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专题11 数列
【考点1 由
与
的关系求通项公式】
【考点2 由数列的递推关系求通项公式】
【考点3 数列的函数特征】
【考点4 等差数列基本量的运算】
【考点5 等差数列的判定与证明】
【考点6 等差数列的性质及应用】
【考点7 等比数列基本量的运算】
【考点8 等比数列的判定与证明】
【考点9 等比数列的性质及应用】
知识点1：数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列
的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标
准分类
有界数列
存在正数M，使
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
1
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周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列
的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列
的首项(或前几项)，且任一项
与它的前一项
(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
熟记：1.若数列
的前n 项和为S”,通项公式为
知识点2 等差数列
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：
(
，
为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a，b 的等差中项．
3、通项公式与前n 项和公式
（1）通项公式：
．
（2）前项和公式：
．
4.等差数列的性质
已知数列
是等差数列，
是其前
项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：
．
（2）若
，则
．
（3）若
的公差为d，则
也是等差数列，公差为
．
（4）若
是等差数列，则
也是等差数列．
2
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熟记：
1.等差数列的函数的关系
(1)等差数列{
)的单调性:当d>0 时,递增数列;当d<0 时,(
)是递减数列;当小时,(
)是
常数列.
(2)在等差数列{
}中,
>0,d<0,则
韩最大值;若
<0,d>0,则
存在最小值
2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为
，则
，
；
（2）若项数为
，则
，
，
，
.
（3）两个等差数列
，
的前n 项和
，
之间的关系为
.
知识点4 等比数列
1、等比数列的定义
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非
零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示。
（2）数学语言表达式：
(
，
为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，
其中
.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n 项和公式
（1）通项公式：若等比数列
的首项为
，公比是
，则其通项公式为
；
通项公式的推广：
.
（2）等比数列的前
项和公式：当
时，
；当
时，
.
4、等比数列的性质
已知
是等比数列，
是数列
的前
项和．
1、等比数列的基本性质
3
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（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
，
，
，…仍是等比数列，
公比为
.
（2）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数列．
（3）若
，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若
是等比数列，且
，则
（
且
）是以
为首项，
为公差的等差数列。
（5）若
是等比数列，
，则
构成公比为
的
等比数列
熟记：
1.等比数列的单调性
当 q>1,
>0 或 0<q<1，
<0 时,{
)是递增数列;当 q>1,
<0 或 0<q<1,
>0
时，(
}是递减数列;当q=1 时,{
)是常数列.
2.等比数列的常用结论
（1）
（2）若
（3）
【考点1 由
与
的关系求通项公式】
【典例1】已知数列
的前项和为
.
4
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(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意，利用
与
的关系式及等比数列的概念即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由
，
得
，即
，
当
时，
，
两式相减得
，
化简得
，
当
时，
，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
；
（2）由（1）知
，
5
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所以
，
所以
.
【变式1-1】】已知数列
的前项和为
满足
，则
的通项公式为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用
的关系求出通项公式.
【详解】数列
的前项和
，当
时，
，
而
不满足上式，
所以
的通项公式为
.
故答案为：
【变式1-2】已知数列
的前项和为
，且有
，则
.
【答案】12
【分析】利用赋值法求得正确答案.
【详解】依题意，
，
令
，得
；
6
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令
，
；
令
，
.
故答案为：
【变式1-3】已知数列
的前n 项和
，则数列
的通项公式为
【答案】
【分析】根据给定条件，利用前n 项和与第n 项的关系求出通项公式.
【详解】数列
的前n 项和
，
当
时，
，
而
，不满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
故答案为：
【考点2 由数列的递推关系求通项公式】
【典例2】已知数列
的前n 项和为
．若
，
，则
（ ）
A．48
B．50
C．52
D．54
【答案】C
【分析】根据
，即可根据奇偶项分别为等差数列，分组求和，或者利用
为等差数列，即可由等差求和公式求解.
【详解】方法一：
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∵
①，∴当
时，
②，
①-②得当
时，
，
∴
中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2．
∵
，∴当n 为奇数时，
；
当n 为偶数时，
．
∴
．
方法二：
∵
，∴
，
，
∴数列
是以7 为首项，4 为公差的等差数列，
∴
．
故选：C．
【变式2-1】已知数列
满足，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据递推式子直接计算即可；方法二：对于递推式子
，一
般构造成等比数列，即
，求出通项再求解即可.
【详解】方法一：因为
所以
8
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故选：B.
方法二：构造等比数列
设
，即
对照系数可得
，所以
所以
所以数列
是以
为首项，公比
的等比数列
所以
，即
因此
故选：B.
【变式2-2】在数列
中，已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于
这种类型的递推公式，一般构造成等比数列
，进而利用待定系数法求
即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以数列
是以
为首项，公比
的等比数列，
所以
，
所以
，
所以
．
9
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故选：D．
【变式2-3】在数列
中，
，则数列
的通项公式
【答案】
【分析】根据等比数列的定义可得答案.
【详解】由已知得
，且
，
所以
是以为首项，以2 为公比的等比数列，
则
，可得
.
故答案为：
.
【考点3 数列的函数特征】
【典例3】已知数列
满足：
，且数列
是递增数列，
则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由数列的单调性求解．
【详解】由题意
，解得
.
故选：C.
【变式3-1】设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递增数列，
则实数的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意有
，解得的取值范围；
【详解】由数列
是单调递增数列可得，对于
都有
成立，
即
对
都成立，
所以
．（或通过二次函数的对称性求解）
故选：D.
【变式3-2】设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递增数列，则实数b
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由递增数列定义可得
，代入计算即可得解.
【详解】由题意可得
恒成立，即
，
即
，又
，
，故
.
故选：A.
【变式3-3】多选题已知函数
，若数列
满足
，且
是递增数列，则实数a 的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．2
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【答案】BC
【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得
实数的取值范围.
【详解】数列
满足
，且
是递增数列，
则分段函数
为增函数，则
，
所以
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
，
则选项中和在
内，
故选：
【考点4 等差数列基本量的运算】
【典例4】记
为等差数列
的前项和，若
，则
（ ）
A．21
B．19
C．12
D．42
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.
【详解】
是等差数列，
，即
，所以
故公差
，
，
故选：A
12
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【变式4-1】已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解】由
可得：
，
所以
，
故选：C
【变式4-2】若数列
为等差数列，且
，则
等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：D
【变式4-3】设
为等差数列
的前项和，已知
，则
的值为（ ）
A．64
B．14
C．12
D．3
【答案】C
【分析】利用等差数列求和公式，利用等差数列通项的下标性质可解.
【详解】利用等差数列求和公式，知道
，即
.
，且
，则
.
故选：C.
【变式4-4】已知等差数列
的前10 项和为100，且
，则
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
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【分析】利用等差中项可知
，根据等差数列求和公式运算求解.
【详解】因为
为等差数列，则
，即
，
又因为
，
可得
，所以
．
故选：C.
【考点5 等差数列的判定与证明】
【典例5】已知数列
满足
，
．
(1)求证：
是等差数列，并求
的通项公式；
(2)记
，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据所证数列的结构，可知对题目所给等式取倒数，然后移项即可证明，然
后求出数列
的通项，变形即可
的通项；
（2）用列项求和的方法即可.
【详解】（1）因为
，
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，
即
，
数列
是首项
， 公差
的等差数列，
故
，
（2）因为
，
=
.
【变式5-1】已知数列
满足
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
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【分析】（1）通过构造
证明即可；
（2）采用裂项相消法求解出
即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
化简得
，
所以
为等差数列.
（2）由
，则
为首项为，公差为的等差数列；
所以
，即
，
，
所以
.
【变式5-2】已知数列
满足
，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）应用等差数列的定义证明即可；
（2）运用累加法求出数列的通项公式.
【详解】（1）因为
，
所以
，
又由
，可得
，
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所以数列
是公差为2 的等差数列.
（2）由（1）知，数列
是首项为2，公差为2 的等差数列，即
，
所以
，
所以当
时，
.
又
满足上式，所以
，
即数列
的通项公式为
.
【变式5-3】已知数列
的前n 项和
，
.
(1)写出数列
的通项公式.
(2)证明：数列
是等差数列；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当
时，类
，当
时，求得
并验证通项公式，从而
确定数列
通项公式.
（2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）当
时，
，
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当
时，
，满足
，
即数列
的通项公式
．
（2）
，
当
时，
为常数，
则数列
是等差数列．
37．已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列，并指出其首项及公比；
(2)求数列
的通项公式
．
【答案】(1)证明见解析，首项为2，公比为2.
(2)
【分析】（1）根据所证数列的结构，对条件进行变形，然后根据等比数列的定义证明即可.
（2）由（1）可得到数列
的通项，再用累加法求数列
的通项公式即可.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
数列
是以
为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得
，
18
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当
时，
，
当
时，
也满足上式，
故
【考点6 等差数列的性质及应用】
【典例6】已知等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．26
B．32
C．512
D．1024
【答案】D
【分析】设等比数列
的公比为，联立
，
，解出
，
，代入
，即可得到答案.
【详解】设等比数列
的公比为，
因为
，
，
所以
，
，
由
，则
，得
，
解得
，
所以
.
故选：D.
19
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【变式6-1】已知
为等比数列，
，
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由等比数列基本量的计算依次求得
，
，进一步即可得解.
【详解】由题得，
，故
，
，故
，即
，
，
所以
.
故选：D.
【变式6-2】记等比数列
的前项和为
，则
（ ）
A．121
B．63
C．40
D．31
【答案】A
【分析】利用等比数列的下标和性质求得
，进而利用等比数列的通项公式求得
，再
利用等比数列的求和公式即可得解.
【详解】根据题意，设等比数列
的公比为，
若
，则有
，得
，
又由
，则
，解得
，
故
，
则
.
故选：A.
20
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【变式6-3】记
为等差数列
的前项和，若
，则
【答案】38
【分析】利用等差数列下标和性质求出
，再利用等差数列前项和公式结合等差中
项性质求解即可.
【详解】因为数列
为等差数列，由等差数列下标和性质得
，
解得
，而
.
故答案为：38
【考点7 等比数列基本量的运算】
【典例7】在等比数列
中.
(1)若它的前三项分别为，
，
， 求
；
(2)若
，
，
，求
；
(3)已知
，
，求
；
【答案】(1)405；
(2)5；
(3)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得.
（2）（3）利用等比数列通项公式求解即得.
【详解】（1）在等比数列
中，
，而
，
所以
.
21
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（2）依题意，
，则
，
所以
.
（3）依题意，
.
【变式7-1】记
为等比数列
的前项和，若
，则
.
【答案】/
【分析】本题利用等比数列的性质或者基本量法计算数列的首项和公比，再利用等比数列
的前n 项和公式计算即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
，从而
，
又
，所以
，
所以
.
故答案为：.
【变式7-2】记
为等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设等比数列
的公比为，根据题意，列出方程组，求得
的值，结合等比数
列的求和公式，即可求解.
22
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【详解】设等比数列
的公比为，
因为
，可得
解得
，
所以
．
故选：A．
【变式7-3】记
为等比数列
的前项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得答
案.
【详解】设等比数列
的公比为q，
则由
，
，得
，
解得
，
故
，
故选：B
【变式7-4】已知等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】B
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【分析】根据已知条件求得公比，从而求得正确答案.
【详解】设等比数列
的公比为
，
依题意，
，
，
即
，
所以
，
解得
或
，
所以
或
，
所以
.
故选：B
【考点8 等比数列的判定与证明】
【典例8】已知数列
的首项
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)若
，求
．
【答案】(1)证明见详解；
24
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(2)
.
【分析】（1）将已知等式取倒，通过构造数列即可得证；
（2）根据（1）中结论求出通项，然后分组求和即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
又
，所以数列
是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知
，得
，
所以
【变式8-1】已知数列
满足：
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，求的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)4
【分析】（1）根据条件得
，即可求证数列
是等比数
25
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列，进而求出数列
的通项公式；
（2）先由（1）求出
即可求解.
【详解】（1）证明：由已知
可得
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，所以
，
故
，所以
.
（2）由（1）
，
由
，得
，即
，
所以
，所以
.
【变式8-2】已知
为数列
的前项和，若
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)令
，若
，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
26
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【分析】（1）利用
与
的关系式可得
，即
，即可得
证.
（2）由（1）可得
，则
，设
，根据
等比数列的前项和公式可得
，令
，结合
，即可
求解.
【详解】（1）证明：由
可得，
当
时，
，解得
，
当
时，
，即
，
则
，即
，
即
，即
，
又
，
所以数列
是首项为6，公比为2 的等比数列.
（2）由（1）得
，则
，
设
，
则
27
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令
，得
，
即
，即
，
又
，
，
，
所以满足条件的最大整数为为5.
【考点9 等比数列的性质及应用】
【典例9】正项等比数列
的前项和为
，若
，
，则
（ ）
A．9
B．
C．9 或
D．18
【答案】C
【分析】运用等比数列性质解题即可.
【详解】正项等比数列
的前项和为
，
若
，则
，则
.
又
，则
，即
，即
，
则
，化简
，解得
都满足题意.
28
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则
或
.
故选：C.
【变式9-1】已知
是等比数列
的前n 项和，
，
，则
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列性质求得
，
，即可得结果.
【详解】设等比数列
的公比为q，可得
，
则
，
所以
．
故选：B.
【变式9-2】多选题等比数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BD
【分析】依题意对等比数列的公比是否为1 进行分类讨论，列方程即可得出
或
.
【详解】根据题意设等比数列
的首项为
，公比为，
29
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当
时，由
可得
，则
满足题意，此时
；
当
时，由
可得
，两式相除整理可得
，
解得
，此时
.
综上可得
或
.
故选：BD
【变式9-3】设
为正项等比数列
的前n 项积，若
的公比
，则
（ ）
A．
B．32
C．
D．512
【答案】D
【分析】运用等比数列下标性质计算即可.
【详解】正项等比数列
，
，则
，则
，
.
故选：D.
一、单选题
1．若数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
30
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【分析】根据递推式写出数列的前几项，可得
是周期为的周期数列，从而可求得答案.
【详解】数列
满足
，
，
，
，
，
，
，
是周期为的周期数列，
而
，
故
．
故选：A
2．设
是等差数列
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．17
B．34
C．51
D．68
【答案】C
【分析】利用等差数列的求和公式即可求解．
【详解】解：设公差为d，
则
，即
，
则
，
故选：C
31
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3．在等差数列
中，若
，则
的值为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】C
【分析】直接由等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意
.
故选：C.
4．已知首项为1 的等比数列
的前 项和为
，若
，则
（ ）
A．24
B．12
C．20
D．15
【答案】D
【分析】根据给定条件，借助等比数列前 项和公式求出公比即可得解.
【详解】设等比数列
的公比为，显然
，否则
，此等式不成立，
则
，由
，整理得
，即
，
因此
，所以
.
故选：D
5．记等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．60
B．80
C．140
D．160
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出等差数列
的公差及首项，再利用前n 项和公式计算即得.
【详解】等差数列
中，
，而
，则
，
公差
，
，
所以
.
32
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故选：C
6．设等比数列
的前项和为
，则
（ ）
A．1
B．4
C．8
D．25
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
是等比数列，所以
成等比数列，
所以
，解得
或
（舍，若成立则不满足上面三项成等比
数列），故A 正确.
故选：A.
7．已知数列
是等差数列，若
，则
（ ）
A．8
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式即可得解．
【详解】设公差为，则：
，
．
故选：B．
8．已知
是等比数列
的前n 项和，
，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．3 或
D．
或
【答案】D
【分析】利用等比数列通项和前n 项和的基本量运算列出方程，求解即得.
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【详解】由
，
因
，代入得，
，
即
，解得，
或
.
故选：D.
9．已知数列
是等比数列，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质运算即可.
【详解】因为
是等比数列，所以
，所以
.
故选：.
10．已知等差数列
的前项和为
，
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由等差数列前和公式、等差数列的性质可得答案.
【详解】
，故
，
则
.
故选：A.
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二、多选题
11．已知定义在实数集R 上的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）的图像关于点
成中心对称
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质
进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.
【详解】对A： 令
，
，则有
，故
，故A 正
确；
对B：令
，则有
，又
，故
，
，故B 错误；
对C：令
，则有
，即
，
则
，故C 正确；
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对D：
，
则
，即
，
又
，故
，
则
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题C、D 选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累
加及等差数列公式法求和.
12．若数列
满足
，
，且
，
，则下列
结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
为等比数列，则
【答案】ACD
【分析】根据两式相加减可得
，
，即可求解ABC，根据前3 项以及等
比中项可得
或
，代入验证即可求解D.
【详解】对于B，依题意，
，则
，
而
，因此数列
是首项为1，公比为3 的等比数列，
，B
错误．
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又
，因此
，结合
可得
，
，
对于A，
，A 正确；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，
，
，
由
为等比数列，得
，解得
或
，
当
时，
，显然数列
是等比数列，
当
时，
，显然数列
是等比数列，
因此当数列
是等比数列时，
或
，D 正确．
故选：ACD．
第II 卷（非选择题）
三、填空题
13．已知等比数列
为递增数列，且
，
，则
．
【答案】2
【分析】根据题意分析可知
，
，可得
，
，结合等比数列
的性质分析求解.
【详解】因为递增的等比数列
中，
，
，且
，
可知
和
是一元二次方程
的两个根，
且
，解得
，
，
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可得
，所以
故答案为：2.
四、解答题
14．数列
满足
．
(1)求数列
通项公式．
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意有
，数列
是首项为2，公差为2 的等差数列，可求数
列
通项公式．
（2）
，分为奇数和为偶数，结合分组求和法求
.
【详解】（1）由
，有
，
又
，所以数列
是首项为2，公差为2 的等差数列，
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则有
，所以数列
通项公式
.
（2）设
，
为奇数时，
；为偶数时，
.
为奇数时，
；
为偶数时，
.
所以
.
15．已知数列
，
中，
，
，
是公差为1 的等差数列，数列
是公比为2 的等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前项和
.
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列
的通项公式，再根据等比
数列的通项公式计算出数列
的通项公式，即可计算出数列
的通项公式；
（2）根据数列
的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公
式即可计算出前项和
．
【详解】（1）由题意，可得
，
故
，
，
数列
是公比为2 的等比数列，且
，
，
，
．
（2）由题意及（1），可得
，
则
．
16．已知各项均为正数的数列
的前项和为
，且
，
（
且
）．
(1)求
的通项公式；
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(2)若
，设数列
的前项和
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
的关系可得
为等差数列，即可求解
，进而
可得
，
（2）利用错位相减法求和，即可求证.
【详解】（1）当
时，
，
即
，解得
．
因为
（
），
所以
（
），
又
（
，
），
，
所以
（
），
又
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
．
当
时，
，
当
时，
，满足上式，
所以数列
的通项公式为
．
41
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（2）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
由于
，所以
17．设数列
的各项均为正整数，且
是递减数列．
(1)若
是等比数列，求公比q；
(2)已知：非空有限集S 中总存在最大的元素．若
是递增数列，证明：
从某一项起
是等差数列．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）分公比等于小于大于1 分别讨论求解；
（2）分段由递推关系根据等差数列定义证明即可.
【详解】（1）由题设知q＞0．
42
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若
，则
，
是递减数列，符合题意．
若
，则当
时，
，不为正整数，不合题意．
若
，则
，当
，即
时，
，这与
是递
减数列相矛盾，不合题意．
故公比
．
（2）由题设知
，故集合
非空，因为
．
另一方面，当
时，
，所以
，从而集合S 是有限集，其中必然有最大
元素，记作
，且
．
由
是递减数列可知，存在唯一的整数k 满足
，且对任意
都有
．
记
，则
，且
，
．
所以对任意正整数n，
．这表明使得
的正整数n 只
有有限个，
因而
从第
项起是公差为
等差数列．
18．已知数列
，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中
43
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并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列
的前项和为
（
）；②数列
的前项之积为
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①或②均可证明数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，再由等比
数列的通项公式求出数列
的通项公式；
（2）由分组求和法结合等差、等比的前项和公式求解即可.
【详解】（1）若选①
，
当
时，
，即
，
当
时，由
（I），则
（II），
（I）（II）得：
，即
，
所以数列
是以为首项，为公比的等比数列，所以
；
若选②，当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
44
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当
时，
符合上式，
所以数列
是以为首项，为公比的等比数列，所以
；
（2）因为
，所以
，
所以
，
则
.
19．已知首项为1 的数列
的前项和为
，且
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若
，求数列
的前项和
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用
变形给定等式，再利用等差数列定义推
理即得.
（2）由（1）求出
，进而求出
，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得.
【详解】（1）由
，得
，即
，
两边同加，得
，则
，因此数列
为常数列，
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所以数列
为等差数列.
（2）由（1）知，
，则
，
，
当为正奇数时，
，
；当为正偶数时，
，
，
当为正奇数时，
；
当为正偶数时，
，
所以
.
20．设正项等比数列
的前n 项和为
，已知
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设正项数列
满足
，其前n 项和为
，当
取最小值时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合等比数列的求和公式先求出
，，然后结合等比数列的通项公
式即可求解；
（2）结合等比数列的求和公式及基本不等式即可求解．
【详解】（1）正项等比数列
中，
，
，
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所以
，解得
，
（舍负），
故
；
（2）正项数列
满足
，所以
，
设
，则
，
，
，当
时，
，
两式相除得，
，
故
，
，，
构成以为首项，以2 为公比的等比数列，
，
，，
构成以为首项，以2 为公比的等比数列，
所以
，
因为
，当且仅当
，即
时取等号，
即
取最小值时，
．
21．已知数列
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2024 项和．
【答案】(1)
(2)1012
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【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得
即可；
（2）得到
表达式后，发现
（
），故由分组求和法
即可求解.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意可知，
，即
，解得
，
所以
；
（2）由（1）可知，
，
对于任意
，有
，
所以
，
故数列
的前2024 项和为
．
22．已知等差数列
满足
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项；
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（2）应用错位相减法求出数列的和.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，
由题意可得
，解得
，
所以
．
（2）设
，
所以
，
所以
，
两式相减得，
，
所以
，所以
．
49
