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知识点39：轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE 减＝ΔE 增，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
加量。E 初＝E 末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
③有外力做功的表达式：WF＝ΔE，ΔE 为能量的增加量。
点
：
考
一
速率相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；对多个物体组成的系统要注意判断
物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。解题时要注意寻找用绳相连接的物体间的速度
关系和位移关系。分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
题型
：
一
悬吊式模型的力与能量问题
【典例1 拔尖题】如图所示，质量分别为2m 和m 的A、B 两物体用不可伸长的轻绳绕过轻
质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦
现将两物体由静止释放，在A 落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )
A．A 物体的加速度为
B．A、B 组成系统的重力势能增大
C．下落t 秒时，B 所受拉力的瞬时功率为mg2t
D．下落t 秒时，A 的机械能减少了mg2t2
【典例1 拔尖题】【答案】D
【解析】A 与B 的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对A、B 整体有：a＝＝g，故
A 错误；A、B 组成系统的机械能不变，动能增大，重力势能减小，故B 错误；B 受到的拉
力：F＝m(g＋a)＝，下落t 秒时，B 的速度：v＝at＝gt，所受拉力的瞬时功率为P＝Fv＝
mg2t，C 错误；对A 有：2mg－FT＝2ma，得细绳的拉力FT＝mg.下落t 秒时，A 下落的高
1
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度为h＝at2＝gt2，则A 克服细绳拉力做功为W＝FTh＝mg2t2.根据功能关系得知：A 的机械
能减少量为ΔEA＝W＝mg2t2，故D 正确．
【典例1 拔尖题对应练习】（多选）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P 和Q 用不
可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量mQ>mP，t＝0 时刻将两物体由静止释放，物体
Q 的加速度大小为.T 时刻轻绳突然断开，物体P 能够达到的最高点恰与物体Q 释放位置处
于同一高度，取t＝0 时刻物体P 所在水平面为零势能面，此时物体Q 的机械能为E.重力加
速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点．下列说法正确的是( )
A．物体P 和Q 的质量之比为1∶3 B．2T 时刻物体Q 的机械能为
C．2T 时刻物体P 重力的功率为 D．2T 时刻物体P 的速度大小为
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】BCD
【解析】开始释放时物体Q 的加速度大小为，则有mQg－FT＝mQ·，FT－mPg＝mP·，
解得FT＝mQg，＝，选项A 错误；在T 时刻，两物体的速度大小v1＝，P 上升的距离h1＝
×T2＝，轻绳断后P 能上升的高度h2＝＝，则开始时P、Q 竖直方向上的距离为h＝h1＋h2
＝，开始时P 所处的水平面为零势能面，则开始时Q 的机械能E＝mQgh＝，从开始到轻绳
断裂，轻绳的拉力对Q 做负功，大小为WF＝FTh1＝，则绳断裂时物体Q 的机械能E′＝E－
WF＝＝，此后物体Q 的机械能守恒，则在2T 时刻物体Q 的机械能仍为，选项B 正确；在
2T 时刻，重物P 的速度v2＝v1－gT＝－，方向向下，此时物体P 重力的瞬时功率PG＝mPg|
v2|＝·＝＝，选项C、D 正确．
题型
：
二
斜面式模型的力与能量问题
【典例2 拔尖题】如图所示，一劈形滑梯固定在水平地面上，高h1＝12 m，底角分别为
37°、53°，A、B 两小物块质量分别为mA＝2 kg、mB＝4 kg，用轻绳连接，通过滑梯顶端的
小滑轮跨放在左右两斜面上，轻绳伸直时，两物块离地高度h2＝4 m，在滑轮处压住细绳，
已知物块与斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.1，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8.
(1)若在压绳处突然剪断绳，求A、B 下滑过程中加速度之比；
(2)若松开绳，求B 滑到底端时的速度大小；
(3)松开绳，当B 滑到底端后，A 沿斜面继续向上滑行的距离．
2
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【典例2 拔尖题】【答案】(1) (2) m/s (3) m
【解析】(1)对A 分析 FA＝mAgsin 37°－μmAgcos 37°，对B 分析 FB＝mBgsin 53°－
μmBgcos 53°，又F＝ma，综上所述，解得＝，＝
(2)由动能定理：mBgh2－mAghA－(μmBgcos 53°＋μmAgcos 37°)·x＝(mA＋mB)v2，由几何关系得
hA＝·sin 37°＝3 m，x＝＝5 m，联立解得B 滑到底端的速度v＝ m/s.
(3)A 沿斜面上行，aA′＝gsin 37°＋μgcos 37°＝6.8 m/s2，由v＝2aA′xA vA＝v＝ m/s，上行距
离：xA＝ m
【典例2 拔尖题对应练习】如图所示，有A、B、C 三个物块，一根轻绳绕过光滑的轻质定
滑轮，两端分别连接物块A 与物块B，物块B 的下面通过轻绳与物块C 连接，物块B 和C
的质量均为m，物块A 的质量为3m，物块A 锁定在光滑的斜面上的P 点(P 点离滑轮足够
远)，斜面倾角θ＝30°，轻绳始终平行于斜面。物块B 与物块C 之间的轻绳长度为L，初始
时C 离地的高度也为L。解除对物块A 的锁定，物块开始运动。设物块A 可视为质点，物
块B 与物块C 落地后不反弹，重力加速度大小为g。求：
（1）A 刚上升时的加速度；
（2）A 上升过程的最大速度；
（3）A 能上升的最高位置离P 点的距离。
【典例2 拔尖题对应练习】【答案】(1) (2) (3) L
【解析】(1)解除对A 的锁定后，A 加速上升，B 和C 加速下降，加速度a 大小相等，设轻
绳对A 和B 的拉力大小为FT，由牛顿第二定律得对A：FT－3mgsin θ＝3ma，对B、C：
(m＋m)g－FT＝(m＋m)a 联立解得a＝g
(2)对物块C 刚着地时，A 的速度最大。从A 刚开始上升到C 刚着地的过程，由动能定理得
2mgL－3mgLsin θ＝(2m)v＋(3m)v 解得vmax＝
(3)设C 落地后A 沿斜面继续上升d 时速度为零，此时B 下降d 未接触C，A 和B 组成的系
统由动能定理得mgd－3mgdsin θ＝0－(m＋3m)v 联立解得d＝L
由于d＝L<L，B 不会触C，所以A 能上升的最高位置离P 点的距离H＝L＋d＝L
点
：
考
二
速率不相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
用绳连接的两物体速率不相等，但是物体沿轻绳方向速率相等。
题型
：轻绳连接体在
上
动模型
一
固定杆
运
【典例1 拔尖题】（多选）如图所示，质量为m 的小环套在固定的光滑竖直杆上，一足够
长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M 的物块相连，
3
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已知M＝2 m。与定滑轮等高的A 点和定滑轮之间的距离为3 m，定滑轮大小及质量可忽略
现将小环从A 点由静止释放，小环运动到C 点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列
说法正确的是( )
A．A、C 间距离为4 m
B．小环最终静止在C 点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2 1∶
【典例1 拔尖题】【答案】AD
【解析】由机械能守恒得：mgLAC＝Mg(－3)，解得：LAC＝4 m，故A 正确；设小环静止于
C 点，绳中的拉力等于2mg，对小环有：T＝＝mg≠2mg，小环不能静止，所以假设不成立，
故B 错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能
和小环增加的动能，故C 错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即
为物块的速度即为vM＝vmcos 60°，由动能表达式Ek＝mv2可知，小环与物块的动能之比为
2∶1，故D 正确。
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示，质量均为m 完全相同的两个弹性圆环A、B 用不可
伸长的、长为L 的轻绳连接，分别套在光滑水平细杆OM 和足够长光滑竖直细杆ON 上，
杆OM 与杆ON 在O 点用一小段圆弧平滑相连，A 环通过O 点时速率不变．现将轻绳拉至
水平位置伸直，B 环位于O 点，并同时由静止释放两环．(重力加速度为g)
(1)若B 环下降高度h(h<L)时，B 环加速度恰好为零，求此时绳中拉力大小；
(2)求A 环从开始运动到O 点过程中，轻绳对A 环拉力所做的功；
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】(1)
(2)mgL (3)
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【解析】(1)若B 环下降高度h(h<L)，加速度为零时，设轻绳与竖直方向夹角θ，如图所示。
因B 环加速度恰好为零，则有Fcosθ＝mg，cosθ＝，联立解得F＝
＝
.
(2)设A 环到达O 点时速度为vA′，此时B 环的速度等于0，B 环下降L 过程中，A、B 系统
机械能守恒，有mgL＝mvA′2，解得vA′＝
，轻绳对A 环拉力所做的功W＝mvA′2＝
mgL.
(3)A 环过O 点后做初速度为vA′、加速度为g 的匀加速直线运动，B 环做自由落体运动，设
从A 环经过O 点开始，追上B 环用时为t，A、B 即将发生第一次碰撞时二者的速度分别为
v1、v2，则有vA′t＋gt2＝L＋gt2，解得t＝
，故A 环追上B 环时v1＝vA′＋gt＝
，
v2＝gt＝
.
题型
：轻绳连接体在
上
动模型
二
固定圆弧
运
【典例2 拔尖题】如图所示，弯成四分之三圆弧的细杆竖直固定在天花板上的N 点，细杆
上的PQ 两点与圆心O 在同一水平线上，圆弧半径为0.8 m．质量为0.1 kg 的有孔小球A(可
视为质点)穿在圆弧细杆上，小球A 通过轻质细绳与质量也为0.1 kg 的小球B 相连，细绳绕
过固定在Q 处的轻质小定滑轮(未画出)．将小球A 在圆弧细杆上某处由静止释放，则小球
A 沿圆弧杆下滑，同时带动小球B 运动，当小球A 下滑到D 点时其速度大小为4 m/s，此时
细绳与水平方向的夹角为37°，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，cos
16°＝0.96.问：
(1)小球A 下滑到D 点时，若细绳的张力FT＝x(N)，则圆弧杆对小球A 的弹力是多大？
(2)小球A 下滑到D 点时，小球B 的速度是多大？方向如何？
(3)如果最初释放小球A 的某处恰好是P 点，请通过计算判断圆弧杆PD 段是否光滑．
5
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【典例2 拔尖题】【答案】(1)2.96－0.8x (N) (2)2.4 m/s 竖直向下 (3)见解析
【解析】(1)当小球A 运动到D 点时，设圆弧杆对小球A 的弹力大小为FN，由牛顿第二定
律有FN＋FTcos 37°－mgcos 16°＝，解得FN＝2.96－0.8x (N)
(2)小球A 在D 点时，小球B 的速度大小vB＝vAsin 37°＝2.4 m/s，方向竖直向下．
(3)由几何关系有＝2Rcos 37°＝1.6R，h＝sin 37°＝0.96R，若圆弧杆不光滑，则在小球A 从
P 点滑到D 点的过程中，必有摩擦力对小球A 做功．设摩擦力对小球A 做功为Wf，对A、
B 两小球由动能定理得，mgh＋mg(2R－)＋Wf＝mvA
2＋mvB
2，代入数据解得Wf＝0，所以圆
弧杆PD 段是光滑的．
题型三：轻绳连接体在轮轴上转动模型
【典例3 拔尖题】如图所示，半径为r、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂
直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的右边缘固定有一个质量为m 的小球A，在O 点正下方
离O 点处固定一个质量也为m 的小球B，放开盘让其自由转动。
(1)当A 转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
(2)A 球转到最低点时的线速度是多少？
(3)在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
【典例3 拔尖题】【答案】(1)mgr (2) (3)37°
【解析】(1)以通过固定轴O 的水平面为零势能面，开始时两球的重力势能之和为：
Ep1＝EpA＋EpB＝0－mgr＝－mgr，当小球A 转至最低点时两小球重力势能之和为：Ep2＝
EpA＋EpB＝－mgr＋0＝－mgr，故两球重力势能之和减少量为：ΔEp 减＝Ep1－Ep2＝－mgr－
(－mgr)＝mgr。
(2)由于圆盘转动过程中，系统只有动能和重力势能相互转化，系统的机械能守恒，因此系
统的重力势能的减少一定等于两球动能的增加。设A 球转至最低点时，A、B 的线速度分
别为vA和vB，则mgr＝mvA
2＋mvB
2。因A、B 两球固定在同一圆盘上，转动过程中角速度相
等，故线速度的关系为vA＝2vB，解得vA＝ 。
6
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(3)设半径OA 向左偏离竖直线的最大角度为θ，如图所示，该位置小球的速度为零，故系
统的机械能为：E3＝Ep3＝mgsin θ－mgrcos θ。开始时系统的机械能为：E1＝Ep1＝－mgr，
对系统由机械能守恒得：－mgr＝mgrsin θ－mgrcos θ，所以sin θ＝(舍去负值)，即θ＝
arcsin＝37°。
点三：轻绳
考
摆球模型的力与能量问题
【典例1 拔尖题】如图所示，一根长为l、不可伸长的轻绳，其一端固定于O 点，另一端系
着一质量为m 的小球(可视为质点)，将小球提至O 点正上方的P 点，此时绳刚好伸直且无
张力。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)为使小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在P 点至少应施加给小球多大的水平速度v0?
(2)若在P 点将小球以速度v2＝水平抛出，求小球经过最低点时受到轻绳的拉力。
【典例1 拔尖题】【答案】(1) (2)5mg 方向竖直向上
【解析】(1)小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动时，在P 点小球只受重力作用，由牛
顿第二定律得mg＝m，解得v0＝。
(2)当小球平抛到与圆心同一高度时l＝gt2，水平位移x＝v2t，由以上两式得x＝l，即此位置
轻绳刚好绷紧，轻绳拉紧瞬间，小球速度方向变为垂直轻绳方向，其大小为vy＝gt＝
之后小球机械能守恒，设经最低点时速度为v1，则有mgl＝mv－mv，受力分析有FT－mg
＝，解得FT＝5mg，方向竖直向上
7
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