参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
解决天体环绕运动各物理量的比较解题思路：
（1）列出四个连等式：G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
（2）导出四个表达式：a＝，v＝，ω＝，T＝。
结合r 大小关系，比较得出a、v、ω、T 的大小关系。可记忆为“三同一异，越高越慢”，
只有T 与r 变化一致。
【典例1 拔尖题】2008 年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16 米望远镜，
发现了一颗绕恒星HD173416 运动的系外行星HD173416b,2019 年，该恒星和行星被国际
天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量
的2 倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则望舒与
地球公转速度大小的比值为( )
A．2 B．2 C. D.
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图
上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线
夹角β，两角最大值分别为αm、βm则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
D．水星与金星的公转线速度之比为∶
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题型二：中心天体质量和密度的计算
【知识思维方法技巧】
计算中心天体质量和密度的两个方法:
（1）卫星环绕法（“T、r”法）：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期
T。
①由G＝mr，得中心天体M＝。
②若已知天体的半径R，则就能得到中心天体的平均密度ρ＝＝＝。特别是当卫星绕中心
天体表面运行时，则中心天体的平均密度ρ＝。
（2）重力加速度法（“g、R”法）：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
由G＝mg，得天体质量M＝。天体密度ρ＝＝＝。
【典例2 拔尖题】科学家对银河系中心附近的恒星S2 进行了多年的持续观测，给出1994
年到2002 年间S2 的位置如图所示．科学家认为S2 的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太
阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得
了2020 年诺贝尔物理学奖．若认为S2 所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳
的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M C．4×108M
D．4×1010M
【典例2 拔尖题对应练习】（多选）在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物
体P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如
图中实线所示。在另一星球N 上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a－x
关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M 的半径是星球N
的3 倍，则( )
A．M 与N 的密度相等 B．Q 的质量是P 的3 倍
C．Q 下落过程中的最大动能是P 的4 倍 D．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4 倍
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题型三：中心天体表面重力加速度的计算
【知识思维方法技巧】
计算天体表面重力加速度的方法：
不考虑地球自转时，地球表面处：由G＝mg，得g＝G，也适用于其他星体表面。
【典例3 拔尖题】在半径为R1的K 星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，拉力F 与
物体加速度a 的关系如图线1 所示．在半径为R2的T 星球表面竖直向上提起一质量为m2的
物体，拉力F 与物体加速度a 的关系如图线2 所示．设两星球密度相等，质量分布均匀．
则( )
A. m1∶m2＝3∶1，R1∶R2＝1∶2
B. m1∶m2＝3∶2，R1∶R2＝3∶1
C. m1∶m2＝3∶1，R1∶R2＝2∶3
D. m1∶m2＝3∶2，R1∶R2＝2∶1
【典例3 拔尖题对应练习】两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为
、
，距行星中心
r 处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方
随r 变化的关系如图甲所示，两图线
左端的纵坐标相同；距行星中心r 处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数
后得到如图乙所示的拟合直线（线性回归），两直线平行，它们的截距分别为
、
。已
知两图像数据均采用国际单位，
，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行
星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B 的质量之比为1：2
C．行星A、B 的密度之比为1：2
D．行星A、B 表面的重力加速度大小之比为2：1
考点三：应用万有引力定律分析计算地球卫星运动
题型一：地球卫星运动各物理参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
解决人造卫星圆周运动的两条思路：
（1）人造卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。人造卫星运动的向心力来源于地
球与人造卫星之间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝m＝man.
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（2）在地球表面或附近运动而又不涉及地球自转运动时，万有引力等于重力，即G＝
mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．（g 表示地球表面的重力加速度）
类型一：地球一般卫星运行参量的计算
【典例1a 拔尖题】 (多选)2021 年4 月29 日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入
预定轨道．根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022 年完成空间站
在轨建造．核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的.下
列说法正确的是( )
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
类型二：地球近地卫星运行参量的计算
【知识思维方法技巧】
近地卫星运行参量计算的技巧：
（1）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径r＝
R（地球半径），运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，
T＝85 min（人造地球卫星的最小周期）．
（2）在地球表面附近运动时，万有引力等于重力，即G＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄
金代换．（g 表示地球表面的重力加速度）
【典例1b 拔尖题】2021 年9 月17 日，北京航天飞行控制中心通过指令成功将神舟十二号
载人飞船轨道舱与返回舱分离．中国宇航员顺利返回地球．若已知地球半径R＝6 400 km.
飞船轨道舱运行在离地高度400 km 的圆轨道上．下列说法正确的是( )
A．轨道舱的向心加速度为9.8 m/s2
B．轨道舱的运行速度为7.9×103 m/s
C．轨道舱的圆周运动周期约为5.5×103 s
D．轨道舱运行角速度小于地球同步卫星(离地高度约为36 000 km)运行角速度
类型三：地球极地卫星运行参量的计算
【知识思维方法技巧】
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极地卫星运行参量计算的技巧：
极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内做匀速圆周运动的卫星，
由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。如极地气象卫星。
【典例1c 拔尖题】如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知
该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1
h，则下列说法正确的是( )
A. 该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4
B. 该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2
C. 该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s
D. 该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能
类型四：地球同步卫星运行参量的计算
【知识思维方法技巧】
同步卫星的物理规律有“七个一定”的特点：
①不快不慢：具有特定的运行线速度v＝≈3.1×103 m/s、角速度和周期T＝24 h。
②不高不低：具有特定的位置高度h＝－R≈3.6×107 m 和轨道半径。
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的
点运行，运行方向与地球自转方向一致。
覆盖全球信号只需三颗卫星：由数学知识及上面的数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于三
分之一的地球面积，所以，均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球。
【典例1d 拔尖题】利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持
无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6 倍．假设地球的自转周
期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(
)
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
类型五：地球人造卫星运行参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
解决人造卫星绕地球运行参量的比较解题思路：
（1）列出四个连等式：G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
（2）导出四个表达式：a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝ 。
结合r 大小关系，比较得出a、v、ω、T 的大小关系。可记忆为“三同一异，越高越慢”，
只有T 与r 变化一致。
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【典例1e 拔尖题】我国首颗量子科学实验卫星于2016 年8 月16 日1 点40 分成功发射．量
子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体
化的量子保密通信与科学实验体系．假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示．已知量子
卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是
地球赤道上一点，由此可知( )
A. 同步卫星与量子卫星的运行周期之比为
B. 同步卫星与P 点的速度大小之比为
C. 量子卫星与同步卫星的速度大小之比为
D. 量子卫星与P 点的速度大小之比为
题型二：地球质量和密度的计算
【典例2 拔尖题】若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，地
球自转的周期为T1，地球公转的周期为T2，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到
太阳中心的距离为L2，则下列说法正确的是( )
A．借助上述数据能够计算出地球的质量及月球的密度
B．太阳的质量为
C．地球的密度为
D．在地球的各地测量地球的密度是一样的
题型三：地球重力加速度的计算
【知识思维方法技巧】
（1）地球表面某高度处重力加速度计算的方法：
地球上空高h 处：由mgh＝G，得gh＝G＝g。
（2）计算地球表面重力加速度的方法：
不考虑地球自转时，地球表面处：由G＝mg，得g＝G，也适用于其他星体表面。
（3）天体某深度处重力加速度计算的方法：用推论法
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用推论法先计算天体某深度处的万有引力，再由mgd＝G，得gd＝G (
∝R－d)，故gd＝g(g 为
地球表面处重力加速度)．
【典例3 拔尖题】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d。已知质
量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（
）
A.
B.
C.
D.
【典例3 拔尖题对应练习】若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”
号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”
所在处的重力加速度之比为( )
A.
B.
C.
D.
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